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利用曲线系方程巧解解析几何试题
“曲线系方程”法,为解决一类解析几何问题提供了新的思路,相较于联立直线与曲线方程的通法,该法过程简洁、计算量小,可以提高解题效率。
若两曲线有公共点,则过点的曲线系方程为(不包含曲线).
由此不难得到:
(1)若两直线与曲线共有四个交点,则过四点的曲线系方程为(不包含曲线);
(2)若直线交于点,直线交于点,过M,N两点的曲线系方程为
一、求曲线的方程问题
例1.求过椭圆与抛物线的交点,且与直线相切的二次曲线方程.
解析:设所求曲线方程为,
即,与联立,
得.
由题知,解得,
所以满足条件的曲线方程为.
二、求斜率为定值问题
例2.已知抛物线上三点,若直线AB,AC的斜率互为相反数,则直线BC的斜率为_________
解析:将代人,得,则抛物线方程为.
设,
联立
得.
由于A,B,C三点的纵坐标为该方程的三个根,
所以B,C两点纵坐标满足.
又,所以.故直线BC的斜率为.
三、求斜率和为定值问题
例3.(2021年全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点,点满足2,记的轨迹为.设点在直线上,过点的两条直线分别交于A,B两点和P,Q两点,且,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析:设,直线AB与直线PQ的斜率分别为,
则直线AB与直线PQ的方程为,
则A,B,P,Q四点满足方程.
又A,B,P,四点在曲线上,
所以A,B,P,Q四点满足方程
又由圆的相交弦定理的逆定理知A,B,P,Q四点共圆.由圆的一般式知方程式①中项系数为0,得,则.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
四、求斜率积为定值问题
例4.已知椭圆上一点,过点的直线与椭圆交于A,B,两点（异于点P），求证：直线PA与PB的斜率积为定值.
解析：设直线PA,PB的斜率分别为,
则,
故P,A,B三点满足方程1).
联立,
整理,得.
由于P,A,B三点的纵坐标为该方程的根,
所以A,B两点坐标满足,
即为直线AB的方程.由直线AB过点,
则1),即.
故直线PA与直线PB的斜率积为定值.
五、求数量积为定值问题
例5.已知A,B为椭圆的左、右顶点,过其焦点的直线与椭圆交于C,D两点,并与轴交于点(异于A,B)，直线AC,BD交于点,求证为定值.
解析：由题知,则.
设直线CD,AC,BD的斜率分别为,
则,
于是,,则.
由题知A,B,C,D四点满足方程.,
即.
而A,B,C,D四点在椭圆上,则,且.
于是.故为定值.
六、求直线过定点问题
例6.已知A,B分别为椭圆的左、右顶点,为的上顶点,为直线上的动点,PA与的另一个交点为C,PB与的另一个交点为.
证明:直线CD过定点.
解析:设,则.
当时,直线CD即为轴;
当时,因为,所以,则.
设直线BC,BD的斜率分别为,
则,且.
于是B,C,D三点满足方程.
联立,得.
易知B,C,D三点的横坐标为该方程的三个根,
所以.由及的任意性,知直线CD过定点
七、求圆过定点问题
例7已知抛物线经过点.设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点M,N,且直线分别交直线OM,ON于点和点.
求证:以AB为直径的圆经过轴上的两个定点.
解析:设,直线OM,ON的斜率分别为,
则,且.
于是O,M,N二点满足方程,即.
联立,整理,得.
易知点的坐标为该方程的三根,
则.
又焦点在直线MN上,所以,
即,即,解得.
以AB$直径的圆的方程为,
令,得,即或.
故以AB为直径的圆经过轴上的定点和.
八、求四点共圆问题
例8.已知椭圆,设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点A,B,线段AB的中点为,直线OM与椭圆交于C,D两点,求证:A,B,C,D四点共圆.
解析:设,
则.两式相减,得,
整理得.
则有.
于是A,B,C,D满足方程0.
又A,B,C,D四点满足方程,
所以A,B,C,D四点满足方程,
即.
令,得,有,
即,此即为, 四点所在的圆的方程.

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