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盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试
数 学 2022.01
(总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．已知集合M＝{y|y＝sinx，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则M∩N＝
A．[－1，＋) B．[－1，0) C． [0，1] D．(0，1]
2．在等比数列{an}中，公比为q，已知a1＝1，则0＜q＜1是数列{an}单调递减的 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
3．某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X~N(110，100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为
(参考数据：P(|X－μ|＜σ)≈0.68，P(|X－μ|＜2σ)≈0.95)
A．16 B．10 C．8 D．2
4．若f(α)＝cosα＋isinα(i为虚数单位)，则[f(α)]2＝
A．f(α) B．f(2α) C．2f(α) D．f(α2)
5．已知直线x＋y＋a＝0与⊙C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝
A．－4或2 B．－2或4 C．－1± D．－1±
6．在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量＝x＋y，x＋y＝6，则||的最小值为
A．1 B．2 C． D．2
7．已知α＋β＝(α＞0，β＞0)，则tanα＋tanβ的最小值为
A． B．1 C．－2－2 D．－2＋2
8．已知f(x)＝，则当x≥0时，f(2x)与f(x2)的大小关系是
A．f(2x)≤f(x2) B． f(2x)≥f(x2) C． f(2x)＝f(x2) D． 不确定
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9. 若函数f(x)＝cos2x＋sinx，则关于f(x)的性质说法正确的有
A．偶函数 B．最小正周期为π
C．既有最大值也有最小值 D．有无数个零点
10．若椭圆C：(b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，则下列b的值，能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有
A．b＝ B．b＝ C．b＝2 D．b＝
11．若数列{an}的通项公式为an＝(－1)，记在数列{an}的前n＋2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为Pn，则
A．P1＝ B．P2n＜P2n＋2 C．P2n－1＜P2n D．P2n－1＋P2n＜P2n＋1＋P2n＋2
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2，记四棱锥P－ABCD的外接球为球O，平面PAD与平面PBC的角线为l，BC的中点为E，则
A．l∥BC
B．AB⊥PC
C．平面PDE⊥平面PAD
D．l被球O截得的弦长为1
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函数，则m＝ ．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3b，则cosB的最小值是 ．
15．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作于生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…ak)2，k∈N，则n＝a02k＋a12＋a22＋…＋ak20，其中a0＝1，当i≥1时，ai∈{0，1}．若记a0，a1，a2，…，ak中1的个数为f(n)，则满足k＝6，f(n)＝3的n的个数为 ．
16．已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x)．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则a0＝ ，＝ ．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
从①sinD＝sinA；②S△ABC＝3S△BCD；③＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
已知点D在△ABC内，cosA＞cosD，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若 ，求△ABC的面积．
注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2．
(1)若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{an}也是等差数列；
(2)若{a}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和．
19．(本小题满分12分)
佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序号x 1 2 3 4
不戴头盔人数y 1250 1050 1000 900
(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程 ＝x＋，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；
不戴头盔 戴头盔
伤亡 7 3
不伤亡 13 27
(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到右表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关
参考公式：＝＝，＝－．
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
20．(本小题满分12分)
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为AC中点，平面AB1C⊥平面ABC．
(1)求证：B1D⊥平面ABC；
(2)求直线C1D与平面A1BC所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)
(1)设双曲线C：(a，b＞0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设动直线l与双曲线C交于P、Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值．
22．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，a∈R．
(1)求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若x1，x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，设P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，求证：k＋2＜x1＋x2．
高三数学试题第1页（共5页）盐城市、南京市 2022 届高三年级第一次模拟考试
数 学 2022.01
(总分 150分，考试时间 120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第 I卷（选择题 共 60分）
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．已知集合 M＝{y|y＝sinx，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则 M∩N＝
A．[－1，＋ ) B．[－1，0) C． [0，1] D．(0，1]
2．在等比数列{an}中，公比为 q，已知 a1＝1，则 0＜q＜1是数列{an}单调递减的 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
3．某中学高三(1)班有 50 名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩 X~N(110，100)，
高三数学试题第 1页（共 18页）
则估计该班数学得分大于 120分的学生人数为
(参考数据：P(|X－μ|＜σ)≈0.68，P(|X－μ|＜2σ)≈0.95)
