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(共66张PPT)
数学
第二章　不等式
第1讲　相等关系与不等关系
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01
走进教材·自主回顾
02
s考点探究·题型突破
03
s方法素养·助学培优
04
知能提升·分层演练第1讲　相等关系与不等关系
最新考纲 考向预测
1.通过具体情境，感受生活中大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 命题趋势 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题.
核心素养 逻辑推理
1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a>c.
(3)可加性：a＞b a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；
a>b，c<0 aca＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
(5)可乘方性：a＞b＞0 an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；
(2)a<0(3)a>b>0，d>c>0 >.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0)．
常见误区
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(5)a>b>0，c>d>0 >.(　　)
(6)若ab>0，则a>b <.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
3．(易错题)若a>b>0，cA.－>0 B．－<0
C.> D．<
解析：选D.因为c又0所以－bd<－ac，即bd>ac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．已知1解析：因为1又因为<<，
所以<<＝2，即<<2.
答案：
　　　　　　比较两个数(式)的大小
[题组练透]
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pC．p>q D．p≥q
解析：选B.(作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，
所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q.故选B.
2．已知a>b>0，m>0，则(　　)
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
解析：选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，
所以<0.
即－<0.
所以<.
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
比较两个数(式)大小的方法
[注意]　(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．
　　　　　　不等式的性质
(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
【解析】　(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；
B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；
C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；
D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．
综上所述，故选C.
(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题； a2>ab， ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0 a2>b2>0 0<<，因为c<0，所以>，所以C命题是真命题；> －>0 >0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.
【答案】　(1)C　(2)BCD
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
1．(2020·无锡市高三上学期期末考试)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2<－ab　　 B．|a|<|b|
C.> D．>
解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.
2．已知aA．a2C．ba解析：选D.因为a0，b的符号不确定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
　　　　　　不等式性质的应用
已知－1【解析】　因为－1所以－3<－y<－2，
所以－4由－14<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
【答案】　(－4，2)　(1，18)
【引申探究】
1．(变条件)若将本例条件改为“－1解：因为－1所以－3<－y<1，所以－4又因为x＜y，所以x－y<0，
所以－4故x－y的取值范围为(－4，0)．
2．(变问法)若本例的条件不变，求2x－3y的取值范围．
解：因为－1所以－2<2x<8，－9<－3y<－6.
即－11<2x－3y<2.
故2x－3y的取值范围为(－11，2)
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
1．若6A．[9，18] B．(15，30)
C．[9，30] D．(9，30)
解析：选D.因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为62．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
高考新声音系列1　高考中的开放性试题
(2020·高考北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
【解析】　易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.
【答案】　(答案不惟一)
此类题目在近两年北京卷试题中都有出现，条件开放，有助于学生多角度思维发挥，提升学生的逻辑思维能力．
1．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为________．
解析：由a－b＝ab，得－＝1，
又a，b为正数，
所以有序数对可以为，，，等都符合题意．
答案：(答案不惟一)
2．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________．
解析：因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2cc不一定正确．
答案：－1，－2，－3(答案不惟一)
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数学
第二章　不等式
第2讲　一元二次不等式及其解法
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01
走进教材·自主回顾
02
s考点探究·题型突破
03
s方法素养·助学培优
04
知能提升·分层演练第2讲　一元二次不等式及其解法
最新考纲 考向预测
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式. 命题趋势 不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.
核心素养 数学运算、逻辑推理
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x>x2或xax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
常见误区
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2．解不等式时忽视变形必须等价．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于(　　)
A．(1，2)　 B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|13．不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|1解析：选C.由≤0，得解得14．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4答案：(－4，1)
5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得解得－4答案：(－4，0)
　　　　　　一元二次不等式的解法
解下列关于x的不等式．
(1)0(2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解】　(1)原不等式等价于
即
即
解得
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2(2)因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得③当01，解(x－1)<0得1综上所述，当0当a＝1时，解集为 ；
当a>1时，解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．　
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7) 2x(x－7)－3(x－7)>0 (x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.
答案：
2．不等式＋2≥0的解集为________．
解析：不等式变为≥0，即解得x>1或x≤.
