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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第5节 一元一次方程
【考试要求】
1.了解方程、一元一次方程相关概念，掌握等式的基本性质，并能应用等式的性质进行等式变形；
2.掌握解一元一次方程的一般步骤并能解一元一次方程，理解的解的意义；
3.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，解决生活中的实际问题.
【考情预测】
一元一次方程主要以考查一元一次方程的相关概念和解一元一次方程及应用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为10分左右。预计2022年各地中考还将继续考查各种一元一次方程的解法和应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1．有关概念：(1)方程是指含有未知数的等式．
(2)只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
3.等式的性质：（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数或式，所得结果仍是等式；
（2）等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
4．解一元一次方程的步骤：
(1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘．
(2)去括号：注意括号前的系数与符号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号．
(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝．
5．一元一次方程的实际应用：列方程(组)解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程 ；⑤求出方程的解；⑥验根并作答．
【重难点突破】
考向1. 一元一次方程的有关概念
【典例精析】
【例】（2021·浙江·中考模拟）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：关于的方程如果是一元一次方程，
，即或，方程为或，解得：或，
当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江·九年级专题练习）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A．3x+2y=6 B．4x-2=x+1 C．x2+2x-1=0 D．-3=
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此即可判断．
【详解】解：A、是二元一次方程，错误；B、是一元一次方程，正确；
C、是一元二次方程，错误；D、是分式方程，错误；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
变式1-2．（2021·湖南湘西·中考模拟）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为______.
【答案】4
【分析】直接把x＝2代入进而得出答案.
【详解】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，∴3×2﹣2k+2＝0，解得：k＝4故答案为：4
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解；正确把已知数据代入是解题关键.
变式1-3．（2021·福建中考模拟）若x=2是关于x的一元一次方程ax－2=b的解，则3b－6a+2的值是( ).
A．－8 B．－4 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据已知条件与两个方程的关系，可知2a- 2= b，即可求出3b-6a的值，整体代入求值即可．
【详解】把x=2代入ax－2=b，得2a- 2= b．所以3b-6a=-6．所以，3b－6a+2=-6+2=-4.故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【考点巩固训练】
1.（2021 嘉兴期中）下列方程属于一元一次方程的是（　　）
A．＝4 B．3x﹣2y＝1 C．1﹣x2＝0 D．3x＝4
【思路点拨】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【答案】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．
2．（2021 诸暨市期末）若方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，则a的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
【思路点拨】利用一元一次方程的定义判断即可．
【答案】解：∵方程（x+3）x|a|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|a|﹣2＝1，且a+3≠0，解得：a＝3，故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键．
3．（2021 慈溪市期末）已知关于x方程x﹣2（x﹣a）＝3的解为x＝﹣1，则a的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【思路点拨】把x＝﹣1代入方程x﹣2（x﹣a）＝3得到关于a的一元一次方程，依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【答案】解：把x＝﹣1代入方程x﹣2（x﹣a）＝3得：﹣1﹣2（﹣1﹣a）＝3，
去括号得：﹣1+2+2a＝3，移项得：2a＝3+1﹣2，合并同类项得：2a＝2，
系数化为1得：a＝1，故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键．
4．（2021 杭州一模）已知﹣2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝　5　．
【思路点拨】把x＝﹣2代入方程即可得到一个关于a的方程，即可求解．
【解析】解：把x＝﹣2代入方程，得：﹣4+a＝1，解得：a＝5．故答案是：5．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
5．（2021·浙江·九年级专题练习）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：关于的方程如果是一元一次方程，
（1）当，即，即 解得：，
（2）当m=0时，，解得：
（3）当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
考向2. 等式的基本性质
【典例精析】
【例】（2021·浙江萧山·一模）已知2a＝3b，则（　　）
A．2a+2＝3b+3 B．a＝b C． D．2a2＝3b2
【答案】C
【分析】根据两内项之积等于两外项之积及等式的性质对每个选项进行判断即可得解．
【详解】解：A、由2a＝3b，则2a+2＝3b+2，故本选项错误；
B、由2a＝3b，则，故本选项错误；C、由2a＝3b，则，故C正确；
D、违背了等式的基本性质．故选：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题．
【变式训练】
变式2-1. （2022·浙江·九年级专题练习）下列变形符合等式性质的是（　　）
A．如果2x﹣3＝7，那么2x＝7﹣3 B．如果，那么x＝﹣3
C．如果﹣2x＝5，那么x＝5+2 D．如果3x﹣2＝x+1，那么3x﹣x＝1﹣2
【答案】B
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【详解】解：A、等式2x﹣3＝7的两边都加3，可得2x＝7+3，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、等式﹣x＝1的两边都乘﹣3，可得x＝﹣3，原变形正确，故此选项符合题意；
C、等式﹣2x＝5的两边都除以﹣2，可得x＝﹣，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、等式3x﹣2＝x+1的两边都加﹣x+2，可得3x﹣x＝1+2，原变形错误，故此选项不符题意．选：B．
【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质．等式的性质：1、等式两边同时加上或减去相等的数或式子，等式两边依然相等．2、等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，等式两边依然相等．3、等式两边同时乘方或开方，等式两边依然相等．
变式2-2. （2022·浙江·九年级专题练习）根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a＝0，b＝0
【答案】A
【分析】由m+a＝n﹣b，m＝n，结合等式的基本性质，两边都减去，可得 从而可得答案.
【详解】解： m+a＝n﹣b，m＝n 互为相反数，故选：A
【点睛】本题考查的是相反数的含义，等式的基本性质，掌握“利用等式的基本性质进行变形”是解题的关键.