A．16 B．10 C．8 D．2
4．若 f(α)＝cosα＋isinα(i为虚数单位)，则[f(α)]2＝
A．f(α) B．f(2α) C．2f(α) D．f(α2)
5．已知直线 2x＋y＋a＝0与⊙C：x2＋(y－1)2＝4相交于 A，B两点，且△ABC为等边三角形，则
实数 a＝
A．－4或 2 B．－2或 4 C．－1± 3 D．－1± 6
→ → → →
6．在平面直角坐标系 xOy中，设 A(1，0)，B(3，4)，向量OC＝xOA＋yOB，x＋y＝6，则|AC |的最
小值为
A．1 B．2 C． 5 D．2 5
高三数学试题第 2页（共 18页）
7．已知α π＋β＝ (α＞0，β＞0)，则 tanα＋tanβ的最小值为
4
A 2． B．1 C．－2－2 2 D．－2＋2 2
2
ex－4，x≤4
8．已知 f(x)＝ (x 16)2 143 x 4，则当 x≥0时，f(2
x)与 f(x2)的大小关系是
－ － ， ＞
A．f(2x)≤f(x2) B． f(2x)≥f(x2) C． f(2x)＝f(x2) D． 不确定
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求的．全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分)
9. 若函数 f(x)＝cos2x＋sinx，则关于 f(x)的性质说法正确的有
A．偶函数 B．最小正周期为π
C．既有最大值也有最小值 D．有无数个零点
高三数学试题第 3页（共 18页）
2 2
10 x y．若椭圆 C： ＋ ＝1(b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，则下列 b的值，能使以 F1F2为直径的圆
9 b2
与椭圆 C有公共点的有
A．b＝ 2 B．b＝ 3 C．b＝2 D．b＝ 5
11．若数列{an}的通项公式为 an＝( n－1－1) ，记在数列{an}的前 n＋2(n∈N*)项中任取两项都是正数
的概率为 Pn，则
A 1．P1＝ B．P2n＜P2n＋2 C．P2n－1＜P2n D．P2n3 －
1＋P2n＜P2n＋1＋P2n＋2
高三数学试题第 4页（共 18页）
12．如图，在四棱锥 P－ABCD中，已知 PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB
＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2，记四棱锥 P－ABCD的外接球为球 O，平面 PAD与平面 PBC的角
线为 l，BC的中点为 E，则 P
A．l∥BC
B．AB⊥PC A D
C．平面 PDE⊥平面 PAD
B C
D．l被球 O截得的弦长为 1 E
(第 12题图)
高三数学试题第 5页（共 18页）
高三数学试题第 6页（共 18页）
第 II卷（非选择题 共 90分）
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13．若 f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函数，则 m＝ ．
14．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a＝3b，则 cosB的最小值是 ．
高三数学试题第 7页（共 18页）
15．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作于生活之中，计算机在进行
数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数 n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…ak)2，k
∈N，则 n＝a0 2k＋a 2k－11 ＋a 2k－22 ＋…＋ak 20，其中 a0＝1，当 i≥1时，ai∈{0，1}．若记 a0，a1，
a2，…，ak中 1的个数为 f(n)，则满足 k＝6，f(n)＝3的 n的个数为 ．
16．已知：若函数 f(x)，g(x)在 R上可导，f(x)＝g(x)，则 f′(x)＝g′(x)．又英国数学家泰勒发现了一个
10
2x a
恒等式 e ＝a n 10＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则 a0＝ ， ＝ ．(第一
n 1 nan
空 2 分，第二空 3 分)
高三数学试题第 8页（共 18页）
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10分)
高三数学试题第 9页（共 18页）
→ →
从①sinD＝sinA；②S△ABC＝3S△BCD；③DB·DC＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，
并完成解答．
已知点 D在△ABC内，cosA＞cosD，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若 ，求△ABC的面积．
注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】
高三数学试题第 10页（共 18页）
18．(本小题满分 12分)
已知数列{an}的通项公式为 an＝2n＋4，数列{bn}的首项为 b1＝2．
(1)若{bn}是公差为 3的等差数列，求证：{an}也是等差数列；
(2)若{a }是公比为 2的等比数列，求数列{bn}的前 n项和．
bn
【解析】
19．(本小题满分 12分)
佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连
续 4 年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序号 x 1 2 3 4
不戴头盔人数 y 1250 1050 1000 900
(1)请利用所给数据求不戴头盔人数 y与年度序号 x之间的回归直线方程 ＝ b x＋ a，并估算该路口
2022年不戴头盔的人数；
(2)交警统计 2018~2021 不戴头盔 戴头盔年通过该路口的开电瓶车出事故的 50人，
伤亡 7 3
分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到右表，能否有 95%
的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关 不伤亡 13 27
n n
xi yi nxy xi x yi y
参考公式： b＝ i 1 ＝ i 1n n ， a＝ y－ bx．
x 2i nx 2 xi x 2
i 1 i 1
高三数学试题第 11页（共 18页）
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2 n(ad－bc)
2
＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d．
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
【解析】
不戴头盔 戴头盔 总计
伤亡 7 3 10
不伤亡 13 27 40
总计 20 30 50
高三数学试题第 12页（共 18页）
20．(本小题满分 12分)
在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为 AC中点，平面
AB1C⊥平面 ABC．
A C11
(1)求证：B1D⊥平面 ABC； B1
(2)求直线 C1D与平面 A1BC所成角的正弦值．
C
A D
B
【解析】 (第 20题图)
高三数学试题第 13页（共 18页）
21．(本小题满分 12分)
x2 y2
(1) 2 6设双曲线 C： 2－ 2＝1(a，b＞0)的右顶点为 A，虚轴长为 2，两准线间的距离为 ．a b 3
(1)求双曲线 C的方程；
(2)设动直线 l与双曲线 C交于 P、Q两点，已知 AP⊥AQ，设点 A到动直线 l的距离为 d，求 d的最
大值．
【解析】
高三数学试题第 14页（共 18页）
法二：
高三数学试题第 15页（共 18页）
22．(本小题满分 12分)
设函数 f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，a∈R．
(1)求函数 f(x)在 x＝1处的切线方程；
(2)若 x1，x2为函数 f(x)的两个不等于 1的极值点，设 P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线 PQ的斜率为
k，求证：k＋2＜x1＋x2．
【解析】法一：
高三数学试题第 16页（共 18页）
高三数学试题第 17页（共 18页）
高三数学试题第 18页（共 18页）

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