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菱形、矩形、正方形 精讲
【简介】本系列练习共分三类：
1、性质与判定基础问题；2、变换与模型热点问题；3、翻折中的压轴问题
一、性质与判定基础问题
1．（2021广东广州）下列命题中，为真命题的是（　　）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
2．（2020 绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
3．（2020台州）（4分）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）
A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD
4．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
5．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，错误的是（ ）
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D. 如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
6.下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7.如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2 ，则菱形的边长为________cm ．
8、（2020 武汉模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为　 　．
9.（2021山东枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 　 　．（填序号）
10.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①；②；③；④.在以上4个结论中，正确的有( )
A. 1 B. 2 C.3 D. 4
11．如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC，OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F；③作射线 OF，交边 BC于点 G，则点 G 的坐标为( )
A．(4， ) B．( ，4) C．( ，4) D．(4， )
12.如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到，连接，，若，，，与重叠部分的面积为，则下列结论：①；②当时，四边形是菱形；③当时，为等边三角形；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 为（ ）
A. 45° B. 25° C. 30° D. 40°
14．（2020遵义）（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
15、如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是________．
16、如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( )
A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
17、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
18.(驻马店新蔡县一模)如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足.若CF＝3，CE＝4，求AP的长.
19、如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．
20、如图，在△ABC 中，AB=AC=12，BC=8， BE 是高，且点 D、F 分别是边 AB、BC 的中点，则△DEF 的周长等于_____________________．
21、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
22、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
23、（2020春 工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件　 　时，四边形EGFH是菱形；
②当AB与CD满足条件　 　时，四边形EGFH是矩形．
24、（2020春 蚌埠期末）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
25、如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、。
求证：四边形是平行四边形；
若，，则在点的运动过程中
①当______时，四边形是矩形；
②当______时，四边形是菱形。
二、变换与模型热点问题
1．（2020广西崇左）（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
2.（2020广州）（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021广西贵港）（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2021山东菏泽）（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　1：3　．
5．（2020海南）（3分）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
6.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为__ ．
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 2，则另一直角边BC的长为 ．
8、【2020江苏镇江外国语学校段测】如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,P为AB的中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在直线上的C'处,折痕为DE,则∠DEC=_______°.
9.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 ．
9、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（　　）
A．（，） B．（，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
10、（2020 广陵区二模）如图，在菱形OABC中，点A的坐标是（2，1），点B的横坐标是3，则点C的坐标是　 　．
11.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP=1,点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为（ ）
A.4 B.4 C.5 D.5
12、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．
13、（2020 邗江区二模）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
14、（2019 邹平县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是　 　．
15、（2019 灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）
A．5 B．7 C．7 D．
16.如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形ABCD内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ．
18.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，A（8，0），D（5，7），点P是边AB或边OA上的一点，连接CP，DP，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为 .
19.如图，在菱形ABCD中， ， ， 为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
20.如图，正方形 的对角线相交于点 ，点 是正方形 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形 绕点 自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为 ，正方形 的面积为 ．则 与 的关系是 ．
21.如图，正方形 的边长是4， ，线段 的两端点在 上滑动，当 为多长时， 与以D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由.
22．（2020遵义）（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
23．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB=FB．
24.如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值.
25.如图1，已知在 中， ， cm， cm.点 由 出发沿 向点 匀速运动，同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 cm/s.以 为边作平行四边形 ，连接 ，交 于点 .设运动的时间为 （单位 ）（ ）.解答下列问题：
（1）用含有 的代数式表示
（2）如图1，当 为何值时，平行四边形 为矩形？
（3）如图2，当 为何值时，平行四边形 为菱形？
26．（2021甘肃）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
27、已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
三、翻折中的（填空）压轴问题
1、(2014.河南）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .
2．（2021洛阳一模）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为　 　．
3、如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 .
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2 ，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为________.
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北师版九年级上册 特殊四边形期末复习精编
菱形、矩形、正方形 精讲
一、 双基目标
1、熟记“平行四边形、菱形、矩形、正方形”性质与判定；
2、能结合线、角、三角形等几何知识灵活解决各类特殊四边形的计算与证明问题；
3、熟练掌握“菱形、矩形、正方形”中存在的常用模型及运用.
