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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第7节 一元二次方程及应用
【考试要求】
1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式；
2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；
3.理解一元二次方程根的判别式，会判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系；
4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.
【考情预测】
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为15分左右,预计2022年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1．一元二次方程的定义：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
2．一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．
(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解．
(3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)．
(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．③当Δ＜0时，方程没有实数根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
4．一元二次方程的实际应用：
常见的等量问题：
(1)平均增长率(下降率)问题：如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
(2)利润问题：利润＝售价－成本，利润率＝×100%，销售价＝(1＋利润率)×进货价．
(3)利息问题：利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
(4)面积问题：如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
【重难点突破】
考向1. 一元二次方程的相关概念
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州·九年级期中）关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≤1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念列不等式求解．
【详解】∵关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程二次项系数不能等于零是解题关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江台州·九年级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、 符合二元一次方程的定义，故本选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
变式1-2．（2021·浙江·台州市九年级期中）若一元二次方程x2﹣（b﹣4）x+9＝0的一次项系数为2，则b的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．6
【答案】A
【分析】由方程的一次项系数为2得出关于b的方程，解之可得．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣（b﹣4）x+9=0的一次项系数为2，
∴﹣（b﹣4）=2，解得b=2，故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
变式1-3．（2021·浙江台州·九年级期中）已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
【答案】﹣1．
【分析】将x＝﹣1代入可得，再将所求代数式化简即可得．
【详解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一个根，
．．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的特征、用完全平方差公式化简求值；关键在于知道方程的根是满足方程的条件．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·临海市九年级期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程满足的条件进行判断即可．
【详解】解：A、未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
B、只有一个未知数，最高次数为1，并且是整式，是一元二次方程，符合题意；
C、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是分式方程，不是整式方程，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，理解概念，掌握一元二次方程应满足的条件是解答的关键．
2．（2021·浙江路桥·九年级期末）若关于x的方程（a+1）x2-3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义知：a+1≠0，据此可以求得a的取值范围．
【详解】解：根据题意，得 a+1≠0， 解得，a≠-1． 故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
3.（2021 余姚市一模）若是一元二次方程（且）的一个根，则的值为________．
【答案】5
【分析】方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式．
【详解】解：∵x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个解，∴a-b-10=0，∴a-b=10．
∵a≠-b，∴a+b≠0，∴=5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，得到a-b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．
4．（2021浙江温岭·九年级期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常数项是0，则a＝_____．
【答案】﹣2．
【分析】根据常数项是0列式求出a值，结合一元二次方程的定义a-2≠0，即可得答案.
【详解】∵一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常数项是0，
∴a2﹣4＝0，解得：a＝±2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项；解题时注意不要漏掉a≠0这个隐含条件.
5．（2021·浙江·天台县九年级期中）二次方程4x(x+2)=25化成一般形式得（ 　）
A．4x2+8x﹣25=0 B．4x2﹣23=0 C．4x2+8x=25 D．4x2+2=25
【答案】A
【分析】方程的一般形式为ax2+bx+c=0，将方程整理为一般形式，即可得到结果．
【详解】方程整理得：4x2+8x 25=0，故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式.
考向2. 解一元二次方程（1）
【典例精析】
【例】（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解：，，
，，故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
变式2-2. （2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
【答案】或1
【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．
【详解】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，
又由题意得：，∴解得：
∴，∴，，∴由求根公式得：，
则原方程所有的解为： 或1，故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值．
变式2-3. （2021·浙江东阳·一模）解方程：
【答案】
【分析】
先去括号，然后移项合并同类项，最后进行求解即可．
【详解】解：化简得：，，
∴或，∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 金华）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【详解】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．
2．（2021 绍兴）（1）计算：4sin60°+（π﹣2）0﹣（）﹣2．
（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
【分析】（1）根据实数运算法则解答；（2）利用题意得到x2+1＝4x+1，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原式＝41﹣4﹣23；
（2）x2+1＝4x+1，x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x1＝0，x2＝4．
3．（2021·浙江·仙居县九年级期中）解下列方程：（1）x2+4x+3＝0；（2）3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可得；（2）利用公式法解方程即可得．
【详解】解：（1），
，
或，
或，
即；
（2），
此方程中的，
则，即，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
4．（2021·浙江婺城·二模）解方程：（x﹣1）（2x＋3）＝（2x＋3）．
【答案】
【分析】先将方程化成一元二次方程的一般式，然后再利用求根公式解答即可．
【详解】解：（x﹣1）（2x＋3）＝（2x＋3）
2x2-x-6=0
△=（-1）2-4×（-6）×2=49＞0
∴x=,
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，将原方程化成一元二次方程的一般式以及灵活运
用求根公式是解答本题的关键．
5．（2021·内蒙古·中考模拟）将关于x的一元二次方程x2+px+q＝0变形为x2＝﹣px﹣q，就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知x2﹣x﹣1＝0，可用“降次法”求得x4﹣3x+2014的值是_____．
【答案】2016．
【解析】由x2﹣x﹣1=0可得，x2=x+1，所以x4﹣3x+2014=（x+1）2﹣3x+2014=x2+2x+1﹣3x+2014=x2﹣x+2015=x+1﹣x+2015=2016．故答案为2016．
考点：因式分解的应用；一元二次方程的解．
考向3. 解一元二次方程（2）换元法
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州·九年级期中）阅读下面的材料， 回答问题： 解方程+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ， 那么， 于是原方程可变为（1）， 解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
原方程有四个根： ．
在由原方程得到方程（1）的过程中， 利用换元法达到降次的目的， 体现了数学的转化思想．
（1）试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ．
（2）解方程 ．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设，则有，然后方程变为，进而求解即可；
（2）设，则有，然后方程变为，进而求解即可．
【详解】解：（1）设，则有，
∴原方程可变为，解得：（不符合题意，舍去），
∴，∴，∴原方程的解为；
故答案为；
（2）设，则有，∴原方程可变为，
解得：，∴或，
当时，解得：；
当时，则有，故方程无解；
∴综上所述：原方程的解为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法进行求解方程是解题的关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江温州·二模）若关于的方程的两个根为，，则关于的方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得x+2=1或x+2=3，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3，
∴关于x的方程(x+2)2+b(x+2)+c=0的两个根满足x+2=1或x+2=3，解得x1=-1，x2=1．故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
变式3-2.（2021·浙江温州·模拟预测）我们知道方程的解是，，那么对于实数满足，则的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．或2
【答案】A
【分析】先设，则方程变为，根据题意可以得出或，保证有意义，得出正确结论即可．
【详解】解：设，则方程变为，依题意得：，，
∴或者∵，∴舍去，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母代替它，实行等量代换．
变式3-3. （2021·浙江·九年级期中）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）-3＝0时，设x2﹣2x=y，则原方程可转化为y2﹣2y-3＝0，解得y1＝-1，y2＝3，所以x2﹣2x=-1或x2﹣2x=3，可得x1=x2=1，x3=3，x4=-1.我们把这种解方程的方法叫做换元法.对于方程：x2+﹣3x﹣=12，我们也可以类似用换元法设x+ =y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ）
A．y2﹣3y﹣12＝0 B．y2+y﹣8＝0 C．y2﹣3y﹣14＝0 D．y2﹣3y﹣10＝0
【答案】C
【分析】设x+ =y， 把（x+）当做整体即可变形得到方程.