变式2-3. （2022·浙江·九年级专题练习）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么a=b B．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= y D．如果a=b，那么
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【详解】A.如果，那么两边都乘以c可得a=b，故正确；
B.当a=2，b=-2时，满足|a|=|b|，但a≠b，故不正确；
C.当a=0时，满足ax =ay，但x与 y不一定相等，故不正确；
D.如果a=b，当c=0时，不成立，故不正确；故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
【考点巩固训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．由3x+5＝7，得3x＝﹣2 B．由3x﹣2＝2，得3x＝4
C．由﹣3x＝6，得x＝2 D．由，得x＝6
【答案】B
【分析】直接根据等式的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由3x+5＝7，得3x＝2，原式错误，不符合题意；
B、由3x﹣2＝2，得3x＝4，原式正确，符合题意；
C、由﹣3x＝6，得x＝－2，原式错误，不符合题意；
D、由，得x＝2，原式错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
2．（2021·浙江·九年级专题练习）若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　）
A．a﹣b+2＝0 B．3﹣a＝b﹣1 C．2a＝2b+2 D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质进行计算即可．
【详解】解：∵a＝b+2，∴a﹣b﹣2＝0，所以A选项不成立；
∵a＝b+2，∴3﹣a＝3﹣b﹣2＝1﹣b，所以B选项不成立；
∵a＝b+2，∴2a＝2b+4，所以C选项不成立；∵a＝b+2，∴，所以D选项成立．故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
3．（2021 杭州）设x，y，c是实数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
【思路点拨】根据等式的性质，可得答案．
【答案】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．
4．（2021 仙居县期末）下列等式变形中不正确的是（　　）
A．由x+2＝y+2，得到x＝y B．由3a﹣3＝b﹣3，得到3a＝b
C．由m＝n，得到am＝an D．由am＝an，得到m＝n
【思路点拨】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
【答案】解：A、等式的两边都减2，等式仍成立，故这个选项不符合题意；
B、等式的两边都加3，等式仍成立，故这个选项不符合题意；
C、等式的两边都乘以a，等式仍成立，故这个选项不符合题意；
D、a＝0，两边都除以a无意义，等式不一定成立，故这个选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
5．（2021 台州期中）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣5＝2b B．3ac＝2bc+5 C．3a+1＝2b+6 D．
【思路点拨】根据等式的性质即可求出答案．
【答案】解：（A）等式的两边同时减去5即可成立；（C）等式的两边同时加上1即可成立；
（D）等式的两边同时除以3即可成立；故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
考向3. 解一元一次方程
【典例精析】
【例】（2020·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江温州市·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．
【详解】解：,，故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．
变式3-2. （2021 江干区期末）解方程
（1）2（2x﹣1）＝1﹣（3﹣x） （2）
【思路点拨】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括号得：4x﹣2＝1﹣3+x，
移项合并同类项得：3x＝0，系数化为1：x＝0；
（2）原方程可化为﹣＝1，
方程左右两边同时乘以21得，70x﹣30（2x﹣1）＝21，去括号得：70x﹣60x+30＝21，
移项并合并同类项得：10x＝﹣9，∴x＝﹣．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．
变式3-3. （2021·浙江衢江·一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2），过程见解析．
【分析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；（2）注意改正错误，按以上步骤进行即可．
【详解】解：（1）方程两边同乘6，得①
∴从第①步开始已经出现错误，故答案是①；
（2）解： 方程两边同乘6，得
去括号，得，合并同类项，得，
移项，合并计算得 解得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，熟悉相关解法是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）方程2x﹣1＝5x+14的解是 ______．
【答案】x＝﹣5
【分析】方程移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：2x﹣1＝5x+14，移项，得2x﹣5x＝14+1，
合并同类项，得﹣3x＝15，系数化为1，得x＝﹣5．故答案为：x＝﹣5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）下列方程求解正确的是（ ）
A．3x－5x＝－1的解是x＝－ B．2x－x＝－2－3的解是x＝1
C．－x－x＝3的解是x＝－ D．6x－3x＝－2的解是x＝－
【答案】C
【分析】根据解一元一次方程的步骤分别求解即可；
【详解】，解得：，故A错误；，解得：，故B错误；
－x－x＝3，解得x＝－，故C正确；，解得，故D错误；故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的计算，准确计算是解题的关键．
3.（2020 衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　 　．
【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．
【详解】解；将方程移项得，2x＝2，系数化为1得，x＝1．故答案为：1．
4．（2021·浙江杭州·一模）老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小虎进行解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：．第一步
．第二步
．第三步
．第四步
．第五步
①上面的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______________；
②“第一步”变形的依据是____________；③请直接写出该方程正确的解．
【答案】①1；常数项没有乘10；②等式的基本性质；③；
【分析】根据一元一次方程的解题步骤判断即可；
【详解】，
解：．第一步
．第二步
．第三步
．第四步
．第五步
①上面的解题过程从第1步开始出现错误，错误的原因是常数项没有乘10；
②“第一步”变形的依据是等式的基本性质；
③；
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键．
5．（2021 萧山区月考）解方程：（1）2（x+8）＝3x﹣1（2）
【思路点拨】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括号得：2x+16＝3x﹣1，移项合并得：x＝17；
（2）去分母得：5x﹣5＝10﹣6x﹣4，
移项合并得：11x＝11，解得：x＝1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考向4.一元一次方程的应用（一）
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】用a表示出x，根据x为整数，即可推知a的值．
【详解】解：， 解得x=28-2a,
为正整数，x也为正整数，且a为整数 ∴a的最大值为13.故选：B.
