资源简介

目 录
第1讲 相似三角形的证明技巧……………………………………………1
第2讲 直线型相似（一）…………………………………………………17
第3讲 直线型相似（二）…………………………………………………33
第4讲 圆与相似综合………………………………………………………49
第5讲 二次函数与相似（一）……………………………………………67
第6讲 二次函数与相似（二）……………………………………………81
1相似三角形的证明技巧
知识目标
模块一 相似的常用技巧 例1
模块二 平行类相似 例2、例3、例4、例5
模块三 线束定理 例6
模块一 相似三角形的常用技巧
知识导航
1、相似的常用技巧
(l)三点定型
(2)等线段代换
(3)等比例代换
(4)等积代换
(5)证等量先证等比
(6)几何计算
2、相似的经典口诀：
等积换等比
横看竖看找相似
找不到，莫着急
等边、等比、等积来代替
例1
(1)如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC 上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F． 求证：．
总结归纳
三点定型可以帮助我们快速寻找到目标相似三角形．
(2)如图，△ABC中，AB= AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP
交AC于E，交CF于F．求证：BP2=PE PF．
总结归纳
等线段代替法可以将结论中的线段进行转移，从而根据三点定型确定目标相似三角形．
练习
(1)如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F，交BE于G，FD、AC的延长线交于点H，求证：DF2= FG FH．
总结归纳
等积代换法可以将结论中的乘积线段进行转移，从而根据三点定型确定目标相似三角形．
(2)如图，在△ABC中，已知∠A= 90°时，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、
E作直线交AB的延长线于F．求证：AB AF =AC DF．
总结归纳
等比代替法可以将题目中线段的比例进行转移，从而根椐三点定型确定目标相似三角形
拓展
如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M, CE与AF于点P．求证：(1) MN//AC； (2) EM=DN．
总结归纳
要证明线段相等，可以先将等号两边线段同时除以相等的线段，再证这一组比例相等即可．
模块二 平行类相似问题
知识导航
常见的平行类相似的模型
“A”字型 “X”字型 完全四边形
DE∥BC＝＝ DE∥BC＝＝ “知二得二”已知任意两线上的比例，可求另外两线的比例
线束模型 三平行模型 角平分线定理
DE∥BC＝ AD∥BE∥CF＋＝ AD平分∠BAC＝
【梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)】(选讲)
1.定义
梅氏定理又称“截线定理”，是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其(正向或反向)延长线交于D、E、F点，那么有××＝1，如下图.
梅涅劳斯定理(Menelaus)
2.证明
如上图，过点C作CG∥DE交AB于点G，则有：＝，＝
两式相乘得：×＝×＝，即：××＝1.
通过构造平行线，可以有很多种方法证明梅氏定理，有兴趣的同学自己去尝试一下.
3.数学意义
使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，即：
四条直线两两相交(任意三条直线不共点)，则每条直线必被截得三条不等线段，若已知其中任意两条直线上所截得的线段比，则必可求出其它两条直线上所截得的线段比，即知二推二.
【塞瓦(Ceva)定理】(选讲)
1.定义：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D，那么有××＝1，如图.
2.证明如上图，∵△AEC被直线BOF所截，∴××＝1.
∵△ABE被直线COD所截，∴××＝1，
两式相乘得：××＝1.
例2、现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC、CD于P、Q.
（1）求BP∶PQ∶QR的值；
(2)若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC、CD、DE于P、Q、R，求BP∶PQ∶QR∶RS；
（3）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P、Q、R、S，求.
例3 (华一四调模拟)
△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD＝mCD，AE＝nEC，AD与BE相交于点O.
(1)如图1，当m＝2，n＝1时，＝ ，＝ ；
(2)当m＝1.5时，求证：＝；
(3)如图2，若CO的延长线交AB于点F，当m、n之间满足关系式 时，AF＝2BF.(直接填写结果，不要求证明)
例4 (2017年七一华源九下月考)
在△ABC中，AD、CE为△ABC的中线，且交于O点.
(1)如图①，证明：AO＝2OD；
(2)过O点的直线分别交边AB、AC于G、H；
①如图2，若＝，求.
②如图3，若＝，求.
