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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第6节 二元一次方程（组）
【考试要求】
1.了解二元一次方程及方程组得概念；
2.掌握代入消元法和加减消元法，会解二元一次方程组；
3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决生活中的实际问题.
【考情预测】
本板块内容以考查解二元一次方程组的解法、二元一次方程的应用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解二元一次方程组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为10分左右。预计2022年各地中考还将继续考查方程组的解法和应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1. 二元一次方程（组）的概念
（1）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程.
(2) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
2.解二元一次方程组的一般方法
解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法．
(1)代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解.
（2）加减消元法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解.
3．二元一次方程组的实际应用：
列方程组解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程组 ；⑤求出方程组的解；⑥验根并作答．
【重难点突破】
考向1. 二元一次方程组的有关概念
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级期中）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：|m|=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1，且m-1≠0，解得：m= -1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】A、不是整式方程，故此选项错误；B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
C、含有三个未知数，故此选项错误；D、未知数的次数是2，故此选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
变式1-2．（2022·浙江·九年级专题练习）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣xy＝1 B．x2﹣y﹣2x＝1 C．3x﹣y＝1 D．﹣2y＝1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A、x﹣xy＝1含有两个未知数，但未知数的最高次数是2次，∴x﹣xy＝1不是二元一次方程；
B、x2﹣y﹣2x＝1含有两个未知数．未知数的最高次数是2次，∴x2﹣y﹣2x＝1不是二元一次方程；
C、3x﹣y＝1含有两个未知数，未知数的最大次数是1次，∴3x﹣y＝1是二元一次方程；
D、﹣2y＝1含有两个未知数，但分母上含有未知数，不是整式方程，∴﹣2y＝1不是二元一次方程．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
变式1-3．（2021 西湖区校级月考）已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y＝1，则k＝　　时，它是关于x，y的二元一次方程．
【思路点拨】根据二元一次方程含未知数的项的次数为1，系数不为0可求得k的值．
【答案】解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y＝1是二元一次方程，∴|k|﹣1＝1，k﹣2≠0．解得：k＝﹣2
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·九年级月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x2+y＝1 B．x﹣＝1 C．﹣y＝1 D．xy﹣1＝0
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义的内容逐个判断即可．
【详解】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键．
2．（2021 诸暨市期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x+xy＝8 B．y＝x﹣1 C．x+＝2 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】解：A、含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，故本选项错误；
B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故本选项正确；C、不是整式方程，故本选项错误；
D、x含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误．故选：B．
【点睛】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
3.（2021 萧山区期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【答案】解：是二元一次方程组，故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
4.（2021·浙江·九年级期中）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝
【答案】A
【分析】直接利用二元一次方程的定义得出关于m，n的方程组求出答案．
【详解】∵关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，
∴，解得．故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
考向2. 二元一次方程组的解
【典例精析】
【例】（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵是方程的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解__________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．
【详解】解：方程的一组整数解为故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
变式2-2. （2020·浙江绍兴市·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如x﹣y．
【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解为，而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
变式2-3. （2021·浙江·临海市九年级期中）已知是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为______．
【答案】-2
【分析】利用是方程的根，根据方程根的定义x=1满足方程，从而的到a与b的关系式，用含b的式子表示a，利用换元思想，将代数式中的a换成b的代数式，去括号合并同类项即可．
【详解】将代入原方程可得：，∴，
∴原式．故答案是：．
【点睛】本题考查代数式的值问题，关键是掌握一元二次方程的解的定义，利用方程解的性质得到用b表示a的代数式，利用消元思想，转化为整式的加减法使问题简化．
【考点巩固训练】
1.（2020 绍兴）若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是　 　（写出一个即可）．
【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y．
2．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知是方程组的解，则的值为_______ ．
【答案】
【分析】将代入方程组，求出a和b的值，即可求解．
【详解】将代入方程组，得：，解得：，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
3．（2021·浙江杭州·模拟预测）课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）
A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解
D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解
【答案】C
【分析】利用二元一次方程组的解的定义判断即可．
【详解】解：从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是，先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解．故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
4．（2021·浙江·九年级专题练习）方程的正整数解的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可；
【详解】由已知，得，
要使得x，y都是正整数，必须满足是正数，
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是，，相应的，，
∴有2组，分别是，；故选B．
【点睛】本题主要是考查了二元一次方程组的解，准确计算是解题的关键．
5．（2021·浙江浙江·九年级期末）已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两组解代入方程，得到，两式相减可得a-b的值．
【详解】解：由题意，将与代入得：，
①-②得：．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，加减消元法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
考向3. 二元一次方程组的解法
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州市·中考真题）解方程组：
【答案】.