【详解】x+ =y，∴x2+﹣3x﹣=12，x2++2﹣3（x﹣）-14=0
（x+）2+﹣3（x﹣）-14=0 ∴得到y2﹣3y﹣14＝0故选C.
【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·杭州九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的其中一根为x＝2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝0的根为_______．
【答案】x1＝﹣2，x2＝2018x1＝2018，x2＝-2
【分析】根据条件可以可到x+2＝2020或x+2＝0，据此即可解决．
【详解】解：∵关于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）＝0，且关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根为x＝2020，∴另一个根为x＝0，∴x+2＝2020或x+2＝0，解得x＝2018或﹣2．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝2018．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用换元的思想是解题的关键．
2．（2021·浙江浙江·九年级期末）方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，令，则方程可转化为，
由题意得：，即，解得，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
3．（2021·浙江·台州市九年级期中）已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0，那么x2＋3x的值为( )
A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或3
【答案】A
【详解】令t=x2+3x，则原方程可化为t2+2t-3=0.
分解因式得，（t+3）（t-1）=0.解得t1=-3，t2=1.
当x2+3x=-3时，△＜0，无解；当x2+3x=1时，△＞0，有解.故选A.
点睛：利用换元法解一元二次方程形式的高次方程，应该要注意换元时未知数对应的取值范围，避免出现不符合条件的根.
4．（2020·浙江·温岭市第三中学九年级期中）解方程：(1) (2)
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）用因式分解法求解，提取公因式；
（2）用换元法求解，令，将原式变形成．
【详解】解：（1）
，
，；
（2）
，
令，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的各种解法．
考向4. 配方的相关运用
【典例精析】
【例】（2020 嘉兴中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 　2x；
②当x＝0时，x2+1　 　2x；
③当x＝﹣2时，x2+1　 　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x；故答案为：＝；＞；＞；
（2）x2+1≥2x，
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．
【变式训练】
变式4-1. （2021 舟山）在x2+（　 　）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
【详解】解：要使方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0
得b＝±4故一次项为±4x故答案为±4x
变式4-2. （2021·浙江下城·九年级期中）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于___________．
【答案】
【分析】由可得再代入，再利用配方法配方，从而可得答案.
【详解】解： ，
所以的最小值是 故答案为：
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键.
变式4-3. （2021·浙江·二模）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】解：①当时，．故①正确；
②若值为2，则，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，∴==
=≥0．∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．故③正确．
综上，正确的有①③．故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江杭州·九年级期中）下列代数式的值可以为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】各式化简得到结果，利用非负数的性质判断即可．
【详解】解：A、|3-x|≥0，不符合题意；B、当x=时，原式=＜0，符合题意；
C、≥0，不符合题意；D、原式=（3x-1）2≥0，不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2020·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A．12 B．14.5 C．16 D．
【答案】B
【分析】将已知等式变形后，利用非负数的性质和完全平方式求出关于a的等式和b的值，代入所求式子中计算可解．
【详解】将已知等式整理：
∴a-4a+1=0，2b-1=0整理得：a+=4，b=，
即a+=( a+)-2=16-2=14，则14.5．故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2021·浙江·二模）已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　）
A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y
【答案】C
【分析】用x减去y，对x和y分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y的正负，从而问题得解．
【详解】∵x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a）
∴x﹣y＝a2+b2+21﹣4（2b﹣a）＝a2+b2+21﹣8b+4a＝（a+2）2+（b﹣4）2+1
∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴x﹣y＞0∴x＞y故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在代数式比较大小中的应用，掌握求差法及配方法，是解答本题的关键．
4．（2021·浙江杭州·九年级期末）已知关于方程，其中是实数．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）将将代入原方程得到，再根据方程得到，，代入代数式，配方可得m的最小值．
【详解】解：（1）△====
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵为方程的实数根，
∴将代入原方程得：，，
∴，==，
∵，，
原式===故原代数式的最小值为．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
考向5. 判别式的相关应用
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州市·中考真题）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【分析】据方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．
【变式训练】
变式5-1. （2020 湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．
变式5-2. （2021 江干区一模）关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
【思路点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1﹣m≠0且△＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得1﹣m≠0且△＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）＞0，
解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
变式5-3. （2021·浙江上城·一模）对于代数式，甲同学认为：当时，该代数式的值与k无关；乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5，则下列结论正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【答案】A
【分析】当x=1时，计算代数式的值，即知该代数式的值是否与k的值有关；计算二次三项式的判别式，当判别式为0时，可求得k的值，从而最后可作出判断．
【详解】当x=1时，，它与k的值无关，所以甲同学的正确；当时，代数式是完全平方式
解方程得：k=5或k= 1
即当k=5或k= 1时，代数式是完全平方式，所以乙同学的说法错误故选：A
【点睛】本题考查了代数式的值、完全平方式，一个二次三项式为完全平方式，利用一元二次方程的判别式来判别即可，也可用配方法解决．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江台州·九年级期中）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k﹣1）x﹣2＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【答案】C
【分析】计算一元二次方程根的判别式，并进行变形，判断符号即可求解．
【详解】解：∵＝（k﹣1）2﹣4×（﹣2）＝（k﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，计算出根的判别式并进行变形判断出符号是解题关键．
2．（2021·广东·揭阳市九年级期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤ 且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．
【详解】根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，解得a≤ 且a≠6，
所以整数a的最大值为5.故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.
