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解析几何之定值、定点问题 学案
解析几何中定值定点问题是高考命题中常见的一个考点，也是解析几何中的一个难点，在求解过程中往往会涉及大量的运算，圆锥曲线中的定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量现就常见的题型做总结如下：
一、常考题型及方法总结
1、常考题型
（1）斜率（倾斜角）为定值
（2）角度为定值
（3）面积为定值
（4）数量积为定值
（5）线段长度为定值
（6）直线方程定式
（7）斜率乘积为定值
（8）数量关系为定值
（9）定点问题
2、处理圆锥曲线中定值问题的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3、处理圆锥曲线中定点问题的方法
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
二、例题精讲
（一）斜率为定值
例1、已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)．若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
解：方法一：因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，
所以，解得所以椭圆C的方程为
因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称．
设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，
直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．
设点，由得①
因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则，所以
同理
所以
又，
所以直线PQ的斜率，所以直线PQ的斜率为定值，该值为.
方法二　设直线PQ的方程为y＝kx＋b，
点则，所以，
因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称，
所以，即
化简得所以①
由得②则，
代入①，得整理得所以
若，可得方程①的一个根为2，不符合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为.
变式题
1-1．过抛物线（＞0）上一定点＞0），作两条直线分别交抛物线于，，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数．
证明：因为与的斜率存在且倾斜角互补
所以
由相减得，
故
同理可得，
所以 所以
由相减得，∴
∴直线的斜率为非零常数
（二）角度为定值
例2、在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆上一点．若存在一个定圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当在圆上运动时，使得恒为，求圆的方程．
解：设定圆圆心M，半径为，动点，由题意知，
即，
由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，
所以有对任意都成立，
所以，
所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1．
变式题
2-1.已知双曲线的离心率为,右准线方程为.设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明：的大小为定值.
证明：由题意：解得：所以所以双曲线方程为：
点在圆上，圆在点处的切线的方程为,
化简得由及,得
因为切线与双曲线交于不同的两点且
所以，且
设两点的坐标分别为则
因为,
且
所以为定值.
（三）面积为定值
例3、设是椭圆上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. 试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解：的面积为定值,证明如下：
证明：由题意知解得 所以椭圆的方程为
（1）当直线斜率不存在时，即,由得
又所以
所以所以三角形的面积为定值
（2）当直线斜率存在时：设的方程为
由得所以
由得 即 代入整理得：
所以
所以三角形的面积为定值.
变式题
3-1. 已知椭圆C：＋y2＝1的右顶点为A，上顶点为B.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
解：由题意知，A(2,0)，B(0,1)，设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋，
直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋，
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN||BM|＝＝＝＝2，
从而四边形ABNM的面积为定值．
（四）数量积为定值
例4.已知圆，一条动直线过点与圆相交于两点，是的中点，与直线相交于,探索是否与直线的倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由
解：因为所以
①当直线与x轴垂直时，易知
则所以
②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为：
则由得所以
所以
综上所述：与直线的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且.
变式题
（五）线段长度为定值
例5. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，当运动时，弦长是否为定值？请说明理由．
解　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且，∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|，
又|PQ|是点Q到直线的距离，
故动点Q的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，其方程为．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：
取曲线C上点，到轴的距离为，圆的半径，
则，
因为点M在曲线C上，所以，所以，是定值．
变式题
5-1.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点，若动圆过点，且圆心在抛物线上运动。点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。
解：设圆心，点.
因为圆过点，可设圆的方程为：
令，得所以
所以
设抛物线方程为：因为圆心在抛物线上，则
所以由此可得，当时，为定值.
故存在一条抛物线，使为定值.
5-2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为与，圆：．若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为，证明：点到直线的距离为定值．
解：（1）得
① 又②
由①，②得
（2）设点，则圆
即③ 又圆④
由③，④得直线QT的方程为
所以
因为在椭圆上，所以
所以
5-3. (2019·沈阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．
[解]　(1)当点P位于短轴的端点时，△PF1F2的面积最大，即×2c×b＝，
则有解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝ ＝ ，
联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0, 由Δ＞0得4k2－n2＋3＞0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得＝12＋.