【点睛】考查了含字母系数的一元一次方程，用a表示出x，根据“整数”这一条件进行推理是解题的关键．
【变式训练】
变式4-1. （2021 象山县期末）某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2，则a的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．1
【思路点拨】把x＝﹣2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【答案】解：把x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13，解得：a＝3，故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式4-2. （2021·浙江萧山·中考模拟）小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【详解】设这个数是a，把x=5代入得：（-2+5）=1-，∴1=1-，解得：a=5．故选D．
【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程是解此题的关键．
变式4-3.（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x的一元一次方程+5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2019（5﹣y）﹣m的解为_____．
【答案】2023
【分析】方程可整理得： ，则该方程的解为x＝2018，方程可整理得：，令n＝5﹣y，则原方程可整理得：，则n＝﹣2018，得到关于y的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：根据题意得：方程可整理得： ，
则该方程的解为x＝2018，方程可整理得：，
令n＝5﹣y，则原方程可整理得：，
则n＝﹣2018，即5﹣y＝﹣2018，解得：y＝2023，故答案为2023．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021江苏宿迁·中考模拟）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设所缺的部分为x，则2y+y-x，把y=-代入，求得x=2．故选B．
2．（2021·浙江·九年级阶段练习）小颖按如图所示的程序输入一个正整数x，输出结果为656，则满足条件的x的值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】由题意得，5x+1=656，解得x=131，5x+1=131，解得x=26，
5x+1=26，解得x=5，5x+1=5，解得x=（不符合），
所以，满足条件的x的不同值有3个．故选B．
3．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为___．
【答案】
【分析】先把﹣5＝2020（10﹣y）﹣m化为再结合已知方程的解可得从而可得答案.
【详解】解： ﹣5＝2020（10﹣y）﹣m，
关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的特殊解法，掌握“整体未知数的方法”是解本题的关键.
4．（2021·浙江·九年级专题练习）若关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是_________．
【答案】-7
【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出a的值，计算即可．
【详解】 去分母得6x 4＋ax＝x＋4 6
移项、合并同类项得（5＋a）x＝2，x＝，
∵解是正整数，∴a＝ 4、 3，则符合条件的所有整数a的和是-7．故答案为：-7．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
5．（2020·河南孟津·初一期中）阅读以下例题：
解方程：|3x|＝1，
解：①当3x≥0时，
原方程可化为一元一次方程3x＝1，
解这个方程得x＝；
②当3x＜0时，
原方程可化为一元一次方程﹣3x＝1，
解这个方程得x＝﹣．
所以原方程的解是x＝或x＝﹣．
（1）仿照例题解方程：|2x+1|＝3．
（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1满足：
①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】（1）x＝1或x＝﹣2；（2）当b＜﹣1时，方程无解；当b＝﹣1时，方程只有一个解；当b＞﹣1时，方程有两个解．
【分析】（1）仿照例题分情况讨论：①当2x+1≥0时，②当2x+1＜0时，化简绝对值，解关于x的一元一次方程即可求解；（2）|x﹣2|≥0恒成立，①若无解，则b+1＜0，解不等式即可求解；②若只有一个解，则b+1＝0，求解即可；③若有两个解，则b+1＞0，解不等式即可求解．
【详解】解：（1）①当2x+1≥0时，
原方程可化为一元一次方程2x+1＝3，解这个方程得x＝1；
②当2x+1＜0时，原方程可化为一元一次方程﹣2x﹣1＝3，解这个方程得x＝﹣2；
所以原方程的解是x＝1或x＝﹣2；
（2）因为|x﹣2|≥0，所以①当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
②当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
③当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．
【点睛】本题考查解绝对值方程，理解题意是解题的关键．
考向5. 一元一次方程的应用（二）
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可直接列出方程进行排除选项即可．
【详解】解：由题意得：；故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
【变式训练】
变式5-1.（2020 绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　　元．
【分析】可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．
【详解】解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，x﹣20+x＝150，解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，x﹣20+x﹣30＝150，解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．故答案为：100或85．
变式5-2.（2021 台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【分析】（1）先求出药液流速为5毫升/分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；（2）可设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解．
【详解】解：（1）250﹣75÷15×10＝250﹣50＝200（毫升）．
故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；
（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有
（t﹣20）＝160，解得t＝60．故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
变式5-3. （2021·浙江鹿城·二模）某厂家生产甲，乙两款机器人，为测试机器人性能，两机器人在同一起点出发，沿直线跑道上匀速行走，两款机器人上都有实时统计步数的显示器（机器人每走1步，显示器上步数累计加1）．已知甲，乙机器人的步距分别为0.4m，0.5m（步距是指每一步的距离），运动过程中的时刻和步数如下：
出发时刻 出发时显示器中已显示的步数 9：05时显示器中显示的步数
甲 9：00 170
乙 9：00 220
已知当9：05时，乙比甲多走了5m．（1）求表中的值．（2）9：05后，甲机器人按原速度继续沿直线行走，乙机器人再行走分钟后（为整数）往回走（转身时间忽略不计），相遇时两机器人同时停止行走．①现计划乙机器人往回走的路程不超过10m，求的最大值．②为保证9：11时两机器人恰好相遇，将乙每分钟步数增加m步，求相遇时乙机器人显示器上显示的步数．
【答案】（1）；（2）①14；②
【分析】（1）根据表格表示出甲机器人走了（a 170）步，乙机器人走了（a 220）步，根据“当9：05时，乙比甲多走了5m．”列出方程即可求解；（2）①设乙往回走x米，甲，乙各走了分钟，则甲要走米，乙往前走了25t米，根据乙机器人往回走的路程不超过10m，求出t的最大值；②设乙往回走了（6 t）分钟，根据相遇列出方程，根据m和t都是整数求解．
【详解】解：（1）由题意得，甲机器人走了步，乙机器人走了步，
∴，解得．
（2）由（1）得，甲每分钟走米，乙每分钟走米，
设乙往回走x米，甲，乙各走了分钟，则甲要走米，
乙往前走了米，∴，即，∵，∴，∴最大为14．
（3）乙往回走了分钟，∴，
即，∵和是整数，∴，．
∴接下来6分钟乙走了．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后设出未知数列出方程．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江开化·一模）某学校组织师生去衢州市中小学素质教育实践学校研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
