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27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
一、知识链接
学校举办活动，需要三个内角分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？2·1·c·n·j·y
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1、要点探究
探究点1：两角分别相等的两个三角形相似
操作 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°， ∠B=∠B′=55°，探究下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
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问题1 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
问题2 试证明△ABC∽△A′B′C′.
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，
截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，【补全证明过程】
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【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
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【典例精析】
例1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF. 21·世纪*教育网
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【针对训练】如图，在 △ABC 和 △A'B ( http: / / www.21cnjy.com )'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.21教育网
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例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.
证明：连接AC，DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A= __ ___，
同理 ∠C= ___ ____，
∴ △PAC ∽ △PDB，
∴__ ___ ，即PA ·PB = PC · PD.
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【针对训练】如图，⊙O 的弦 AB，CD 交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
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【分析】此图中，没有完整的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于 △BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解21世纪教育网版权所有
探究点2：判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.21·cn·jy·com
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【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？www-2-1-cnjy-com
证明 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°，.
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
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【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
例4 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
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【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论
【针对训练】在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.2-1-c-n-j-y
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
二、课堂小结
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1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对
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第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2. 如图，△ABC中，AE ( http: / / www.21cnjy.com )交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )21cnjy.com
A. 　　B. C. 　　D.
3. 如图，点 D 在 AB上 ( http: / / www.21cnjy.com )，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ )时，△ACD∽△ABC；
4. 如图，在 Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于点D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .21*cnjy*com
5.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
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6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：.
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7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
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参考答案
合作探究
一、要点探究
探究点1：两角分别相等的两个三角形相似
问题2 解：则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′.
∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.
又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE ≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
【典例精析】
例1 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.
【针对训练】 55°
例2 ∠D ∠B
【针对训练】6
探究点2：判定两个直角三角形相似
例3 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A，∴ △AED ∽△ABC.
∴ .∴ .
证明 证明：设= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由勾股定理，得，.
∴
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
例4 3 或3
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，
∴.
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即: 2 =AB :，解得 AB=3；
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即:=AB :，解得 AB=3．∴ 当 AB 的长为 3 或3 时，这两个直角三角形相似．www.21-cn-jy.com
【针对训练】(1) 相似 (2)相似 (3) 相似
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1. C 2. A
3. ACD B ADC ACB
4. 4 18 6
5.证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC.
6. 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，∴.
7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC∽△ADE.
自主学习
合作探究
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