二、能力目标
通过此类问题的系统复习可以强化训练学生对特殊四边形性质与判定的理解和掌握，同时增强其利用常见几何模型进行逻辑推理的意识.
根据北师版全国各地九年级上期一模考试的出题特点。本系列复习主要分三个板块——菱形、矩形、正方形。
每个板块又分成三个小专题——性质与判定；经典方法系列；常见模型系列。
需要特别说明的是，九年级上期有关四边形的考题相比日常测试和期中测试来讲有一定的综合性，但相比中考内容来讲，则显得简单。复习时，特殊四边形的考题只要把握好本章以内的经典方法和相关的常见模型，考试基本无忧！
知识导图
菱形的性质与判定
知识回顾
【经典方法剖析】
【例1】.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
反思：1、菱形四边 ； 对角线互相 ；
2、求线段长用“勾股定理”；3、S菱形=对角线乘积的一半
解：如图∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD互相垂直平分。
∵AO=3cm BO=4cm
∴AB=
∴周长为4×5=20cm
又∵
S菱形=AC×BD/2
∴S菱形=24cm2
=5cm
典例精讲
反思：1、求高用面积；2、涉及高的计算，注意运用“等面积法”
解：如图∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD互相垂直平分。
∵AO=3cm BO=4cm
∴AB=5cm=BC
又∵
S菱形=AC×BD/2
∴S菱形=24cm2
∴S菱形=AE×BC=24cm2
∴AE=4.8cm
已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，
求菱形的高AE．
典例精讲
反思：1、线段和的最小值→用“奶站问题”的方法解决；
2、菱形具有轴对称的特性，对称轴是两条对角线所在的直线
【例3】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 。
2√3
【分析 】如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
典例精讲
【例4】如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
反思：1、菱形 对角线互相 ；
2、图形有中点时，要联想“三角形中位线”
【解析】∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AD=12cm，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE= AD=6（cm）．
故选：C．
C
典例精讲
反思：1、顶角为120°的等腰三角形，边长比是1:1： ；
2、图形有中点时，要联想“三角形中位线”
【例5】如图，在菱形 ABCD中，AB=2 ，∠B = 60° ，E、F 分别是边 BC、CD 中点，则 △AEF 周长等于（ ）
A. 2√3 B.3√3 C. 4√3 D.3
B
典例精讲
【例6】如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形
．
反思： 图中有对角线时，用对角线来证明“菱形” ；
【解析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形
典例精讲
证明：∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
【例7】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB= ，BD=2，求OE的长．
反思： 直角三角形斜边中线=斜边的一半 ；
【解析】先根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ABCD为菱形；
先根据菱形的性质及勾股定理得到AO的长，再利用斜边中线的性质计算即可.
解答∶（1）证明∶∵AB//CD，∴∠OAB=∠DCA.
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC, ∴CD=AD=AB.
∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AD=AB，.□ABCD是菱形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC,BD⊥AC.
∵CE⊥AB，OE=OA=OC. ∵OB=BD=1,
【例8】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD，△ABO是等边三角形，试判断四边形BECO的形状，并给出证明。
．
反思： 一题多解；
证明：四边形BECO是菱形.理由如下;
四边形 ABCD是平行四边形，.AO=CO,BO=D0.
△AB0是等边三角形，A0=B0. .BO=CO=D0=A0.
又∵BE//AC，CE//BD，∴四边形 BECO是平行四边形.
从而可知四边形 BECO是菱形.
