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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第8节 分式方程
【考场演练】
一、选择题
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意；
B、是一元一次方程，故不符合题意；C、是分式方程，故符合题意；
D、是二元一次方程，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．
2．（2021·浙江湖州·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程两边同乘以(x-3)即可解答
【详解】解：方程两边同乘以(x-3)得，故选：A．
【点睛】此题主要考查了解分式方程中的去分母，找出最简公分线是解答此题的关键．
3．（2020·四川成都市·中考真题）已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将代入原方程，即可求出值．
【详解】解：将代入方程中，得解得： ．故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
4．（2021·浙江温州·九年级期末）方程的根是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】将方程两边同乘以即可得．
【详解】解：，方程两边同乘以得：，
经检验，是分式方程的根，故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
5．（2021·浙江嵊州·九年级期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2
【答案】A
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x-1=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母，得：x-3=m，由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程，可得：m=-2．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（2021·浙江宁波·三模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发前每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系．
【详解】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：，故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
7．（2021·浙江·九年级期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（ ）．
A． B．2 C．或2 D．1或
【答案】B
【分析】分结果为与两种情况分别求出方程的解，进行检验然后比较与大小，从而求解．
【详解】解：由题意可得或，
当时，，解得经检验是原方程的解
此时，，，故不符合题意，舍去．
当时，，解得经检验，是原方程的解
此时，，．符合题意，即．故选B．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．（2021·浙江杭州·九年级期末）已知关于的方程存在整数解，则正整数所有取值的和为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．16
【答案】A
【分析】将原式变形为，令t=，变形可得m=，再结合m为正整数，可求出所有m值，相加即可．
【详解】解：，∴，
令t=，∴，∴==，
∵m为正整数，且t=≥0，∴t=1时，m=18，t=2时，m=6，
∴所有m的取值的和为24，故选A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，换元法，解题的关键是根据整数的性质结合方程进行解答．
9．（2021·浙江吴兴·七年级期末）现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，若，则的值为（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
【答案】B
【分析】先根据题意求出，则，再解方程即可求得
【详解】，，，…，
解得：经检验，是原方程的解．故选B
【点睛】本题考查了找规律问题，整式的加减运算，分式方程，求得是解题的关键．
10．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】解：,两边同时乘以（)，,,
由于该分式方程的解为正数，∴，其中;∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，由①得：;由②得：;
∴，∴综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；∴它们的和为；故选B．
【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．
二、填空题
11．（2020 嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　　．
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，故答案为：．
12．（2020·浙江杭州·九年级期末）方程的解为_________．
【答案】x=
【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程的两边同乘x（x+3），得x+3+5x2=5x（x+3），解得x=，
检验：把x=代入x（x+3）=≠0，∴原方程的解为：x=．故答案为：x=．
【点睛】本题考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
13．（2021·四川资阳市·中考真题）若，则_________．
【答案】3
【分析】先由可得，再运用分式的减法计算，然后变形将代入即可解答．
【详解】解：∵∴
∴．故填：3．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．
14．（2020·浙江金华·二模）2020 年新冠肺炎疫情影响全球各国感染人数持续攀升．医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来．长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍．两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求乙厂房每天生产多少箱口罩？设乙厂房每天生产x箱口罩，依题意可得方程为：_________________
【答案】
【分析】由乙厂房每天生产x箱口罩可得出甲厂房每天生产1.5x箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙厂房每天生产x箱口罩，∴甲厂房每天生产1.5x箱口罩．
依题意，得：．故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
15．（2021浙江杭州·九年级）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝__．
【答案】4
【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．
【详解】解：∵=1，∴，
方程两边都乘以x﹣1得：2+1＝x﹣1，解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，1﹣x≠0，即x＝4是分式方程的解，故答案为：4．
【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．
16．（2021·浙江临安·一模）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度_________km/h．
【答案】350
【分析】设这次列车提速后的平均速度为，利用行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，列方程即可求出答案．
【详解】解：设这次列车提速后的平均速度为，则列车提速前的平均速度为，．
由题意列方程得，解得，