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.
【详解】解：①+②得：3x=3， 即x=1，把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 .
【点睛】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法.
【变式训练】
变式3-1. （2020·浙江嘉兴市·中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【分析】根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
变式3-2. （2022·浙江·九年级专题练习）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据加减消元法，由①+②得出11x＝33，求出x，再把x＝3代入①求出y即可．
【详解】解：，由①+②，得11x＝33，解得：x＝3，
把x＝3代入①，得9+2y＝13，解得：y＝2，所以方程组的解是，故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．
变式3-3. （2021 丽水中考真题）解方程组：．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，
把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江浙江·九年级期末）利用消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×2-②×3 B．要消去x，可以将①×3+②×2
C．要消去y，可以将①×3+②×2 D．要消去x，可以将①×3-②×2
【答案】D
【分析】根据加减消元法即可得．
【详解】解：方程组，由①②可以消去，由①②可以消去，
观察四个选项可知，只有选项D做法正确，故选：D．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
2．（2021·浙江杭州·九年级期末）解方程组：
【答案】
【分析】①-②×2得出7y=7，求出y，把y=1代入②得出x-2=-1，再求出x即可．
【详解】解：，①-②×2，得7y=7，解得：y=1，
把y=1代入②，得x-2=-1，解得：x=1，所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．（2021 台州）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，①+②得：3x＝3，即x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．
4．（2021·浙江南湖·二模）解方程组：，小海同学的解题过程如下：
解：由②得，③
把③代入①得，
把代入③得，
∴此方程组的解为．
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），（4），正确的解答过程：由②得：y=5-x③
把③代入①得：3x-10+2x=6，解得：x=，
把x=代入③得：y=，∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
5．（2021 下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．
【思路点拨】原式化为，②﹣①得，x+y＝0，即可得出z＝0，由解得，即可求得原方程组的解为．
【解析】解：原式化为，②﹣①得，x+y＝0，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，∴z＝0，由解得，∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，加减消元法消去z联立关于x、y的方程组是解题的关键．
考向4. 二元一次方程组的解的特征
【典例精析】
【例】（2021·浙江余杭·二模）若方程组的解也是方程x+ky＝0的解，则k＝___．
【答案】2．
【分析】先解方程组，再把方程组的解代入方程x+ky＝0，解方程即可．
【详解】解： ①+②得，，解得，
把代入②得，，解得，方程组的解为；
代入x+ky＝0中，得2﹣k＝0，解得k＝2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用解方程组的方法求出二元一次方程组的解，并代入解一元一次方程．
【变式训练】
变式4-1. （2021·浙江浙江·九年级期末）若方程组的解满足，则k的取值范围是__________．
【答案】k＜
【分析】利用加减消元法求得x，y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．
【详解】解：，②×3-①×2得：，
解得：，代入①解得，，
∵x＞y，∴-k+1＞2k-1，解得：k＜，故答案为：k＜．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，求得x，y的值（用含k的式子表示）是解题的关键．
变式4-2. （2021·浙江·九年级专题练习）如果关于x，y的方程组的解是二元一次方程3x﹣2y=2的一个解，那么m的值为（ ）
A．14 B．﹣26 C．26 D．﹣14
【答案】B
【分析】首先解二元一次方程组，得到x,y的值，再将x,y的值代入 中得到一个关于m的方程，解方程即可．
【详解】①-②得，，解得，
将代回②中得， ，解得，∴方程组的解为．
∵关于x，y的方程组的解是二元一次方程3x﹣2y=2的一个解，
，解得，故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解以及解二元一次方程组，能够解出二元一次方程组的解是关键．
变式4-3. （2021·浙江·九年级专题练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用关于、的二元一次方程组的解为得到，，从而求出、即可．
【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为，
把关于，的二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组，
，解得：．关于，的二元一次方程组为．
故选：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，与，有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】关于x,y的方程组 与,有相同的解,所以,解得,将代入可得,解得,故选B.