3．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0
【答案】A
【分析】根据题意可分当k=0时和k≠0时进行分类结合一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：当k=0时，方程变为-x-3=0，方程有解，符合题意；
当k≠0时，则根据一元二次方程根的判别式可得：，解得：，
综上所述：k的取值范围为；故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解是解题的关键．
4．（2020·浙江义乌·九年级期末）下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程配方变形为 B．方程的解为
C．关于的方程有实数根，则 D．方程的解为
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解法及一元二次方程根的判别式来判断即可
【详解】解：A.用配方法解方程，，，
∴，故A不正确；
B.用因式分解法解方程，，，∴，故B不正确；
C.∵ 关于的方程有实数根，∴当a=0，时，，方程有实根，
当时， ，解得，综上所述，若方程有实根时，则，故C正确；
D.解方程，，， ，
，故D不正确；故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程的解法是解本题的关键，解题时运用了分类讨论思想．
5．（2021·浙江·杭州育才中学模拟预测）已知关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞0或m≤-3．
【分析】把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n的任意性，构造不等式求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，
∴△≥0，且m≠0，∴≥0，∴≥0，
∵对于任意实数n都有实数根，∴≥0，∴或，
∴m≥0或m≤-3，且m≠0，∴m＞0或m≤-3，故答案为：m＞0或m≤ -3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．
考向6. 根与系数的关系
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州·九年级期末）若方程的两个不相等的实数根、满足，则实数的所有可能的值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程，根与系数的关系得：x1+x2=-2p，x1 x2=-3p-2，从而得，的表达式，结合，可得关于p的方程，进而求出p的值，利用根的判别式对p的值进行检验，进而可求得答案．
【详解】∵方程的两个不相等的实数根为：、，
∴x1+x2=-2p，x1 x2=-3p-2，∴=-2x1 x2=4p2+6p+4，
∴=（x1+x2）[-x1 x2]=（x1+x2）[-3x1 x2]=-2p（4p2+9p+6）．
∵，∴=4-（），∴4p2+6p+4=4+2p（4p2+9p+6），
∴p（4p+3）（p+1）=0，∴p1=0，p2=，p3=-1．
代入检验可知：当p1=0，p2=时， ＞0，满足题意，当p3=-1时， =0，不满足题意，
∴实数p的所有可能的值之和为：p1+p2=0+（）=．故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握完全平方公式与立方和公式，是解题的关键．
【变式训练】
变式6-1. （2021·浙江台州·九年级期中）已知一元二次方程有一个根为3，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】若是一元二次方程的两个根，则 根据根与系数的关系列方程，再解方程可得答案.
【详解】解： 一元二次方程有一个根为3，设另一根为
解得： 故选：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.
变式6-2. （2021·浙江·浦江县九年级期中）已知，且，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．9
【答案】A
【分析】将方程3x2＋2021x＋6＝0的两边同时÷x2可得出6（）2＋2021＋3＝0，由xy≠1，可得出，y为一元二次方程6x2＋2021x＋3＝0的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出的值．
【详解】解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，∴x≠0．
将方程3x2＋2021x＋6＝0的两边同时÷x2得6（）2＋2021＋3＝0．
∵xy≠1，即y≠，∴，y为一元二次方程6x2＋2021x＋3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积”是解题的关键．
变式6-3.（2021·浙江杭州·八年级期末）等腰三角形边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程的两根，则（ ）
A．9 B．9成10 C．10 D．5
【答案】C
【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2-6x+n-1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2-6x+n-1=0有两个相等的实数根，由△=（-6）2-4（n-1）=0可的结果．
【详解】解：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，∴x=2，
把x=2代入x2-6x+n-1=0得，22-6×2+n-1=0，解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2-6x+n-1=0有两个相等的实数根，∴△=（-6）2-4（n-1）=0解得：n=10，
∴方程x2-6x+n-1=0的解为a=b=3，满足三角形的三边关系，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
【考点巩固训练】
1．（2021·杭州·九年级期末）已知关于的方程有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则________．
【答案】-1
【分析】设方程x2+2（m-2）x+m2+4=0的两个实数根为x1，x2，由根与系数的关系得x1+x2=2(2 m)，x1 x2=m2+4，根据这两根的平方和比两根的积大21，列出方程，求出m的值，结合根的判别式，即可得到答案．
【详解】设x2+2(m 2)x+m2+4=0的两个实数根为：x1，x2，∴x1+x2=2(2 m)，x1 x2=m2+4，
∵这两根的平方和比两根的积大21，∴x12+x22 x1 x2=21，
即：(x1+x2)2 3x1 x2=21，∴4(2 m)2 3(m2+4)=21，解得：m=17或m= 1，
∵ =4(2 m) 2 4(m2+4)≥0，解得：m≤0，∴m= 1．故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握（）的两个根满足：，是解题的关键．
2．（2021·浙江·三模）双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为_____．
【答案】0
【分析】设x2＝a，将方程变为一元二次方程，求出两根的和与积，得到a1＞0，a2＞0，再分两种情况x2＝a1、x2＝a2求出两根和即可.