经检验得是原方程的解．∴这次列车提速后的平均速度为km/h．故答案为：350．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
17．（2021·浙江浙江·九年级期中）若关于x的方程无解，则a的值为________．
【答案】2或3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】解：去分母得：3x=x-4+ax，移项得：（a-2）x=4，
由分式方程无解，得到a-2=0，或，解得：a=2，或a=3，故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了分式方程的解．解题的关键是能根据题意得出关于a的方程，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18．（2021·浙江杭州·中考模拟）若，则m=______．
【答案】3或﹣1
【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m=3或m=-1．
【详解】解： ，
综上：或 故答案为3或﹣1．
三、解答题
19．（2021·浙江余杭·一模）解方程：．
【答案】
【分析】两边都乘以x2-1)化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：两边都乘以x2-1，得2-(x+1)2=-(x-1)，解得，．
检验：当时，所以舍去．所以是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
20．（2021·浙江浙江·九年级期末）对于分式方程，牛牛的解法如下：
解：方程两边同乘，得 ①
去括号，得 ②
解得 ③
∴原方程的解为 ④
（1）上述解答过程中错误的是___________（填序号）．
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①④；（2）见解析．
【分析】（1）根据分式方程去分母法则即可得；
（2）先通过去分母，将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
【详解】解：（1）方程两边同乘，得，则步骤①错误，
步骤④未经检验，得出原方程的解，则步骤④错误，故答案为：①④；
（2），
方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
21．（2021·山东任城·九年级期中）对于任意实数a，b我们规定：a b＝．根据上述规定解决下列问题：（1）计算：（﹣） （﹣1）．（2）若（x﹣3） （x+3）＝1，求x的值．
【答案】（1）；（2）x＝
【分析】（1）根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则求出即可；
（2）根据新运算得出算式，再解分式方程即可．
【详解】解：（1）由题意得：（﹣） （﹣1）＝＝＝；
（2）∵，∴（x﹣3） （x+3）＝1，
＝1，＝1，方程两边都乘以5x﹣9，得x-3＝5x﹣9，解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是原方程的解，所以x＝．
【点睛】本题主要考查分式方程及定义新运算的问题，熟练掌握分式方程的求解是解题的关键．
22．（2021·浙江东阳·九年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】（1）x=-5；（2）-4或6
【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23．（2021·浙江永康·九年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为,；
方程的解为,；
方程的解为,； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
【答案】（1）, ；（2） , ；（3）x1=2,x2= ；（4） ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【详解】（1）猜想方程 的解是 ；
（2）猜想方程 的解是，；
(3)猜想关于x的方程x 的解为x1=2,x2=，理由为：
方程变形得：x ,即x+( )=2+( ),依此类推得到解为x1=2,x2= ；
（4）方程变形得：，可得或 ，解得：.
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤.
24．（2021·浙江瓯海·二模）温州市开展“明眸皓齿”工程以后，某商店准备购进A，B两种护眼灯，已知每台护眼灯的进价A种比B种多40元，用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同．（1）A，B两种护眼灯每台进价各是多少元？（2）该商店计划用不超过14550元的资金购进A，B两种护眼灯共80台，A，B两种护眼灯的每台售价分别为300元和200元．
①若这两种护眼灯全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
②若该商店捐赠8台护眼灯给温州市社会福利院，且剩余的护眼灯全部售出，现要使得80台护眼灯的利润率等于20%，则该商店应购进A，B两种护眼灯各多少台？（利润率＝×100%）
【答案】（1）A种护眼灯每台进价为200元，B种护眼灯每台进价为160元；（2）①A种护眼灯买43台，B种护眼灯买37台时，能获得最大利润为5780元；②A种护眼灯购进30台，B种护眼灯购进50台
【分析】（1）设每台B种护眼灯进价为x元，则A种护眼灯进价为（x＋40）元，由“用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同”列出分式方程并求解，即可得到答案；
（2）①设A种护眼灯买m台，B种护眼灯买（80﹣m）台，利润为W元，根据题意列一元一次不等式，可求出m的取值范围，并求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可；
②设购进n台A种护眼灯，有a台A种护眼灯捐赠给福利院，则购进（80﹣n）台B种护眼灯，（8﹣a）台B种护眼灯捐赠给福利院，再根据题意列方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）设B种护眼灯每台进价为x元，则A种护眼灯每台进价为（x＋40）元，
由题意，得：，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，
∴A种护眼灯每台进价为200元，B种护眼灯每台进价为160元；
（2）①设A种护眼灯买m台，B种护眼灯买（80﹣m）台，利润为W元，
根据题意得：200m＋160（80﹣m）≤14550，∴，且m为整数，
W＝（300﹣200）m＋（200﹣160）（80﹣m）＝60m＋3200，
W为关于m的一次函数，k＝60＞0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝43时，W有最大值5780，
∴A种护眼灯买43台，B种护眼灯买37台时，能获得最大利润为5780元；
②设购进n台A种护眼灯，有a台A种护眼灯捐赠给福利院，则购进（80﹣n）台B种护眼灯，（8﹣a）台B种护眼灯捐赠给福利院，
由利润率等于20%可得：300（n﹣a）＋200（72﹣n＋a）＝1.2[200n＋160（80﹣n）]；
化简得：n＝，
∵n，a均为整数，且0≤a≤8，∴a＝6，n＝30．
∴A种护眼灯购进30台，B种护眼灯购进50台．
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数的知识，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式、一次函数的性质，从而完成求解．
25．（2021·浙江温州·一模）在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服．已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．（1）求两条生产线每小时各生产防护服多少套？
（2）因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线．已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．①该企业防护服的日产量（用a，b的代数式表示）．
②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．
【答案】（1）A生产线每小时生产防护服16套，B生产线每小时生产防护服12套；（2）8