例5：(1)如图1，在△ABC中，AD平分角∠BAC，交BC于D点，∠BAC＝120°，BE∥AD，交CA的延长线于E，CF∥AD，交BA的延长线于F，求证：＋＝1；
(2)如图2，若∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，过D点作直线MN交AB于M点，交AC的延长线于N点，求＋的值；
(3)如图3，若∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，过D点作直线MN交AB于M点，交AC的延长线于N点，求证：＋＝＋.
模块三 线束模型
真题演练
(武汉中考)(1)如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．
求证：＝
(2)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．如图2，若AB＝AC＝1，求MN的长；
(3)在第(2)问的条件下，如图3，若AB≠AC，求证：MN2＝DM·EN．
例6
(1)如图1，DE∥BC，若点M为DE的中点，求证：BN＝NC；
(2)如图2，∠ACB＝90°，CD⊥AB，点E在CD上且CE＝2DE，AE的延长线交BC于M，MN⊥AB于N点，若MN＝1，求CM·BM的值．
(3)如图3，∠ACB＝90°，CD＝AD，EG∥AB交AC于E点，交BC于G点，交CD于O点，AO的延长线交BC于N点，连DH交EG于F点，求证：OG2＝EG·FG
练习
(201 7年一初慧泉九下月考)
如图在菱形ABCD中，点E从点D出发以每秒1个单位的速度向点C运动，射线AD、BE相交于点F，射线FC、AB相交于点G．
(1)若菱形的边长为3，点E的运动时间为t，BG的长为y，求出y与t之间的函数关系式；
(2)射线AE与BC相交于点H，求证：HC＝BG；
(3)若sin∠A＝，∠BCG＝45°，请直接写出的值．
挑战压轴题
(武汉市四月调考第23题)
如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AE于点F，交AC于点M， EG的延长线交AB于点H．
(1)求证：AH＝BH．
(2)若∠BAC＝60°，求的值．
课后作业
A 基础巩固
1、已知，如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且＝，CE交BD于点F，BF ＝15cm，求DF的长．
2、如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点D，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别交于点M，N、R、S和P．求证：PM·PN＝PR·PS，
B 综合训练
3、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝____，b＝____．
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝____，b＝ ．
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
(3)如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长．
图1 图2 图3 图4
2　直线型相似综合（一）
知识目标
模块一 相似与面积 例1、例2
模块二 动态中的相似 例3、例4、例5、例6、例7、例8
模诀一　相似与面积题
知识导航：若△ABC∽△DEF，则＝＝＝．
例1　如图，设D是△ABC的边AB上的一点，作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F．记△ADE、△DBF、△ABC的面积分别为S1、S2、S．
求证：（1）S＝；（2）S□DECF＝．
练习：
如图，四边形DEFG为△ABC的内接平行四边形，设△ADE、△EFC、△DGB、△ABC的面积分别为S1、S2、S3、S．
求证：（1）S□DEFG＝2；
（2）S＝；
（3）S□DEFG≤S1＋S2＋S3．
例2（武汉中考第23题）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．
（1）求证：EF＋PQ＝BC；
（2）若S1＋S3＝S2，求的值；
（3）若S3－S1＝S2，直接写出的值．
练习：
（七一九下月考）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：AC＝AD；
（2）点G为线段CD延长线上一点，将GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．若β＝2α，DG＝kAD，请直接写出的值（用含k的代数式表示）．
模快二　动点中的相似
中考链接
（武汉中考第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPO与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
例3（七一中学九下周练）已知△ABC中，BC＝2，AB＝4，点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿BC的延长线方向以每秒2单位的速度运动．当E点运动到点B时，点F停止运动，连接EF交AC于点O，设运动时间为t秒．
（1）如图1，当AO＝OC时，求t的值；
（2）如图2，作EH⊥AC于点H，试求OH的长度；
（3）如图3，设线段EF的中点为P，当E点从A运动到B点，直接写出P点的路径长．
【练习】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q为lm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点分别移动ts（0＜t＜5）后，P点到BC的距离为dm，四边形ABQP的面积为S㎡
（1）求距离d关于时间t的函数关系式；
（2）求面积S关于时间t的函数关系式；
（3＞在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP的面积能否是△CPQ面积的3倍？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
【练习】如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、PN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜3），四边形MNQP的面积为S cm2．
（1）在点P、Q在运动的过程中，t为何值时，PQ∥AB？
（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【例5】在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．
（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；
（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；
（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．求证：；
（4）若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．
【例6】如图，AB⊥MN于A，AB＝4，点P是射线AN上一个动点（点P与点A不重合），∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP，过C作CD⊥MN于D．
（1）若AP＝2，求CP的值；
（2）点P在运动的过程中线段CD的长是否是一个定值？若是，求CD的长；若不是，请说明理由．
（3）BD所在的直线与CP所在的直线相交于点E，且＝，求AP的值．
【例7】如图，矩形ABCD中， AB＝4，BC＝2，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F．
（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB；
②设AP＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当△EFC与△BEC面积之比为3︰16时，线段AP的长为多少 （直接写出答案，不必说明理由）．

例8：（外校九下月考）如图，在四边形中，，，点从点出发，在上以每秒个单位的速度向点运动，运动时间为秒.过点作于点.
