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必修二 第三章 直线与方程
第一节 直线的倾斜角和斜率
一、考点汇集
1、倾斜角的范围：
2、斜率：

3、方向向量：在直线上或与这直线平行的向量叫做直线的方向向量。（若直线的斜率存在，方向向量为（1，k））
二、强化训练
（一）选择题
1．以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是(??? )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 以A点为直角顶点的直角三角形
D. 以B点为直角顶点的直角三角形
2．在同一直角坐标系中，如图中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是(??? )
3．下列三点能构成三角形的三个顶点的为(??? )
A.(1,3),(5,7),(10,12)
B.(-1,4),(2,1),(-2,5)
C.(0,2),(2,5),(3,7)
D.(1,-1),(3,3),(5,7)
4．下列命题:
①若两直线平行,则其斜率相等;
②若两直线垂直,则其斜率之积为-1;
③垂直于x轴的直线平行于y轴.
其中正确命题的个数为(??? )
A. 0????? B. 1?????? C. 2?????D. 3
5．下列说法正确的有(　　)
①若两直线斜率相等,则两直线平行
②若l1∥l2,则k1=k2
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行
A. 0??? ?B. 1 C. 2????? D. 3
6. 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（　　）
A. 3x－y－8=0 B. 3x+y+4=0
C. 3x－y+6=0 D. 3x+y+2=0
7．过点Ｍ(2, 1)的直线与x轴，y轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则l的方程是（　　）
A. x－2y+3=0 B. 2x－y－3=0 C. 2x+y－5=0 D. x+2y－4=0
8．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 不确定
9．把直线l1: x+3y－1=0沿轴负方向平移1个单位后得到直线l2，又直线l与直线l2关于轴对称，那么直线l的方程是（ ）
A. x－3y+2=0 B. x－3y－4=0
C. x－3y－2=0 D. x－3y+4
10．过点P（1，－2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A. 4条 B. 3条
C. 2条 D. 1条
11.直线xcosα+ysinα+1=0,
α的倾斜角为( )
A . α B . －α
C . －α D . +α
12．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（二）填空题
13．一光线射到x轴上并经x轴反射,已知入射光线的倾斜角α1=30°,则入射光线的斜率为k1=_______;反射光线的倾斜角为
α2=_______,斜率为k2=_______.
14．将直线y＝x+－1绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线方程为 .
15．一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _____ ．
16．直线ax－6y－12a＝0(a≠0)在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，则a等于 .
17．过点A(0，)与B(7，0)的直线l1与过(2，1)，(3，k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为___________.
18..直线必过定点
（三）简答题
19．①求平行于直线3x+4y－12=0,且与它的距离是7的直线的方程;

②求垂直于直线x+3y－5=0, 且与点P(－1,0)的距离是的直线的方程.
20．求经过直线和直线的交点且平行于直线的直线方程.
21．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为，求该直线的方程.
22．已知直线被两平行直线所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线的方程.
三、思考探究
23.已知实数x、y满足2x+y=8，当2( x (3时，求的最大值与最小值.
第二节 直线的方程
一、考点汇集
1、斜截式：
2、点斜式：
3、两点式：（分母不为0）
4、截距式： （）
5、一般式：
二、强化训练
（一）选择题
1．设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）
A． B．
C．. D．
2．过点且垂直于
的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知过点和的直线与直线平行，则的值（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则直线通过（ ）
A．一、二、三象限
B．一、二、四象限
C．一、三、四象限
D．二、三、四象限
5．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A． B．
C．，不存在 D．.，不存在
6．若方程
表示一条直线，则满足（ ）
A． B．
C． D．.，，
7．如图，直线的图象可能（ ）


