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专题一　几何图形的折叠问题(含多次折叠)
(6年5考)
类型一　折痕有一端点固定
　　　　　　　　　(2021.15)
方法突破
例　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A的对应点A′落在矩形内部，且点A′到矩形较长两边的距离之比为1∶3，请直接写出AE的长．
例题图
【思路引导】
第1步：折叠的本质是全等变换，则A′B＝______，因此点A′的运动轨迹是以点______为圆心，______长为半径的一段弧；
第2步：根据题意可知，点A′在矩形内部，且到矩形较长两边的距离之比为1∶3，分别过线段AB的两个四等分点作BC的平行线交圆弧于点A′，A″；
第3步：分别连接AA′，AA″，并作AA′与AA″的垂直平分线，得到折痕AE；
　　　　
第4步：根据折叠的性质以及一线三垂直，得到相似三角形，列出比例关系求解即可．
【自主作答】AE的长为________．
作图技能
提分要点
解决折痕有一端点固定的折叠问题的关键是画以固定端点为圆心，定长为半径的圆，确定出对应点的轨迹．常见的折痕一端点固定的折叠问题及作图方法如下：
1．解决几何图形折叠中关于点落在图形的边、对角线、角平分线、垂直平分线等特殊线段上时的作图步骤如下：
第1步：以折痕的固定端点为圆心，以定长为半径画出对应点的轨迹；
第2步：结合设问的落脚点，画出满足条件的图形轨迹，与第1步的轨迹相交的点即为对应点的位置；
第3步：画出满足条件的图形；
第4步：计算，往往利用勾股定理或相似三角形的性质计算即可；
2．解决几何图形折叠中构成的特殊图形作图方法：
(1)若构成的图形为等腰三角形，用两圆一线画图与前面的圆弧的轨迹的交点即为对应点的位置；
(2)若构成的图形为直角三角形，用两线一圆画图与前面的圆弧的轨迹的交点即为对应点的位置．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边BC上的一个动点(点E不与点B、C重合)，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在B′处．
(1)请在图中画出当点B′落在矩形ABCD边上时的图形；
图①
(2)请在图中画出当点B′落在∠C的平分线上时的图形；
图②
(3)连接DB′，画出当△AB′D为直角三角形时的图形；
图③
(4)连接DB′，当△AB′D为等腰三角形时，画出满足题意的所有图形；
图④
备用图
(5)连接DB′、CB′，当△B′CD为直角三角形时，画出满足题意的所有图形．
图⑤
备用图
试题演练
1. (2021成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′.则线段BF的长为________；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为________．
第1题图
2. 如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠ABC＝30°，E是AD边上一点，连接CE，将 ABCD沿CE折叠，点D的对应点为D′，连接BD′，当△CBD′是直角三角形时，DE的长为________．
第2题图
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在边BC上，且＝2，将矩形沿过点E所在的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，则AF的长为________．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，点N为点B关于直线DM的对称点，当MN∥AC时，BM的长为________．
第4题图
类型二　折痕两端点不固定
(2018、2017.15)
方法突破
例　如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别是BC，AD上的动点，且点E，F不与矩形四个顶点重合，将矩形纸片沿EF折叠，若点C的对应点M为矩形ABCD一边的中点，请直接写出折痕EF的长．
例题图
【思路引导】
第1步：由点C的对应点M为矩形ABCD一边的中点可画出点M1，M2与M3如图；
第2步：分别连接CM1，CM2与CM3；
　
第3步：分别作线段CM1，CM2与CM3的垂直平分线与矩形ABCD的交点即为折痕的端点，EF为折痕，根据题意，舍去当点F与点D重合时的情况；
　
第4步：建立一线三垂直相似模型，运用相似三角形的性质、勾股定理，列式进行相关计算．
【自主作答】折痕EF的长为________．
作图技能
提分要点
解决折痕端点不固定的折叠问题的关键是根据折叠后对应点或图形满足的条件确定出关键顶点的对应点位置，并据此确定出折痕位置，常见作图方法如下：
(1)若题干明确指出折叠后某顶点的对应点落在某一特殊位置(如某线段的中点、三等分点等)．
第1步：确定折叠后的对应点的特殊位置；
第2步：连接已知顶点与其对应点；
第3步：作第2步得到的线段的垂直平分线即为折痕所在直线；从而画出满足条件的图形．
(2)若题干未说明具体顶点的对应点所在位置，但要求折叠后产生的图形满足一定条件(如形状为特殊三角形等)，需要先根据所满足的条件考虑是否需要分类讨论，利用相关图形性质先判断出关键顶点的对应点位置，再利用(1)的步骤确定出折痕位置，从而画出满足条件的图形．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，点D、E分别是BC、AB边上的动点，连接DE，将∠B沿直线DE折叠，点B落在B′处．
(1)请画出当点B′为AC边的中点时的图形；
图①
(2)连接B′C，画出当B′C∥DE，且点B′在△ABC的内部时的图形；
图②
(3)画出当点B′落在AC边上，且△AEB′是以B′E为腰的等腰三角形时的图形．
图③
试题演练
