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专题五 数列 第二讲 数列求和及综合应用 习题2
1.已知数列的首项,前项和为.设,则数列的前项和的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和为,若,则的值为( )
A. B.6 C. D.4
3.定义在上的函数满足:当时,;当时,.记函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知为数列的前项和,且,若,则数列前2 019项的和为( )
A. B. C. D.
5.数列的前项和为( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.
B.数列是公比为8的等比数列
C.若，则数列的前2020项和为4040
D.若，则数列的前2020项和为
7.我们把叫作“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设表示数列的前n项和，则使不等式成立的正整数n的值可以是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.数列中，则_________.
9.数列的通项公式为,其前项和为,则______________.
10.为等差数列的前n项和，已知.
（1）求及；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由,可得当时,有,两式相减得,故.
又当时,,
所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,故.
所以,所以.
所以,①
,②
①②,得,
化简整理得,因为,
所以,又,所以数列是递增数列,所以,所以,故的取值范围是,选C.
2.答案：C
解析：,当时,,两式相减得.时,,又,解得.,解得.
3.答案：A
解析：当时,,可得.当时,,可得;当时,即,可得;则.记,则,两式相减可得,化简可得.
4.答案：B
解析：由,可得,所以,
当时,,得,
可得,则.
所以,
,
则数列的前2 019项的和为.
5.答案：A
解析：,所以数列的前项和为.
6.答案：CD
解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和的公式、数列求和的方法.由等差数列的性质可知，，故A错误；设的公差为d，则有解得，故，则数列是公比为的等比数列，故B错误；若，则的前2020项，故C正确；若，
则的前2020项和，故D正确.故选CD.
7.答案：CD
解析：本题考查等比数列以及分组求和.
，
，
，
.
当时，左边=1024，不满足题意；
当时，左边=2048，满足题意，
故最小正整数n的值为9.故选CD.
8.答案：5
解析：由及得，，故.
所以即.
又所以，
所以，
即.
所以.
9.答案：150
解析：由数列的通项公式得,四项为一组,每组的和都是6,故.
10.答案：（1）设等差数列的公差为d，则
由得： ①
又
即 ②
由①②解得：
（2）由（1）得：
数列的前n项和
由，显然随n的增大而增大.，即专题五 数列 第二讲 数列求和及综合应用 习题1
1.已知数列满足，则其前100项和为( )
A.250 B.200 C.150 D.100
2.设数列的前n项和为，若，则数列的前40项和为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
4.已知数列中，设则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
5.数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
（多项选择题）
6.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A.为等比数列 B.的通项公式为
C.为递增数列 D.的前n项和
7.已知正项数列的首项为2，前n项和为，且，数列的前n项和为，若，则n的值可以为( )
A.543 B.542 C.546 D.544
8.设，且，则____________.
9.已知在数列中，且，设数列满足，对任意正整数n不等式均成立，则实数m的取值范围为____________.
10.在公比大于0的等比数列中，已知依次组成公差为4的等差数列
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
答案以及解析
1.答案：D
解析：当n为奇数时，，则前100项和为.
2.答案：D
解析：若，则，当时，，也适合，则，，数列的前40项和为.
3.答案：B
解析：已知数列满足，在等式两边同时取倒数得，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为2，则，，，因此，.故选B.
4.答案：A
解析：当时，
当时，也成立，所以，则，
设为数列的前n项和，则.
5.答案：A
解析：，
，即，符合上式，，.故选A.
6.答案：AD
解析：，，又，是以4为首项，2为公比的等比数列，即，，，为递减数列，的前n项和.故选AD.
7.答案：AB
解析：本题考查数列的前n项和与通项的关系、裂项相消法求和.依题意，，则，即，故数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则，所以，则.令，解得，即，故选AB.
8.答案：10
解析：，则，解得.
9.答案：
解析：，则，所以，则，则.
10.答案：（1）（2）
解析：（1）设的公比为q，因为成等差数列，所以，则，又，所以
又因为，所以，
所以
（2）由题可知，
则，①
，②
①-②得.
故(共57张PPT)
专题五 数列
第二讲 数列求和及综合应用
高考考点 考点解读

求数列的通项公式 1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式，已知等差（比）的某些项或前几项的和，求其通项公式
2.考查等差（比）数列的概念以及通项公式、前n项和公式等
（一）考点解读
高考考点 考点解读

等差（比）数列的性质 1.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、分组求和
2.以递推数列、等差（比）数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
（一）考点解读
高考考点 考点解读