【详解】设x2＝a，则原方程可化为：a2﹣2019a+4＝0，
∵△＝（﹣2019）2﹣4×4＞0，∴方程有两个不相等的实根，
设方程a2﹣2019a+4＝0的两根为a1、a2，
∴a1+a2＝2019，a1a2＝4，∴a1＞0，a2＞0，
当x2＝a1时，有两个不相等的实数根，两根和为0，
当x2＝a2时，有两个不相等的实数根，两根和为0，
∴双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为0，故答案为：0．
【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并熟练运用解题是关键.
3．（2021·浙江·八年级期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系得出m+n=1，mn=-2018，根据一元二次方程解的定义得出，，求出，，代入求出即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两个根，
∴m+n=1，mn=-2018，，，
∴，，
∴=，故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程解的定义，能根据题意求出m+n=1，mn=-2018，，是解此题的关键．
4．（2021·浙江浙江·八年级期末）若关于的方程的根是正整数，则整数的值可以是_______．
【答案】7或0或1
【分析】利用根与系数的关系，得出方程的根，再进行分析得出整数解．
【详解】解：当时，方程为显然符合题意，
当时，，，
，∴，，．
可知方程必有一根为1，则另一根为，是正整数，
是7的正约数，即或1，，0，1，故答案为：7或0或1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，题目比较新颖．
5．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其实数a的可能值
【答案】a=-.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-(3a-1)，x1 x2=2a2-1，根据(3x1- x2)(x1-3 x2)=-80，可得关于a的方程，即可求出a的值，利用判别式检验即可得答案.
【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a2-1，
∴x1+x2=-=-(3a-1)，x1 x2==2a2-1，
∵(3x1-x2)(x1-3x2)=-80，∴3x12-10x1x2+3x22=-80，即3(x1+x2)2-16x1x2=-80，
∴3[-(3a-1)]2-16(2a2-1)=-80，∴5a2+18a-99=0，∴a=3或-，
当a=3时，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=-
【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
考向7. 一元二次方程的应用
【典例精析】
【例】（2020 衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．
【变式训练】
变式7-1. （2021 上城区一模）某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价（　　）
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
【思路点拨】设每条连衣裙降价x元，则每天售出（20+2x）条，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：设每条连衣裙降价x元，则每天售出（20+2x）条，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．答：每条连衣裙应降价10元或20元．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式7-2. （2021 余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　）
A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9% C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%
【思路点拨】2018年年底保护区的覆盖率为8%（1+x），2019年为8%（1+x）（1+x），再由“2019年年底自然保护区覆盖率达到9%”可得方程．
【解析】解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得
1×8%×（1+x）2＝1×9%，即8%（1+x）2＝9%．故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
变式7-3.（2021 黄岩区模拟）黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．
（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？
【思路点拨】（1）设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x，根据2018及2020年寝室数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设双人间有y间，则四人间有5y间，单人间有（121﹣6y）间，可容纳人数为w人，由单人间的数量在20至30之间（包括20和30），即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再根据可住师生数＝寝室数×每间寝室可住人数，可找出w关于y的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【答案】解：（1）设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x，根据题意得：64（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.375＝37.5%，x2＝﹣2.375（不合题意，舍去）．
答：2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%．
（2）设双人间有y间，可容纳人数为w人，则四人间有5y间，单人间有（121﹣6y）间，
∵单人间的数量在20至30之间（包括20和30），
∴，解得：15≤y≤16．根据题意得：w＝2y+20y+121﹣6y＝16y+121，
∴当y＝16时，16y+121取得最大值为377．
答：该校的寝室建成后最多可供377名师生住宿．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
【考点巩固训练】
1．（2021 嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为　 　．
【思路点拨】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一二次方程
【解析】解：依题意，得：50.7（1+x）2＝125.6．故答案为：50.7（1+x）2＝125.6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021 温州模拟）取一张长与宽之比为2：1的矩形纸板，剪去四个边长为20cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为12000cm3（纸板的厚度略去不计）则这张矩形纸板的长为　 　cm．
【思路点拨】根据题意设这张长方形纸板的长为2xcm，宽为xcm，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案．
【答案】解：设这张长方形纸板的长为2xcm，宽为xcm，根据题意可得：
（2x﹣40）（x﹣40）×20＝12000，整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x1＝10（不合题意舍去），x2＝50，则2x＝100cm，
答：长方形纸板的长为100cm，宽为50cm．故答案是：100．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．
3．（2021·浙江杭州·三模）某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元，商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D．元或元
【答案】D
【分析】假设每条连衣裙降价元，根据题意可列出每天可售出多少条，再根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解出即为结论．
【详解】设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
由题意得：，整理得：，解得：，，
每条连衣裙应降价元或元，故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
4．（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，据题意得(a+b)2=b(b+a+b)，设a=1，求出b=，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．
【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
设a=1，根据题意，得(a+b)2=b(b+a+b)，∵a=1，∴b2﹣b﹣1=0，解得b (负值舍去)，∴b=，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：(a+b)：2b=．选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系.
