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【沪教版2020】必修 第一册 章节 知识点 内容提要解读与例析
【学生版】
《第 5 章 函数的概念、性质及应用》知识点解读与例析（1）
【本章目录】
5.1 函数
5.1.1 函数；5.1.2 函数的表示方法；
知识点1、函数的概念
一般地，设D是非空的 ，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有 的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作： ， .
知识点2、函数的定义域、值域
对于函数y＝f(x)，x∈D；其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的 ；
对于自变量x0，由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)；所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的 ；
知识点3、两个函数相同
如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个 的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）例如：与；
知识点4、函数的表示方法
（1）用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为 ；
（2）对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像；这种表示函数的方法方法叫做 ；
（3）通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法叫做 ；
知识点5、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做 ；分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数；
【说明】（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数；
【拓展】知识点6、复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，
u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数；
5.2 函数的基本性质
5.2.1 函数的奇偶性；5.2.2 函数的单调性；5.2.3 函数的最值；
知识点7、 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图像特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是 关于y轴对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是 关于原点对称
【注意】1、如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；2、如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；3、奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
4、对称性的三个常用结论
（1）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
（2）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
（3）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.；
5、深入理解函数的奇偶性要注意以下四点：
（1）函数的单调性是函数“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有（或），才能说是奇（或偶）函数；
（2）函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，例如，函数在区间上是偶函数，但在区间是无奇偶性可言；
（3）若奇函数在原点处有定义，则必有 ；
（4）若，且，则既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即是关于原点对称的非空实数集；
【特别注意】函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势，奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质；
6、 奇偶函数的图像特征
（1）奇函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）偶函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数；
（3）应用：
①如果知道一个函数是奇函数或偶函数，那么只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图像，就可以推出这个函数在另一部分上的性质和图像；
②如果为奇函数，点在其图像上，那么点，即点也在的图像上；
③如果为偶函数，点在其图像上，那么点，即点也在的图像上；
知识点8、函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的
（2）严格单调函数的定义
对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1如果总成立f(x1)如果总成立f(x1)>f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是 减函数；
（3）单调函数与单调区间的定义
如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数；
并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间；
【注意】
1、证明函数单调性的步骤
（1）取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论；
2、【易错点】提醒：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性；
3、一些常见结论
（1）若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
（2）若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
（3）若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
若且为减函数，则函数为减函数，为增函数；
4、“对勾函数”y＝x＋(a>0)的严格单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；
严格单调减区间是[－，0)，(0，].
知识点9、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)＝M （3）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（4）存在x0∈I，使得f(x0)＝m
结论 M为最大值 m为最小值
5.3 函数的应用
5.3.1 函数关系的建立；5.3.2 用函数观点求解方程与不等式；5.3.3 用二分法求函数的零点
知识点10、函数关系的建立
在研究某些数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系；
【注意】易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性；
知识点11、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的 叫做函数y＝f(x)的零点.
函数零点的意义：函数的零点就是方程 ，亦即函数的图像与轴交点的 ；
即：函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点；
（2）零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
（3）函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
【注意】1、若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点，函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2、由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件；
3、并不是所有的函数都有零点，如函数就没有零点；
4、函数零点的求法
（1）代数法：求函数零点就是求相应方程的实数根。一般可以借助于求根公式、因式分解、运算性质等求出方程的根；
（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数的图像联系起来，借助图像；
5、判断零点是否存在的方法
（1）直接解方程，若有解，则存在零点；
（2）利用函数零点存在性定理判断函数是否在区间上存在零点，除需判断是否成立外，还需判断函数在区间上是否为连续曲线.
6、判断函数零点个数的主要方法：
（1）直接求出函数零点进行判断；
（2）由函数，得，在同一平面坐标系下作出和的图象，利用图象判定与图象的交点个数，也就是方程根的个数，即函数的零点个数；
（3）借助函数的单调性及函数零点存在性定理进行判断.
知识点12、二分法
二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
（2）求区间(a，b)的中点c.
（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c；
（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）；
*5.4 反函数
5.4.1 反函数的概念；5.4.2 反函数的图像
知识点13、反函数
对于函数，记其值域为；如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足；那么得到的关于的函数叫做的反函数，记作，；
由于习惯上，自变量常用表示，而函数值常用表示，因此把该函数改写为；
知识点14、命题
在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P’(b,a)关于直线y=x对称；
知识点15、互为反函数的图像性质
互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称；
【注意】互为反函数的两个函数的关系：
①从函数角度看：若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域；
②从函数图像看：原函数和反函数图像关于对称；
③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性；
④若点在图像上，则必在图像上；
⑤已知，求，可利用，从中求出，即是.
