2021-2022学年高中数学竞赛数学物理方法课件(§2.3-§2.4)(共34张PPT)

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2021-2022学年高中数学竞赛数学物理方法课件(§2.3-§2.4)(共34张PPT)

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(共34张PPT)
数学物理方法
2
柯西环路积分定理
l
l1
3
柯西环路积分定理
l
l1
4
一些简单应用
环路可变性:
在解析函数的定义域内,(1) 包含0个奇点的任意闭合曲线的积分值为0。
(2) 包含同一个奇点的任意闭合曲线积分值相等。
l
a
a是或不是奇点,环路积分都相等,只要没有其它奇点。
5
一些简单应用
A
B
A、B两点间的路积分,不同路线,只要不跨过奇点a ,就都相等。
a
l1
l4
l3
l2
l1和 l2合起来是一个闭合曲线
6
本节课内容
§2.3 不定积分
§2.4 柯西公式
7
§2.3 不定积分
这一节内容很奇怪。
不定积分很简单。
例题很难,超级重要。
8
不定积分
单连通区域B上的解析函数f (z) ,其路积分只与起点和终点有关,与路径无关。
A
B
l1
l2
l1和 l2合起来是一个闭合曲线。由柯西环路积分定理:
9
不定积分
复连通区域不行。
A
B
l1
l2
l3
l4
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不定积分
不解析不行。
回忆: 计算函数 f (z)=Re z 从z=0到1+i的积分。路径不同,积分值不同。
11
不定积分
可以用解析函数的不定积分来定义一个单值函数
可以证明:
F(z)在B上解析。
F’(z)=f (z),即F是 f 的一个原函数。
3
z0
z
12
一个重要的环路积分
(n是整数)
若l不包含a,则被积函数在l所围的区域上解析,由柯西积分定理,I=0。
若l包含a,由柯西积分定理,l上积分可化为圆周C上积分。
l
C
a
R
在C上,有z-a=Reij, dz=iReijdj
可以很方便地积分。
13
一个重要的环路积分
C
a
R
z
O
14
从原函数来理解
n≠ 1,原函数是单值函数(z-a)n+1/(n+1),绕任何点转一周,函数值不变。
n = 1,原函数是ln (z-a),如果绕a一周原函数会变化2pi,即为积分值。
不论何种情况,如果原函数绕圈不包含a,则原函数的函数值不变,即积分为0.
15
一个重要的环路积分
n= 1且环路l包含a ,I=2pi
n是其它整数,或者环路l不包含a,I =0.
常用形式:
(n是整数)
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§2.4 柯西公式
简单问题变复杂——用一个积分来表示一个函数。
边界决定内部!
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单连通区域上的情况
(n是整数)
当n= 1且环路包含a时,I=2pi;
其它情况(n≠ 1或环路不包含a),I均为0。
现在,重点研究n= 1,环路l包含a的情况。
18
单连通区域上的情况
当积分函数的分子是1时,积分值为1;
当积分函数的分子是常数
f (a)时,积分值为f (a);
当积分函数的分子是变数f(z)时,情况如何?
l
a
19
单连通区域上的情况
由柯西定理,积分路径变形:
l
C
a
R
20
单连通区域上的情况
l
C
a
R
当C环很小时,环上的积分分子f (z)值可近似为常数f (a)(连续性):
R→0
21
f (z)在单连通闭区域 上解析,l是边界线,a是任意内点,则
单连通情况下的柯西公式
l
a
B
B
——
内点函数值完全由边界上数值的积分决定。
22
单连通情况下的柯西公式
l
a
B
由a的任意性,可替换为z,积分参数改用z。
z
l
z
B
z
23
函数的积分形式
一个函数,用一个积分的形式表示出来,似乎更复杂了。
仔细看,积分函数对于z来说是一个简单函数,而z只不过是“积分参数”。
24
复连通情况下的柯西公式
挖去奇点后的复连通区域上,柯西公式仍然成立。
l是所有边界,且方向都为正方向。
l
a
B
25
回路外部的点
f (z)在l的外部解析,
f (∞)存在有限。可做大圆C,使得变为复连通区域的情况。
l
a
C
26
回路外部的点
大圆上的积分,就等于f ( ),因为:
a
不同圆环上,积分相等
注意,这里积分函数中的 f (z)变为f ( )后,移动到积分号外,剩下的积分函数(z a) 1就只剩下a一个奇点了。
27
回路外部的点
l
a
所以,对于区域 l 外的一点a,
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柯西公式的应用1——高阶导数
柯西公式:
因为积分在l上,即z是在l上,而z是内点不在l上,所以分母z z不会为0。上式可对z求n阶导。即解析函数可以无穷阶导数。
把一个函数积分,是为了更加方便地微分!
29
讨论:量纲上
30
柯西公式的应用1——高阶导数
哪里错了?
31
柯西公式的应用2——模数原理
设f(z)在某个闭区域上为解析,则| f (z)|只能在边界线l上取最大值.
证明:对函数[f(z)]n应用柯西公式,得到
利用积分不等式,以及下式进行缩放,可得证。
32
柯西公式的应用3-刘维尔定理
如果f (z)在全平面平面上为解析,并且是有界的,则f(z)必为常数.
证明:使用柯西公式的一阶导数形式
在大圆周上估计积分值,为0。
书上写:对f ’(z)使用柯西公式,不妥。
33
刘维尔定理的一个简单理解
l
a
C
34
作业:
§2.4 : 1
习题答案有一个错误,2(x-z)x-(x-z)2

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