（1）如图1，若，证明：△∽△；
（2）在（1）的条件下，若，求的值；
（3）四边形为正方形，当点是中点时.
①如图2，连接并延长交于点，求的值；
②如图3，过点作于点，交于点，请你直接写出的值为 .
课后作业
A基础巩固
1、如图，中， ，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒( )，连接.
(1)若与相似，求的值；
连接，，若，求的值.
2、(华一寄九下月考)
如图，在中，，，，动点以 / 的速度从向移动(不与重合)，动点以/的速度从向移动(不与重合)，若同时出发，运动时间是.
（1）试写出的面积与时间之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）试问经过几秒后，四边形的面积最小 并求出最小值.
B综合训练
3、如图，在矩形中，,，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点匀速运动.伴随、的运动，直线保持垂直平分于点,交射线于点.当点到达点时运动停止，设运动时间为秒.
（1）当 秒时，直线经过点；当= 秒时，直线经过点；
（2）当//时，求的值；
（3）当直线平分矩形的面积时，求的值.

3直线型相似(二)
知识目标
模块一 三角形中的内接四边形与相似 例1、例2、例3、例4
模块二 “反A”型相似 例5
模块三 多边形背景下的学生 例6、例7
模块一 三角形中的内接四边形与相似
知识导航
如图，正方形内接于中，于，交于，则由//可以得到∽，进而得到，进而建立方程进行计算!
例1.如图，一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成矩形零件，
使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上.
(1) 求证：∽；
(2) 设线段，，求、之间的关系式:
(3)当点运动到何处时，矩形面积最大 最大面积是多少
练习
如图，矩形EFGH内接锐角△ABC，AD是边BC上的高，BC＝40，AD＝30，AD与HG的交点为点M，设EH＝x，HG＝y.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若四边形EFGH是正方形，求正方形的边长；
（3）若矩形EFGH两邻边之比为2，求这个矩形的周长.
中考链接
（武汉中考）
已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.
①求的值；
②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值.
（2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.
例2
在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上.
（1）若AB＝8，DE＝2EF，求GF的长；
（2）请求出矩形DEFG的面积的最大值.
（3）若∠ACB＝90°，如图，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：①AD·BE＝EF2；②MG＝NF.
例3
在面积为24的△ABC中，AB＝10，正方形EFPO的顶点E、F在边AB上，顶点Q在边AC上.
（1）如图1，在△ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPO的位似正方形E1F1P1Q1，且使正方形E1F1P1Q1的面积最大（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出正方形E1F1P1Q1的边长.
图1 备用图
（3）如图，若∠C＝90°，在△ABC中放入正方形EFPQ和正方形FMND，使得EF、FD在边AB上，Q、N分别在边CA、CB上，EH、DT分别为△AEO、△BDN的角平分线，求HQ＋BT的值.
例4
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D、E在斜边AB上，顶点F、G分别在边BC、AC上.
（1）求证：DE2＝AD·BE；
（2）如图2，正方形MDHN的顶点M、N、H分别在边AB、AC、DG上，正方形EPQR的顶点P、Q、R分别在边AB、BC、EF上.求证：DM＋EP＝DE.
图1 图2
（3）在第（2）问的条件下，若斜边AB上的高为9，求正方形MDHN与正方形EPQR的面积的和的最小值.
模块二“反A”型相似
中考链接
1、（武汉中考第23题）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.