5．（2021·浙江温岭·九年级期末）若x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【答案】C
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x(x﹣1)场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝28场，依此等量关系列出方程即可．
【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x﹣1)场，
根据题意列出方程得：x(x﹣1)＝28，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间的比赛的总场数除以2．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第7节 一元二次方程及应用
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 路桥区期末）若关于x的方程（a+1）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
【思路点拨】根据一元二次方程的定义知：a+1≠0，据此可以求得a的取值范围．
【答案】解：根据题意，得a+1≠0，解得，a≠﹣1．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
2．（2021·浙江台州·九年级期中）一元二次方程x2-4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=±2 D．x=4
【答案】C
【分析】移项后利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：x2-4=0 故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，注意不要漏解，解题关键是掌握直接开平方法．
3．（2021·辽宁北镇·九年级期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【答案】C
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：，配方得：，即．故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
4．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b=-1，然后把2021-a-b变形为2021-（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0，所以a+b=-1，
所以2021-a-b=2021-（a+b）=2021+1=2022．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2021 余杭区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx＝2（a，b是常数，且a≠0）（　　）
A．若a＞0，则方程可能有两个相等的实数根 B．若a＞0，则方程可能没有实数根
C．若a＜0，则方程可能有两个相等的实数根 D．若a＜0，则方程没有实数根
【思路点拨】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝b2+8a，则a＞0时，△＞0，则根据判别式的意义可对A进行判断；当a＜0时，可能△＞0或△＝0或△＜0，则根据判别式的意义可对B、C、D进行判断．
【答案】解：ax2+bx﹣2＝0，△＝b2﹣4×a×（﹣2）＝b2+8a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△＝0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解．故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（2021 宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
【思路点拨】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程．
【解析】解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，故选：A．
【点睛】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（2020·浙江浙江·九年级期中）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
【答案】D
【分析】分类讨论：该方程是一元二次方程和一元一次方程．一元二次方程的二次项系数不等于零且根的判别式大于零．
【详解】解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣，符合题意；
②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．
解得k≤5；综上所述，k的取值范围是k≤5．故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题时需要注意：已知方程没有指明是关于x的一元二次方程，需要分类讨论．
8．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．
9．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【详解】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
10．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】∵方程的两根分别为，，
∴，，∴，
∴=====-1．故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
二、填空题
11．（2021·浙江·仙居县下各镇第一中学九年级期中）已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是_________．
【答案】3
【分析】由方程的系数，利用根与系数的关系可得出两根之积为，再结合方程的一根为，即可求出方程的另一个根．
【详解】解：，，方程的两根之积为，
方程的一个根为，方程的另一个根为．故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是牢记两根之积等于．
12．（2021·浙江台州·九年级期中）如果关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝2﹣b有两个相等的实数根x1＝x2＝5，则a＝_____，b＝_____．
【答案】5 2
【分析】根据题意得到(5-a) 2=2-b=0，再把x＝5代入， 从而得到a和b的值.
【详解】∵方程（x﹣a）2＝2﹣b有两个相等的实数根x1＝x2＝5，
∴2﹣b＝0，解得b＝2，∴（x﹣a）2＝0，把x＝5代入得（5﹣a）2＝0，解得a＝5．故答案为5，2．
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根与△=b2-4ac有 如下关系:当△> 0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根.
13．（2021·浙江新昌·八年级期末）已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是______．
【答案】6
【分析】设两直角边的长度分别为，n，则，n是方程的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案．
【详解】解：设两直角边的长度分别为，n，
由题意可得：，n是方程的两个实数根，
∴，∴，故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，则，，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
14．（2021·浙江浙江·九年级期中）已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
【答案】
【分析】利用韦达定理可得出，，再通过代入移项可得到，分别代入运算即可．
【详解】解：∵，和是方程的两个根
∴，，
∴故答案为：
【点睛】本题主要考查了韦达定理，代数式的运算，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键．
15．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．
【详解】由题意，，，
∵，∴，即：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
16．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．
【答案】20
【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．