与数列的和有关的综合应用 1.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和
2.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：求数列的通项公式
[典型例题]
[解析]
[解析]
[典型例题]
[解析]
[解析]
提醒：
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
考点2：求数列的前n项和
[典型例题]
[解析]
[解析]
[典型例题]
[解析]
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
考点3：与数列的和有关的综合应用
[典型例题]
[解析]
[解析]
[典型例题]
[解析]
[解析]
『规律总结』
提醒：
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
[跟踪训练]
[解析]
[解析]
Thanks专题五 数列
第二讲 数列求和及综合应用
（一）考点解读
高考考点 考点解读
求数列的通项公式 1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式，已知等差（比）的某些项或前几项的和，求其通项公式2.考查等差（比）数列的概念以及通项公式、前n项和公式等
求数列的前n项和 1.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、分组求和2.以递推数列、等差（比）数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
与数列的和有关的综合应用 1.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和2.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等
（二）核心知识整合
考点1：求数列的通项公式
(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
(2)已知Sn与an的关系，利用an＝求an．
(3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
(4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
(5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋＝p(an＋)(p≠1)的形式，利用{an＋}是以p为公比的等比数列求解；
②递推关系形如an＋1＝(p为非零常数)可化为－＝的形式．
[典型例题]
1.已知各项都为正数的数列满足.
（1）证明：数列为等比数列.
（2）若，，求的通项公式.
[解析]　 （1）因为，，
所以，，
又数列各项都为正数，所以，
所以.
所以数列为等比数列，公比为3.
（2）由（1）知，
则，，，
又，所以，所以，.
2.设数列前项和为，若，且
(1)求的通项公式
(2)设，求前项的和.
[解析] (1)因为，且 ①
当时，，得或(舍)；
当时， ②
由①②得，，
因为，所以，可得，
所以是以3为首项，公差为的等差数列，
所以.
(2)由(1)中结论得，，
所以
.
提醒：数列的通项公式和函数表达式一样，可以由一个表达式给出，也可以分段由几个表达式给出.若已知一个数列的前n项和，则其通项公式为
只有，满足的情形，通项公式才可以统一写成.
[跟踪训练]
1.在数列中,.
(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
[解析]　 (1)因为,所以，
又,所以,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
所以,
所以数列的通项公式.
(2)由(1)得,
所以,①
,②
由①-②得,
所以.
2.已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和.
[解析] （1）因为，
所以.
因为，
所以是首项为3，公比为3的等比数列.
所以，故.
当时，，当时，也符合上式，所以.
（2）由（1）可得.
故，
所以 ，
整理可得.
考点2：求数列的前n项和
1.分组求和法
分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
2．裂项相消法
将数列的通项an分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{}(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．
3．错位相减法
形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
4．倒序求和法
距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
(1)常见的拆项公式(其中n∈N*)
①．
②．
③．
④若等差数列{an}的公1差为d，则．
⑤．
⑥．
⑦．
(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
[典型例题]
1.已知为等差数列的前n项和，，．
（1）求；
（2）记数列的前n项和为，证明：．
[解析]　 (1)设等差数列的公差为d，则，
∴由题意，有，得，，
∴．
（2），
∴
．
2.已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
[解析] （1）① ②
①-②得，则，
在①式中，令，得.
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，.
（2）. 所以，③
则 ，④
③-④得，
.
『规律总结』
1．分组求和的常见方法
(1)根据等差、等比数列分组．
(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(－1)n等特征．
2．裂项相消的规律
(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．
(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多．
3．错位相减法的关注点
(1)适用题型：等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘{an·bn}型数列求和．
(2)步骤：
①求和时先乘以数列{bn}的公比．
②把两个和的形式错位相减．
③整理结果形式．
[跟踪训练]
1.已知数列满足：，且对任意正整数m，n，恒成立.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
[解析] （1）因为对任意正整数m,n,恒成立，
所以时，有对任意正整数n恒成立，
又，所以，
即是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，
两边乘以，得，
两式相减，得
，
所以.
2. 已知数列是等差数列，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.
[解析] （1）由题意得，所以，
时，，公差，所以，
时，，公差，所以.
（2）若数列为递增数列，则，所以，，，
所以，
，
所以
，
所以.
考点3：与数列的和有关的综合应用
数列与函数、不等式的综合问题的常见题型
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
[典型例题]
1.已知是等差数列，，是函数的两个不同零点.
（1）求数列的通项公式;
（2）若，，求.
[解析] （1）设数列的公差为.
，是函数的两个不同零点，
，.
，，
解得，，或.
若，则，不合题意，舍..所以，.
（2），
，
即，.
由得，，即.,
，.，即，，或.
当时，结论不成立，舍.
所以，，因此.
2.已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式，并求使得的n的取值范围.
[解析] （1）设等比数列的公比为q，
由是等差数列的前三项，得，
即，
所以，整理得，解得.
由，得，所以， 所以.
（2）由（1）得，
所以，，
所以等差数列的前三项为，
所以.
由，得，即.
令，故有.
当时，，即；
当时，，即，而.
所以使得的n的取值范围是，.
『规律总结』
数列与函数、不等式的综合问题的常见题型
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
提醒：解决数列与函数综合问题的注意点
(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
[跟踪训练]
1. 已知等差数列中，，。
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：
[解析] （1）设数列的公差为，由题意有，解得.
故数列的通项公式为.
（2）
2. 已知等差数列中,.
(1)求的通项公式.
(2)设数列的前项和为,求证：.
[解析] (1)解：设等差数列的公差为,则.
,
.
(2)证明：由(1)知,,
.
令,由函数的图像(图略)可知,,,
.

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