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27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
学习目标：1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (重点、难点)
一、知识链接
1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？21世纪教育网版权所有
2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
1、要点探究
探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
操作 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？21cnjy.com
思考 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
证明 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，，求证：△ABC∽△A′B′C′.【来源：21·世纪·教育·网】
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ ( http: / / www.21cnjy.com )上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥ B′C′，交 A′C′ 于点 E.【补全后面的证明过程】21·世纪*教育网
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【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：∵，∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
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思考 对于△ABC和 △A′B′C′，如果∠B= ∠B′，，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.21教育网
【结论】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.2·1·c·n·j·y
【典例精析】
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．www-2-1-cnjy-com
【针对训练】在 △ABC 和 △DEF ( http: / / www.21cnjy.com ) 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.2-1-c-n-j-y
例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.【来源：21cnj*y.co*m】
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例3 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求 DE 的长.【出处：21教育名师】
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例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证： ∠ACB=90°．
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【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高可以转化为90°等.
二、课堂小结
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1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )21*cnjy*com
(2) 两个直角三角形相似 ( )【版权所有：21教育】
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )21教育名师原创作品
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )
A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
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第2题图 第3题图
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求 AD 的长．
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5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED. 21·cn·jy·com
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拓展提升
6. 如图，已知 △AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.21*cnjy*com
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参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 解：三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有SAS和HL.
2. 解：能.
合作探究
一、要点探究
探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
证明 解：∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.∴.
∵ A′D=AB，，∴，∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
【典例精析】
例1 解：∵ ，，∴，
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
【针对训练】证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，∴.又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.www.21-cn-jy.com
例2 证明：∵ △ABC 与 △ADE都 是等腰三角形，∴ AD =AE，AB = AC，∴，又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
例3 解：∵ AE=1.5，AC=2， ∴.又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，∴，∴.
例4 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵，∴△ADC ∽△CDB.∴ ∠ACD =∠B.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
当堂检测
1. (1) √ (2) × (3) × (4) × 2. D 3. 相似
4. 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴.
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，∴，∴AD=.
5. 证明：∵ AB · AD = AE·AC，∴.
又∵ ∠DAB =∠CAE，∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED.
拓展提升
6. 4 或 9
解析：当 △ADP ∽△ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB 时，AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
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