A. B.
C. D.
8．设A、B两点是轴上的点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则PB的方程为 （ ）
A．x+y－5=0 B．2x－y－1=0
C．2 y－x－4=0 D．2x+y－7=0
9．直线l1, l2在x轴上的截距都是m，在y轴上的截距都是n，则l1, l2满足（ ）
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
10．已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为ax－y=0（a为实数）．当直线l1与直线l2的夹角在（0，）之间变动时，的取值范围是（ ）
A．(, 1)∪(1,) B．（, ）
C．（0，1） D．（1，）
11．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C． 斜交 D．与的值有关
12．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
(二)填空题
13.在下列叙述中：
①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tanα；
②若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为135°；
③若A(1，-3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；
⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点.
所有正确命题的序号是___________.
14．a、b、c是两两不等的实数，则经过P(b, b+c)、C(a, c+a)两点直线的倾斜角为________.
15．点到直线的距离是________________ ．
16．已知直线若与关于轴对称，则的方程为__________ ；
若与关于轴对称，则的方程为________ _；
若与关于对称，则的方程为___________ ；
17．若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________ .
18. 点在直线上，则
的最小值是________________.
（三）解答题
19．已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成
20. 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程
三、思考探究
21.已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0。求AC边上的高所在的直线方程.
第三节 两条直线的位置关系
一、考点汇集
1、平行
（1）存在，,
且；
（2）不存在时，
，
(3)若
则
或
2、重合
（1）存在时
，且；
（2）不存在时， ，
3、垂直
存在时，直线和有斜截式方程，；

一条斜率为0，另一条斜率不存在时，两直线垂直。
（1）到角：

（2）夹角： ；
二、强化训练
（一）选择题
1．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．若都在直线上，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．直线与两直线和分别交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
4．△中，点,的中点为,重心为，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
5．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若三点共线 则的值为（　　）
A．　　 B．　　C．　 D．
7．直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B．
C． D．
10.直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
11.两直线 3x+y+b=0和 x+3y-3=0的位置关系是( )
A. 相交 B.平行
C. 重合 D.不确定
12.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )
（二）填空题
13．已知直线与关于直
线对称，直线⊥，则的斜率
是______．
14.直线上一点的横坐标是3，若该直线绕点逆时针旋转得直线，则直线的方程是 ．
15．一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是__________ ．
16．若方程表示两条直线，则的取值是 ．
17．当时，直线与的交点在 象限．
18．与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________．
（三）解答题
19．求经过点的直线，且使，到它的距离相等的直线方程．
20.试解释的几何意义，并求出的最小值．
21．直线和轴，轴分别
交于点，在线段为边在第一象限内
作等边△，如果在第一象限内有一点
使得△和△的面积相
等，求的值．
三、思考探究
22．一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为，时，求此直线方程．
第四节 点与点、点与线、线与线的距离
一、考点汇集
已知点，则两点间的距离.
已知点，直线，为点到直线的距离， （此公式对于或时也成立）
3、两条平行直线与的距离为
二、强化训练
(一)选择题
1．下列说法的正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程 表示
2．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与的值有关
3 已知，则直线通过（ ）
A第一、二、三象限
B第一、二、四象限
C第一、三、四象限
D第二、三、四象限
4．若直线和互相垂直，则a=（ ）
A． B． C． D．
5．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6 直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A B
C D
7已知点到直线的距离为1，则等于( )
A B
C D
8 已知直线在两坐标轴上的截距的和为2，且过（-2，3）点，则直线的方程为（ ）