【详解】解：根据总人数列方程，应是45m+15=50（m-1），
根据客车数列方程，应该为：．
①4；④，都正确，故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
2．（2021·浙江余杭·三模）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为元/件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用利润＝标价折扣率－成本价，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：依题意得：，故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2021·浙江·杭州市二模）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得个橘子，依题意可列方程为__________．
【答案】，或
【分析】设中间的那个人分得个橘子，根据题意第一个人分（x-6）个，第二个人分（x-3）个，第三个人分x个，第四个人分（x+3）个，第五个人分（x+6）个，将几个人的数量相加等于60即可．
【详解】设中间的那个人分得个橘子，
根据题意得或，
故答案为：，或．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意恰当设中间的那个人分得个橘子是解题的关键．
4．（2021·浙江下城·一模）甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙烧杯中的酒精的2倍，则（ ）
A．432＝2（96＋x） B．432－x＝2×96 C．432－x＝2（96＋x） D．432＋x＝2（96－x）
【答案】C
【分析】根据题意可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意可得方程为：432－x＝2（96＋x）；故选C．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，正确理解题意、准确列出方程是解题的关键．
5．（2021·浙江·杭州育才中学二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用多少小时？（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
【答案】（1）4小时；（2）线段AB的函数表达式为：E1＝40t+20，线段AC的函数表达式为：E2＝t+20；（3）
【分析】（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需要2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，即可求解；（2）利用待定系数法可求解析式；（3）由“充电-耗电-充电”的时间恰好是6h，列出方程可求解；
【详解】（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，∴用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；
（2）设线段AB的函数表达式为，将（0，20），（2，100）代入 ，可得 ，
∴线段AB的函数表达式为： ；
设线段AC的函数表达式为，将（0，20），（6，100）代入，
可得 ，∴线段AC的函数表达式为： ＝t+20；
（3）根据题意，得×（6﹣2﹣a）＝10a，解得a＝．答：a的值为 ．
【点睛】本意考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次方程的应用，求出解析式是本题的关键；
考向6. 一元一次方程的新定义问题
【典例精析】
【例】（2022·浙江·九年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
【答案】
【分析】分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】解：当时，，即，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，即，解得，
当时，，即，解得（不符合题意，舍去），
综上所述，，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键．
【变式训练】
变式6-1. （2020·浙江婺城·三模）约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图2中，当y＝﹣2时，n的值为_____．
【答案】1
【分析】根据约定，可以用含x的式子表示出m、n，再用x的代数式表示出y，进而可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，从而可得n的值．
【详解】解：由图可得，m＝x+2x＝3x，n＝2x+3，y＝m+n，
∵y＝﹣2，∴3x+（2x+3）=﹣2，解得：x＝﹣1，
∴n＝2x+3＝2×(﹣1)+3＝﹣2+3＝1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解约定的运算法则、熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
变式6-2. （2021·浙江柯桥·一模）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值是（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】D
【分析】如图，A=P-10，C=x，求得E=P+x-17，D=P-x-7，由3+D+E=P，列式求解即可．
【详解】解：如图，
由题意得：A=P-10，设C=x，∴B=P-A-C=P-(P-10)-x=10-x，
∵B+7+E=P，∴E=P-B-7=P-(10-x)-7=P+x-17，∵C+7+D=P，∴D=P-C-7=P-x-7，
又∵3+D+E=P，∴3+P-x-7+P+x-17=P，整理得：2P-21=P，∴P=21．故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力．
变式6-3. （2021·浙江·九年级专题练习）定义运算“”：对于任意有理数a和b，规定，如．（1）求的值；（2）若，求a的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据新定义运算法则转化成我们熟悉的有理数的混合运算，进行计算即可得解；
（2）根据新定义运算法则转化成我们熟悉的一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：（1）∵对于任意有理数和，规定
∴．
（2）∵∴
∴∴∴∴∴的值为．
【点睛】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算、解一元一次方程等，正确理解新定义运算法则是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【详解】解：由题意知：，
又，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
2．（2020·湖北随州市·中考真题）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
【答案】9
【分析】本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m．
【详解】设第一方格数字为x，最后一格数字为y，如下图所示：由已知得：x+7+2=15，故x=6；
因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；又因为2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；故答案为：9．
【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
3．（2020·江苏盐城市·中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y解得y=6
∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
4．（2020·湖北中考真题）对于实数，定义运算．若，则_____．
【答案】
【分析】根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
5．（2019·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．
(2)如果一个数列，，，…，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：，，，…，，…．
所以，，，……，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：(______)d．
(3)是不是等差数列，，…的项？如果是，是第几项？
【答案】(1)5；25；(2)；(3)-4041是等差数列，，…的项，它是此数列的第2019项．
【分析】(1)根据公差的定义进行求解可得答案，继而根据等差数列的定义即可求得第5项；
(2)，，与和的关系即可求得答案；(3)根据题意先求出通项公式，继而可求得答案.
【详解】(1)根据题意得，；
，，，故答案为5；25．
(2), ，，……
，故答案为；
(3)根据题意得，等差数列，，…的项的通项公式为：，
则，解之得：，
是等差数列，，…的项，它是此数列的第2019项．
【点睛】本题考查的是阅读理解题，涉及了规律型——数字的变化类、一元一次方程的应用等知识，弄清题意，根据题中的概念以及方法进行求解是关键.