因为d＝ 为常数，则m＝0，d＝ ＝，此时＝12满足Δ＞0.
当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，联立消去y，得x2＝，
点O到直线MN的距离d＝|x|＝亦成立．
综上可知，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.
（六）直线方程为定式
例6、已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，直线与椭圆交于两点，直线交于点，试问：当变化时，点是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
解：设椭圆的方程为：，
则
所以
所以椭圆的方程为：
由得：
则
直线方程为：，直线方程为：
由得
即
所以当变化时，点恒在定直线上
（七）斜率乘积为定值
例7. 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为，点在椭圆上且异于点，设直线的斜率分别为.求证：为定值；
证明：由题设可知，点.
令，则由题设可知.
所以，直线的斜率，的斜率为.
又点P在椭圆上，所以（x0≠0），从而有
变式题
7-1.(2019·昆明调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设＝＋，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知2c＝4，即c＝2，则椭圆C的方程为＋＝1，
因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋＝，得D(x1＋x2，y1＋y2)，
所以直线AB的斜率kAB＝，直线OD的斜率kOD＝，
由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即·＝－，
所以kAB·kOD＝－.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.
7-2.已知椭圆的方程为：，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的任一点。求证：为定值。
证明：设则所以
由得所以为定值
（八）数量关系为定值
例8.已知椭圆：的离心率为，的面积为.设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值．
证明：由已知得∴椭圆方程为所以
设椭圆上一点则当时，直线的方程为，
令得.从而.
直线的方程为.
令得.所以
所以
当时， 所以
综上所述：为定值
变式题
8-1.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明：为定值
（1）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为，代入，化简得
.
令A（），B），则
由与共线，得
又，
即，所以，
故离心率
（2）证明：（1）知，所以椭圆可化为
设，由已知得
在椭圆上，
即①
由（1）知
=0
又，代入①得
故为定值，定值为1
8-2.过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，试探究的值是否为定值？
解：抛物线：（＞0）的焦点
设直线的方程为：，
由得：
所以
又由抛物线定义得：
所以
所以为定值
8-3. 设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．
解：(1)设P(x，y)，易知N(x,0)，＝(0，y)，
又＝＝，∴M，又点M在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.
∴点P的轨迹E的方程为＋＝1.
(2)证明：当直线l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝，∴＋＝.
当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，∴＋＝.
当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直线l2的方程为y＝－(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立直线l1与曲线E的方程，得得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，
可得∴|AB|＝·＝，
同理可得x3＋x4＝，x1x2＝.则|CD|＝ ·＝.
∴＋＝＋＝.
综上可得＋为定值．
8-4. (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
[解]　(1)由已知得F(1,0)，直线l的方程为x＝1.则点A的坐标为或.
又M(2,0)，所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－，
即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB成立．
小结：
圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
（九）定点问题
例9. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解]　(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·＝0.
∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)．
∴直线l的方程为y＝kx－.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
故直线l过定点，且该定点的坐标为.
小结：
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．　　　　
变式题
9-1.如图，已知直线l：y＝kx＋1(k＞0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.
(1)求k·k1的值；
(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x＋1对称的点为P0(x0，y0)，
直线l与直线l1的交点为(0,1)，
∴l：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1，k＝，k1＝，由＝＋1，
得y＋y0＝x＋x0＋2，①
由＝－1，得y－y0＝x0－x，②，由①②得
∴k·k1＝＝＝1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，∴xM＝，yM＝.同理可得xN＝＝，yN＝＝.
kMN＝＝＝＝－，直线MN：y－yM＝kMN(x－xM)，
即y－＝－，即y＝－x－＋＝－x－.
∴当k变化时，直线MN过定点.

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