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2021-2022学年北师大版高二数学上学期期末达标检测卷（文）
【考试用时：120分钟】【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，设；.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥事件但不是对立事件 D.以上答案都不对
3.关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
②绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；
③一组数据的方差一定是正数；
④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.
则这四个结论中错误的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.为了研究某班学生的脚长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A.160 B.163 C.166 D.170
6.若函数在区间上不单调，则在R上的极小值为( )
A. B. C.0 D.
7.设斜率为的直线过抛物线的焦点，与C交于A，B两点，且，则( )
A. B.1 C.2 D.4
8.已知函数，若是的导函数，则函数图象的大致形状是( )
A. B. C. D.
9.某商场开展在商场消费满300可抽奖一次的活动，抽奖规则为:在一个袋中装有标号为1，2，3，4，5的小球各一个，一次从袋中摸2个球，若2个球的标号之和为4的整数倍，则获一等奖，其余为二等奖，一等奖为10元，二等奖为5元.某顾客在该商场消费满300元，获得一次抽奖机会，则该顾客获得10元奖励的概率为( )
A. B. C. D.
10.执行如图所示的程序框图，则输出的( )
A. B. C. D.
11.设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，M是椭圆上的动点，且满足恒成立，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.定义在R上的偶函数的导函数为，若对任意，都有，则使成立的实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若命题，使，则为_____________.
14.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查.已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师_______________人.
15.函数的图像在处的切线方程为___________.
16.已知椭圆的离心率为，右焦点为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆T上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别，，且，，均不为0.O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则___________.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知，使为假命题.
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18.（12分）一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：
（1）取出的小球是红球或黑球的概率；
（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率.
19.（12分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组，，…，后得到如图所示的频率分布直方图（部分）。
根据图中的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据上面补充完整的频率分布直方图，用组中值估计出本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法从分数在内的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的分数在内的概率。
20.（12分）已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到x轴的距离为.
（1）求p的值；
（2）已知点，若直线AF交抛物线于另一个点B，且，求直线AF的方程.
21.（12分）已知函数，是的导数(e为自然对数的底数).
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，且过点和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为p是q的充分不必要条件，所以解得，所以实数a的取值范围是.
2.答案：C
解析：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每人分得1张，由互斥事件和对立事件的概念可判断事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件；又因为事件“丙分得红牌”与事件“丁分得红牌”也可能发生，所以事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件.故两事件之间的关系是互斥事件但不是对立事件.故选C.
3.答案：B
解析：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确.因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小.
对于②，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率.
对于③，错误.因为根据方差的计算公式得出方差是非负数.
对于④，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），所以正确.
综上，错误的结论是②③，共2个.故选B.
4.答案：D
解析：因为命题“，”是假命题，所以其否定“，”是真命题，则，解得.故选D.
5.答案：C
解析：由题意可知，解得当时，.故选C.
6.答案：A
解析：由题意，得.因为在区间上不单调，所以.由，得或；由，得，所以的极小值为.故选A.
7.答案：C
解析：依题意得直线方程为，代入抛物线方程得，设，，则，于是，故.
8.答案：A
解析：设，则，所以函数在R上单调递增.结合选项，知选A.
9.答案：D
解析：由题知，从袋中取2个球的所有可能的情况为，共10种，其中2个球的标号之和为4的整数倍有，共2种，所以该顾客获得10元奖励的概率为，故选D.
10.答案：C
解析：，执行程序框图，可得输出的，故选C.
11.答案：D
解析：因为点在椭圆的外部，所以，则，所以椭圆的离心率.因为，，且，要使恒成立，则，可得.又椭圆的离心率，所以椭圆离心率的取值范围是.
12.答案：D
解析：令，则，所以当时，，则函数在上单调递减.因为是偶函数，所以是偶函数，则函数在上单调递增.不等式可化为，即，所以，解得或，故选D.
13.答案：，
解析：命题，使为存在量词命题，为全称量词命题，
即，.
14.答案：100
解析：按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查，且从其他教师中抽取了10人，从高级教师和中级教师中共抽取了人.
设全校共有教师x人，
则，解得.
15.答案：
解析：，，，故所求的切线方程为，即.
16.答案：-2
解析：由题意可得，，，
所以，，所以椭圆T的方程为，
设，，，则
，，，
两式作差，得，
则，而，故，
即，
同理可得，，
所以.
17.答案：（1）p为假命题等价于关于x的方程无实数根.
当时，，解得，有实数根，不符合题意；
当时，由题意得，得，
.
（2）为非空集合，
，解得.
若是的充分不必要条件，
则，，即，.
故a的取值范围为.
18.答案：（1）记事件{任取1球为红球}，事件{任取1球为黑球}，事件{任取1球为白球}，事件{任取1球为绿球}，
，，，，且事件A，B，C，D两两互斥。
取出的小球是红球或黑球的概率为。
（2）解法一：取出的小球是红球或黑球或白球的概率为。
解法二：“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件，故所求概率为。
19.答案：（1）分数在内的频率为，
补全的频率分布直方图如图所示.
（2）平均分为.
（3）由题意，分数在内的人数为（人），分数在内的人数为（人），从分数在内的学生中抽取一个容量为5的样本，则应从分数在内的学生中抽取2人，分别记为m，n，从分数在内的学生中抽取3人，分别记为a，b，c，则从这5人中任取2人的所有可能的情况有，，，，，，，，，，共10种，“至少有1人的分数在内”的对立事件为“没有人的分数在内”，因为没有人的分数在内包含的基本事件只有1个，所以所求概率为.
20.答案：(1)抛物线上的点A到x轴的距离为
根据抛物线的定义可得，
所以即，
解得.
(2)由(1)知由题意知直线AF的斜率存在，故可设直线AF的方程为.
联立消去y可得，
则.
又，
所以，即，
代入可得，
解得.
所以直线AF的方程为即.
21.答案：（1）当时，，，
则，，
所以切线方程为，即.
（2）当时，恒成立，即在上恒成立，
设，则，，
①当时，，此时，
则，可知在上单调递减，
则，所以在上单调递减，
所以，即恒成立，所以满足题意，
②当时，令，解得，
当时，，则单调递增，此时，
则在上单调递增，所以，
即当时，，即不恒成立，可知不合题意，
综上所述，.
22.答案：（1）将两点代入椭圆方程，得解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，.由A在x轴上方，可知直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，
联立，
得所以.
设原点到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时直线AB的方程为，所以，，，
所以此时直线BC的方程为.

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