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第5节 一元一次方程
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 绍兴期末）将一元一次方程去分母后，得（　　）
A．2x﹣x﹣2＝4 B．2x﹣x+2＝1 C．2x﹣（x﹣2）＝4 D．2x﹣（x﹣2）＝1
【思路点拨】方程两边乘以4去分母得到结果，即可作出判断．
【答案】解：去分母得：2x﹣（x﹣2）＝4，故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
2．（2021·四川南充·中考模拟）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
3．（2021·浙江·九年级专题练习）已知（a﹣2）x|a|﹣1＝﹣2是关于x的一元一次方程，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±1
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】∵是关于x的一元一次方程，∴a－2≠0，|a|—1=1，解得：a=—2，故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
4．（2021·安徽中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
5．（2021·浙江丽水·模拟预测）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
【详解】解：设“□”内数字为x，根据题意可得：3×（20+x）+5=10x+2．故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
6．（2021·浙江余杭·二模）笼中有鸡兔共25只，且有60只脚，设鸡有x只，则可列方程为（　　）
A．2x+4x＝6 B．2x+2（25﹣x）＝60 C．4x+4（25﹣x）＝60 D．2x+4（25﹣x）＝60
【答案】D
【分析】根据鸡有只，则兔有，在根据笼中鸡兔共有60只脚，即可列出关于的一元一次方程．
【详解】解：∵设鸡有x只，则兔有（25﹣x）只，依题意得：2x+4（25﹣x）＝60．故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
7．（2020·浙江·一模）车队运送一批货物．若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：；乙：；丙：；丁：．其中所列方程正确的是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【答案】A
【分析】设这个车队有x辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程．设这批货物有y吨, 根据题意可知等量关系为：两种装法货物的车数差1辆，据此列方程．
【详解】设该车队有x辆车，则，故甲正确，乙错误；
设这批货物有y吨,则故丙正确，丁错误；所以甲、丙正确；故选A
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．（2021·浙江临安·一模）方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设他推车步行的时间为分钟，骑自行车上学时间为（15-）分钟，利用等量关系步行路程+骑自行车路程=2900列方程即可．
【详解】解：设他推车步行的时间为分钟，骑自行车上学时间为（15-）分钟，
根据题意得：80x+250（15-）=2900,变形得：250（15-x ）=2900-80x,．故选择：A．
【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程的方法，关键是抓住步行路程+骑自行车路程=2900．
9．（2021·浙江新昌·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“大马拉瓦+小马拉瓦=100”可以列出方程 ．
【详解】解：设大马有 x 匹，则由题意可得：，故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握列方程的方法是解题关键．
10．（2021·江苏泰州市·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】A
【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断．
【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足，
即，解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，即，
解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，即，
解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；故选项D错误；故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键．
二、填空题
11．（2021·浙江·九年级专题练习）当a__时，方程（a+1）x+＝0是关于x的一元一次方程．
【答案】≠﹣1
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【详解】解：由一元一次方程的特点得a+1≠0，解得：a≠﹣1．故答案是：a≠﹣1．
【点睛】解题的关键是根据一元一次方程的定义，未知数x的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解题．
12．（2021·重庆中考真题）方程的解是__________．
【答案】
【分析】按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可．
【详解】解：，去括号得，，移项得，，
系数化为1得，，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用一元一次方程的解法解方程．
13．（2021·山东枣庄市·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
【答案】1
【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，由题意，图中①表示的数是，
图中②表示的数是，则，解得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键．
14.（2021·浙江温州·一模）关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是________．
【答案】2
【分析】根据方程的解是，求得a，把a的值代入，转化为新的一元一次方程，求解即可
【详解】∵方程的解是，∴2a=a+1+6，解得a=7，
∴方程变形为：14（x-1）=8（x-1）+6，
∴6（x-1）=6，∴x-1=1，∴x=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，灵活运用方程的解代入求值，转化为新方程求解是解题的关键．
15．（2021·浙江上城·二模）如图，桌面上有一根笔直的杆AD，杆AD的质量不计．杆两端A，D悬挂两个物体，其中一个物体的质量为10kg，已知AB＝BC＝60cm，CD＝40cm．当另一物体过重或过轻时，杆AD都会向一端倾斜．要保持杆水平静止不动，则另一个物体质量m的取值范围是___．
【答案】6≤m≤30
【分析】根据平衡的原理可知“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，当以C为支点处于平衡时，则10（AB+BC）=mCD，当以B为支点处于平衡时，则10AB=m（BC+CD），分别计算出m的值，从而可以得到m的取值范围．
【详解】解：由题意可得，当以C为支点处于平衡时，10×（60+60）=40m，解得m=30，
当以B为支点处于平衡时，10×60=（60+40）m，解得m=6，
由上可得，另一个物体质量m的取值范围是6≤m≤30，故答案为：6≤m≤30．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确动力×动力臂=阻力×阻力臂，然后利用分类讨论的方法求出m的值．
16．（2021·浙江杭州·模拟预测）一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，则这次考试规定的及格分数是________．
【答案】分．
【分析】本题中的相等关系是：及格的总得分+不及格的总得分=全体考生的总分，根据此关系列方程求解．
【详解】解：设考生人数为a人，及格分数为x分．
则：解得：x=75．
答：这次考试规定的及格分数是75分．故答案为：分．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，平均数意义的理解，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
17．（2021·湖南邵阳市·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱．
【答案】53
【分析】设人数为，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．
【详解】解：设一共有人由题意得：解得：
所以价值为：（钱）故答案是：53．