⑥一些常用的结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数；
（2）奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；
（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；
【教师版】
《第 5 章 函数的概念、性质及应用》知识点解读与例析（1）
【本章目录】
5.1 函数
5.1.1 函数；5.1.2 函数的表示方法；
知识点1、函数的概念
一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D.
知识点2、函数的定义域、值域
对于函数y＝f(x)，x∈D；其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域；
对于自变量x0，由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)；所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域；
知识点3、两个函数相同
如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）例如：与；
知识点4、函数的表示方法
（1）用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法；
（2）对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像；这种表示函数的方法方法叫做图像法；
（3）通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法叫做列表法；
知识点5、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数；分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数；
【说明】（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数；（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数；
【拓展】知识点6、复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，
u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数；
5.2 函数的基本性质
5.2.1 函数的奇偶性；5.2.2 函数的单调性；5.2.3 函数的最值；
知识点7、 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图像特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
【注意】1、如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；2、如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；3、奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
4、对称性的三个常用结论
（1）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
（2）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
（3）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.；
5、深入理解函数的奇偶性要注意以下四点：
（1）函数的单调性是函数“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有（或），才能说是奇（或偶）函数；
（2）函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，例如，函数在区间上是偶函数，但在区间是无奇偶性可言；
（3）若奇函数在原点处有定义，则必有；
（4）若，且，则既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即是关于原点对称的非空实数集；
【特别注意】函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势，奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质；
6、 奇偶函数的图像特征
（1）奇函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）偶函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数；
（3）应用：
①如果知道一个函数是奇函数或偶函数，那么只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图像，就可以推出这个函数在另一部分上的性质和图像；
②如果为奇函数，点在其图像上，那么点，即点也在的图像上；
③如果为偶函数，点在其图像上，那么点，即点也在的图像上；
知识点8、函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的
（2）严格单调函数的定义
对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1如果总成立f(x1)如果总成立f(x1)>f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数；
（3）单调函数与单调区间的定义
如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数；
并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间；
【注意】
1、证明函数单调性的步骤
（1）取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论；
2、【易错点】提醒：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性；
3、一些常见结论
（1）若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
（2）若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
（3）若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
若且为减函数，则函数为减函数，为增函数；
4、“对勾函数”y＝x＋(a>0)的严格单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；
严格单调减区间是[－，0)，(0，].
知识点9、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)＝M （3）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（4）存在x0∈I，使得f(x0)＝m
结论 M为最大值 m为最小值
5.3 函数的应用
5.3.1 函数关系的建立；5.3.2 用函数观点求解方程与不等式；5.3.3 用二分法求函数的零点
知识点10、函数关系的建立
在研究某些数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系；
【注意】易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性；
知识点11、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图像与轴交点的横坐标；
即：函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点；
（2）零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
（3）函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
【注意】1、若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点，函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2、由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件；
3、并不是所有的函数都有零点，如函数就没有零点；
4、函数零点的求法
（1）代数法：求函数零点就是求相应方程的实数根。一般可以借助于求根公式、因式分解、运算性质等求出方程的根；
（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数的图像联系起来，借助图像；
5、判断零点是否存在的方法
（1）直接解方程，若有解，则存在零点；
（2）利用函数零点存在性定理判断函数是否在区间上存在零点，除需判断是否成立外，还需判断函数在区间上是否为连续曲线.
6、判断函数零点个数的主要方法：
（1）直接求出函数零点进行判断；
（2）由函数，得，在同一平面坐标系下作出和的图象，利用图象判定与图象的交点个数，也就是方程根的个数，即函数的零点个数；
（3）借助函数的单调性及函数零点存在性定理进行判断.
知识点12、二分法
二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
（2）求区间(a，b)的中点c.
（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c；
（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）；
*5.4 反函数
5.4.1 反函数的概念；5.4.2 反函数的图像
知识点13、反函数
对于函数，记其值域为；如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足；那么得到的关于的函数叫做的反函数，记作，；
由于习惯上，自变量常用表示，而函数值常用表示，因此把该函数改写为；
知识点14、命题
在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P’(b,a)关于直线y=x对称；
知识点15、互为反函数的图像性质
互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称；
【注意】互为反函数的两个函数的关系：
①从函数角度看：若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域；
②从函数图像看：原函数和反函数图像关于对称；
③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性；
④若点在图像上，则必在图像上；
⑤已知，求，可利用，从中求出，即是.
⑥一些常用的结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数；
（2）奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；
（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）

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