【分析】（1）设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服（x+4）套，根据A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等列分式方程解答；
（2）①将每条生产线的生产效率乘以时间相加即可得到答案；
②设C生产线运行c小时，由题意得，解得，根据a，b为正整数且不超过12，求得或或或，得到c的值．
【详解】解：（1）设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服（x+4）套，
由题意得，解得x=12，经检验，x=12是原方程的解，∴x+4=16，
答：A生产线每小时生产防护服16套，B生产线每小时生产防护服12套；
（2）①日产量为（a，b为正整数且不超过12）；
②设C生产线运行c小时，由题意得，解得，
∵a，b为正整数且不超过12，∴或或或，
∴c=25-2-12=11或c=10或c=9或c=8，∴C生产线运行时间的最小值8．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，列代数式，不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
26．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元
【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；
（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；
②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．
【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，解得．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．（元）．
答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．
（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．
由题意得，解得
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．
②设为包，则为包．
记总利润为元，则．
的数量不低于的数量，，．
，随的增大而减小。当时，的最大值为2800元．
答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第8节 分式方程
【考场演练】
一、选择题
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江湖州·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020·四川成都市·中考真题）已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021·浙江温州·九年级期末）方程的根是（ ）
A． B． C． D．或
5．（2021·浙江嵊州·九年级期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2
6．（2021·浙江宁波·三模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·九年级期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（ ）．
A． B．2 C．或2 D．1或
8．（2021·浙江杭州·九年级期末）已知关于的方程存在整数解，则正整数所有取值的和为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．16
9．（2021·浙江吴兴·七年级期末）现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，若，则的值为（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
10．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020 嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　　．
12．（2020·浙江杭州·九年级期末）方程的解为_________．
13．（2021·四川资阳市·中考真题）若，则_________．
14．（2020·浙江金华·二模）2020 年新冠肺炎疫情影响全球各国感染人数持续攀升．医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来．长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍．两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求乙厂房每天生产多少箱口罩？设乙厂房每天生产x箱口罩，依题意可得方程为：_________________
15．（2021浙江杭州·九年级）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝__．
16．（2021·浙江临安·一模）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度_________km/h．
17．（2021·浙江浙江·九年级期中）若关于x的方程无解，则a的值为________．
18．（2021·浙江杭州·中考模拟）若，则m=______．
三、解答题
19．（2021·浙江余杭·一模）解方程：．
20．（2021·浙江浙江·九年级期末）对于分式方程，牛牛的解法如下：
解：方程两边同乘，得 ①
去括号，得 ②
解得 ③
∴原方程的解为 ④
（1）上述解答过程中错误的是___________（填序号）．
（2）请写出正确的解答过程．
21．（2021·山东任城·九年级期中）对于任意实数a，b我们规定：a b＝．根据上述规定解决下列问题：（1）计算：（﹣） （﹣1）．（2）若（x﹣3） （x+3）＝1，求x的值．
22．（2021·浙江东阳·九年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
23．（2021·浙江永康·九年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为,；
方程的解为,；
方程的解为,； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
24．（2021·浙江瓯海·二模）温州市开展“明眸皓齿”工程以后，某商店准备购进A，B两种护眼灯，已知每台护眼灯的进价A种比B种多40元，用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同．（1）A，B两种护眼灯每台进价各是多少元？（2）该商店计划用不超过14550元的资金购进A，B两种护眼灯共80台，A，B两种护眼灯的每台售价分别为300元和200元．
①若这两种护眼灯全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
②若该商店捐赠8台护眼灯给温州市社会福利院，且剩余的护眼灯全部售出，现要使得80台护眼灯的利润率等于20%，则该商店应购进A，B两种护眼灯各多少台？（利润率＝×100%）
25．（2021·浙江温州·一模）在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服．已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．（1）求两条生产线每小时各生产防护服多少套？
（2）因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线．已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．①该企业防护服的日产量（用a，b的代数式表示）．
②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．
26．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第8节 分式方程
【考试要求】
1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因；
2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根；
3.会列分式方程解决实际问题.