【点睛】本题考察一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示．
18．（2021·江苏扬州市·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．
【答案】20
【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，
依题意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，∴快马20天追上慢马，故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题
19．（2020·凉山州·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
20．（2020·山西中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．
【答案】该电饭煲的进价为元
【分析】根据满元立减元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
【详解】解：设该电饭煲的进价为元
根据题意，得解，得．
答；该电饭煲的进价为元
【点睛】本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．
21．（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米．
【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，由题意得：，解得，
则（千米），（千米），
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；
（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米），
乙工程队每天对其施工的长度（千米），
设甲工程队后期每天施工千米，则，
解得，即，答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
22．（2021 龙湾区模拟）从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车的平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【思路点拨】（1）设高铁的行驶路程为x千米，则普通列车的行驶路程为1.3x千米，根据“普通列车的行驶路程+高铁的行驶路程＝920千米”列出方程并解答．
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【答案】解：（1）设高铁的行驶路程为x千米，则普通列车的行驶路程为1.3x千米，
依题意得：x+1.3x＝920解得x＝400．所以1.3x＝520（千米）
答：普通列车的行驶路程是520千米；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：
﹣＝3，解得：x＝120，经检验x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），
答：高铁的平均速度是300千米/时．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．注意：解分式方程时要注意检验．
23．（2020·浙江海曙·模拟预测）如图1是两圆柱形连通容器，两根铁棒直立于甲容器底部（连通处及铁棒体积忽略不计），向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）与时间t（分）的函数关系如图2所示．已知两根铁棒的长度之和为34cm，当水面达到连通处时，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．（1）①图2中（3，a）表示的实际意义是 　；②请求出a的值；
（2）若甲、乙两容器的底面积之比为S甲，S乙＝3：2．①直接写出b的值为　　；②求点P的坐标．
【答案】（1）①注水3分钟后甲容器的水面高度达到联通处；②a＝12；（2）①5；②（6，）．
【分析】（1）①根据图示表示的意义解答即可；②根据题意列出方程解答即可；
（2）①根据图示得出B的值即可；②根据题意得出比例关系解答即可．
【详解】解：（1）①（3，a）表示的实际意义是注水3分钟后甲容器的水面高度达到联通处；
②由题意，两根铁棒长度分别为，，
可得：，解得：a＝12，
（2）①b＝5；②由题意b+1＝6，5分钟时甲乙容器的水面高度都达到联通处，此时水面高为12，
设S甲＝3k，S乙＝2k，则每分钟注水体积，
∴6分钟时水面高为，∴即点P的坐标为（6，）．
故答案为：注水3分钟后甲容器的水面高度达到联通处；5．
【点睛】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是根据图示得出方程进行分析解答．
24．（2021·浙江宁波·二模）用21张长，宽的硬纸板，做长、宽、高分别是的长方体盒子（如图1），如图2，长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示．硬纸板有如图的三种裁剪方法（边角料不再利用）．
方法：剪2个盒身；方法：剪1个盒身和5个底面；
方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）
（1）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
【答案】（1）30个；（2）31个．
【分析】（1）设张硬纸板用方法，则张用方法，根据长方形的性质及底面的个数关系列一元一次方程即可解题；（2）根据题意，由盒底与盒身的数量关系解题．
【详解】解：（1）设张硬纸板用方法，则张用方法，则
∴，∴．
答：最多可以做30个盒子．
（2）一张用方法，一张用方法，可以做3个盒子，这样算一组21张纸共有10组，可以做30个盒子，还剩一张做方法可以做1个盒子，故一共可以做31个盒子．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找出等量关系是解题关键．
25．（2021·浙江东阳·一模）五一假期，某旅行团32人在秦王宫景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人．（1）求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去清明上河图景区游玩，清明上河图景区的门票价格为160元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童．
①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1400元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？求所有满足条件的方案．
【答案】（1）该旅行团中成人有22人，儿童有10人；（2）①所需门票的总费用为1440元；②安排5或6或7名成人带队；
【分析】（1）设该旅行团中成人有x人，儿童有（x-12）人，然后根据题意可列出方程进行求解即可；（2）①根据题意可得有8名儿童可免费进入，另外的儿童则需购买门票，进而问题可求解；②设可以安排y名成人带队，则根据题意可得不等式，然后求解，最后根据一个成人最多监护两个儿童即可求解问题．
【详解】解：（1）设该旅行团中成人有x人，儿童有（x-12）人，由题意得：，
解得：，∴儿童的人数为22-12=10人；
答：该旅行团中成人有22人，儿童有10人．
（2）①由（1）及题意得：（元），
答：所需门票的总费用为1440元．
②设可以安排y名成人带队，由题意得：，解得：，
∵一个成人最多监护两个儿童，∴，且y为正整数，∴y的值为5、6、7；
答：可以安排5名或6名或7名成人带队．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用及一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用及一元一次方程的应用是解题的关键．
26．（2021·浙江鄞州·一模）有、、三个港口在同一条直线上，甲船从港出发匀速行驶，到港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达港；乙船从港出发匀速行驶到达港．设甲船行驶后，甲船与港的距离为，乙船与港的距离为，下表记录某些时刻与的对应值，与的关系如图所示．
0 0.5 1 2 3 4 4.5 …
60 45 30 0 0 30 45 …
（1）甲船的行驶速度是______，乙船的行驶速度是______.（2）在图中画出与的图象；（3）当甲船与乙船到港口的距离相等时，求乙船行驶的时间．
【答案】（1），；（2）作图见解析；（3）当乙船离开港口和时，甲船和乙船到港口的距离相等．
【分析】（1）根据表中的数据可得甲船的行驶速度，根据函数图象的数据可得乙船的行驶速度；
（2）根据表格中的数据，结合题意描出相关点，即可画出（km）与（h）的图象；
（3）设甲船从港口出发的时间为．再分两种情况讨论，①当甲船未到港口前， ②当甲船已过港并离开后，再列方程求解即可．
【详解】解：（1）由表格信息可得：甲船的行驶速度是，
由函数图像可得：乙船的行驶速度是．故答案为： ，
（2）根据表格描点，作图如下：
（3）设甲船从港口出发的时间为．
①当甲船未到港口前，，解得；
②当甲船已过港并离开后，解得；
综上，当乙船离开港口和时，甲船和乙船到港口的距离相等．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，画一次函数的图形，从函数图像与表格中获取信息，结合一元一次方程解决行程问题，掌握数形结合与分类讨论是解题的关键．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第5节 一元一次方程