答案：
3．解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
解：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
　　　　　　一元二次不等式的恒成立问题
角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参
数的范围
(2020·淮安模拟)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．　
【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2所以实数a的取值范围是(－2，2]．
【答案】　(－2，2]
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
角度二　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定
参数的范围
若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3
C．－3≤m≤0 D．m≤－3
【解析】　因为不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，
所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0，1]，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，1]，
所以f(x)min＝f(1)＝－3，
所以m≤－3.
【答案】　D
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])恒成立问题的求解思路
(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围．
(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．
角度三　给定参数范围的恒成立问题
已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
【解析】　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，解不等式组得x<1或x>3.故选C项．
【答案】　C
已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解．
(2020·苏州模拟)函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，
解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，
所以－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
思想方法系列1　转化与化归思想在一元二次不等式中的应用
若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．
【解析】　设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，
因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)，
如图，
所以
所以即
则－4【答案】　(－4，－2)
三个“二次”关系的应用
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系，解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题．
1．关于x的不等式(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则关于x的不等式x2＋bx－2a<0的解集为(　　)
A．(－2，5) B．
C．(－2，1) D．
解析：选A.由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1和3，则解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a<0即为x2－3x－10<0，解得－22．若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需即解得－答案：
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数学
第二章　不等式
第3讲　基本不等式
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走进教材·自主回顾
02
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04
知能提升·分层演练
E第3讲　基本不等式
最新考纲 考向预测
1.探索并了解基本不等式的证明过程. 命题趋势 本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 核心素养 数学运算、逻辑推理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
常见误区
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．(易错题)若x<0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
解析：选C.当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
4．设0解析：y＝2x(1－x)≤2＝.
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．
答案：
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0则面积S＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，
即x＝5时等号成立．
故当矩形的长与宽相等，
且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
答案：25
　　　　　　利用基本不等式求最值
技法一　配凑法求最值
(1)(2021·宿州模拟)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝(　　)
A．9　　 B．7
C．5 D．3
(2)已知0【解析】　(1)因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥
2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，
即x＝2时取等号，
所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，
所以2a＋3b＝7.
(2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，
即x＝时，取等号．
【答案】　(1)B　(2)
通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　
技法二　常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【解析】　＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】　9
【引申探究】
1．(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．　
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
2．(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．
答案：＋
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　
技法三　消元法求最值
(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________．
【解析】　方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是，
【答案】　
消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　
1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为(　　)
A．－9 B．9
C．10 D．0
解析：选B.＝5＋＋x2y2≥5＋2＝9，　
当且仅当xy＝±时，上式取得等号，可得最小值为9.
2．(2021·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选B.由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时取等号，故选B.
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)
A．0 B．
C．2 D．
解析：选C.z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.
　　　　　　利用基本不等式解决实际问题
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
当该型号汽车的速度为________km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时________L.
【解析】　当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，
即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少，最少为每小时9 L.
【答案】　65　9
应用基本不等式解决实际问题的基本步骤
(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(3)还原为实际问题，写出答案．　
某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y
＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.
答案：1 568
思想方法系列2　应用基本不等式的常见技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值
函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)
A．－4 B．1
C．5 D．－1
[思路点拨]　由于已知条件x＜3，x－3＜0，先将f(x)转化为f(x)＝－＋3，再用基本不等式求最值．
【解析】　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.
【答案】　D
技巧二　平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．
【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.
技巧三　展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．
[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，
因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.
技巧四　形如型函数变形后使用基本不等式
若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y＝(x≠－1)的值域．
[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．
【解】　因为y＝＝
＝＝x＋1＋＋5，
当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；
当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．
技巧五　用“1”的代换法求最值
若a，b为常数，且0[思路点拨]　根据待求式的特征及00，1－x>0.又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．
【解】　因为0所以1－x>0.
所以＋＝(x＋1－x)＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)]
＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
当且仅当＝时，等号成立．
所以＋≥(a＋b)2.
故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.
技巧六　代换减元求最值
(2021·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b) 在直线x＋y＋c＝2上，则＋的最小值为________．
[思路点拨]　本题由已知条件求出a，b，c的关系，再利用均值不等式求最值．
【解析】　因为P(a，b)在x＋y＋c＝2上，
所以a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0，
＋＝＋＝＋－1，
设则m＋n＝2，
＋＝＋＝×
＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当m2＝2n2，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋－1≥3＋2－1＝2＋2，
即＋的最小值为2＋2.
【答案】　2＋2
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