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)．若以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AD的长为________．
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD的长为__________．
第2题图
类型三　背景图形大小不固定
(2019、2016.15)
方法突破
例　如图，四边形ABCD是边长为m(m>3)的正方形，若AF＝m，E为AB上一点且BE＝3，把△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，连接BA′，若△BA′E为直角三角形，请直接写出m的值．
　
例题图
【思路引导】
第1步：结合已知题干“△BA′E为直角三角形”，可知∠BA′E＝90°或∠A′EB＝90°；
第2步：先确定点F的位置，当∠BA′E＝90°时，B、A′、F三点共线；当∠A′EB＝90°时，四边形AFA′E为正方形，补全两种情形下的图形如下图；
　　
第3步：在Rt△BA′E中，根据折叠的性质以及勾股定理列方程进行计算求解，即可得到m的值．
【自主作答】m的值为________．
作图技能
如图，点A为直线l1外一点，过点A作直线l2∥l1，过点A作AB⊥l1于点B，点C为l1上点B右侧一动点，连接AC，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点B′处．在l1上取一点D，在l2上取一点E，构成矩形ABDE，且点C在BD之间．
①画出当点B′落在矩形ABDE边上的图形；
图①
②画出当点B′落在矩形ABDE对角线上的图形；
图②
③连接B′D，画出当△B′DC为直角三角形时的图形．
图③
试题演练
如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝a，E是AB边上一点，AE＝a，F是CD边上一点，且DF＝1，连接AF、EF，△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称，若点A′落在△EFC的边上，则a的值为________．
　题图
专题一　几何图形的折叠问题答案与详解
类型一　折痕有一端点固定
方法突破
例　【思路引导】AB，B，AB
或　【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD于点M，延长MA′交BC于点N.则四边形ABNM是矩形．∴MN＝AB＝4.∵点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，如解图①，在Rt△BA′N中，BN＝＝，∴AM＝BN＝，易证△A′EM∽△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②当A′M＝3，A′N＝1时，如解图②，在Rt△BA′N中，BN＝＝，由△A′EM∽△BA′N，∴＝ .∴＝ .∴EM＝ .∴AE＝.综上所述，AE的长为或.
图①
图②
例题解图
作图技能
解：(1)如解图①所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆交AD于点B′，则点B′即为所求；
解图①
(2)如解图②所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆；过点C作∠BCD的平分线．交⊙A于点B′.则点B′即为所求；
解图②
(3)当△AB′D为直角三角形时有三种情况：①当∠DAB′＝90°时，点E与点B重合，不符合题意；②当∠AB′D＝90°时，如解图③所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆，再以AD为直径画圆交⊙A于点B′，B″，当点E与点C重合时，点B的对应点位于B″的下方，∴点B″不满足题意，则点B′即为所求；③当∠ADB′＝90°时，点B′在直线CD上，不存在这种情况；
解图③
(4)当△AB′D为等腰三角形时有三种情况：①当AB′＝B′D时，如解图④所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆，作AD的垂直平分线交⊙A于点B′，B″，则点B′即为所求，点B″不合题意；②当AD＝B′D时，如解图⑤所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆，再以点D为圆心，AD长为半径画圆，交⊙A于点B′，B″，点B″不满足题意，则点B′即为所求；③当AD＝AB′时，此时AB′＝AB≠DA，此情况不存在；
解图④
解图⑤
(5)当△B′CD为直角三角形时有三种情况：①当∠DCB′＝90°时，点B与点E重合，不符合题意；②当∠DB′C＝90°时，如解图⑥所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆，再以CD为直径画圆交⊙A于点B′，B″，则点B′，B″即为所求；③当∠B′DC＝90°时，如解图⑦所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆交AD于点B′，则点B′即为所求．
解图⑥
解图⑦
试题演练
1. 1；　【解析】如解图①，过点F作FG⊥AD于点G，设EF与AC的交点为O，∴∠AGF＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∠D＝90°，∴四边形ABFG为矩形，由折叠的性质得，∠AOE＝90°，∴∠OAE＋∠AEO＝90°，∵∠OAE＋∠ACD＝90°，∴∠AEO＝∠ACD，∴tan∠AEF＝tan∠ACD，∴＝＝2，∴GE＝2，∴BF＝AG＝AE－GE＝1；如解图②，过点F作FG⊥AD于点G连接NE、NF，由折叠的性质得，MN为EF的垂直平分线，∴NE＝NF，设A′N＝x，则＝，∴＝，解得x＝1，∴NB′＝EA′＝3，NF＝，∵EF＝＝2，∴MF＝EF＝，∴MN＝＝.
