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淮北市2022届高三第一次模拟考试试题卷
理科数学
注
答卷前,考试务必将
姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指
题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
橡皮擦
再选涂其他答案标
答非选择题时,将答案写在答题
3.考试结束后将本答题卡交
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题
知集合A={xy=lg(
B
2.已知复数z的共轭复数为
(i为虚数单位)
C.-2
是
充分必要条件
充分不必要条
C.必要不充分条
既不充分
要条件
线
y+1)2=16的位置关系是
相交
C.相切
D.不确定
COS
数∫(x
的部分图象
6.已知角a的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合终边经过点
C.√6
角坐标系
知A
点P(1.0.2)到直线AB的距离为
数学(理)试题第1页(共4页)
说法正确的有
变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近
C.已知随机变量
设随机变量ξ表示发
实验中发生的次数则
9.已知函数f(x)的定义域为R.f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则
知
A
交
点P为C上的动点
最小值为
四边形ABCL
知△ABC的面积是△ACD的面积的
存在正实
数x,y使得A
则2
最小值为
2.半球内
球两两相切,并且与球面及半球底
相切则该半球的半
填空题:本题共4小题,每小题5分
4
y)展开式中的常数
关于函数f(x
osx有下面四个结
函数f(x)的图像可由函数g(x)的图像平移
③若直线x=t与这两个函数的图像分别交于AB两
数∫(
)的图像关于直线
对称
确结论的序号为
出所有正确结论的序号)
6.已知mn∈N”,函数f(
有极值,设b
不大于x的最大整数记数列{b
项和为
数学(理)试题第2页(共4页)
解答题:本题共6小题,共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
7(本题满分10分)在△ABC中,已知 sin a sin B
CD是
C′的大
8.(本题满分
知数列{
成等差数列
的通项公
求数列{bn}的前n项和为
9(本题满分12分)如图已知圆O的直径AB长为4.点C是圆弧上一点.∠BOC
点P是劣弧AC上的动点.D点是另一半圆弧的中点沿直径AB.将圆面折成
直二面角.连接
题图
数学(理)试题第3页(共4页)
(本题满分12分)如图.点
是周长为
圆形导轨上的三个等
在点
A处放一颗珠子.规定∶珠子只能沿导轨顺时针滚动.现投掷一枚质地均匀的骰子
掷出的点数是
数时.珠子滚动2
掷
数不是3的倍数时,珠子滚动
停留时恰好滚动一周的概率
)求珠子第一次在A点停留时恰好滚动两周的概率
21.(本题满分12分)已知双曲线T
点(413).离心率为√14
线l:x=9交x轴于点A.过点A作直线交双曲线
两
的标准方程
(Ⅱ)若M是线段AN的中点求直线MN的方程:
)设P,Q是直线l上关于x轴对称的两点.直线PM与QN的交点是否在一条
兑明你的理
(本题满分
设函数f(x)
(ab∈R).f'(x)为函数f(x
函数
数f(x)的单调性并写出单调区间
(Ⅱ)若存在a,使得函数f(x)不存在零点.求b的取值范围
(Ⅲ)若函数9(x)=f(x)-b有两个不同的零点x1,x2(x1数学(理)试题第4页(共4页)淮北市 2022 届高三第一次模拟考试数学理科参考答案
（条件所致，不能现场研讨评分标准，为保证阅卷同一尺度，请严格执行答案所列评分标准，
其他解法，参照标准给分！）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B B C D C D A C A D
二、填空题
13. 10 14. -160 15.①②④ 16. 615
三、解答题
17.解：（1）由题意得： sin Asin B sin 2 A sin 2 B sin 2 C
ab a2 b2 c2 a2 b2故 即 c2 ab
cosC a
2 b2 c2 ab 1

2ab 2ab 2
C 0 又 （ ， ） C …………5 分
3
2
（2） AB a2 b2 2abcosC
12 (a b)2 3ab ①
1
又CD （CB CA）
2
2 1 2 2
CD (CB CA 2CB CA)
4
7 1 (a2 b2 2ab cosC) 1 (a2 1 b2 ab) (a b)2 3ab
4 4 4
(a b)2 ab 28 ②
由②-①得 ab 8
S 1 ABC ab sinC 2 3 …………10 分2
18.(1) a2 a3 ,a3 a4 ,a4 a5 成等差数列
(a3 a4 ) a2 a3 a4 a5 a3 a4
即 a4 a2 a5 a3 ，得 a2 (k 1) a3(k 1)
第 1 页
a
又∵ k 1, a3 a2 3 ，从而 k 3 3 …………3 分a1
3k 1,n 2k 1(k N*),
所以 an …………6 分k
3 ,n 2k(k N*),
log a n
（2）由（1）得b 3 2n 1n n …………8 分a2n 3
S 1 2 3 n 1 n∴ n 3 32 33 3n 1 3n
1 S 1 2 n 1 n
3 n 32 33 3n 3n 1
两式相减，得
2 S 1 1 1 1 n 1 1 nn 2 3 n n 1 (1 n ) 3 3 3 3 3 3 2 3 3n 1
S 3 2n 3∴ n n ，n N

