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如果你和你的好友同时穿越到了古代同一时期，但分散了，你要怎么找到ta呢？
有这么一位仁兄，在出名后出了这么一个上联：“奇变偶不变”，来看谁能对出下联，你可以吗？
知识梳理一
1、诱导公式
当角的三角比已知时，与角相差或的整数倍的角的三角比就都可以根据对称性及坐标计算出来，规律详见下表.
角 （）
正弦
余弦
正切
余切
诱导公式可概括为的各三角比的化简公式．记忆规律是
“奇变偶不变，符号看象限”.
第1步：为奇数时，三角比名称发生变化，为偶数时，三角比名称不变；
第2步：不管是什么角，先将其当做锐角，再看在第几象限，及其对应的原三角比名称在该象限是正还是负，进而将符号放到第一步的结果前面．
示例：
第1步：的奇数倍，所以变，写下；
第2步：将当做锐角，在第四象限，原三角比名称在第四象限是负的，所以最终结果是.
利用诱导公式可将任意角的三角比转化成绝对值较小的角的三角比.
考察梳理一
考察1：利用诱导公式化简求值
【例1】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆
求值：
（1）___________； （2）___________；
（3）___________； （4）___________．
【例2】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆
化简：___________.
【例3】（2021·上海徐汇高一期末）★☆☆☆☆
已知，则的值为________．
【例4】（2021·上海高一课时练习）★★☆☆☆
计算：____________.
【练习】（2021·上海市建青实验学校高一期中）★☆☆☆☆
化简：_________
【练习】（2021·上海徐汇·位育中学高一期中）★☆☆☆☆
若，则＝________．
【练习】（新课程优选）★★☆☆☆
判断表达式的正负.
知识梳理二
2、同角三角比关系
根据定义，，，，，我们可以得到：
， ，
， .
注意：
（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，；
（2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立；
（3）由一个角的任一三角比可求出这个角的其余各三角比，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符号.
根据上述的同角三角比关系，我们还可以得到以下关系：
，
，
考察梳理二
考察2：根据同角关系求值
【例5】（2021春 徐汇区校级月考）★☆☆☆☆
已知，且是第四象限的角，求，，的值．
【例6】（2020秋 杨浦区期末）★☆☆☆☆
已知，，，则　　 ．
【例7】（2020秋 杨浦区期末）★☆☆☆☆
若，则　 　.
【例8】（2021春 金山区期中）★★☆☆☆
已知，则　 　．
【例9】（2020秋 普陀区校级期末）★★☆☆☆
已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【练习】（2021 黄浦区校级三模）★☆☆☆☆
已知，则的值为　　 ．
【练习】（2017春 浦东新区校级期中）★★☆☆☆
若，则的值为　　 ．
考察梳理三
考察3：已知三角比求角
【例10】（新课程优选）★☆☆☆☆
已知，当时，__________；当时；__________；当时，__________.
【例11】（教材练习）★☆☆☆☆
分别求满足下列条件的角的集合：
（1）；
（2）；
（3）.
【练习】（新课程优选）★☆☆☆☆
分别求满足下列条件的角的集合：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
1、（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆
计算：________．
2、（2019秋 杨浦区校级月考）★★☆☆☆
已知，，则　　 ．
3、（2021春 徐汇区校级月考）★★☆☆☆
已知，则的值为　　 ．
4、（2021春 浦东新区校级月考）★★☆☆☆
已知，则　　 ．
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- 1 -如果你和你的好友同时穿越到了古代同一时期，但分散了，你要怎么找到ta呢？
有这么一位仁兄，在出名后出了这么一个上联：“奇变偶不变”，来看谁能对出下联，你可以吗？
知识梳理一
1、诱导公式
当角的三角比已知时，与角相差或的整数倍的角的三角比就都可以根据对称性及坐标计算出来，规律详见下表.
角 （）
正弦
余弦
正切
余切
诱导公式可概括为的各三角比的化简公式．记忆规律是
“奇变偶不变，符号看象限”.
第1步：为奇数时，三角比名称发生变化，为偶数时，三角比名称不变；
第2步：不管是什么角，先将其当做锐角，再看在第几象限，及其对应的原三角比名称在该象限是正还是负，进而将符号放到第一步的结果前面．
示例：
第1步：的奇数倍，所以变，得到；
第2步：将当做锐角，在第四象限，原三角比名称在第四象限是负的，所以最终结果是.