【考情预测】
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2022年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1．分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
3．分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根．
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．
【重难点突破】
考向1. 解分式方程
【典例精析】
【例】（2021 湖州中考真题）解分式方程：1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：2x﹣1＝x+3，解得：x＝4，
当x＝4时，x+3≠0，∴分式方程的解为x＝4．
【变式训练】
变式1-1．（2020 杭州真题）若分式的值等于1，则x＝　 　．
【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
【详解】解：由分式的值等于1，得1，解得x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
变式1-2．（2021·浙江东阳·一模）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程两边同时乘以，利用等式的性质即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以可得：，故选：D．
【点睛】本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．
变式1-3．（2021·浙江·二模）我们知道方程的解是．现给出另一个方程，它的解是__________．
【答案】
【分析】设，则利用换元法解分式方程，即可得到答案.
【详解】解：∵，设，则方程可化为：，
根据题意可知，此时，经检验，是原方程的解；
∴，∴；故答案为：.
【点睛】本题考查了利用换元法解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，解分式方程注意要检验．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北恩施·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可．
【详解】解： 去分母:，∴，
经检验：是原方程的解；故选D．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
2．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解．
【详解】解：，，，，解得：，
检验：当时，，是分式方程的解，故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．
3．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程的解为__________．
【答案】
【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出后，再检验即可．
【详解】解：通分得：，移项得：，
，解得：，经检验，时，，是分式方程的解，故答案是：．
【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．
4．（2021·陕西中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】解：去分母（两边都乘以），得，．
去括号，得，，
移项，得，．
合并同类项，得，．
系数化为1，得，．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．
5．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：．
【答案】无解
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，故此方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
考向2. 分式方程的新定义问题
【典例精析】
【例】（2021·湖南怀化市·中考真题）定义，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据新定义,变形方程求解即可
【详解】∵,∴变形为,解得 ，
经检验 是原方程的根，故选B
【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键
【变式训练】
变式2-1. （2019·广东中考真题）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，，则，
经检验，是方程的解，故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
变式2-2.（2021·浙江·九年级月考）定义运算“”：则：①______；②若，则的值为______.
【答案】3 或10
【分析】①先判断2m与3m的大小，再根据新定义运算即可得出答案；
②首先认真分析找出规律，根据5与x的取值范围，分别得出分式方程，可得对应x的值．
【详解】①故答案为：3.
②当x<5时,，解得，经检验, 是原分式方程的解；
当x>5时,，解得经检验，x=10是原分式方程的解；
综上所述,x=或10；故答案为：或10.
【点睛】本题考查了解分式方程，将新定义的运算，转化为分式方程的形式是解题的关键.