2．（2021·浙江杭州·二模）若是方程组的解，则的值是____．
【答案】10
【分析】把解代入方程组，再把两式加即可得到答案；
【详解】解：因为是方程组的解，∴
把①②式相加得到： ，故答案为：10；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，能把解代入方程组并两式相加是解题的关键；
3．（2021·浙江苍南·一模）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意，直接由两个方程相减，即可得到答案．
【详解】解：由题意，由①②，得，∴；故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．
4．（2021·浙江·九年级专题练习）如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．
【答案】1
【分析】根据题意，把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．
【详解】解：根据题意把代入方程组，得，
①+②，得：7（a+b）=7，则a+b=1，故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．
5．（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值始终互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝3﹣a的解；④若z＝﹣xy+1，则z存在最小值，且最小值为0．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①将x＝2，y＝﹣1代入检验即可做出判断；②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y＝3来判断；③将a＝1代入方程求出方程的解，代入方程中检验即可；④把x，y代入z＝﹣xy+1即可得到结论．
【详解】解：①将x＝2，y＝﹣1代入方程组得：，
由①得a＝﹣1，由②得a＝﹣3，故①不符合题意；②解方程，得：x＝，y＝，
所以x+y＝2，故无论a取何值，x，y的值始终互为相反数，故②不符合题意；
③将a＝1代入x+y＝3﹣a代入方程x+y＝2，方程左边＝2右边，是方程的解，故③符合题意；
④，
∵＞0，∴z存在最小值，且最小值为0．故④符合题意．选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
考向5. 二元一次方程组的应用
【典例精析】
【例】（2021·湖南邵阳市·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】购置钢笔15支，金额为175元，购置笔记本34本，金额为225元
【分析】根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可
【详解】解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本
根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个
钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元
则有解得：则购置钢笔金额为：35×5=175元
购置笔记本金额为：15×15=225元
答：购置钢笔15支，金额为175元，购置笔记本34本，金额为225元
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键
【变式训练】
变式5-1. （2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式5-2. （2021 绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有　 　两．
【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：设有x人，银子y两，由题意得：，解得，故答案为46．
变式5-3. （2021 北仑区一模）某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A，B两种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【思路点拨】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得a的取值范围，结合实际付款总金额＝0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答．
【解析】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，
依题意得：，解得．
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，则a≥3（100﹣a），解得a≥75．
设实际付款总金额是y元，则y＝0.9[100a+80（100﹣a）]，即y＝18a+7200．
∵18＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝75时，y最小．
即当a＝75时，y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【考点巩固训练】
1．（2020·浙江绍兴市·中考真题）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【答案】B
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：，解得： ．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．故答案为B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
2．（2020 宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
．故选：A．
3．（2021 温州）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．
【详解】解：（1）设成人有x人，少年y人，，解得，，
答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；
（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），
答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；
②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，
当10≤a≤17时，
若a＝10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，
∴b的最大值是2，此时a+b＝12，费用为1160元；
若a＝11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b，
∴b的最大值是1，此时a+b＝12，费用为1180元；
若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；
当1≤a＜10时，若a＝9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，
∴b的最大值是3，a+b＝12，费用为1200元；
若a＝8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，
∴b的最大值是3，a+b＝11＜12，不合题意，舍去；
同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；
综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．
4．（2020 湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得关于x和y的方程组，求解即可．（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等量关系，列出关于m的分式方程，求解并检验即可；②用生产任务数量27000除以方案一中甲和乙完成的生产任务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可．
