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解析几何
第一讲 直线与圆
考点解读
高考考点 考点解读
直线的方程 1.求直线的倾斜角、斜率及直线方程2.根据两直线平行或垂直求参数的值
圆的方程 1.圆的几何性质的应用2.求圆的方程
直线与圆的位置关系 1.利用位置关系解决参数问题2.利用位置关系解决轨迹等综合问题
（二）核心知识整合
考点1：直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为k＝tan α．
②已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为k＝　(x2≠x1)．
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝．
②点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝．
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长l＝2．
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：y－y0＝k(x－x0)．
②斜截式：y＝kx＋b．
③两点式：＝．
④截距式：＋＝1　 (a≠0，b≠0)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：l1∥l2 k1＝k2．
(ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2 k1·k2＝－1．
②当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合 A1B2－A2B1＝0．
(ⅱ)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
[典型例题]
1.已知点到直线的距离为1,则的值为( )
A.1 B. C. D.
[答案]：D
[解析]　 由题意,得,即,解得.
故选：D.
2.直线，的图象可能是( )
A. B.
C. D.
[答案]：C
[解析] 直线可化为，直线可化为.
A中，由可知，，但此时与图像不符，错误；
B中，由可知，，但此时与图像不符，错误；
C中，由可知，，此时图象合理，正确；
D中，由可知，，但此时与图像不符，错误.
故选：C.
『规律总结』
1．要注意几种直线方程的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
2．求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．
[跟踪训练]
1.设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，以为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析]　因为，故可设，，则，.因为点P在第一象限，所以，又，故，，所以直线的斜率.故选B.
2.已知过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于，两点，若，则直线l的斜率为( )
A. B.2 C. D.
[答案]：D
[解析] 由题意可设直线l的方程为，联立方程，得消去x，得，所以，，则，，则由题意知，即，解得，所以直线l的斜率为，故选D.
考点2：圆的有关问题
圆的三种方程
①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
③圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0　(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
[典型例题]
1.已知圆，圆，M,N分别为圆，上的点，P为x轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析]　 如图所示，圆关于x轴对称的圆的圆心坐标为，半径为1,
点M关于x轴对称的点为,
圆的圆心坐标为，半径为3，
由图可知，当P,,N三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，
即，故选D.
2.已知圆上存在点M，使
（O为原点）成立，，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 设点.
，
，
整理得，
即点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
由题意可得该圆与以为圆心，3为半径的圆有公共点，又，
，得.
故D正确.
『规律总结』
求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．
[跟踪训练]
1. 设点在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 如图，要使上存在点N使得，则的最大值大于或等于时，一定存在点N使得.当MN与圆相切时，取得最大值，又，所以，解得，即.又点在圆外，所以.综上，r的取值范围是.故选C.
2.若直线与的交点在圆的外部，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案]：B
[解析] 解方程组得交点坐标为.由交点在圆的外部，得，解得或，即实数k的取值范围是.
故选B.
考点3：直线与圆的位置关系
1.判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0 相交，Δ<0 相离，Δ＝0 相切．
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr 相离，d＝r 相切．(主要掌握几何方法)．
2.两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
|O1O2|<|r1－r2| 内含
|O1O2|＝|r1－r2| 内切
|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2| 相交
|O1O2|＝|r1＋r2| 外切
|O1O2|>|r1＋r2| 外离
[典型例题]
1.已知直线与x轴交于点A，与圆交于B，C两点，过点A的直线与过B，C两点的动圆N切于点P，当的面积最大时，切线AP的方程为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析]　由题意得，，圆M的圆心，所以.如图，设H是BC的中点，则，所以为定值.在中，设BC边上的高为h，则，由于不变，则当时，h最大，此时取得最大值，此时AP的方程为，即，故选D.
2.已知圆，若点A，B在圆C上，满足，且AB的中点M在直线上，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 圆C的方程可化为，因此圆心为，半径，连接CM，由于弦AB满足，所以，因此点M在以为圆心、1为半径的圆上.又点M在直线上，所以直线与圆有公共点，于是，解得.
故选D.
『规律总结』
1．与圆有关的切线问题求解策略
(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．
(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．
2．判断直线与圆、圆与圆位置关系的方法
讨论直线与圆及圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
3．弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
[跟踪训练]
1.已知直线l过点且不与x轴垂直，圆，若直线l上存在一点M，使OM交圆C于点N，且，其中O为坐标原点，则直线l的斜率的最小值为( )
A.-1 B. C. D.
[答案]：B
[解析] 设点，由，得，又点在圆C上，则，即.设直线l的方程为，点M在直线l上，直线l与曲线有交点，，解得，则直线l的斜率的最小值为，故选B.
2.已知在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是和,则四边形的面积为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[答案]：D
[解析] 化圆为,可得圆心的坐标为,半径为3.
由圆的弦的性质可得,最长的弦即为圆的直径,的长为6.
点.
当弦BD最短时,弦BD和MO垂直,且经过点,
此时.
四边形的面积为.故选D.

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