变式2-3.（2021·浙江·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max( ， )=1- 的解是( )
A．x=4 B．x=5 C．x=4或x=5 D．无实数解
【答案】B
【分析】抓住已知条件：规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值．分情况讨论：当Max(，)=时；当Max(，)=时，分别建立关于x的方程，解方程求出x的值，检验可得方程的解．
【详解】解：当Max(，)=时，， 解之：x=4，经检验x=4时方程的解，
此时，故不符合题意；当Max(，)=时，， 解之：x=5，经检验x=5时方程的解，
此时，符合题意； ∴ 方程Max(，)=1- 的解是x=5． 故答案为：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，以及分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
【考点巩固训练】
1．（2020·四川广元市·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的m为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
【答案】C
【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．
【详解】解：当m2-2m≥0时，，解得m=0，
经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0，
当m2-2m＜0时，m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去．故输入的m为0．故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
2．（2021·浙江浙江·八年级期末）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为__．
【答案】x=3
【详解】根据题意可得：y=x+m﹣2，
∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2，
则关于x的方程变为=1，解得：x=3，
检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=3
3．（2021·浙江·九年级专题练习）对于实数a、b，定义一种新运算“Θ”为：aΘb＝，例如：1Θ2＝，则xΘ（﹣2）＝﹣1的解是（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】B
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
去分母得：1＝2﹣x﹣4，解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．（2021·山东商河·八年级期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Min{a，b}表示a，b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min（其中x≠0）的解为___．
【答案】4
【分析】根据题意，分两种情况：（1）x＞0时；（2）x＜0时，由Min（其中x≠0），求出x的值是多少即可．
【详解】解：（1）x＞0时，∵Min（其中x≠0），
∴，∴，解得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解．
（2）x＜0时，∵Min（其中x≠0），∴，∴，解得：x＝2，
∵2＞0，∴x＝2不符合题意．综上，可得：方程Min（其中x≠0）的解为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中注意进行分类讨论．
5．（2021·湖南·郴州市第十八中学八年级阶段练习）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“ ”为：a b=例如：；，(因为)
参照上面材料，解答下列问题：（1）(-1) (1+) ______________.（2）解方程：
【答案】（1）；（2）原方程无解．
【分析】（1）根据 ，再代入新定义的运算，即可求解；
（2）根据 ，再代入新定义的运算，可得到分式方程，解出即可．
【详解】解：（1）∵ ，∴；
（2）∵ ，∴，，，
去分母：解得：，
检验：当时，，所以是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
考向3. 分式方程的增根与无解
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州·模拟预测）关于x的方程有增根，则a的值为_______．
【答案】或6
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程增根的定义可得或，然后代入求值即可得．
【详解】方程两边都乘以，得，整理得：，
∵原方程有增根，∴，解得或，
当时，，解得，当时，，解得，
综上，的值为或6，故答案为：或6．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题关键．
【变式训练】
变式3-1. （2020·四川遂宁市·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式3-2. （2021·浙江越城·九年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，
∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．
∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
变式3-3. （2021·浙江·浦江县九年级期中）关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得到分式方程中的分母2(x- 4)等于0，求出m的值即可．
【详解】，，方程有增根，2(x- 4)=0，，
代入上式中，得到，故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程的增根确定其方程中字母参数值的问题，属于基础题，难度一般，明白使方程的分母为0的解称为原分式方程的增根是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
【答案】3
【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（2021·浙江乐清·九年级期末）若关于x的方程＝3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【详解】解：去分母，得：x﹣3a＝3a（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：a＝1．故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．（2021·浙江杭州·模拟预测）若关于的方程有增根，则____．
【答案】6或0
【分析】根据分母等于0求出x的值，然后把原方程去分母后把求得的x的值代入计算即可．
【详解】解：由题意得x2-9=0，解得x=±3，
，去分母得m-(x+3)=0，
当x=3时，m-(3+3)=0，∴m=6；当x=-3时，m-(-3+3)=0，∴m=0；
∴m=6或0时，分式方程有增根．故答案为：6或0．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
5．（2020·浙江浙江·九年级期末）已知关于x的方程无解，则_____．
【答案】-2或0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】解：去分母得：x2+4-x2=ax-2a，
当a=0时，方程无解；
当a≠0时，解得：x=，由分式方程无解，得到x=0或x=2，
∴=0或=2，解得：a=-2，
综上，a=-2或0．故答案为：-2或0．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
考向4.分式方程的特殊解问题
【典例精析】
【例】（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得整理得，
则
分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，，且是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
变式4-1. （2020·浙江·湖州市第四中学教育集团九年级期中）关于的分式方程的解为正数，则的值为__________．
【答案】且
【分析】根据题意用m将x表示出来,因为x的值为正数,即大于0,解出m的范围,再根据当x=1时方程有增根,算出此时m的值,舍去,即可求出m的值.
【详解】解：
∵x为正数∴解得m＞-2，
当x=1时，x-1=0，此时m=4，方程无解，故且
故答案为且.
