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3.3.2.2　抛物线的方程及性质的应用(习题课)
一、与抛物线有关的轨迹问题
例1、　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[解]　(1)过点P作x轴的垂线垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴ ＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
归纳小结：求与抛物线有关的轨迹的方法及步骤
(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；
(2)步骤：①建系——建立适当的坐标系；
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式——列出动点P所满足的关系式；
④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．　　　　
二、与抛物线有关的定点(定值)问题
例2、　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．
[解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立方程消去x化简得ky2－4y＋4b＝0.
根据根与系数的关系得yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，
即xAxB＋2yAyB＝0，
即eq \f(y,4)·eq \f(y,4)＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，
综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0)．
归纳小结：求与抛物线有关的定点问题的步骤
例3、　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且·＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M坐标为(－2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：＋为定值．
[解]　(1)设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得－my－2＝0.
所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.
所以·＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y,2p)·eq \f(y,2p)＋y1y2＝4－4p＝2，
所以p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)证明：因为M坐标为(－2，0)，
所以＋＝＋
＝
＝eq \f(yy2＋yy1＋2（y1＋y2）,y1y2)
＝，
由(1)可得y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以＋＝0为定值．
归纳小结：求与抛物线有关的定值问题的步骤
　　　　
三、与抛物线有关的最值(范围)问题
例4、　如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[解]　由解得或
由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝＝·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－y0－4))＝|(y0－1)2－9|.
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
归纳小结；解决与抛物线有关的最值问题的思路
求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的距离的最值、求抛物线上一点到定直线的距离的最值．解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决．　　　　
例5、如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．
[解析]　由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝·＝.点D(－1，0)到直线AB的距离d＝，
∴S＝d·|AB|＝·＝4>4，　　∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．
[答案]　(4，＋∞)
归纳小结：解决抛物线中的范围问题应考虑的五个方面
(1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　　　
随堂小练
1．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
解析：由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
答案：y2＝4x
3．已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
解：(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
设其方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，解得p＝2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x(x>0)．
(2)证明：设直线AB：y＝－x＋b(b≠3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y＝－＋b，即y2＋4y－4b＝0，
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，
因为x1＝eq \f(y,4)，x2＝eq \f(y,4)，
所以k1＋k2＝eq \f(y2－2,\f(y,4)－1)＋eq \f(y1－2,\f(y,4)－1)
＝eq \f(4（y2－2）,y－4)＋eq \f(4（y1－2）,y－4)
＝＋＝＝0.
因此k1＋k2＝0.

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