【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，当共有210个小球时，，
解得：或(不合题意，舍去)，∴第个图形共有210个小球．故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．
17．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．
【答案】
【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
【详解】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数
则大正方形的面积为 小正方形的面积为 设
则
又，即
解得或（不符题意，舍去）将代入得：
两边同除以得：令则
解得或（不符题意，舍去）即的值为故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键．
18．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
三、解答题
19．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）解方程：(用适当的方法解方程)
（1）解方程：x2﹣6x+2=0． （2）（2x+5）-3x（2x+5）=0
【答案】（1）x1=3+，x2=3-（2）x1=-，x2=．
【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）x2﹣6x+2=0，
移项得：x2-6x=-2，
配方得：x2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，
开方得：x-3=±，
∴原方程的解是：x1=3+，x2=3-；
（2）（2x+5）-3x（2x+5）=0，
∴（2x+5）（1-3x）=0，
∴2x+5=0或1-3x =0，
∴x1=-，x2=．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（2021·浙江温岭·九年级期中）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用根的判别式，求出大于等于0恒成立，就可以证明；（2）利用因式分解法得到该方程的两个根，一个是2，一个是，根据方程有一根小于 3，求出k的取值范围．
【详解】解：（1），，，
，，，
∵，∴，∴方程总有两个实数根；
（2），∴，，∵方程有一根小于1，∴，∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用这些知识点进行求解．
21．（2021·浙江台州·九年级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求 的取值范围；（2） 取符合条件的最小整数时， 求此方程的根．
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）由Δ>0得到关于k的不等式，解不等式，得到k的范围；
（2）由（1）知，代入原方程，利用因式分解法求解可得．
【详解】解：（1）由题意得：，解得：；
（2）由（1）知，k最小整数为－2，此时方程为：，解得：，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
22．（2021·浙江·温岭市第三中学九年级期中）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
对于代数式，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．
(1)代数式的不变值是________，A=________．
(2)已知代数式，若A=0，求b的值．
【答案】（1）-1，2；3；（2），
【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再作差后可求出A的值；（2）由A=0可得出方程=0有两个相等的实数根，进而可得出△=0，解答即可得出结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
解得，， ∴A=2-（1）=2+1=3，故答案为：-1，2；3；
（2）根据题意得，=0有两个相等的实数根，
∴△=[- (b+1)]2-4×3×1=0∴，
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
23．（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
【详解】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，∴是方程ax2+bx+1＝0的根，∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，∴ms＝nt，∴＝1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．
24．（2021·浙江浙江·九年级期末）某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式．（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）促销后发现，该经销商每天的销售量不低于85箱．若每销售一箱消毒水可以享受政府m元（0＜m≤6）的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为1020元，求m的值．
【答案】（1）y=60+5x；（2）4元；（3）m=3．
【分析】（1）设每箱降价x元，日均销量为y箱，则日均销量下降5x，列出y与x的关系式即可；
（2）根据日均利润=每箱利润×日销售量，再结合题意列一元一次方程求解即可；
（3）先根据题意确定每箱降价x元的取值范围，然后再列出最大利润与x的函数关系式，最后根据最值为1020列式求解即可．
【详解】解：（1）设每箱降价x元，日均销量为y箱，则日均销量下降5x，
所以日均销量y关于x的函数关系式为y=60+5x；
（2）设每箱应降价x元,则根据题意可列不等式：（26-x-12）（60+5x）=800，
整理得：-8x2+10x+40=0解得x=4或x=-2（不合题意舍去）所以每箱应降价4元；
（3）由60+5x≥85可得x≥5，设这种消毒水的日均利润为w
W=（26-x-12）（60+5x）+m（60+5x）=-5x2+10x+840+m（60+5x）=-5（x-1）2+845+m(60+5x)
∴对应函数图像的开口方向向下，对称轴为x=1∴当x=1时，W有最大值
∵x≥5时，W有最大值1020，即-5（5-1）2+845+m(60+5×5)=1020解得：m=3
又∵0＜m≤6∴m=3符合题意．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，掌握并灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
25．（2020·浙江温州·九年级期末）疫情期间，某企业每日需向疫情严重的地区捐赠20万只口罩．该企业原口罩日产量为40万只，经政府出资两次加大设备投入后，日产量提升为90万只．每日用于销售的口罩当日全部售出，且每只口罩的成本和销售单价始终不变．该企业原来每日亏损4万元，加大设备投入后，每日盈利11万元．（1）求两次口罩日产量的平均增长率；（2）求每只口罩的成本和单价；（3）该企业将每天生产的口罩达成90包（每包1万只），现从捐赠和自行销售的口罩中分别抽取若干包以成本价支持本地防疫工作，企业规定口罩捐赠量高于自行销售量的．若企业每日仍盈利4万元，则从捐赠和自行销售的口罩中各抽取多少包？
【答案】（1）；（2）成本为0.5元，单价为0.8元；（3）捐赠口罩为23包，自行销售为67包
【分析】（1）设求两次口罩日产量的平均增长率为，根据题意列出方程，解之即可；（2）设每只口罩的成本为元，销售单价为元，根据题意列出方程组，解之即可；（3）设捐赠口罩为包，自行销售为包，列出不等式组，求出a的范围，再根据每日仍盈利4万元，得到a值，可得结果．
【详解】解：（1）设求两次口罩日产量的平均增长率为，
由题意可列式得，解得，（舍去），
∴两次口罩日产量的平均增长率为．
（2）设每只口罩的成本为元，销售单价为元，
由题意可列式得 ，解得，
∴每只口罩的成本为0.5元，销售单价为0.8元．
（3）设捐赠口罩为包，自行销售为包，
由题意可列式得，解得，
由（2）得，每只口罩成本0.5元，销售单价为0.8元，
则，解得，
∵，∴，∴，∴捐赠口罩为23包，自行销售为67包．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程（组）和不等式组．
26．（2021·浙江温岭·九年级期中）QQ是大家常用的通讯工具，它的等级、等级图标、活跃天数如下表，请仔细观察，解答下列问题：（1）等级图标“”表示第　 　级，至少需要活跃　 　天；
（2）设要获得x级至少活跃y天，求y关于x的函数关系式，并求活跃第1000天是哪级？
（3）明叔和亮叔都是从新号（即0级）开始上QQ，明叔每天都获得1活跃天，即第0天至第4天0级，第5天至第11天1级，以此类推：亮叔有时一天都不上QQ，有时进行QQ加速，刚好每50天升一级，即第0天至第49天0级，第50天至第99天1级，以此类推．设明叔第p天处于第n级，亮叔第q天也处于第n级，问n为多少时，q-p最大，最大值是多少？
等级 等级图标 至少活跃天数