【详解】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得：
，解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
，解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．∴乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．
∵17700＜18000，∴选择方案一能更节省开支．
5．（2021 乐清市一模）某物流公司现有货物67吨，计划同时租用A型和B型两种车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．已知用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货13吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货21吨．（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）若现租x辆A型车和y辆B型车，且两种车辆总数不超过20辆．
①求y关于x的函数表达式．②求该物流公司有几种租车方案．
【思路点拨】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货m吨，1辆B型车装满货物一次可运货n吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货13吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货21吨”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①由租用的两种车一次可运送67吨货物，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出y关于x的函数表达式；②由①的结论，x+y≤20及x，y均为正整数，即可得出各租车方案．
【解析】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货m吨，1辆B型车装满货物一次可运货n吨，
依题意得：，解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货5吨．
（2）①依题意得：3x+5y＝67，∴y关于x的函数表达式为y＝．
②∵3x+5y＝67，x+y≤20，且x，y均为正整数，∴或或，
∴该物流公司有3种租车方案，
方案1：租4辆A型车，11辆B型车；方案2：租9辆A型车，8辆B型车；
方案3：租14辆A型车，3辆B型车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式；②根据两数之间的关系，找出各租车方案．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第6节 二元一次方程（组）
【考场演练】
一、选择题
1．（2022·浙江·九年级期中）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【答案】A
【分析】把第一个方程代入第二个方程消去y是把y转化成x，体现的是转化的思想．
【详解】A项：本题用一个未知数代替另一个未知数，体现的是转化思想，故A符合题意；
B项：分类讨论是把可能的情况都罗列出来进行讨论，本题没有用到，故B不符题意；
C项：数形结合是把数字和图形进行结合，本题没有用到，故C不符合题意；
D项：公理化思想是用公理去证明一些命题的真假性，本题没有用到，故D不符合题意．故选A
【点睛】本题考查二元一次方程解法中用到的数学思想，掌握这些数学思想的概念才能正确解题．
2. (2021.湖北省中考模拟)下列方程中，是二元一次方程组的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据定义可以判断：
A、，满足要求；B、中含有a，b，c，是三元方程；
C、中含有，是二次方程；D、中含，是二次方程．故选A．
【点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】①②得出，求出，把代入①求出即可．
【详解】解：，①②，得，解得：，
把代入①，得，解得：，所以方程组的解是：，故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
4．（2021.贵州毕节·中考模拟）已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的整式方程，依题意，有：，解得：m=1，n=-1.
考点：（1）二元一次方程的概念；（2）解二元一次方程组
5．（2021·浙江·杭州一模）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝﹣6的解，则k的值是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【答案】A
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x＋3y＝﹣6中可得．
【详解】解：解方程组 ，得：x＝7k，y＝﹣2k，
把x，y代入二元一次方程2x＋3y＝﹣6，
得：2×7k＋3×（﹣2k）＝﹣6，解得：k＝﹣，故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是用含k的代数式表示x、y．
6．（2021 舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故选：D．
7．（2021·浙江·九年级期末）关于、的方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据方程组的解求出m，n的值，然后代入计算即可得出答案．
【详解】∵关于、的方程组的解是，
，解得 ，，故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解及代数式求值，掌握二元一次方程组的解的概念及绝对值的意义是解题的关键．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
【答案】B
【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．
【详解】解：设大马驮x袋，小马驮y袋．根据题意，得．故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
9．（2021 嘉兴期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的个数有（　　）
①当a＝10时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③不存在一个实数a使得x＝y；④若3x﹣3a＝35，则a＝5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】①把a＝10代入方程组求出解，即可做出判断；②根据题意得到x+y＝0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；③假如x＝y，得到a无解，即可做出判断；
④根据题中等式得到x﹣3a＝5，代入方程组求出a的值，即可做出判断．
【答案】解：①把a＝10代入方程组得：，解得：，本选项正确；
②由x与y互为相反数，得到x+y＝0，即y＝﹣x，代入方程组解得：a＝20，本选项正确；
③若x＝y，则有，可得a＝a﹣5，矛盾，故不存在一个实数a使得x＝y，本选项正确；
④方程组解得：，由题意得：x﹣3a＝5，把代入得：25﹣a﹣3a＝5，
解得：a＝5，本选项正确，故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
【详解】设购买了种奖品个，种奖品个，根据题意得：，
化简整理得：，得，
∵，为非负整数，∴，，，
∴有3种购买方案：方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；
方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；