（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；
（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长.（用含n的式子表示）
图1 图2 图3
2、（武汉中考第23题）
在△ABC中，P为边AB上一点
(1)如图,若∠ACP=∠B,求证
(2)若M为CP的中点，AC=2
①如图2,若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长
②如图3,若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长.
例5
在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于，交CD于G
(1)如图1，若∠BAC=120°，求证：CG=EG
(2)如图2，点E为AC的中点,若BF= ，CG=5，求DG的长
(3)如图3，若EG=CF，直接写出的值.
图1 图2 图3
模型三 多边形背景下的相似
真题演练
（武汉市四调第23题）
在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM, AN相交于点P
(1)如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上,BN=CM,求证:.
(2)如图2，若N为边DC的中点, 点M在边ED上，AM∥BN，求的值.
(3)如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2,请接写出AP的长 .
图1 图2 图3
例6
(黄陂区九下月考)
点O为正六边形ABCDEF的中心
(1)扣图l,若点G、H分别为边AB、EF的中点，连接GH与AD交于点P，求证: GH=PD
(2)如图2,若点G在边AB上，点H在边EF上，点P在边CD上，且AF∥ GH，BC∥GP，连接OH,OP，
求证：∠HOP=2∠HGP
(3)如图3，若点P为边CD的中点，BD交AP于点Q，正六边形ABCDEF的边长为2，则请直接写出AO的长 .
图1 图2 图3
例7
正五边形ABCDE中,AC,BE相较于点.
(1)如图1，判断四边形CDEF的形状.
(2)如图2，连接DF交AB于G，AB=4，求.
(3)如图3，连接DF并延长，交EA延长线于M,交AB于G，连接EC交DG于N，证明：.
图1 图2 图3
课后作业
1、如图，己知CD是直角△ABC的斜边中线，过点D作垂直AB的直线交BC于点F，交AC的延长线于点E，求证：．
2、如图，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D，E在线段AC，BC上，F，G在AB上，如果，，求△ABC的面积.
B综合训练
3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。
（1）若AC=4，BC=3，以AB为直角边作Rt△ABT，并且与Rt△ABC相似，请你直接写出△ABT的周长；
（2）如图，点M、D、G、P在AB边上，设正方形NMDQ、EDGF、RGPH周长分别为C1、C2、C3，求证：C1+C3=C2。
4 圆域相似综合
知识目标
模块一 圆中常见线段比例问题 例1、例2
模块二 圆与三角函数 例3、例4、例5、例6
模块三 圆幂定理 例7、例8、例9
模块一 圆中常见线段比例问题
知识导航
当题目中出现例如“”之类的线段比例问题时，通常可以采用下列方法来处理：
（1）设AB=a，CD=3a，然后利用题目中一些条件去列方程求解。
注意：解答题的时候，不能写为：设AB=1，CD=3这种形式。
（2）可以利用相似去转化，得到一组新的线段比例，进而求解。
例1
如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB=CE。
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC=，求的值。
练习
已知，以AB为⊙O直径的分别与四边形ABCD的边AD、CD、BC切于A、E、B三点，CE=4DE。
（1）如图1，求证：AB=BC；
（2）如图2，OE、BD交于点M，求的值。
例2
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作⊙O的切线CE，作AD⊥CE于点D，连接AC。
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）连接BD交AC于点F，若，求tan∠BDE的值。
练习
如图，AB切⊙O于点B，M是⊙O上一点，且AM=AB，延长BO交⊙O于D，交AM的延长线于点C。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）E为AB的中点，CE、MB交于点N，若CD=2，BD=6，求的值。
拓展
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE⊥弦BD于点E，连BC。
（1）求证：∠ABC=∠EBC；
（2）延长DO交AC于点P，若，求sin∠A的值。
模块二 圆与三角函数
知识导航
在圆中，经常会有一些和三角函数结合的问题，据统计，2014年、2016年、2017年四调和2015年、2016年、2017年中考中，都考察的是圆和三角函数的综合，重要性不言而喻，圆和三角函数的综合问题，往往是以圆为背景，结合三角函数的常见处理办法来考察；
核心思想是：把待求三角函数的角放入直角三角形里，可以进行转移，也可以直接作垂直放入直角三角形中进行计算。
例3 （武汉中考）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2） 若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长.
