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3.2.2　双曲线的简单几何性质
班级 姓名 小组___________
【学习目标】
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质
【重点难点】
　了解双曲线的简单几何性质
【导学流程】
情境导入
凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
[问题]　你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础感知
一、双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 实半轴长：，虚半轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
二、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x．
合作与交流
1．椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
提示：不一样，椭圆的离心率01.
2．若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
提示：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．
3．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　×　)
(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×　　)
(3)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　√　)
典例分析
例1.　(链接教科书第124页练习1题)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
小结1.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[注意]　求性质时一定要注意焦点的位置．　　　　
例2.　(链接教科书第124页练习2题)(1)以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D．以上都不对
(2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为___－＝1._____．
小结2.求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程；
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
例3.　如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为__1＋______．
小结3.求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．　　　　
1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
2．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
解析：由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.
答案：

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