（2019郑州一模） 如图所示，在等边三角形ABC中，BC=8 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）填空：
①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为_________s时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．
典例精讲
（1）证明：∵D为AC的中点，
∴AC=CD，
∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD．
在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠FCD
∠AED=∠CFD
AD=CD
∴△ADE≌△CDF（AAS）．
（2） ①设x秒时，AE=CF，
则有2x-6=x，解得x=6．
此时AE=CF=AC=6，
即四边形ACFE是菱形，
②∵AG∥BC，
∴△ACE与△FCE为等高的三角形，
当AE=2CF时，S△ACE=2S△FCE．
设满足AE=2CF的时间为y，
则有x=2|6-2x|，
解得：x=，或x=4．
故答案为：①6；②或4．
（2021郑州一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
【解析】1、由平行四边形的性质知，AB=CD，AB∥CD，得到∠ABE=∠CDF，又有BE=DF，故由SAS证得△ABE≌△CDF．
2、平行四边形的性质知，AO=CO，BO=DO，由BE=DF可求得OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，若使平行四边形AECF为菱形，只要AC⊥EF即可．
典例精讲
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）补充的条件是：AC⊥CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，∴0E=0F．∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥CD，∴四边形AECF是菱形．
【经典模型示例】
【例】如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
反思： 单中点问题，构造“中点八字型”全等
【解析】延长EF交DC的延长线于H点．证得△BEF≌△CHF，可得EF=FH．在Rt△PEH中，利用直角三角形的性质，可得∠FPC=∠FHP=∠BEF，在等腰△BEF中即可求得求∠BEF的度数．
典例精讲
【解答】延长EF交DC的延长线于H点
∵在菱形ABCD中，∠A=100°，
E，F分别是边AB和BC的中点∴∠B=80°，BE=BF
∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°
∵AB∥DC
∴∠FHC=∠BEF=50°
又∵BF=FC，∠B=∠FCH∴△BEF≌△CHF∴EF=FH
∵EP⊥DC∴∠EPH=90°∴FP=FH∴∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．
故选C．点评：解答本题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题
【例】如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=________度．
反思： 菱形问题，常常构造“手拉手”全等
45
【分析】：首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，
证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．
解：连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°∴AB=AC，∠ACF= ∠BCD=60°，∴∠B=∠ACF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，又∠AFD=180°-45°-60°=75°，则∠CFE=180°-75°-60°=45°．故答案为45．
如图，BC⊥y轴，BC菱形探究问题
典例精讲
③若沿着EF进行翻折,即AE=AF,如下图
∵∠A=45°,
∴此时△EAF为等腰直角三角形,
∵易证△DOE∽△AEF
∴OE=OD=3
矩形的性质与判定
知识回顾
【性质经典方法剖析】
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
反思：1、矩形的对角线 ；
2、60°的等腰三角形是 ；
【解析】∵在矩形ABCD中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO= 16÷2=8．
∵AO=BO，∠AOB=60°，∴AB=AO=8，∴CD=AB=8，∴共有6条线段为8．故选D．
D
典例精讲
【例2】如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是 ___________________。
【解析】根据角平分线的定义可得∠BAE=45°，然后求出∠BAO=60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，然后求出△ODC也是等边三角形，判断出①正确；求出AC=2AB，判断出②正确；判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB=BE，再求出BO=BE，根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，然后求出∠AOE=135°，判断出③正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOE=S△COE，判断出④正确．
典例精讲
解∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，∴AC=2AB，故②正确；∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∴BO=BE，∵∠COB=180°-60°=120°，∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，故③正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故答案为：①、②、③、④．
由等边三角形的性质，AB=OA，∴AC=2AB，故②正确；
如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PE＋PF的值= 。
反思： 涉及高的计算，注意运用“等面积法”
M
【等面积法】
典例精讲
2.5
1、如图，在矩形ABCD中，点P是线段 BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E，F为垂足，AB=6，BC=8，则PE+PF的值为 。
跟踪练习
【等面积法】
2、如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作点P到直线AB，AD的垂线段PE，PF，垂足分别为E，F，则PE+PF等于____
跟踪练习
【等面积法】
3、如图，已知正方形 ABCD的边长为1cm，点E在对角线BD上，BE=BC，P是CE上一动点，PF⊥BD，PG⊥BC，垂足分别为F，G则PF+PG的值为 cm.