练习 （武汉四调）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D
(1) 如图1，求证：BD＝ED；
(2) 如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝6，sin∠BAC＝，求OE的长.
例4 （武汉四调）如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切
（1）求证： ﹦
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E﹦，求tan∠D的值
练习 （武汉四调）已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．
（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；
（2）如图2，若sin∠P＝，求tan∠C的值．
例5 （武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB
（1）求证：AT是⊙O的切线
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值
练习 （武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD =，求的值．
例6 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的的中点，连接PA、PB、PC.
（1）如图①，若∠BPC =60°.求证：AC =AP；
（2）如图②，若sin∠BPC =，求tan∠PAB的值.
模块三 圆幂定理
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这一模块所学习的知识，是圆和相似三角形的结合——圆幂定理，它是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割弦定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，圆幂定理在圆与相似综合题应用非常广泛，可以让我们推等出特殊的线段关系。我们在学习圆幂定理的过程中，第一要学会用相似三角形证明圆幂定理，第二要学会在图形中寻找“相交弦”、“切割线、“割钱”等特殊模型。
相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理.
示意图 结论
相交弦定理——对应“8字型”相似 如图，弦AB、弦CD交于点P， 则PA·PB=PCPD
割线定理——对应“反A型”相似 如图，PAB、PCD分别是⊙O的两条割线，则PAPB=PCPD
切割线定理—对应“类射影型”相似 如图，PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，则PC2=PAPB
例7
证明圆幂定理
（1）如图，弦AB、弦CD交于点P，求证：PAPB=PCPD.
（2）如图，PAB、PCD分别是⊙O的两条割线，求证：PAPB=PCPD.
（3）如图，PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，求证：PC2=PAPB.
练习
1、如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，求证：CD2=DADB
2、如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，求OC的长.
例8：如图，己知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，过C作CE⊥AD于E，BE交⊙O于F.求证：EFEB=AEDE.
练习
如图所示，P是⊙O的弦的中点，B为圆上任意一点，切线AD交BC延长线于D，延长DP交AB于Q.求证：
例9 如图，△ABC内接于O，P为⊙O外一点，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E两点，并与AB、AC分别交于点M、N.
（1）求证：DNNE=MNNP；
（2）若PD∥CB，求证：PC是⊙O的切线.
练习
过A点作△ABC外接圆的切线AD，过B作BE∥AD交AC边于E，交圆于F.求证；AB2=AE2+BE·EF.
课后作业
基础巩固
1、如图所示，⊙O中的弦CD=6，直径AB⊥CD于M，AM=1，求⊙O的半径.
2、如图，四边形ANBC中，AN∥BC，且BC=2NA，∠NBC=90°，⊙O过A、B、C三点，直径BE交AC于点M，交NA的延长线于点D.
（1）求证：.
（2）若 ，求tan∠ADB的值
3、如图，AB为⊙O的直径，CA，CD分别切⊙O于A、D，CO的延长线交⊙O于M，连BD、DM.
（1）求证：BD∥CM；
（2）若sin∠B= ，求tan∠BDM.
B综合训练
4、如图所示，AB是⊙O的弦，C、D为AB上两点，并且AC＝CD＝DB，弦EF过点C，
弦GH过点D.求证:CECF＝DGDH.
5、(外校九下月考)
如图，⊙O与△OAB相切于点C，且满足CA＝CB.
(1)求证:OA＝OB；
(2)若OB交⊙O于点D，tan∠DCB＝，求sin∠B的值.
5二次函数与相似(一)
知识目标
模块一 构造与已知三角形相似问题 例1、例2、例3
模块二 垂直(90度)与相似 例4、例5、例6、例7
模块一构造与已知三角形相似问题
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区分两种说法:假设△ABC为一个确定的三角形.
(1)△ABC∽△DEF:此时两个三角形的对应关系确定；
(2)△ABC与△DEF相似(以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似)；
两三角形对应关系不确定，严格意义上来讲，会有6种情况，但是考试中，通过分析题意，可以确定一组对应顶点，因此只需要讨论两种情况，然后结合相似的性质去求解.
真题演练
(六中九下月考)
如图，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y＝x2－4x＋3经过点A、点B，与x轴交于点E、F，其顶点M在CD上.若点P是抛物线上一动点(点P不与点A、点B重合)，过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H.当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值.