利用诱导公式可将任意角的三角比转化成绝对值较小的角的三角比.
考察梳理一
考察1：利用诱导公式化简求值
【例1】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆
求值：
（1）___________；（2）___________；
（3）___________；（4）___________．
【答案】； ； ；
【详解】
；
；
；
.
故答案为：，，，.
【例2】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆
化简：___________.
【答案】1
【详解】
原式.
【例3】（2021·上海徐汇高一期末）★☆☆☆☆
已知，则的值为________．
【答案】
【详解】
，
故答案为：.
【例4】（2021·上海高一课时练习）★★☆☆☆
计算：____________.
【答案】-1
【详解】
解：，，
故答案为：．
【练习】（2021·上海市建青实验学校高一期中）★☆☆☆☆
化简：_________
【答案】
【详解】
，
故答案为：
【练习】（2021·上海徐汇·位育中学高一期中）★☆☆☆☆
若，则＝________．
【答案】
【详解】
解：，
，
故答案为：．
【练习】（新课程优选）★★☆☆☆
判断表达式的正负.
【答案】正.
【详解】
解：
，
因此，是正值.
知识梳理二
2、同角三角比的关系
根据定义，，，，，我们可以得到：
， ，
， .
注意：
（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，；
（2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立；
（3）由一个角的任一三角比可求出这个角的其余各三角比，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符号.
根据上述的同角三角比关系，我们还可以得到以下关系：
，
，
考察梳理二
考察2：根据同角三角比的关系求值
【例5】（2021春 徐汇区校级月考）★☆☆☆☆
已知，且是第四象限的角，求，，的值．
【答案】，，
【解答】解：因为，且是第四象限的角，
所以，
，．
【例6】（2020秋 杨浦区期末）★☆☆☆☆
已知，，，则　　 ．
【答案】
【解答】解：因为，，，
所以，，，
则．故答案为：．
【例7】（2020秋 杨浦区期末）★☆☆☆☆
若，则　 　.
【答案】0或2
【解答】解：，
，或，
．或．
故答案为：0或2．
【例8】（2021春 金山区期中）★★☆☆☆
已知，则　 　．
【答案】2
【解答】解：因为，所以．
【例9】（2020秋 普陀区校级期末）★★☆☆☆
已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解答】解：（1）因为：，
则两边平方，可得：，
解得：，
因为：，
可得：，，
可得：．
（2）因为由（1）可得，
所以．
【练习】（2021 黄浦区校级三模）★☆☆☆☆
已知，则的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：，
，
则．
【练习】（2017春 浦东新区校级期中）★★☆☆☆
若，则的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：，
则有，
则
．
故答案为：．
考察梳理三
考察3、已知三角比求角
【例10】（新课程优选）★☆☆☆☆
已知，当时，__________；当时；__________；当时，__________.
【答案】 ； 或 ； 或，
【例11】（教材练习）★☆☆☆☆
分别求满足下列条件的角的集合：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）或；
（3）.
【练习】（新课程优选）★☆☆☆☆
分别求满足下列条件的角的集合：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】
（1）；（2）或；
（3）或；
（4）或．
【详解】
（1）因为：；
所以：，.
所以解集为：.
（2）因为：，
所以：
.
解得：或（舍）
所以解集为：或.
（3）因为：
所以：
所以：或.
所以解集为：或.
（4）因为：.且.
所以：.
化简得：.
解得：或.
所以解集为：或．
1、（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆
计算：________．
【答案】1
【详解】
.
故答案为：
2、（2019秋 杨浦区校级月考）★★☆☆☆
已知，，则　　 ．
【答案】
【解答】解：把①，两边平方得：，
，
，，
，，即，
，即②，
联立①②，解得：，，
则．
故答案为：．
3、（2021春 徐汇区校级月考）★★☆☆☆
已知，则的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：因为，
两边平方得，
所以．
因为，
所以，，可得，
又，
所以．
4、（2021春 浦东新区校级月考）★★☆☆☆
已知，则　　 ．
【答案】
【解答】解：已知，则．
故答案为：．
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