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 绍兴期末）将一元一次方程去分母后，得（　　）
A．2x﹣x﹣2＝4 B．2x﹣x+2＝1 C．2x﹣（x﹣2）＝4 D．2x﹣（x﹣2）＝1
2．（2021·四川南充·中考模拟）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．（2021·浙江·九年级专题练习）已知（a﹣2）x|a|﹣1＝﹣2是关于x的一元一次方程，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±1
4．（2021·安徽中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江丽水·模拟预测）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江余杭·二模）笼中有鸡兔共25只，且有60只脚，设鸡有x只，则可列方程为（　　）
A．2x+4x＝6 B．2x+2（25﹣x）＝60 C．4x+4（25﹣x）＝60 D．2x+4（25﹣x）＝60
7．（2020·浙江·一模）车队运送一批货物．若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：；乙：；丙：；丁：．其中所列方程正确的是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
8．（2021·浙江临安·一模）方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·浙江新昌·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏泰州市·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
二、填空题
11．（2021·浙江·九年级专题练习）当a__时，方程（a+1）x+＝0是关于x的一元一次方程．
12．（2021·重庆中考真题）方程的解是__________．
13．（2021·山东枣庄市·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
14.（2021·浙江温州·一模）关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是________．
15．（2021·浙江上城·二模）如图，桌面上有一根笔直的杆AD，杆AD的质量不计．杆两端A，D悬挂两个物体，其中一个物体的质量为10kg，已知AB＝BC＝60cm，CD＝40cm．当另一物体过重或过轻时，杆AD都会向一端倾斜．要保持杆水平静止不动，则另一个物体质量m的取值范围是___．
16．（2021·浙江杭州·模拟预测）一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，则这次考试规定的及格分数是________．
17．（2021·湖南邵阳市·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱．
18．（2021·江苏扬州市·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．
三、解答题
19．（2020·凉山州·中考真题）解方程：
20．（2020·山西中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．
21．（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
22．（2021 龙湾区模拟）从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车的平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
23．（2020·浙江海曙·模拟预测）如图1是两圆柱形连通容器，两根铁棒直立于甲容器底部（连通处及铁棒体积忽略不计），向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）与时间t（分）的函数关系如图2所示．已知两根铁棒的长度之和为34cm，当水面达到连通处时，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．（1）①图2中（3，a）表示的实际意义是 　；②请求出a的值；
（2）若甲、乙两容器的底面积之比为S甲，S乙＝3：2．①直接写出b的值为　　；②求点P的坐标．
24．（2021·浙江宁波·二模）用21张长，宽的硬纸板，做长、宽、高分别是的长方体盒子（如图1），如图2，长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的矩形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线阴影部分表示．硬纸板有如图的三种裁剪方法（边角料不再利用）．
方法：剪2个盒身；方法：剪1个盒身和5个底面；
方法：剪2个盒身和1个底面（2个灰色部分拼成1个盒身）
（1）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
（2）如果只用两种裁剪方法，最多可以做几个盒子？
25．（2021·浙江东阳·一模）五一假期，某旅行团32人在秦王宫景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人．（1）求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去清明上河图景区游玩，清明上河图景区的门票价格为160元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童．
①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1400元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？求所有满足条件的方案．
26．（2021·浙江鄞州·一模）有、、三个港口在同一条直线上，甲船从港出发匀速行驶，到港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达港；乙船从港出发匀速行驶到达港．设甲船行驶后，甲船与港的距离为，乙船与港的距离为，下表记录某些时刻与的对应值，与的关系如图所示．
0 0.5 1 2 3 4 4.5 …
60 45 30 0 0 30 45 …
（1）甲船的行驶速度是______，乙船的行驶速度是______.（2）在图中画出与的图象；（3）当甲船与乙船到港口的距离相等时，求乙船行驶的时间．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第5节 一元一次方程
【考试要求】
1.了解方程、一元一次方程相关概念，掌握等式的基本性质，并能应用等式的性质进行等式变形；
2.掌握解一元一次方程的一般步骤并能解一元一次方程，理解的解的意义；
3.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，解决生活中的实际问题.
【考情预测】
一元一次方程主要以考查一元一次方程的相关概念和解一元一次方程及应用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为10分左右。预计2022年各地中考还将继续考查各种一元一次方程的解法和应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1．有关概念：(1)方程是指含有未知数的等式．
(2)只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
3.等式的性质：（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数或式，所得结果仍是等式；
（2）等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
4．解一元一次方程的步骤：
(1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘．
(2)去括号：注意括号前的系数与符号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号．
(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得x＝．
5．一元一次方程的实际应用：列方程(组)解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程 ；⑤求出方程的解；⑥验根并作答．
【重难点突破】
考向1. 一元一次方程的有关概念
【典例精析】
【例】（2021·浙江·中考模拟）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江·九年级专题练习）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A．3x+2y=6 B．4x-2=x+1 C．x2+2x-1=0 D．-3=
变式1-2．（2021·湖南湘西·中考模拟）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为______.
变式1-3．（2021·福建中考模拟）若x=2是关于x的一元一次方程ax－2=b的解，则3b－6a+2的值是( ).