例1
如图，已知抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)P是x轴上方的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练习：如图，已知二次函数y＝(x＋2)(ax＋b)的图象过点A(－4，3)，B(4，4)，若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
例2：如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°.如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标.
练习：如图，已知抛物线的方程C1:y＝－(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧，在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
例3;在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝－（x－2）2＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sim∠MOH＝将抛物线C1沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为抛物线C1上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线C1上运动时，是否存在点Q，使以A、N、G为顶点的三角形与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在，请说明理由.
练习:（七一中学九下月考）抛物线y＝－x2－（2t＋1）x－t2－t＋2与x轴交于A、B两点（A左B右）、与y轴交于C点.
（1）当t＝时，求点A、B、C的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为m，设抛物线对称轴与x轴交于一点E，连接PE交AC于F，求出当△AEF与△AOC相似时点P的坐标.
真题演练:（二中广雅九下月考）如图，已知抛物线y＝x2－（k＋2）x＋和直线l：y＝（k＋1）x＋(k＋1)2．如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线l与x轴的交点C在原点的左边，抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G，且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的解折式.
模块二 垂直（90度）与相似
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1、若∠ABC＝90°，则构造如图所示辅助线线，则△ABD∽△BCE，则AD·CE＝DB·BE.
2、垂直的其他描述方式
（1）△ABC的外心在AC边上；
（2）以AC为直径的圆经过点B；
（3）AC的中线等于AC的一半；
（4）一些特殊的导角导出∠ABC＝90°.
3、直角三角形问题
直角三角形问题核心是讨论清楚直角顶点，然后转为垂直问题来处理.
题型一 垂直（90度）与相似
例4:已知如图，地物线y＝ax2＋1与x轴交于点A、B（点A在B点左側），且与直线y＝2x＋2仅有一个公共点，作∠MBN＝90°，交地物线于以M、N两点，则直线MN必过定点Q，求点Q的坐标.
练习:如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，若在抛物线上存在定点D，使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离.
例5:如图，已知抛物线y＝x2－（2m＋1）x＋m2＋m－2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，P（s，t）为物线上A、B之间一点（不包括A、B），连接AP、BP分别交y轴于点E、D，若∠BAP＝∠ODP，求t的值
真题演练:（二中广雅九下月考）
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋（k－1）x－k与直线y＝kx＋1交于A、B两点，点A在点B的左
如图1，当k＝1时，求A、B两点的坐标；
（2）如图2，当k＝1时，抛物线y＝x2＋（k－1）x－k与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），交y轴于P点。这原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于M、N两点，连接MP、NP，求证：MP⊥NP；
（3）如图3，抛物线y＝x2＋（k－1）x－k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在线y＝kx－1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值,若不存在，请说明理由.
题型二 直角三角形相似
例6:如图，抛物线y＝a（x－1）2＋4与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点、DE＝1，且∠DBE＝∠BMD.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；
练习:（武汉二中九下月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上.
（1）求物线的解析式：
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，说明理由.
例7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
练习．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，直接写出△PAC为直角三角形时点P的坐标．
课后作业
基础巩固A
1．如图，抛物线y＝ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
B综合训练
2．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A(3，0)，与y轴相交于点B(0，)，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．
6二次函数与相似
知识目标
模块一 利用线段条件构造相似 例1、例2、例3
模块二 利用角度条件构造相似 例4、例5、例6
模块一 利用线段条件构造相似
题型一 平行类构造相似
知识导航
在二次函数问题中，经常会出现线段的比值问题，若代求比值的线段平行或者共线的情况时，往往通过相似来转化，会起到意想不到的效果．
如图1：由△ACM∽△BCN得；如图2：由△ACM∽△DBN得
相似可以实现线段“化斜为直”的目的，同学们在做题过程中注意体会其中精彩的转化．