方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.故选：B.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．
二、填空题
11．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解__________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．
【详解】解：方程的一组整数解为故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12．（2021·浙江浙江·九年级期末）已知方程组，则y的值为______．
【答案】-1
【分析】根据加减法即可求解．
【详解】解：，①-②得：2y＝-2，则y＝-1．故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）已知是方程的一个解，则m的值是_______．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵是方程的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
14．（2022·浙江·九年级专题练习）解二元一次方程组有一种较简便的方法是先消去，②×3-①×2化简得____________．
【答案】
【分析】利用加减消元法计算即可．
【详解】解：②×3-①×2可得：，解得：．故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．
【答案】
【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．故填．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键．
16．（山东滨州·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
【答案】
【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a,b．
【解析】详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴将解代入方程组 可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组整理为：解得：
方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是
∴方程组的解是解得故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
17．（2021·浙江杭州·九年级期末）期末班级为表彰买了水笔、三角尺及笔记本三类奖品共花了450元，奖品单价如下表所示，已知购买水笔的费用与购买三角尺的费用相同，则三类奖品共买了___份．
水笔（元/支） 三角尺（元/副） 笔记本（元/本）
10 8 15
【答案】41
【分析】设水笔、三角尺和笔记本三类奖品分别买了x，y，z份，且x，y，z都是正整数，根据题意列出三元一次方程组，用含y的代数式分别表示出x和z，赋值即可求解．
【详解】解：设水笔、三角尺和笔记本三类奖品分别买了x，y，z份，且x，y，z都是正整数，
根据题意可得，整理可得，，
∵x，y，z都是正整数，∴，则，，∴，故答案为：41．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
18．（2021·北京中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．
【答案】2∶3
【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
∵加工时间相同，∴，解得：，∴；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
三、解答题
19．（2022·浙江·九年级专题练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，把①代入②，得，解得．
把代入①，得．∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
20．（2020 台州）解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，①+②得：4x＝8，解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，则该方程组的解为
21．（2021·吉林中考真题）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．由桥梁和隧道全长共，得．桥梁长度比隧道长度的9倍少，得，然后列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．
由题意列方程组得：．解得：．
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
22．（2021·广西贺州市·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【答案】（1）一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/；（2）
【分析】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解；（2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解.
【详解】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，
依题意得，解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元，则用水量超过，
设用水量为，得，，解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键.
23．（2022·浙江·九年级专题练习）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和电3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
【答案】（1）每份机器人套件0.5万元，每台3D打印机1.5万元；（2）购进机器人套件170份，3D打印机130台．总费用最少，为280万元．
【分析】（1）根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设需购进机器人套件份，则购进3D打印机台，根据要求列出关于不等式组，求解出范围，由（1）列出总费用的函数解析式，再研究函数的最值问题即可．
【详解】（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，根据题意得：
解得
答：每份机器人套件0.5万元，每台3D打印机1.5万元．
（2）设需购进机器人套件a件，则购进3D打印机台，
则 解得：，
又函数是随a的增大而减小的∴当时，y取得最小值280，
购进机器人套件170份，3D打印机130台．总费用最少，为280万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，根据一次函数的性质求解即可．
24．（2021·浙江·诸暨牌头中学九年级）某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少．
【答案】42分
【分析】设、、分别表示答对题、题、题的人数，根据“答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20”，即可得出关于、、的三元一次方程组，解之即可得出、、的值，由、、的值结合a、b、c三题的分值可求出全班总得分，由、、的值结合答对两题及答对三题的人数可求出全班总人数，再利用平均分＝总分÷人数，即可求出结论．
【详解】解：设、、分别表示答对题、题、题的人数，
由题意可得：①
②
③
①+②+③得：④
④-①得：，同理，，
∴答对一题的人数为，全班人数为，
∴平均成绩为（分）．
答：这个班的平均成绩是42分．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
