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6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,Ax1,y),B(x,y)是C上两点若h-2
唐山市2021-2022学年度高三年级第一学期期末考试
4h=
数学
注意事项:
7.设a=1lpg23,b=log4,c=log8,则
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将
B. cC. aD. a条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案
8.已知圆柱的侧面积为2兀,其外接球的表面积为S,则S的最小值为
信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上
B.4
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符
和涂改液。不按以上要求作答无效
合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回
9.已知复数z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z是z的共轭复数,则下列命题中的真命题是
、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
A.z+z∈R
B.z-z∈R
z∈R
D.=∈R
项是符合题目要求的
氵1.已知集合A={x|x2-x-6≤0},B={xy=√x=1},则A∩B
10.圆Mx2+y2+2x-4y+3=0关于直线2a+by+6=0对称,记点P(a,b),下列结论
A.[1,2]
B.[1,3]
正确的是
A.点P的轨迹方程为x-y-3=0
2.函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,在公共定义域内,下列结论一定正确的是
B.以PM为直径的圆过定点Q(2,-1)
A.f(x)+g(x)为奇函数
B.f(x)+g(x)为偶函数
C.|PM的最小值为6
C.f(x)g(x)为奇函数
D.f(x)g(x)为偶函数
D.若直线PA与圆M切于点A,则|PA|≥4
3.为了得到函数y=snx的图像,只需把函数y=sn(x+2)的图像
11.为排查新型冠状病毒肺炎患者,需要进行核酸检测.现有两种检测方式:(1)逐份
检测;(2)混合检测:将其中k份核酸分别取样混合在一起检测,若检测结果为阴
A.向左平移万个单位
B.向右平移个单位
性,则这k份核酸全为阴性,因而这k份核酸只要检测一次就够了,如果检测结果
为阳性,为了明确这k份核酸样本究竞哪几份为阳性,就需要对这k份核酸再逐份
C.向左平移个单位
D.向右平移4个单位
检测,此时,这k份核酸的检测次数总共为k+1次.假设在接受检测的核酸样本中
4.六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动,若每个赛区两名志愿者,则安
每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的,并且每份样本是阳性的概率都为
排方式共有
P(0A.15种
B.90种
式优于逐份检测方式.(参考数据:lg0.794≈-0.1
C.540种
D.720种
A.0.4
B.0.3
C.0.2
5.传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们将1
2.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E为AB的中点,将△AED沿DE所在的
n(n+1
称为三角形数;将1,4,9,16,25,
直线翻折,使A与A重合,得到四棱锥A一BCDE,则在翻折的过程中
称为正方形数。现从小于100的三角形数中,随机抽取一个数,则这个数是正方形数
A.DE⊥AA
的概率为
B.存在某个位置,使得AE⊥CD
C.存在某个位置,使得AB∥DE
D.存在某个位置,使四棱锥A-BCDE的体积为1B
高三数学试卷第1页(共4页)
高三数学试卷第2页(共4页)唐山市 2021—2022 学年度第一学期高三年级期末考试
数学参考答案
一．选择题：
1－4 BCDB 5－8 DAAB
二．选择题：
9．AC 10．ABD 11．CD 12．AB
三．填空题：
3π
13．4 14．5 15． 16．2
3
四．解答题：
17．解：
（1）由已知及正弦定理得 a2＋b2－ab＝c2，
即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得
a2＋b2－c2 1
cos C＝ ＝ ，可得 C＝ ．
2ab 2 3
（2）根据正弦定理得
a＋b sin A＋sin B 2
＝ ＝ (sin A＋sin B)
c sin C 3
2
＝ (sin A＋sin (A＋ ))
3 3
2 3 3
＝ ( sin A＋ cos A)
3 2 2

