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高一数学《5.2.2同角三角函数的基本关系》导学案
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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第五章 三角函数
5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标：
1.能根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养数学抽象的核心素养
2.掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值，求其它三角函数值，提升数学运算的核心素养；
3.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明，提升数学运算的核心素养。
学习重难点：
重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
三角函数的定义：
三角函数的符号：
预习——
同角三角函数的基本关系：
新课导学
学习探究
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cos α, =tan α.
【探究1】能否根据x,y的关系得到sin α,cos α,tan α的关系
【探究2】公式sin2α＋cos2α＝1与＝tan_α对任意角都成立吗
（二）同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ；
(2)商数关系： (α≠＋kπ，k∈Z)．
(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的 等于1， 等于角α的正切．
【思考】“同角”一词的含义是什么？
【做一做1】已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝ .
【做一做2】sin2＋cos2＝ .
【做一做3】已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ .
拓展：基本关系式的变形公式
sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
（三）典型例题
1.已知一个三角函数值求另两个三角函数值
例1.已知cos α＝－，角 α在第二象限，求sin α，tan α的值．
【变式探究1】将本例条件“角 α在第二象限”去掉，求sin α，tan α的值．
【变式探究2】已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．
【类题通法】由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类
(1)依据：cos α＝±或sin α＝±，要根据角α所在的象限，一般是先选用平方关系,再用商数关系，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝时，不存在符号的选取问题．
(2)分类：
①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；
②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；
【巩固练习1】已知sin φ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．
C．－ D．
2.齐次式求值
例2. 已知tan α＝3，求：①；②sin2α－3sin αcos α＋1.
【类题通法】关于sin α,cos α的齐次式的求值方法
(1)关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)假如代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式.
【巩固练习2】已知＝－5，那么tan α的值为(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
3.关于与的关系
例3.已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜π，求sin θ－cos θ.
【类题通法】(1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，开方时要注意判断它们的符号．
（3）sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.
【巩固练习3】若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝ .
4.三角函数式的化简
例4.化简下列各式．
(1) tan α，其中α是第二象限角；
(2)
【类题通法】1．三角函数式化简的本质及关注点
(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．
(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝.
2．对三角函数式化简的原则
(1)使三角函数式的次数尽量低．
(2)使式中的项数尽量少．
(3)使三角函数的种类尽量少．
(4)使式中的分母尽量不含有三角函数．
(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．
(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．
【巩固练习4】化简－得(　　)
A．－ B. C．－ D.
5.三角函数式的证明
例5.求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
【类题通法】证明三角恒等式的常用方法
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
【巩固练习5】求证：sin4α－cos4α＝2sin2α－1.
（四）操作演练 素养提升
1．化简 的结果是(　　)
A．cos 　 B．－sin 　　
C．sin 　　 D．－cos
2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A. B. C．1 D.
3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则此三角形是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4.化简(1＋tan2 α)·cos2 α＝________.

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