…………12 分
4 4 3
19.(1) AB / / 平面 PCD, AB 平面OPC
且平面OPC 平面 PCD PC
∴ AB / /PC
又 BOC 45 ，所以 OPC 为等腰直角三角形
PC 2 2 …………5 分
(2)∵二面角 C AB D 为直二面角，且OD AB,OD 平面 ABD
OD 平面OPC
V V 1 S OD 1 1 OP 4 4 P OCD D OPC OPC OC OD sin POC sin POC 3 3 2 3 3
当 POC 90 时等式成立 .此时OP,OC,OD两两垂直，且长度相等
设 PD的中点为 E，则 PD EC ,PD EO ，
CEO 为二面角 C PD O的平面角
tan CEO OC 2
OE
∴二面角C PD O 的正切值为 2 . …………12 分
20.解：（1）设掷出 3 的倍数为事件M , 掷出不是 3 的倍数记为事件N ,
1 2
则 P M ,P N …………………1 分
3 3
珠子恰好转一周回到 A点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥 …3 分
1 2 2
故所求概率为 P1 ( )( ) ( )(
1) 2 20 ( )3 ………………5 分
3 3 3 3 3 27
第 2 页
（2）珠子滚两周回到 A 点，则必须经历以下三个步骤：①②③
1 2
①A至 C:此时概率为 ( )2 7 ………………7 分
3 3 9
1
②C至 B:掷出的必须是 3 的倍数，此时的概率为 ………………9 分
3
③B至 A:概率与①相同 ………………11 分
7 1 7 49
又以上三个步骤相互独立，故所求概率为 P2 = ………………12 分9 3 9 243
16 169 1, c21. : 14, a2 b2解 (1) 由题意得 2 2 c
2
a b a
2 2
2
解得 a 3,b2 39 x y , 所以双曲线 的标准方程为 1. …………4 分
3 39
(2) 方法 1：设N x0 , y0 M
x0 9 y0 ,则 ,
2 2
x 20 y
2
0 1
3 39
依题意有 解得 x0 4, y0 13 …………6 分
(x0 9)
2 y 2
0 1 3 4 39 4
所以直线 MN 的方程为 x y 9 0 或 x y 9 0 . …………8 分
x2 y2
方法 2： 设直线 MN 的方程为 y k (x 9) ,与双曲线的方程 1联立得:
3 39
13 k 2 x2 18k 2x 81k 2 39 0 .
324k 4当 4 13 k 2 81k 2 39 0时
2 2
M x , y ,N x , y x x 18k ,x x 81k 39设 1 1 2 2 , 得 1 2 2 1 2 13 k 13 k 2 .
x 2 2 2
又因为 x 2 9 x 9k 39 x, 所以 , 2 9x2 81k 39 21 2 2 2
, 解得 k 1 ……6 分
13 k 2 13 k 2
此时 0 ,所以直线 MN 的方程为 x y 9 0或 x y 9 0 . …………8 分
(3) 方法 1：设P(9, t),Q(9, t) ,
直线 PM y的方程为 y t 1 t (x 9) , 直线QN y t的方程为 y t 2 (x 9) ,
x1 9 x2 9
y t y t
联立两方程,可得 2t 2 1 (x 9) ①
x2 9 x1 9
第 3 页
y2 t y1 t k x2 9 t k x1 9 t t x x 18 结合（2）方法 2, 可得 1 2
x2 9 x1 9 x2 9 x1 9 x1x2 9 x1 x2 81
x x 18
代入①得 2 1 2 ( x 9) ,
x1x2 9 x1 x2 81
81k 2 39 18k 2 2 2x x 2
9 2
x 1 2
9 x1 x2 13 k 13 k 1故 2 .x1 x2 18 18k 18 3
13 k 2
1
所以直线 P M 与 Q N 的交点在定直线 x 上. …………12 分
3
x2 y2
方法 2 设直线MN 的方程为 x my 9 ,与双曲线的方程 1 联立得:
3 39
13m2 1 y2 234my 1014 0.
设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,P(9,t),Q(9, t) , 由根与系数的关系, 得
y1 y
234m
2 2 , y y
1014
1 2 .13m 1 13m2 1
l y1 t y tPM : y t (x 9) , lQN : y t 2 (x 9) , 联立两方程,可得:x1 9 x2 9

2t y2 t y1 t

(x 9) y2 t y t
y y
1 (x 9) 1 2 t(x 9)
x2 9 x1 9 my2 my1 my1y2
234m

13m2 1 3 1
m 1014
t(x 9) t(x 9), 解得 x
13 3
13m2 1
1
所以直线 PM 与 Q N 的交点在定直线 x 上 …………12 分
3
22.解 (1) f (x) ae x 2 .