图①
图②
第1题解图
2. 或2　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝2.如解图①，当∠BCD′＝90°时，过点A作AF⊥BC于点F，∵∠ABC＝30°，∴AF＝2，BF＝2，∴点C与点F重合，∴CD′经过点A，∴∠D′AE＝90°，∴由折叠的性质可得，CD′＝CD＝4，∠CD′E＝∠D＝30°，∴AD′＝CD′－AC＝2，∴AE＝，∴DE＝；如解图②，当∠D′EC＝90°时，∴∠CED＝90°，∴点E与点A重合，∴DE＝2.
图①
图②
第2题解图
3. 4＋或4－　【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝6，BE＝2CE，∴BE＝4，C′E＝CE＝2，在Rt△BC′E中，sin∠C′BE＝＝，∴∠C′BE＝30°；当点C′在BC的上方时，如解图①，过点E作EG⊥AD于点G，延长EC′交AD于点H，延长D′C′到点B，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝3，AG＝BE＝4，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°，∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，在Rt△EFG中，EG＝3，∴GF＝，∴AF＝4＋；当点C′在BC的下方时，如解图②，过点F作FG⊥BC交BC于点G，D′F交BE于点H，延长C′D′到点B.同理可得四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝3，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝，∵BE＝4，∴BG＝4－，∴AF＝4－，综上所述，AF的长为4＋或4－.
图①
图②
第3题解图
4. －1 或＋1　【解析】∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，∴∠C＝∠ABC＝30°.分两种情况：①如解图①，设DN交BC于点E，∵MN∥AC，∴∠CMN＝∠C＝30°，由对称的性质可得，∠N＝∠ABC＝30°，∴∠CMN＝∠N＝30°，∴ME＝EN，∠DEM＝60°，∴∠ABC＋∠DEM＝90°，∴∠BDE＝90°.∵点D为AB的中点，∴BD＝AB＝1.∴DE＝BD·tan30°＝，BE＝＝，∴ME＝EN＝DN－DE＝BD－DE＝1－，∴BM＝BE－ME＝－(1－)＝－1；②如解图②，设MN交AB于点E，∵MN∥AC，∴∠BMN＝∠C＝30°.∵∠ABC＝30°，∴ME＝BE，∠DEN＝60°.由对称的性质可得，∠N＝∠ABC＝30°，∴∠N＋∠DEN＝90°，∴∠NDE＝90°.∵点D为AB的中点，∴DN＝BD＝AB＝1.∴DE＝DN·tan30°＝，NE＝＝，∴ME＝BE＝BD＋DE＝1＋，∴BM＝MN＝NE＋ME＝＋1＋＝＋1.综上所述，BM的长为－1或＋1.
图①
图②
第4题解图
类型二　折痕两端点不固定
方法突破
例　【自主作答】 或4　【解析】如解图①，当点M为AB的中点时，过点E作EH⊥AD于点H，设MG与AD交于点N，设EM＝EC＝x，则BE＝8－x，∵点M 是AB的中点，∴BM＝AM＝AB＝2.∵△BEM是直角三角形，由勾股定理，得x2＝(8－x)2＋22，解得x＝，∴DH＝EC＝，∴AH＝BE＝8－x＝，∵∠A＝∠B＝90°，∠EMG＝∠C＝90°，∴∠AMN＝∠BEM，∴△AMN∽△BEM，∴＝＝，∴MN＝，AN＝AM·＝2×＝，NG＝4－＝.∴NF＝NG·＝×＝.∴AF＝AN＋FN＝＋＝.∴HF＝AF－AH＝AF－BE＝－＝1.∴EF＝＝；如解图②，当点M为AD边的中点时，此时点D与点F重合，不符合题意；如解图③，当点M为BC边的中点时，EF∥CD，∴EF＝CD＝4.综上所述，EF的长为或4.
