资源简介

高考数学《三角函数》重点知识与填空练习
知识清单
一、任意角与弧度制
1．终边相同的角的集合：
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制
角α的弧度数公式 |α|＝
角度与弧度的换算 1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式 l＝|α|·r
扇形面积公式 S＝l·r＝|α|·r2
3．象限角、轴线角
二、三角函数的概念
1．三角函数的定义
(1) 单位圆定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin α；
x叫做α的余弦，记作cos α；
叫做α的正切，记作tan α．
(2) 终边定义：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
2．三角函数的符号规律
三角函数 正弦 余弦 正切
在各象限的符号 Ⅰ + + +
Ⅱ + － －
Ⅲ － － +
Ⅳ － + －
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
在轴上的符号 x轴非负半轴 0 1 0
x轴非负正轴 0 －1 0
y轴非负半轴 1 0
y轴非负正轴 －1 0
3．常用特殊角的三角函数值
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1
4．同角三角函数间的关系
(1) 平方关系：sin2x＋cos2x＝1．
(2) 商数关系：tan x＝．
(3) 同角三角函数关系式的常用变形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α．
三、诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
四、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α β)＝cos αcos β±sin αsin β；
tan(α±β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝．
3．三角函数公式的关系：
4．变形公式
(1) 降幂公式：cos2α＝， sin2α＝．
(2) 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α．
(3) 其他变形
tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin．
(4)辅助角公式
正弦形式：asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝．
余弦形式：asin x＋bcos x＝cos (x－φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝
五、三角函数的图象与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
函数的最值 最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z 最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z 无最大值和最小值
单调性 增区间：[k·2π－，k·2π＋](k∈Z)减区间：[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z) 增区间：[k·2π－π，k·2π](k∈Z)减区间：[k·2π，k·2π＋π](k∈Z) 增区间：(k·π－，k·π＋)(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z最小正周期为π
对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
2．周期函数的定义
(1) 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2) 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
(1) y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，>0)， 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
(2) 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示(也可选其他周期，有范围限制时根据限制调整)：
x － － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(3) 三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
填空练习
一、任意角与弧度制
1．终边相同的角的集合：____________________________________
2．弧度制
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式
扇形面积公式
3．象限角、轴线角
象限角的集合 第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
轴线角的集合 x轴
y轴
二、三角函数的概念
1．三角函数的定义
(1) 单位圆定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么______叫做α的正弦，记作sin α；
______叫做α的余弦，记作cos α；
______叫做α的正切，记作tan α
(2) 终边定义：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______．
2．三角函数的符号规律
三角函数 正弦 余弦 正切
在各象限的符号 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
在轴上的符号 x轴非负半轴
x轴非负正轴
y轴非负半轴
y轴非负正轴
3．常用特殊角的三角函数值
α 0
sin α
cos α
tan α
4．同角三角函数间的关系
(1) 平方关系：________________________．
(2) 商数关系：________________________．
(3) 同角三角函数关系式的常用变形：
(sin α±cos α)2＝__________________； sin α＝__________________．
三、诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦
余弦
正切
四、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝______________________________；
cos(α β)＝______________________________；
tan(α±β)＝______________________________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝______________________________；
cos 2α＝__________________＝__________________＝__________________；
tan 2α＝______________________________．
3．三角函数公式的关系：
4．变形公式
(1) 降幂公式：__________________， sin2α＝__________________．
(2) 升幂公式：__________________， 1－cos 2α＝__________________．
(3) 其他变形
tan α±tan β＝__________________， 1＋sin 2α＝__________________，
1－sin 2α＝__________________， sin α±cos α＝__________________．
(4)辅助角公式
正弦形式：asin x＋bcos x＝________________________，
其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝．
余弦形式：asin x＋bcos x＝________________________，
其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝
五、三角函数的图象与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
函数的最值 最大值___，当且仅当x＝_______________最小值___，当且仅当x＝_______________ 最大值___，当且仅当x＝____________最小值___，当且仅当x＝____________ 无最大值和最小值
单调性 增区间：___________________________减区间：___________________________ 增区间：___________________________减区间：___________________________ 增区间：__________________
奇偶性
周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为______ 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为______ 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为______
对称性 对称中心
对称轴
零点
2．周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝____________；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝____________．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
(1) y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，>0)， 振幅 周期 频率 相位 初相
f＝＝ ωx＋φ φ
(2) 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示(也可选其他周期，有范围限制时根据限制调整)：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin(ωx＋φ)
(3) 三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)：

展开更多......

收起↑