当 a 0 时, f (x) 0 , 函数 f (x) 的单调递增区间是 ( , ) .
当 a 2 2 0 时，令 f (x) 0 ,得 x ln ，令 f (x) 0 , 得 x ln .
a a
2 2
所以, 函数 f (x) 的单调增区间为 , ln ，单调减区间是 ln a a
, . …………4 分

（2）当 a 0 时,由 (1) 知, f (x) 的单调增区间是 ( , ) ,
第 4 页
f ab
ab

易知 ae 2
a | ab | 4
4 0 . 又 0 , 故可得
2 2
f a | ab | 4
a |ab| 4
a e 2 1 |ab | ab 0
2
a | ab | 4 ab
又 , 且函数 f (x) 的图像连续, 所以 f (x) 存在一个零点, 不满足题意.
2 2
a ab 4当 0 t 4时, 因为 f ae 0 , 函数 f (x) 的图像不间断, 若存在 a 0 , 使函数
2
f (x) 不存在零点, 则 f (x) 0 对任意 x R 恒成立.
由(1)知, [ f (x)] 2 2 2 2 max f ln a
2ln a
ab 2 0 能成立 , 即 b 1 ln 能成
a a
2
立令 t , 则 t 0,b t(1 ln t)
a
g(t) t(1 ln t) ，则 g (t) 2 ln t ，
令 g (t) 0 t e 2，得 ，
当 t 0,e 2 时, g (t) 0 ， g(t) 2 单调递减， t e , 时, g (t) 0, g(t) 单调递增.
所以[g(t)]min g e 2 e 2 , b e 2所以
2
综上, b 的取值范围是 e , . …………8 分
另：当 a 0 时， f (x) 有零点，不满足；
当 a 0 时，由 f (x) 0 x 2，得b e x
a
记 g(x) e x 2 x 2，再讨论 g(x) 的单调性也可得b e .
a
(3) 因为函数 y f (x) ab 有两个不同的零点 x1, x2 x1 x2 ,
x x x 2
则由 (1) 知 a 0 , 且 ae 1 2x 4 0,ae 2 2x 4 0 , x x消去 a得 e 1 2 11 2 .x2 2
ex1 x x1 2设 2 u , 则u (0,1) ,可解得
x2 2
x u lnu1 2 , x2 2
lnu
.
u 1 u 1
第 5 页
方法 1: x x (u 1) lnu u 1 2(u 1)1 2 2 2

lnu
.
u 1 u 1 u 1
2
设 h(u) lnu 2(u 1 4 (u 1) 1),u (0,1) , h 则 (u) 0 ,
u (u 1)2 u(u 1)2
所以 h(u) 在 (0,1) 上单调递增, 所以 h(u) h(1) 0 ,
x u 1 2(u 1)故 1 x2 2

u 1
ln u 0 , u 1

所以 f x1 f x x1 x22 ae 2 ae 2 2 x1 x2 2 0 ,

所以 f x1 f x2 .
又因为 f x aex lnu lnu u 122 2 2 x2 1 2

1

2
u 1 u 1
设 p(u) lnu u 1,u (0,1) p (u) 1 ，则 1 0
u
所以 p(u) 在 (0,1) 上单调递增, 所以 p(u) p(1) 0 , f 所以 x2 0 .
f x
综上, 1 1 . …………12 分f x2
2 : x 1 u lnu u 1 x 1 lnu u 1方法 1 , ,u 1 2 u 1
f x x11 1 ae 2 2 x 1 u lnu u 1 (u 1) lnu 2u 2 x 1
1 1 1 .
f x ae 22 2 2 x2 1 lnu u 1 lnu u 1
设 k(u) (u 1) lnu 2u 2,u (0,1) 1, 则 k (u) lnu 1 .
u
设 l(u) lnu 1 1,u (0,1) ,
u

则 l (u) u 1 2 0, l(u) 在 (0,1)

上单调递减, 所以 k (u) l(u) l(1) 0,k(u) 在 (0,1) 上单调递增,
u
所以 k(u) k(1) 0 .
设 p(u) lnu u 1,u (0,1) , 则 p (u) 1 1 0 , 所以 p(u)在 (0,1) 上单调递增,
u
所以 p(u) p(1) 0.
f x1 f 1 0 x 所以 ,
1
故 1 . …………12 分f x2 f x2
第 6 页

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