25．（2022·浙江·九年级专题练习）某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？（2）若购进了甲种钢笔80支，乙种钢笔60支，求需要多少元？
（3）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种购进方案．
【答案】（1）甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元；（2）1000元；（3）6种
【分析】（1）设购进甲种钢笔每支需元，购进乙种钢笔每支需元，根据“若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种钢笔的单价；
（2）利用总价单价数量，即可求出购进甲种钢笔80支、乙种钢笔60支所需费用；
（3）设购进甲种钢笔支，则购进乙种钢笔支，根据“购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出进货方案的数量．
【详解】解：（1）设购进甲种钢笔每支需元，购进乙种钢笔每支需元，
依题意得：，解得：．
答：购进甲种钢笔每支需5元，购进乙种钢笔每支需10元．
（2）（元．答：需要1000元．
（3）设购进甲种钢笔支，则购进乙种钢笔支，
依题意得：，解得：．
又，均为正整数，可以为150，152，154，156，158，160，
该文具店共有6种购进方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的一元一次不等式组．
26．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】（1）A种商品和B种商品的进价分别是50元/件，30元/件；（2）5种；（3）见解析
【分析】（1）设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系：3件A商品的总价+4件B商品的总价=270， 5件A商品的总价+2件B商品的总价=310,即可列出方程组，解方程组即可；（2）设A商品购进n件，根据不等关系：购进A商品所需的费用+购进B商品所需的费用≤1560，A种商品的数量≥B种商品数量×，列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；（3）设总利润为W元，购进A种商品x件，求得W关于x的函数关系式为，对m的取值讨论即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，
故A种商品和B种商品的进价分别是50元/件，30元/件．
（2）设A商品购进n件，则 ，解得，
∴n＝14，15，16，17，18，答：共有5种方案．
（3）设总利润为W元，购进A种商品x件，
则（14≤x≤18且x为整数），
∵10＜m＜20，当10＜m＜15时，W随x的增大而增大，
∴当x＝18时，W取最大值．此时，购进A商品18件，B商品22件．
当m＝15时，W恒等于600．怎样购买利润都不变．
当15＜m＜20时，W随x的增大而减小，∴当x＝14时，W取最大值．
此时，购进A商品14件，B商品26件．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第6节 二元一次方程（组）
【考场演练】
一、选择题
1．（2022·浙江·九年级期中）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
2. (2021.湖北省中考模拟)下列方程中，是二元一次方程组的是
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021.贵州毕节·中考模拟）已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江·杭州一模）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝﹣6的解，则k的值是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
6．（2021 舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·九年级期末）关于、的方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
9．（2021 嘉兴期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的个数有（　　）
①当a＝10时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③不存在一个实数a使得x＝y；④若3x﹣3a＝35，则a＝5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二、填空题
11．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解__________________．
12．（2021·浙江浙江·九年级期末）已知方程组，则y的值为______．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）已知是方程的一个解，则m的值是_______．
14．（2022·浙江·九年级专题练习）解二元一次方程组有一种较简便的方法是先消去，②×3-①×2化简得____________．
15．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．
16．（山东滨州·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
17．（2021·浙江杭州·九年级期末）期末班级为表彰买了水笔、三角尺及笔记本三类奖品共花了450元，奖品单价如下表所示，已知购买水笔的费用与购买三角尺的费用相同，则三类奖品共买了___份．
水笔（元/支） 三角尺（元/副） 笔记本（元/本）
10 8 15
18．（2021·北京中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．
三、解答题
19．（2022·浙江·九年级专题练习）解方程组：．
20．（2020 台州）解方程组：
21．（2021·吉林中考真题）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
22．（2021·广西贺州市·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
23．（2022·浙江·九年级专题练习）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和电3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
24．（2021·浙江·诸暨牌头中学九年级）某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少．
25．（2022·浙江·九年级专题练习）某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？（2）若购进了甲种钢笔80支，乙种钢笔60支，求需要多少元？
（3）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种购进方案．
26．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第6节 二元一次方程（组）
【考试要求】
1.了解二元一次方程及方程组得概念；
2.掌握代入消元法和加减消元法，会解二元一次方程组；
3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决生活中的实际问题.
【考情预测】
本板块内容以考查解二元一次方程组的解法、二元一次方程的应用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解二元一次方程组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为10分左右。预计2022年各地中考还将继续考查方程组的解法和应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1. 二元一次方程（组）的概念
（1）二元一次方程：含有两个未知数且含有未知数的项的次数只有一次的整式方程.
