资源简介 (共34张PPT)数学物理方法2柯西环路积分定理ll13柯西环路积分定理ll14一些简单应用环路可变性:在解析函数的定义域内,(1) 包含0个奇点的任意闭合曲线的积分值为0。(2) 包含同一个奇点的任意闭合曲线积分值相等。laa是或不是奇点,环路积分都相等,只要没有其它奇点。5一些简单应用ABA、B两点间的路积分,不同路线,只要不跨过奇点a ,就都相等。al1l4l3l2l1和 l2合起来是一个闭合曲线6本节课内容§2.3 不定积分§2.4 柯西公式7§2.3 不定积分这一节内容很奇怪。不定积分很简单。例题很难,超级重要。8不定积分单连通区域B上的解析函数f (z) ,其路积分只与起点和终点有关,与路径无关。ABl1l2l1和 l2合起来是一个闭合曲线。由柯西环路积分定理:9不定积分复连通区域不行。ABl1l2l3l410不定积分不解析不行。回忆: 计算函数 f (z)=Re z 从z=0到1+i的积分。路径不同,积分值不同。11不定积分可以用解析函数的不定积分来定义一个单值函数可以证明:F(z)在B上解析。F’(z)=f (z),即F是 f 的一个原函数。3z0z12一个重要的环路积分(n是整数)若l不包含a,则被积函数在l所围的区域上解析,由柯西积分定理,I=0。若l包含a,由柯西积分定理,l上积分可化为圆周C上积分。lCaR在C上,有z-a=Reij, dz=iReijdj可以很方便地积分。13一个重要的环路积分CaRzO14从原函数来理解n≠ 1,原函数是单值函数(z-a)n+1/(n+1),绕任何点转一周,函数值不变。n = 1,原函数是ln (z-a),如果绕a一周原函数会变化2pi,即为积分值。不论何种情况,如果原函数绕圈不包含a,则原函数的函数值不变,即积分为0.15一个重要的环路积分n= 1且环路l包含a ,I=2pin是其它整数,或者环路l不包含a,I =0.常用形式:(n是整数)16§2.4 柯西公式简单问题变复杂——用一个积分来表示一个函数。边界决定内部!17单连通区域上的情况(n是整数)当n= 1且环路包含a时,I=2pi;其它情况(n≠ 1或环路不包含a),I均为0。现在,重点研究n= 1,环路l包含a的情况。18单连通区域上的情况当积分函数的分子是1时,积分值为1;当积分函数的分子是常数f (a)时,积分值为f (a);当积分函数的分子是变数f(z)时,情况如何?la19单连通区域上的情况由柯西定理,积分路径变形:lCaR20单连通区域上的情况lCaR当C环很小时,环上的积分分子f (z)值可近似为常数f (a)(连续性):R→021f (z)在单连通闭区域 上解析,l是边界线,a是任意内点,则单连通情况下的柯西公式laBB——内点函数值完全由边界上数值的积分决定。22单连通情况下的柯西公式laB由a的任意性,可替换为z,积分参数改用z。zlzBz23函数的积分形式一个函数,用一个积分的形式表示出来,似乎更复杂了。仔细看,积分函数对于z来说是一个简单函数,而z只不过是“积分参数”。24复连通情况下的柯西公式挖去奇点后的复连通区域上,柯西公式仍然成立。l是所有边界,且方向都为正方向。laB25回路外部的点f (z)在l的外部解析,f (∞)存在有限。可做大圆C,使得变为复连通区域的情况。laC26回路外部的点大圆上的积分,就等于f ( ),因为:a不同圆环上,积分相等注意,这里积分函数中的 f (z)变为f ( )后,移动到积分号外,剩下的积分函数(z a) 1就只剩下a一个奇点了。27回路外部的点la所以,对于区域 l 外的一点a,28柯西公式的应用1——高阶导数柯西公式:因为积分在l上,即z是在l上,而z是内点不在l上,所以分母z z不会为0。上式可对z求n阶导。即解析函数可以无穷阶导数。把一个函数积分,是为了更加方便地微分!29讨论:量纲上30柯西公式的应用1——高阶导数哪里错了?31柯西公式的应用2——模数原理设f(z)在某个闭区域上为解析,则| f (z)|只能在边界线l上取最大值.证明:对函数[f(z)]n应用柯西公式,得到利用积分不等式,以及下式进行缩放,可得证。32柯西公式的应用3-刘维尔定理如果f (z)在全平面平面上为解析,并且是有界的,则f(z)必为常数.证明:使用柯西公式的一阶导数形式在大圆周上估计积分值,为0。书上写:对f ’(z)使用柯西公式,不妥。33刘维尔定理的一个简单理解laC34作业:§2.4 : 1习题答案有一个错误,2(x-z)x-(x-z)2 展开更多...... 收起↑ 资源预览