0 0
1 5
2 12
3 21
4 32
5 45
6 60
7 77
8 96
… … …
15 285
16 320
17 357
… … …
【答案】（1）20，480；（2）y＝x2+4x，29；（3）当n＝23时，q-p最大，最大值是529
【分析】（1）由表格可知，一个太阳是16个等级，一个月亮是4个等级，即可求出等级图标“”表示的级数；根据1级需要5＝1×（1+4）天，2级需要12＝2×（2+4）天，3级需要21＝3×（3+4）天，以此类推，得出20级至少需要活跃天数；（2）根据（1）可得天数与级数活跃关系，即y关于x的函数关系式，再将y＝1000代入，求出x即可；（3）根据题意，分别求出p与n，q与n的函数解析式，得到q-p＝50n-（n2+4n）＝-（n-23）2+529，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）∵一个太阳是16个等级，一个月亮是4个等级，∴等级图标“”表示第20级；
∵1级需要5＝1×（1+4）天，2级需要12＝2×（2+4）天，3级需要21＝3×（3+4）天，…
∴20级至少需要活跃天数为：20×（20+4）＝480（天）故答案为：20，480；
（2）设要获得x级至少活跃y天，由（1）可得y＝x（x+4），即y＝x2+4x；
当y＝1000时，x2+4x＝1000，解得：，（不合题意舍去）
∵225＜251＜256，∴15＜＜16，∴28＜x＜30，∴x＝29，即活跃第1000天是29级；
（3）由题意可得，明叔获得等级的天数与表中情况一样，∴p＝n2+4n，
∵亮叔每50天升一级，∴q＝50n，∴q-p＝50n-（n2+4n）＝-n2+46n＝-（n-23）2+529，
∵函数开口向下∴当n＝23时，q-p最大，最大值是529．
【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程、代数式、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程、代数式、数字规律的性质，从而完成求解．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第7节 一元二次方程及应用
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 路桥区期末）若关于x的方程（a+1）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
2．（2021·浙江台州·九年级期中）一元二次方程x2-4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=±2 D．x=4
3．（2021·辽宁北镇·九年级期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
4．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．（2021 余杭区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx＝2（a，b是常数，且a≠0）（　　）
A．若a＞0，则方程可能有两个相等的实数根 B．若a＞0，则方程可能没有实数根
C．若a＜0，则方程可能有两个相等的实数根 D．若a＜0，则方程没有实数根
6．（2021 宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
7．（2020·浙江浙江·九年级期中）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
8．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
9．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
10．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·浙江·仙居县下各镇第一中学九年级期中）已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是_________．
12．（2021·浙江台州·九年级期中）如果关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝2﹣b有两个相等的实数根x1＝x2＝5，则a＝_____，b＝_____．
13．（2021·浙江新昌·八年级期末）已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是______．
14．（2021·浙江浙江·九年级期中）已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
15．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
16．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．
17．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．
18．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
三、解答题
19．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）解方程：(用适当的方法解方程)
（1）解方程：x2﹣6x+2=0． （2）（2x+5）-3x（2x+5）=0
20．（2021·浙江温岭·九年级期中）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．
21．（2021·浙江台州·九年级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求 的取值范围；（2） 取符合条件的最小整数时， 求此方程的根．
22．（2021·浙江·温岭市第三中学九年级期中）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
对于代数式，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．
(1)代数式的不变值是________，A=________．(2)已知代数式，若A=0，求b的值．
23．（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
24．（2021·浙江浙江·九年级期末）某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式．（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）促销后发现，该经销商每天的销售量不低于85箱．若每销售一箱消毒水可以享受政府m元（0＜m≤6）的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为1020元，求m的值．
25．（2020·浙江温州·九年级期末）疫情期间，某企业每日需向疫情严重的地区捐赠20万只口罩．该企业原口罩日产量为40万只，经政府出资两次加大设备投入后，日产量提升为90万只．每日用于销售的口罩当日全部售出，且每只口罩的成本和销售单价始终不变．该企业原来每日亏损4万元，加大设备投入后，每日盈利11万元．（1）求两次口罩日产量的平均增长率；（2）求每只口罩的成本和单价；（3）该企业将每天生产的口罩达成90包（每包1万只），现从捐赠和自行销售的口罩中分别抽取若干包以成本价支持本地防疫工作，企业规定口罩捐赠量高于自行销售量的．若企业每日仍盈利4万元，则从捐赠和自行销售的口罩中各抽取多少包？
26．（2021·浙江温岭·九年级期中）QQ是大家常用的通讯工具，它的等级、等级图标、活跃天数如下表，请仔细观察，解答下列问题：（1）等级图标“”表示第　 　级，至少需要活跃　 　天；
（2）设要获得x级至少活跃y天，求y关于x的函数关系式，并求活跃第1000天是哪级？
（3）明叔和亮叔都是从新号（即0级）开始上QQ，明叔每天都获得1活跃天，即第0天至第4天0级，第5天至第11天1级，以此类推：亮叔有时一天都不上QQ，有时进行QQ加速，刚好每50天升一级，即第0天至第49天0级，第50天至第99天1级，以此类推．设明叔第p天处于第n级，亮叔第q天也处于第n级，问n为多少时，q-p最大，最大值是多少？
等级 等级图标 至少活跃天数
0 0
1 5
2 12
3 21
4 32
5 45
6 60
7 77
8 96
… … …
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… … …
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第7节 一元二次方程及应用
【考试要求】
1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式；
2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；
3.理解一元二次方程根的判别式，会判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系；
4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.
