资源简介 3.3.1 抛物线及其标准方程班级 姓名 小组___________【学习目标】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程【重点难点】1.抛物线的定义、几何图形和标准方程 2.抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用【导学流程】情境导入:把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.[问题] 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗? 基础感知一 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .归纳小结:1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个 ,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的 ,和一条定直线l,即抛物线的 ;一相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).2.定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 二 抛物线标准方程的几种形式图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)归纳小结:四个标准方程的区分焦点在一次项变量对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴的正方向;当系数为负时,开口向坐标轴的负方向. 合作与交流1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是( )A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线2.平面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是( )A.直线 B.抛物线C.椭圆 D.圆3.对抛物线y=4x2,下列描述正确的是( )A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为4.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为( )A.(8,8) B.(8,-8)C.(8,±8) D.(-8,±8)5.已知动点P到定点(0,2)的距离和它到直线l:y=-2的距离相等,则点P的轨迹方程为__x2=8y.典例分析例1. (链接教科书第132页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M(-6,6);(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.[解] (1)由于点M(-6,6)在第二象限,∴过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y2=-6x.若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0),∴抛物线的焦点是F(2,0),∴=2,∴p=4,∴抛物线的标准方程是y2=8x.②∵直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),∴=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程是x2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.归纳小结:求抛物线的标准方程的方法定义法 根据定义求p,最后写标准方程待定系数法 设标准方程,列有关的方程组求系数直接法 建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2=ax或x2=ay(a≠0)的形式,以简化讨论过程. 例2. (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )A.2 B.3C.6 D.9(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程.[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F的距离与它到直线l:x=-的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而=,所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0).归纳小结:抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题;(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 例3. (链接教科书第132页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度, 问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?[解] 如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立直角坐标系.因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p>0),则102=-2p×(-2),所以p=25,所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=-×82=-1.28,即船体在x=±8之间通过点B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船体高为5米,所以无法通行.又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1 050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1 050吨,而船最多还能装1 000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔.归纳小结:求抛物线实际应用的五个步骤 展开更多...... 收起↑ 资源预览