【等面积法】
【经典模型示例】
反思：1、借助”勾股定理“建立方程解决；
2、“角平分线+平行线”，等腰三角形必出现；
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A.6 B.10 C.8 D.12
B
“平行+角平分线”模型
典例精讲
解：由已知得∠DCA=∠D′CA，
∵AB∥CD
∴∠DCA=∠BAC
∴∠D′CA=∠BAC
∴AF=CF，
设AF=x，则CF=x，BF=8 x，
在Rt△CBF中，x2=(8 x)2+42，
解得：x=5，
∴S△AFC=AF BC=10
.
反思： “两定一动”周长最小问题，用“奶站问题”的模型来解决。
如图，矩形ABOC 的顶点A的坐标为（-4，5），D是 OB的中点，E是0C 上的一点，当 △ADE 的周长最小时，点E的坐标是 。
最值模型——“奶站模型”
典例精讲
【解析】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E， 则此时，△ADE的周长最小，∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∵A的坐标为（﹣4，5），∴A′（4，5），B（﹣4，0），∵D是OB的中点，∴D（﹣2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴
∴
如图，矩形ABGD中，AB=4，BC=2，把矩形 ABGD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABGD内部的点D处，则 CD'的最小值是（ ）
A.2 B.√5 C.2√5-2 D.2√5 +2
【解析】：根据题意，点D'在以点A为圆心、AD为半径且在矩形ABCD内部的圆弧上，连接AC交圆弧于点D'.
由勾股定理得AC=2√5.所以CD'的最小值为2√5-2.
C
最值模型——“隐圆类”
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是 ．
8+8√3
跟踪练习
最值模型——“隐圆类”
解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示．∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，∴OD= AB=8，∵△ABC是边长为16的正三角形，D为AB的中点，∴CD= AB=8√3．在△OCD中，OC＜OD+CD．当点O、C、D三点共线时，OC=OD+CD最大，此时OC=8+8√3．故答案为：8+8√3．
最值模型——“隐圆类”
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是
（　　）A．2.5 B．2.4 C．2 D．3
反思： 1、矩形对角线 ；2、点到线的最短距离 。
最值模型——“线段最短类”
典例精讲
【解析】∶'PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
..∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∵.四边形AEPF是矩形，
..EF，AP互相平分.且EF=AP，
..EF，AP的交点就是M点，
当AP的值最小时，AM的值就最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小.
由等面积法可知：AP×BC=AB×AC,
在Rt△ABEC中，由勾股定理，得BC=10，
∵AB=6,AC=8,
∴10AP=6×8, AP=
AP=2.4
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）
A. 13cm B. 12cm C. 10cm D. 8cm
中点模型
反思： 1、图中出现两个以上“中点”时，联想“中位线”；
2、注意“斜边中线”的应用。
【解析】
（1）由三角形中位线定理推知ED//FC,2DE=BC，然后结合已知条件"EF//DC"，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形;
(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE 的周长=AB+BC，故BC=25-AB，然后根据勾股定理即可求得;
A
典例精讲
解：(1)∵D,E分别是AB,AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ ABC的中位线，
∴ED// FC,BC=2DE。
又∵EF//DC
∴四边形CDEF是平行四边形;
（2）'∵'四边形CDEF是平行四边形;
∴DC=EF
∵DC是Rt △ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC
∴四边形DCFE的周长=AB+BC
∴四边形DCFE的周长为25cm，..BC=25-AB，
∵在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC的长5cm。
∴AB2=BC2-AC ，即AB2=（25-AB）2+52，解得，AB=13cm.
故选A
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF的长为( )
反思： 注意“斜边中线”的应用。
【分析】：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可得DE=DF= AB，EF= BC，然后代入数据计算即可得解．
B
中点模型
典例精讲
解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE=DF= AB，∵AB=AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF=FC=3，∵BE⊥AC，∴EF= BC=3，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7，∴AB=4，由勾股定理知 AF=√7．故答案为：√7．
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=8，
又∵矩形对角线的交点等分对角线，
∴OD=4，
又∵在△AOD中，EF为△AOD的中位线，
∴EF=2．
故答案为2．
跟踪练习
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为________．
【解析】∶由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM= AC=AM=MC.
∠BMC=60°.由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到BN =BM +MN2，再由MN=BM=1，得到BN的长.