图①
图②
图③
例题解图
作图微技能
解：(1)作AC的中点B′，连接BB′，作BB′的垂直平分线交BC，AB于点D，E，如解图①所示；
解图①
(2)如解图②所示，当满足点D为BC边上的中点时，B′C∥DE(答案不唯一)；
解图②
(3)当△AEB′是以B′E为腰的等腰三角形时，连接BB′，作BB′的垂直平分线交BC，AB于点D，E，如解图③、④.
解图③
解图④
试题演练
1. 1.8或2.5　【解析】以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似分两种情况：①若CE∶CF＝3∶4，如解图①，连接CD，∵CE∶CF＝AC∶BC，∴EF∥AB.由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴cosA＝＝，∴AD＝AC·cosA＝3×＝1.8；②若CF∶CE＝3∶4，如解图②，连接CD，∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD.同理可得∠B＝∠FCD，∴CD＝BD，∴D点为AB的中点，∴AD＝AB＝×5＝2.5.综上所述，AD的长为1.8或2.5.
图①
图②
第1题解图
2. 或　【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3，∴AE＝＝5，∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，∴PD′＝PD，设PD′＝PD＝x，则AP＝6－x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，∴∠AD′P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD′＝∠AEB，∴△ABE∽△PD′A，∴＝，∴＝，∴x＝，∴PD＝；②当∠APD′＝90°时，∴∠APD′＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD′∽△EBA，∴＝，∴＝，∴x＝，∴PD＝.综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD＝或.
类型三　背景图形大小不固定
方法突破
例　【自主作答】12或　【解析】△BA′E是直角三角形分两种情况讨论：①当∠BA′E＝90°时，如解图①，此时点B、A′、F三点共线，根据翻折可知AF＝A′F＝m，∵AB＝m，∴BF＝m，∴BA′＝BF－A′F＝m，∵BE＝3，∴AE＝A′E＝m－3，在Rt△A′BE中，A′E2＋A′B2＝BE2，∴(m－3)2＋(m)2＝32，解得m＝或m＝0(舍)，∴m＝；②当∠A′EB＝90°时，如解图②，∴∠AEA′＝90°，根据翻折可知∠FA′E＝∠A＝90°，AF＝FA′＝m，∴四边形AEA′F是正方形，∴EA＝AF＝m，∴BE＝AB－AE＝m＝3，∴m＝12.综上所述，m的值为12或.
例题解图
作图技能
解：(1)点B′落在矩形ABDE边上有两种情况：①当点B′落在AE边上，如解图①所示；②当点B′落在ED边上，如解图②所示；
解图①
解图②
(2)点B′落在矩形ABDE对角线上有两种情况：①当点B′落在对角线BE上如解图③所示；②当点B′落在对角线AD上如解图④所示；
解图③
解图④
(3)当△B′DC为直角三角形时有两种情况：①当∠DB′C＝90°时，如解图⑤所示；②当∠B′CD＝90°时，如解图⑥所示．
解图⑤
解图⑥
试题演练
1. 6或3　【解析】①如解图①，当点A′在边EC上时，由对称的性质可得，∠AEF＝∠A′EF，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∵在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝3，AE＝a，DF＝1，∴CF＝CE＝a－1，BE＝a，BC＝3，∴EC＝，∴a－1＝，解得a1＝6，a2＝－(舍去)；②如解图②，点A′在边FC上时，由对称的性质可得，∠FEA′＝∠FEA，∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠FEA′＝∠CFE，∴A′F＝A′E，∵AF＝ A′F，AE＝ A′E，∴A′F＝A′E＝AF＝AE，∴四边形AE A′F是菱形，∵AD＝3，DF＝1，∴AF＝＝，∴AE＝，∵AE＝a，∴a＝3，综上所述，a的值为6或3.
图①
图②
第1题解图
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