【考情预测】
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为15分左右,预计2022年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1．一元二次方程的定义：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2次 ，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
2．一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有 开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．
(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解．
(3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)．
(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．
3．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．③当Δ＜0时，方程没有实数根．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，
4．一元二次方程的实际应用：
常见的等量问题：
(1)平均增长率(下降率)问题：如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
(2)利润问题：利润＝售价－成本，利润率＝×100%，销售价＝(1＋利润率)×进货价．
(3)利息问题：利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．
(4)面积问题：如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求 面积．
设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．
【重难点突破】
考向1. 一元二次方程的相关概念
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州·九年级期中）关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≤1
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江台州·九年级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（2021·浙江·台州市九年级期中）若一元二次方程x2﹣（b﹣4）x+9＝0的一次项系数为2，则b的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．6
变式1-3．（2021·浙江台州·九年级期中）已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·临海市九年级期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江路桥·九年级期末）若关于x的方程（a+1）x2-3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3.（2021 余姚市一模）若是一元二次方程（且）的一个根，则的值为________．
4．（2021浙江温岭·九年级期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常数项是0，则a＝_____．
5．（2021·浙江·天台县九年级期中）二次方程4x(x+2)=25化成一般形式得（ 　）
A．4x2+8x﹣25=0 B．4x2﹣23=0 C．4x2+8x=25 D．4x2+2=25
考向2. 解一元二次方程（1）
【典例精析】
【例】（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【变式训练】
变式2-1. （2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-2. （2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
变式2-3. （2021·浙江东阳·一模）解方程：
【考点巩固训练】
1．（2021 金华）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
2．（2021 绍兴）（1）计算：4sin60°+（π﹣2）0﹣（）﹣2．
（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
3．（2021·浙江·仙居县九年级期中）解下列方程：（1）x2+4x+3＝0；（2）3x2﹣x﹣1＝0．
4．（2021·浙江婺城·二模）解方程：（x﹣1）（2x＋3）＝（2x＋3）．
5．（2021·内蒙古·中考模拟）将关于x的一元二次方程x2+px+q＝0变形为x2＝﹣px﹣q，就可将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知x2﹣x﹣1＝0，可用“降次法”求得x4﹣3x+2014的值是_____．
考向3. 解一元二次方程（2）换元法
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州·九年级期中）阅读下面的材料， 回答问题： 解方程+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ， 那么， 于是原方程可变为（1）， 解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
原方程有四个根： ．
在由原方程得到方程（1）的过程中， 利用换元法达到降次的目的， 体现了数学的转化思想．
（1）试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ．
（2）解方程 ．
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江温州·二模）若关于的方程的两个根为，，则关于的方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
变式3-2.（2021·浙江温州·模拟预测）我们知道方程的解是，，那么对于实数满足，则的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．或2
变式3-3. （2021·浙江·九年级期中）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）-3＝0时，设x2﹣2x=y，则原方程可转化为y2﹣2y-3＝0，解得y1＝-1，y2＝3，所以x2﹣2x=-1或x2﹣2x=3，可得x1=x2=1，x3=3，x4=-1.我们把这种解方程的方法叫做换元法.对于方程：x2+﹣3x﹣=12，我们也可以类似用换元法设x+ =y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ）
A．y2﹣3y﹣12＝0 B．y2+y﹣8＝0 C．y2﹣3y﹣14＝0 D．y2﹣3y﹣10＝0
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江·杭州九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的其中一根为x＝2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝0的根为_______．
2．（2021·浙江浙江·九年级期末）方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·台州市九年级期中）已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0，那么x2＋3x的值为( )
A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或3
4．（2020·浙江·温岭市第三中学九年级期中）解方程：(1) (2)
考向4. 配方的相关运用
【典例精析】
【例】（2020 嘉兴中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 　2x；
②当x＝0时，x2+1　 　2x；
③当x＝﹣2时，x2+1　 　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【变式训练】
变式4-1. （2021 舟山）在x2+（　 　）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
变式4-2. （2021·浙江下城·九年级期中）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于___________．
变式4-3. （2021·浙江·二模）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江杭州·九年级期中）下列代数式的值可以为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A．12 B．14.5 C．16 D．
3．（2021·浙江·二模）已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　）
A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y
4．（2021·浙江杭州·九年级期末）已知关于方程，其中是实数．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值．
考向5. 判别式的相关应用
【典例精析】
【例】（2021·浙江台州市·中考真题）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【变式训练】
变式5-1. （2020 湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
变式5-2. （2021 江干区一模）关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
变式5-3. （2021·浙江上城·一模）对于代数式，甲同学认为：当时，该代数式的值与k无关；乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5，则下列结论正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【考点巩固训练】
1．（2021·浙江台州·九年级期中）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k﹣1）x﹣2＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
2．（2021·广东·揭阳市九年级期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0
4．（2020·浙江义乌·九年级期末）下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程配方变形为 B．方程的解为
C．关于的方程有实数根，则 D．方程的解为
5．（2021·浙江·杭州育才中学模拟预测）已知关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是_____．
考向6. 根与系数的关系
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州·九年级期末）若方程的两个不相等的实数根、满足，则实数的所有可能的值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式训练】
变式6-1. （2021·浙江台州·九年级期中）已知一元二次方程有一个根为3，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
变式6-2. （2021·浙江·浦江县九年级期中）已知，且，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．9
变式6-3.（2021·浙江杭州·八年级期末）等腰三角形边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程的两根，则（ ）
A．9 B．9成10 C．10 D．5
【考点巩固训练】
1．（2021·杭州·九年级期末）已知关于的方程有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则________．
2．（2021·浙江·三模）双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为_____．
3．（2021·浙江·八年级期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
4．（2021·浙江浙江·八年级期末）若关于的方程的根是正整数，则整数的值可以是_______．
5．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其实数a的可能值
考向7. 一元二次方程的应用
【典例精析】
【例】（2020 衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
【变式训练】
变式7-1. （2021 上城区一模）某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价（　　）
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
变式7-2. （2021 余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　）
A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9% C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%
变式7-3.（2021 黄岩区模拟）黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．
（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？
【考点巩固训练】
1．（2021 嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为　 　．
2．（2021 温州模拟）取一张长与宽之比为2：1的矩形纸板，剪去四个边长为20cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为12000cm3（纸板的厚度略去不计）则这张矩形纸板的长为　 　cm．
3．（2021·浙江杭州·三模）某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元，商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D．元或元
4．（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为(　　)
A． B． C． D．
5．（2021·浙江温岭·九年级期末）若x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
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