9 已知直线与另一直线互相垂直，垂足为( )
A．-4 B ．20 C．0 D．24
10．直线在 y轴上的截距为-3，且它的倾斜角是 倾斜角的2倍，则（ ）
（二）填空题
11．方程所表示的图形的面积为_________．
12．与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________．
13．已知点在直线上，则的最小值为 ．
14．将一张坐标纸折叠一次，使点与
点重合，且点与点重合，
则的___________________．
15．设，则直线
恒过定点 ．
16．直线的方程为，
若直线在轴上的截距为6，则
．
（三）简答题
17．已知中，A(1, 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为 和，求各边所在直线方程．
18．已知两直线与直线求分别满足下列条件的的值．
（1）直线过点（-3，-1），并且直线与直线垂直;
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．
19．过点（２，３）的直线被两平行直线１与所截线段ＡＢ的中点恰在直线上，求直线的方程．
三、思考探究
20．在△ABC中，BC边上的高所在的直线
的方程为 ，∠A的平分线所在
直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A、点C的坐标．
第三章 直线与方程 （答案）
第一节 直线的倾斜角和斜率
强化训练
一、选择题
1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B
7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.C
二、填空题
13. 14.y= x
15.或
16.－2 17.3 18.(3,2)
三、解答题
19. (1)3x+4y+23=0或3x+4y－47=0;
(2)3x－y+9=0或3x－y－3=0.
20.解：由，得，再设，则
即 为所求
21.解：设直线为交轴于点，交轴于点，
得或
解得或
，或为所求
解法二：设的方程为，因为经过点，则有：
① 又 ②
联立①、②，得方程组 解得或
因此，所求直线方程为：或.
22.x=1或3x－4y－3=0
思考探究
23.最大值2，最小值.提示：令=,这是过原点的一条直线，即求k的最大值和最小值。结合图形可知，当直线过点（2,4）时k最大，过点（3,2）时k最小，从而.
第二节 直线的方程
强化训练
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C
7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.D
二、填空题
13.②③④ 14. 45° 15 .
16.17. 18. 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
三、解答题
19（1）把原点代入，得；（2）此时斜率存在且不为零
即且；（3）此时斜率不存在，且不与轴重合，即且；（4）且（5）证明：在直线上


20. 解：当截距为时，设，过点，则得，即；
当截距不为时，设或过点，
则得，或，即，或，这样的直线有条：，，或
思考探究
21..提示：由AC和BC所在直线方程求的B(-4,0),再由直线AC和其高线垂直，可得高线的斜率为，用点斜式可写出其方程.
第三节 两条直线的位置关系
强化训练
一．选择题。
1..A 2.D
3.D
4.A
5.B 点在直线上，则过点且垂直于已知直线的直线为所求
6.B 线段的中点为垂直平分线的，
7.A
8..B 令则
9.C 由得对于任何都成立，则
10.D 把变化为，则
11.A 12.D
二.填空题.
13. 14. 15.或 16. 17.二
18..或
三.解答题.
19.解：显然符合条件；当，在所求直线同侧时，
，或
20.解：几何意义为：点（x,0）到点（1,2）和（2,1）的距离之和.
原式可化为由图可知，其最小值为（1，1）关于x轴的对称点（-1，-1）到点（2，2）的距离，即最小值为.
21.解：由已知可得直线，设的方程为 则，过
得
思考探究
22.解：由得两直线交于，记为，则直线
垂直于所求直线，即，或，或，
即，或为所求。
第四节 点与点、点与线、线与线的距离
强化训练
一、选择题
1.D 2.B 3.C 4.A 5.A
6.C 7.C 8.B 9.A 10.D
3：C
解析：
4：A解析：由两直线垂直的条件得故选A。
5： A解析：
，代入得所求直线的方程为
6：C
解析：由得对于任何都成立，则
所以恒过定的。
7．
解析：由点到直线的距离公式，则
8： B
解析：直线在两坐标轴上的截距的和为2，且过点（-2，3），因此直线的斜率存在，所以设，
令；
令。
所以解得。
所以直线的方程为，故选B
9：A解析：垂足是两直线的交点，且，故
，
，故选A。
10．D解析：依题意得二、填空题
11. 12.，或
13. 14． 15. 16.
三、简答题
17．解：设则AB的中点∵D在中线CD：上
∴，解得， 故B(5, 1).
同样，因点C在直线上，可以设C为，
的中点坐标为即由
得.
根据两点式，得中AB：， BC：，AC：.
18．依题意可知：
。。。。。。。。。。。①
又点（-3，-1）在上，
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。②
由①②得
(2)
故和的方程分别表示为和
因为原点到和的距离相等，所以
因此或。
19．解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到，、的距离相等，得
经整理得，，又点P在直线上，所以
解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线过点（２，３）
所以直线的方程为，即.
思考探究
20．A(-1,0),C(3,-2)
提示：由∠A的平分线和BC边上的高所在的直线方程的A(-1,0)，由=1知，所以AC的斜率为-1，联立得C(3,-2).

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