＝2sin (A＋ )，
6
2 5
又 0＜A＜ ，则 ＜A＋ ＜
3 6 6 6

故 1＜2sin(A＋ )≤2，
6
a＋b
则 的取值范围是(1，2]
c
18．解：
（1）由已知得 2(a1＋a2)＝3a2，即 a2＝2，
n≥2 时，由 2Sn＝(n＋1)an，2Sn－1＝nan－1，两式相减得(n－1)an＝nan－1，
an an－1 a2 2 a1
则 ＝ ＝…＝ ＝ ＝1，又 ＝1
n n－1 2 2 1
{ an于是 }为常数列．
n
高三数学参考答案 第 1 页 （共 4 页）
（2）由（1）得 an＝n．
a ·2nn n·2n n＋2 1 2n
则 bn＝ ＝ ＝ － ，
a ·a (n＋1)(n＋2) n＋2 n＋1n＋1 n＋2
22 21 3 2 n
＋
2 2 1 n n
＋1
故 Tn＝( － )＋( － )
2 2 2
＋…＋( － )＝ －1．
3 2 4 3 n＋2 n＋1 n＋2
19．解：
z
（1）
因为四棱锥 A－OBCD 的底面是矩形， A
所以 BC∥OD，
又因为 AO⊥BC，所以 AO⊥OD，
因为侧面 AOD⊥底面 OBCD， O D
y
侧面 AOD∩底面 OBCD＝OD，
AO 侧面 AOD，
B
所以 AO⊥底面 OBCD． C
x
（2）因为 AO⊥底面 OBCD，OBCD 为矩形，所以 OA，OB，OD 两两垂直．
如图，以 O 为坐标原点，→OB的方向为 →x 轴正方向，OD的方向为 y 轴正方向，
建立空间直角坐标系 O－xyz．则 B (1，0，0)，D (0，1，0)，
设 → →A (0，0，m)（m＞0），则 BA ＝(－1，0，m)， BC ＝(0，1，0)，
→ →
DA＝(0，－1，m)，DC＝(1，0，0)，
设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 ABC 的法向量，则
n1·
→
BA ＝0， －x1＋mz1＝0，
即
·→
y1＝0．
n1 BC ＝0，
可取 n1＝(m，0，1)．
设 n2＝(x2，y2，z2)为平面 ACD 的法向量，则
→n2·DA＝0， －y2＋mz2＝0，
即
→ x2＝0． n2·DC＝0，
可取 n2＝(0，m，1)．
1 1 1
由题设|cos n1，n2 |＝ ，即 ＝ ，解得 m＝1 或 m＝－1（舍）． 2 1＋m2 2
所以四棱锥 A-OBCD 的高为 1，四棱锥 A－OBCD 的体积
1 1
V＝ ×1×1×1＝ ．
3 3
高三数学参考答案 第 2 页 （共 4 页）
20．解：
（1）r1＝0.9647，r2＝0.9980．
（2）
①0.996．
②由图 2 中的线性回归模型得到的相关指数为 0.996，是所有回归模型的相关指数中
数值最大的，而且 2017 年是最近的年份，因此选择图 2 中的线性回归模型来估计 2017
年的 GDP，是比较精准的．
按照图 2 中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020 年不能突破 100
万亿元．
估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的 GDP 随年份的增长整体上呈现指数
增长的趋势，而且 2020 年比 2016 年又多发展了 4 年，指数回归趋于明显，因此，按照
线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．
21．解：
3 2y
（1）设点 → →P(x，y)，由NP＝ NM，得 M(x， )，
2 3
2y 2
由点 M 在圆 O 上，所以 x2＋( ) ＝4，
3
x2 y2
整理得 ＋ ＝1，
4 3
x2 y2
所以曲线 E 的方程是 ＋ ＝1．
4 3
（2）当直线 m 的斜率为 0 时，|AB|＝4，|CD|＝2 3，|AB|＋|CD|＝4＋2 3，
当直线 m 的斜率不存在时，|AB|＝3，|CD|＝4，|AB|＋|CD|＝7，
1
当直线 m 的斜率存在且不为 0 时，设 m：y＝k(x－1)，则 n：y＝－ (x－1)
k
1
点 O 到直线 n 的距离 d＝ ，
k2＋1
4k2＋3
所以|CD|＝2 4－d2＝2 ，
k2＋1
x2 y2
将 y＝k(x－1)代入曲线 E 的方程 ＋ ＝1，整理得
4 3
(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
8k2 4k2－12
则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ ， 4k ＋3 4k2＋3
12(k2＋1)
则|AB|＝ k2＋1|x1－x2|＝ 2 ， 4k ＋3
12(k2＋1) 4k2＋3
所以|AB|＋|CD|＝
4k2
＋2 ，
＋3 k2＋1
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4k2＋3 1
令 t＝ 2 ＝ 4－ ∈( 3，2)， k ＋1 k2＋1
12
则|AB|＋|CD|＝ 2 ＋2t，t∈( 3，2)． t
12
令 f (t)＝ 2 ＋2t，t∈( 3，2)， t
24
则 f (t)＝2－ 3 ＜0， t
所以 f (t)在( 3，2)上单调递减，
所以 f (t)∈(7，4＋2 3)，即|AB|＋|CD|∈(7，4＋2 3)．
综上所述，|AB|＋|CD|的取值范围是[7，4＋2 3]．
22．解：
1
（1）令 y＝f (x)＝ln x，则 f (x)＝ ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x
b－ln x1 1 b－ln x2 1 a
＝ ， ＝ ，则方程 ln x＋ －b－1＝0 有两根 x1，x ．
a－x1 x1 a－x2 x2 x
2
a
令 g (x)＝ln x＋ －b－1，则 g (x)有两个零点．
x
若 a≤0，则 g (x)单调递增，至多一个零点，不合题意．
1 a x－a
因此，a＞0．此时，g (x)＝ － ＝ ，x＞0．
x x2 x2
当 x∈(0，a)时，g (x)＜0，g (x)单调递减；
当 x∈(a，＋∞)时，g (x)＞0，g (x)单调递增．
当 x＝a 时，g (x)取得最小值 g (a)＝ln a－b，
若要使 g (x)有两个零点，则需 g (a)＜0，即 ln a＜b．
综上所述，0＜a＜eb．
（2）依题设，只需比较 x1＋x2与 2a 的大小关系．
a a
由（1）知：ln x1＋ －b－1＝0，ln x2＋ －b－1＝0， x1 x2
x2
x1x2·ln
a a a(x2－x1) x1
两式相减，得 ln x2－ln x1＝ － ＝ ，即 a＝ ， x1 x2 x1x2 x2－x1
x2
2x1x2·ln x1 x1x2 x2 x1 x2
则 2a－(x1＋x2)＝ －(x1＋x2)＝ ·(2ln ＋ － )，
x2－x1 x2－x1 x1 x2 x1
x1x2
不妨设 x2＞x1＞0，则 ＞0，
x2－x1
x2 x2 x1 x2 1
取 t＝ ，则 t＞1，2ln ＋ － ＝2ln t＋ －t，
x1 x1 x2 x1 t
1 2 1 1
令 g(t)＝2ln t＋ －t，t＞1，则 g (t)＝ － 2－1＝－( －1)2＜0， t t t t
于是 g(t)在(1，＋∞)为减函数，g(t)＜g(1)＝0，
故 2a－(x1＋x2)＜0，即 x0＞a．
高三数学参考答案 第 4 页 （共 4 页）

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