【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程有意义的条件,解决本题的关键是正确理解题意,熟练掌握分式方程的解法步骤,解题中注意分式中分母不为0这一隐含条件.
变式4-2. （2021·浙江宁波·八年级期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.
【答案】且．
【详解】试题分析：分式方程去分母得：.
∵分式方程解为负数，∴.
由得和∴的取值范围是且．
考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．
变式4-3. （2020·浙江·嵊州市马寅初初级中学八年级期中）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】B
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【详解】解：由①得： 由②得：＞，
因为不等式组有且只有45个整数解，＜ ＜
＜ ＜ 为整数，为
，
而 且
又 综上：的值为： 故选B．
【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
【答案】m＞-3且m≠-2
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x-1得，，解得，
∵x为正数，∴m+3＞0，解得m＞-3．∵x≠1，∴m+3≠1，即m≠-2．
∴m的取值范围是m＞-3且m≠-2．故答案为：m＞-3且m≠-2．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
2．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
3．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】关于x的分式方程得x=，
∵∴解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
4．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值．
【详解】解：解方程，得，，，
但当时，是增根，，，且，
由二元一次方程组得，，
足，，，，，且，
为整数，满足条件的整数a有，，，0，故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
5．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
考向5. 分式方程的应用
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．20 B．20 C．20 D．20
【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．
【详解】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得：20．故选：B．
【变式训练】
变式5-1. （2021 鹿城区一模）一家工艺品厂按计件方式结算工资．小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资60元，第二天比第一天多做了5件，工资为75元．设小鹿第一天做了x件，根据题意可列出方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝+5
【思路点拨】设小鹿第一天做了x件，则第二天比第一天多做了（x+5）件，根据“第一天工资60元，工资为75元”即可得出关于x的分式方程．
【解析】解：设小鹿第一天做了x件，则第二天比第一天多做了（x+5）件，
依题意得：＝．故选：A．
【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
变式5-2. （2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．
【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：，故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
变式5-3.（2020·浙江·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支．
【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答．
【详解】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，∴选择方案一能更节省开支．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
【答案】500
【分析】设原计划每天植树棵，则实际每天植树，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于的分式方程进行求解即可．
【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树，
，，经检验，是原方程的解，
∴实际每天植树棵，故答案是：500．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程．
2．（2021·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
【答案】25分钟
【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可．
【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟．
根据题意，得．解得：．
经检验，是原方程的解．
答：走路线一到达太原机场需要25分钟．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．
3．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件
【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．
【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，
根据题意得：解这个方程得：x=70．
经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．
∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
4．（2020·浙江温州·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【答案】（1）300件；（2）①；②3900元；
【分析】（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得；（2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润.
【详解】（1）设3月份购进T恤x件，由题意得：，解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，符合题意，
∵4月份是3月份数量的2倍，∴4月份购进T恤300件；
（2）①由题意得，甲店总收入为，
乙店总收入为，
∵甲乙两店利润相等，成本相等，∴总收入也相等，
∴=，
化简可得，∴用含a的代数式表示b为：；
②乙店利润函数式为，结合①可得，
因为，，∴，∴=3900，即最大利润为3900元.
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解．
5.（2021 温州一模）在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服．已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．（1）求两条生产线每小时各生产防护服多少套？（2）因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线．已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．
①该企业防护服的日产量（用a，b的代数式表示）．②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．
【思路点拨】（1）设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服（x+4）套，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，则C生产线运行（25﹣a﹣b）小时，利用工作总量＝工作效率×工作时间，即可用含a，b的代数式表示出该企业防护服的日产量；
②由①的结论及该企业防护服日产量不少于440套，即可得出2a+3b≤40，设k＝a+b，则2k+b≤40，进而可得出b值越小，k值越大，结合a，b为正整数且不超过12，可找出k的最大值，将其代入25﹣a﹣b＝25﹣k中可求出C生产线运行时间的最小值．
【解析】解：（1）设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服（x+4）套，
依题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+4＝16．
答：A生产线每小时生产防护服16套，B生产线每小时生产防护服12套．
（2）①设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，则C生产线运行（25﹣a﹣b）小时，
依题意得：该企业防护服的日产量＝16a+12b+24（25﹣a﹣b）＝（600﹣8a﹣12b）套．
②∵该企业防护服日产量不少于440套，∴600﹣8a﹣12b≥440，∴2a+3b≤40．
设k＝a+b，则2k+b≤40，∴b值越小，k值越大．
∵a，b为正整数且不超过12，
∴当a＝12时，b≤，b可取的最大值为5，此时k的最大值为17，25﹣a﹣b＝25﹣k＝8；
当a＝11时，b≤6，b可取的最大值为6，此时k的最大值为17，25﹣a﹣b＝25﹣k＝8；
当a＝10时，b≤，b可取的最大值为6，此时k的最大值为16，25﹣a﹣b＝25﹣k＝9；
当a＝9时，b≤，b可取的最大值为7，此时k的最大值为16，25﹣a﹣b＝25﹣k＝9．
∴C生产线运行时间的最小值为8小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、列代数式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出该企业防护服的日产量；②根据2a+3b≤40结合a，b的取值范围，找出（a+b）的最大值
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第二章 方程与不等（浙江省专用）
第8节 分式方程
【考试要求】
1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因；
2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根；
3.会列分式方程解决实际问题.