例1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点E，C为抛物线的顶点，直线AD：y＝kx+b(k＞0)与抛物线相交于A，D两点(点D在点A的下方)．
(1)当k＝2，b＝﹣3时，求A，D两点坐标；
(2)当b＝2﹣3k时，直线AD交抛物线的对称轴于点P，交线段CE于点F，求的最小值；
【练习】:（武汉一初九下月考）如图1，已知抛物线C1：与x轴交于A、B（A在B的左侧）两点，与y轴正半轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，D是OC中点，M是第一象限抛物线上一点，连结DM交线段BC于E．若＝m，求m的最大值；
【例２】已知抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）若直线与此抛物线有唯一的公共点，求m的值；
（2）如图，过C作CG//x轴交抛物线于G，将（1）中的直线AD向右平移直线y＝kx＋b，交抛物线于E，F，交x轴于M，交CG于N，若EF＝2MN，求b的值．
【真题演练】（武汉四月调考第24题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(x1，y1)、C(x2，y2)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两根，且x1（1）求A、C两点的坐标；
（2）求直线l的解析式；
（3）如图2，点B是线段AC上的动点，若过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点F，求BF的长．
【中考链接】（武汉市中考第24题）
已知点A(－1，1)、B(4，6)在抛物线上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．
题型二 非平行类构造相似
【例3】 如图，二次函数图象的顶点在原点上，点F(0，1)，PF⊥y轴交抛物线于点P，tan∠FOP＝2，过F点的直线交抛物线于A、B两点，点C(0，c)在F点上方．
（1）求二次函数解析式；
（2）B为第一象限内一点，过B点作BM⊥x轴
①求BF－BM
②若CG⊥AB，且AG＝BG，求的值．
【练习】在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C1：在x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝，过H的直线与y轴相交于点P，过O、M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若时，求点P的坐标．
模块二 利用角度条件构造相似
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在二次函数的综合题目中，往往会出现两角相等的条件，因此我们可以围绕这两个相等的角来构造相似，一般是构造“反A”相似或者直角三角形相似来处理．
（题型一）构造直角三角形相似
例4：抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(﹣3，0)、B(﹣1，0)两点，将抛物线平移，当顶点移至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
练习：(七一九下月考)已知抛物线y＝x2﹣x＋1与直线y＝kx﹣k＋1(k≠0)交于点A、B(A在B的左边)，交y轴于点C，若抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线AB于点P．
(1)求P点坐标；
(2如图，连接AD、BD，求证：△ABD的内心在射线DP上．
例5：在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣4a＋4(a<0)经过第一象限内的定点P，直线y＝2x+b交抛物线C1于A、B两点，如图，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两点，当PD=PC时，求a的值．
中考链接：(武汉中考第24题)已知抛物线y＝x2+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F（m，n）是第二象限内一点，过点F作EF⊥x轴交抛物线于点E，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究)；
（3）如图2，点P是线段OB上动点(不包括点O、B)，PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
例6：二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴的正半轴交于点C，AB＝2，OB＝OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中的抛物线的项点平移到（0，﹣）得到新抛物线，新抛物线与x轴交于点D、E(点D在点E的右侧)，点M是线段OD上一动点，MN⊥x轴交新抛物线于点N，在第一象限内NM的延长线上有一点K，且∠KDO＝∠ONM，若△KMD两外角平分线的交点F在抛物线上，求点F的坐标．
题型二 构造“反A”相似
（武汉一初九下月考）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m＋4经过定点A．
（1）求A的坐标；
（2）直线y＝t与抛物线交于B、C两点(不与A重合)，过点A作AD⊥BC于点D，存在t的取值，使得对于任意的m，∠DAC＝∠ABD恒成立，求t的值．
练习：已知抛物线（m≥0）与x轴交于A、B两点，A点在B点的左边，与y轴交于点C，在抛物线第一象限上有一点G，连接AG、GB并延长分别交y轴于F、E．若∠AFO＝∠EBO，求证：点G总在一条定直线上．
课后作业
A 基础巩固
1、如图，已知抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于H，直线（k＜0）交抛物线于M、N，交AO于Q，交AH于P．
（1）求直线AO的解析式；
（2）求的最大值；
（3）在对称轴上A点的上方是否存在一定点C，无论k取何值，使得△CMN的内心在对称轴上，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线经过A（－1，0）、C（0，）两点，与x轴交于另一点B．若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
B 综合训练
如图，顶点为M（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），与x轴交于另一点A．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）将抛物线沿射线OM移动得到新抛物线，其顶点为P，与射线OP交于另一点N，新抛物线于x轴交于点Q、H（点Q在H的左边），过N作NR⊥x轴于R，连接QN，在NR的延长线上有一点K，∠HKR＝∠NQR，求证：KR的长为定值．

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