A．－8 B．－4 C．8 D．4
【考点巩固训练】
1.（2021 嘉兴期中）下列方程属于一元一次方程的是（　　）
A．＝4 B．3x﹣2y＝1 C．1﹣x2＝0 D．3x＝4
2．（2021 诸暨市期末）若方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，则a的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
3．（2021 慈溪市期末）已知关于x方程x﹣2（x﹣a）＝3的解为x＝﹣1，则a的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
4．（2021 杭州一模）已知﹣2是关于x的方程2x+a＝1的解，则a＝　5　．
5．（2021·浙江·九年级专题练习）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
考向2. 等式的基本性质
【典例精析】
【例】（2021·浙江萧山·一模）已知2a＝3b，则（　　）
A．2a+2＝3b+3 B．a＝b C． D．2a2＝3b2
【变式训练】
变式2-1. （2022·浙江·九年级专题练习）下列变形符合等式性质的是（　　）
A．如果2x﹣3＝7，那么2x＝7﹣3 B．如果，那么x＝﹣3
C．如果﹣2x＝5，那么x＝5+2 D．如果3x﹣2＝x+1，那么3x﹣x＝1﹣2
变式2-2. （2022·浙江·九年级专题练习）根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a＝0，b＝0
变式2-3. （2022·浙江·九年级专题练习）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么a=b B．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= y D．如果a=b，那么
【考点巩固训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．由3x+5＝7，得3x＝﹣2 B．由3x﹣2＝2，得3x＝4
C．由﹣3x＝6，得x＝2 D．由，得x＝6
2．（2021·浙江·九年级专题练习）若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　）
A．a﹣b+2＝0 B．3﹣a＝b﹣1 C．2a＝2b+2 D．
3．（2021 杭州）设x，y，c是实数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
4．（2021 仙居县期末）下列等式变形中不正确的是（　　）
A．由x+2＝y+2，得到x＝y B．由3a﹣3＝b﹣3，得到3a＝b
C．由m＝n，得到am＝an D．由am＝an，得到m＝n
5．（2021 台州期中）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣5＝2b B．3ac＝2bc+5 C．3a+1＝2b+6 D．
考向3. 解一元一次方程
【典例精析】
【例】（2020·浙江杭州市·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江温州市·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2. （2021 江干区期末）解方程
（1）2（2x﹣1）＝1﹣（3﹣x） （2）
变式3-3. （2021·浙江衢江·一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；（2）请写出正确的解答过程．
【考点巩固训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）方程2x﹣1＝5x+14的解是 ______．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）下列方程求解正确的是（ ）
A．3x－5x＝－1的解是x＝－ B．2x－x＝－2－3的解是x＝1
C．－x－x＝3的解是x＝－ D．6x－3x＝－2的解是x＝－
3.（2020 衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　 　．
4．（2021·浙江杭州·一模）老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小虎进行解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：．第一步
．第二步
．第三步
．第四步
．第五步
①上面的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______________；
②“第一步”变形的依据是____________；③请直接写出该方程正确的解．
5．（2021 萧山区月考）解方程：（1）2（x+8）＝3x﹣1（2）
考向4.一元一次方程的应用（一）
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式训练】
变式4-1. （2021 象山县期末）某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2，则a的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．1
变式4-2. （2021·浙江萧山·中考模拟）小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式4-3.（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x的一元一次方程+5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2019（5﹣y）﹣m的解为_____．
【考点巩固训练】
1．（2021江苏宿迁·中考模拟）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·浙江·九年级阶段练习）小颖按如图所示的程序输入一个正整数x，输出结果为656，则满足条件的x的值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为___．
4．（2021·浙江·九年级专题练习）若关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是_________．
5．（2020·河南孟津·初一期中）阅读以下例题：
解方程：|3x|＝1，
解：①当3x≥0时，
原方程可化为一元一次方程3x＝1，
解这个方程得x＝；
②当3x＜0时，
原方程可化为一元一次方程﹣3x＝1，
解这个方程得x＝﹣．
所以原方程的解是x＝或x＝﹣．
（1）仿照例题解方程：|2x+1|＝3．
（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1满足：
①无解；②只有一个解；③有两个解．
考向5. 一元一次方程的应用（二）
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为（），则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式5-1.（2020 绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是
　　元．
变式5-2.（2021 台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
变式5-3. （2021·浙江鹿城·二模）某厂家生产甲，乙两款机器人，为测试机器人性能，两机器人在同一起点出发，沿直线跑道上匀速行走，两款机器人上都有实时统计步数的显示器（机器人每走1步，显示器上步数累计加1）．已知甲，乙机器人的步距分别为0.4m，0.5m（步距是指每一步的距离），运动过程中的时刻和步数如下：
出发时刻 出发时显示器中已显示的步数 9：05时显示器中显示的步数
甲 9：00 170
乙 9：00 220
已知当9：05时，乙比甲多走了5m．（1）求表中的值．（2）9：05后，甲机器人按原速度继续沿直线行走，乙机器人再行走分钟后（为整数）往回走（转身时间忽略不计），相遇时两机器人同时停止行走．①现计划乙机器人往回走的路程不超过10m，求的最大值．②为保证9：11时两机器人恰好相遇，将乙每分钟步数增加m步，求相遇时乙机器人显示器上显示的步数．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江开化·一模）某学校组织师生去衢州市中小学素质教育实践学校研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2021·浙江余杭·三模）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为元/件，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·杭州市二模）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得个橘子，依题意可列方程为__________．
4．（2021·浙江下城·一模）甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙烧杯中的酒精的2倍，则（ ）
A．432＝2（96＋x） B．432－x＝2×96 C．432－x＝2（96＋x） D．432＋x＝2（96－x）
5．（2021·浙江·杭州育才中学二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用多少小时？（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
考向6. 一元一次方程的新定义问题
【典例精析】
【例】（2022·浙江·九年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
【变式训练】
变式6-1. （2020·浙江婺城·三模）约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图2中，当y＝﹣2时，n的值为_____．
变式6-2. （2021·浙江柯桥·一模）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值是（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
变式6-3. （2021·浙江·九年级专题练习）定义运算“”：对于任意有理数a和b，规定，如．（1）求的值；（2）若，求a的值．
【考点巩固训练】
1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
2．（2020·湖北随州市·中考真题）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
3．（2020·江苏盐城市·中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖北中考真题）对于实数，定义运算．若，则_____．
5．（2019·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．
(2)如果一个数列，，，…，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：，，，…，，…．
所以，，，……，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：(______)d．
(3)是不是等差数列，，…的项？如果是，是第几项？
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