【考情预测】
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2022年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1．分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
3．分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根．
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．
【重难点突破】
考向1. 解分式方程
【典例精析】
【例】（2021 湖州中考真题）解分式方程：1．
【变式训练】
变式1-1．（2020 杭州真题）若分式的值等于1，则x＝　 　．
变式1-2．（2021·浙江东阳·一模）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．（2021·浙江·二模）我们知道方程的解是．现给出另一个方程，它的解是__________．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖北恩施·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程的解为__________．
4．（2021·陕西中考真题）解方程：．
5．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：．
考向2. 分式方程的新定义问题
【典例精析】
【例】（2021·湖南怀化市·中考真题）定义，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式2-1. （2019·广东中考真题）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
变式2-2.（2021·浙江·九年级月考）定义运算“”：则：①______；②若，则的值为______.
变式2-3.（2021·浙江·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max(a，b)表示a，b中的较大的值，如Max(2，4)=4，按照这个规定，方程Max( ， )=1- 的解是( )
A．x=4 B．x=5 C．x=4或x=5 D．无实数解
【考点巩固训练】
1．（2020·四川广元市·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的m为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
2．（2021·浙江浙江·八年级期末）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为__．
3．（2021·浙江·九年级专题练习）对于实数a、b，定义一种新运算“Θ”为：aΘb＝，例如：1Θ2＝，则xΘ（﹣2）＝﹣1的解是（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
4．（2021·山东商河·八年级期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Min{a，b}表示a，b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min（其中x≠0）的解为___．
5．（2021·湖南·郴州市第十八中学八年级阶段练习）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“ ”为：a b=例如：；，(因为)
参照上面材料，解答下列问题：（1）(-1) (1+) ______________.（2）解方程：
考向3. 分式方程的增根与无解
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州·模拟预测）关于x的方程有增根，则a的值为_______．
【变式训练】
变式3-1. （2020·四川遂宁市·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
变式3-2. （2021·浙江越城·九年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
变式3-3. （2021·浙江·浦江县九年级期中）关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点巩固训练】
1．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
2．（2021·浙江乐清·九年级期末）若关于x的方程＝3a有增根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
3．（2021·浙江杭州·模拟预测）若关于的方程有增根，则____．
4．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2020·浙江浙江·九年级期末）已知关于x的方程无解，则_____．
考向4.分式方程的特殊解问题
【典例精析】
【例】（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【变式训练】
变式4-1. （2020·浙江·湖州市第四中学教育集团九年级期中）关于的分式方程的解为正数，则的值为__________．
变式4-2. （2021·浙江宁波·八年级期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.
变式4-3. （2020·浙江·嵊州市马寅初初级中学八年级期中）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【考点巩固训练】
1．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
2．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
3．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
4．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向5. 分式方程的应用
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．20 B．20 C．20 D．20
【变式训练】
变式5-1. （2021 鹿城区一模）一家工艺品厂按计件方式结算工资．小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资60元，第二天比第一天多做了5件，工资为75元．设小鹿第一天做了x件，根据题意可列出方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝+5
变式5-2. （2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式5-3.（2020·浙江·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
2．（2021·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
3．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
4．（2020·浙江温州·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
5.（2021 温州一模）在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服．已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．（1）求两条生产线每小时各生产防护服多少套？（2）因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线．已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．
①该企业防护服的日产量（用a，b的代数式表示）．②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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