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必修第一册导学案 1.5全称量词与存在量词
班级 姓名
学习目标
1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
学习过程
1．给出下列命题：①所有的矩形都是平行四边形；②对任意一个x∈R，都有x2＞0；③每一个菱形的对角线都垂直；④自然数是正整数．
问题：(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义？如何定义这类命题？
命题④是全称量词命题吗？它的量词是什么？
2．给出下列命题：①有些矩形不是平行四边形；②存在一个x∈R，使得x2≤0；③至少有一个菱形的对角线不垂直；④有的自然数不是正整数．
问题：上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义？如何定义这类命题？
1．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 ．
2．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为 ．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定p： ；
存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定p： ．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
典例分析
例1、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝.
变式1、判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2) x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
例2、(1)设命题p： n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　 )
A． n∈N，n2>2n　　 B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2＝2n
(2)命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 )
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
变式2、写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p： x∈R，≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
例3、对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
变式3、若命题“p： x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　 )
A．m≥1　　　　　　　 B．m＞1
C．m＜1 D．m≤1
课后作业
一、基础训练题
1．下列四个命题中的真命题为(　　)
A． x∈R，x2－1＝0
B． x∈Z,3x－1＝0
C． x∈R，x2＋1＞0
D． x∈Z,1＜4x＜3
2．下列命题中的假命题是(　　 )
A． x∈R，|x|＝0
B． x∈R,2x－10＝1
C． x∈R，x3>0
D． x∈R，x2－2x＋4＞0
3．(多选题)对下列命题的否定说法正确的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；﹁p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；﹁p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；﹁p所有的三角形不都是正三角形
D．p： x∈R，x2＋x＋2≤0；﹁p： x∈R，x2＋x＋2＞0
4．(多选题)（2020秋 江苏期中）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有　　
A．， B．所有的正方形都是矩形
C．， D．至少有一个实数，使
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜1　　　　　　　　　　 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“ ”或“ ”符号表示为__ _____．
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为____ ____．
8．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_____ ___．
(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是___ ______．
9．（2021春 临沂期末）若“，，”为假命题，则的最小值为 　 　．
二、提高训练题
10．(多选题)（2021秋 巴南区校级月考）设非空集合，满足，且，则下列选项中错误的是　　
A．，有 B．，使得
C．，使得 D．，有
11．(多选题)（2020秋 正定县校级期中）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件可以是　　
A． B．
C． D．
12．（2021春 许昌期末）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围为　　．
13．已知命题p： x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q： x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，q为假命题，求实数m的取值范围．
必修第一册导学案 1.5全称量词与存在量词
参考答案
1．【答案】C
【解析】若x2－1＝0，则x±1，A错误；若3x－1＝0，则x＝ Z，B错误；
若1＜4x＜3，则＜x＜，D错误；x2＋1≥1＞0恒成立，故选C.
2．【答案】C　
【解析】当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
3．【答案】BCD
【解析】“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题；所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．
4．【答案】
【解析】由于是命题的否定，所以特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题．
对于，为特称命题，否定为“对，恒成立”且为真命题．
对于为全称命题，且为真命题，故否定错误．
对于：“，”为特称命题，否定为“对，恒成立”且为真命题．
对于：为特称命题，为真命题，故否定错误．
5．【答案】A
【解析】当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.
6．【答案】 x∈R，x2＋2x＋1≥0
7．【答案】 x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
8．【答案】(1) x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 (2) x∈R，x2＋2x＋5≠0
9．【答案】3
【解析】因为“，，”为假命题，所以，，为真命题，
所以对，恒成立，即对，恒成立，故，所以的最小值为3．
10．【答案】
【解析】，，正确；正确；错误；错误．
11．【答案】．
【解析】命题“，，” “，，”
是命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件．
12．【答案】，
【解析】命题“，使得”为假命题，
恒成立，当时，恒成立，满足条件，
当时，若恒成立，则，解得：，
综上所述：，，
13．[解]　由题意知命题p，q都是真命题．
由 x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由 x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3.}
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