(2) 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
2.解二元一次方程组的一般方法
解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法，还有一种常用的解法是换元法．
(1)代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组得解.
（2）加减消元法：通过将方程组中两个方程的某一未知数的系数转化为相同或相反数，再把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组得解.
3．二元一次方程组的实际应用：
列方程组解应用题的步骤：①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程组 ；⑤求出方程组的解；⑥验根并作答．
【重难点突破】
考向1. 二元一次方程组的有关概念
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级期中）若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（2022·浙江·九年级专题练习）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣xy＝1 B．x2﹣y﹣2x＝1 C．3x﹣y＝1 D．﹣2y＝1
变式1-3．（2021 西湖区校级月考）已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y＝1，则k＝　　时，它是关于x，y的二元一次方程．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·九年级月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x2+y＝1 B．x﹣＝1 C．﹣y＝1 D．xy﹣1＝0
2．（2021 诸暨市期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x+xy＝8 B．y＝x﹣1 C．x+＝2 D．x2﹣2x+1＝0
3.（2021 萧山区期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
4.（2021·浙江·九年级期中）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝
考向2. 二元一次方程组的解
【典例精析】
【例】（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
【变式训练】
变式2-1. （2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解__________________．
变式2-2. （2020·浙江绍兴市·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
变式2-3. （2021·浙江·临海市九年级期中）已知是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为______．
【考点巩固训练】
1.（2020 绍兴）若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是　 　（写出一个即可）．
2．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知是方程组的解，则的值为_______ ．
3．（2021·浙江杭州·模拟预测）课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）
A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解
D．先任意给出的一对自然数，假定是解，后代入两个方程分别检验，两个都成立，则得方程组的解
4．（2021·浙江·九年级专题练习）方程的正整数解的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·浙江浙江·九年级期末）已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向3. 二元一次方程组的解法
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州市·中考真题）解方程组：
【变式训练】
变式3-1. （2020·浙江嘉兴市·中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
变式3-2. （2022·浙江·九年级专题练习）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
变式3-3. （2021 丽水中考真题）解方程组：．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江浙江·九年级期末）利用消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×2-②×3 B．要消去x，可以将①×3+②×2
C．要消去y，可以将①×3+②×2 D．要消去x，可以将①×3-②×2
2．（2021·浙江杭州·九年级期末）解方程组：
3．（2021 台州）解方程组：．
QUOTE 4．（2021·浙江南湖·二模）解方程组：，小海同学的解题过程如下：
解：由②得，③
把③代入①得，
把代入③得，
∴此方程组的解为．
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
5．（2021 下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．
考向4. 二元一次方程组的解的特征
【典例精析】
【例】（2021·浙江余杭·二模）若方程组的解也是方程x+ky＝0的解，则k＝___．
【变式训练】
变式4-1. （2021·浙江浙江·九年级期末）若方程组的解满足，则k的取值范围是__________．
变式4-2. （2021·浙江·九年级专题练习）如果关于x，y的方程组的解是二元一次方程3x﹣2y=2的一个解，那么m的值为（ ）
A．14 B．﹣26 C．26 D．﹣14
变式4-3. （2021·浙江·九年级专题练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，与，有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江杭州·二模）若是方程组的解，则的值是____．
3．（2021·浙江苍南·一模）若x、y满足方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（2021·浙江·九年级专题练习）如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．
5．（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值始终互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝3﹣a的解；④若z＝﹣xy+1，则z存在最小值，且最小值为0．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考向5. 二元一次方程组的应用
【典例精析】
【例】（2021·湖南邵阳市·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【变式训练】
变式5-1. （2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
变式5-2. （2021 绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有　 　两．
变式5-3. （2021 北仑区一模）某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A，B两种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【考点巩固训练】
1．（2020·浙江绍兴市·中考真题）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km B．140km C．160km D．180km
2．（2020 宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 温州）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
4．（2020 湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
5．（2021 乐清市一模）某物流公司现有货物67吨，计划同时租用A型和B型两种车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．已知用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货13吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货21吨．（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）若现租x辆A型车和y辆B型车，且两种车辆总数不超过20辆．
①求y关于x的函数表达式．②求该物流公司有几种租车方案．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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