√2
跟踪练习
【判定经典方法剖析】
如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形，并说明理由．
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形，不要说明理由．

典例精讲
证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC与△DBE中，
AB=BD
∠DBE=∠ABC
BC=BE
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当AD=AF时，四边形ADEF是矩形，
又∵AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC时，四边形ADEF是菱形；
（4）综合（2）、（2）知，当△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形．
【例3】 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF。
（1）求证：D是BC的中点
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
典例精讲
解答：答：四边形AFBD是矩形，
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE．
又∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE与△DCE中，
∠AFE＝∠DCE
∠FAE＝∠CDE
AE＝DE
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
又∵AF=BD，
∴BD=CD．
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
典例精讲
（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6。∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。∴∠1=∠2，∠3=∠4。∴EO=CO，FO=CO。∴OE=OF。
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。
∵CE=12，CF=5，
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形。
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形。
（2018郑州一模）如图，在OABCD中点0是边BC的中点，连接D0并延长，交AB延长线于点E连接BD.EC. （1）求证∶四边形 BECD是平行四边形∶
（2）当∠BOD = ° 时，四边形BECD是菱形.
（3）若∠A= 50°，则当 ∠BOD= 时，四边形 BECD是矩形。
典例精讲
（1）证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE//CD, ∴∠EBC= ∠DCB. ∵点0是边BC的中点，∴OB=0C.
∠EBC= ∠DCB, OB=0C,
在△BOE 和△COD中，
∵OE=0D,BE=CD,∠BOE = ∠COD,
∴△BOE≌△COD(ASA),
∴四边形 BECD是平行四边形.
解∶（2）90. (3)100.
【提示】∵四边形 BECD是矩形，∠DBE =90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=50°，AD//BC，∠CBE=∠A=50°，∠DBC=40°.又0B=0D.∠0DB=∠DBC=40°，∴∠BOD =180°-40°-40°=100°.
正方形的性质与判定
知识回顾
【经典方法剖析】
（2020河南）如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　1　．
【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝ ，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．
反思： 1、注意：“一线三垂直”模型的应用；
2、注意“树影型”（射影定理）的应用。（求出OC，OF）
O
典例精讲
（2021山东枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．
猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
典例精讲
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
（2015郑州一模）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上． (1)求S△DBF；
(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值.
和
典例精讲
已知:如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC.垂足为点D.
AN是△ABC外角∠CAM的平分线.CE⊥AN.垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形,
(2)当△ABC满足什么条件时.四边形ADCE是一个正方形 并给出证明．
典例精讲
（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°÷2=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
(2020郑州）在△ABC 中，∠BAC= 90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点；过点 A 作 AF / /BC ，交 BE 的延长线于 F ，连接CF ．
（1）求证： AD= AF ；
（2）填空： ①当∠ACB=________时，四边形 ADCF 为正方形；
②连接 DF，当∠ACB=_______时，四边形 ABDF 为菱形.
典例精讲
解：（1）∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∵AD=CD=BD，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，∴∠AEF=∠DEB, ∴△AEF≌△DEB(AAS), ∴AF=BD,∴AD=AF.
（2）①当∠ACB=45°时，四边形ADCF 为正方形;∵AD=AF∴AF=CD，∵AF//CD..四边形ADCF是菱形、∴∠ACD=∠ACF=45°∴∠DCF=90°，∴四边形ADCF是正方形.
②当∠ACB=30°时，四边形 ABDF为菱形;
∵四边形ADCF是菱形，四边形 ABDF 是平行四边形，
∴CD=CF,AF=BD.AB=DF, ∵∠ACB=∠ACF=30°，∴∠DCF=60°,
∴△DCF是等边三角形，∴DF=CD,∴DF=BD,∴四边形ABDF为菱形.
答案∶①45 ②30
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作 DE⊥BC，垂足为 F，交直线 MN 于点E，连接CD，BE。
（1）求证∶CE=AD;
（2）当D为AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形 说明你的理由;
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形 CDBE是正方形 请说明你的理由。
典例精讲
【经典模型示例】
如图 , 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O, 正方形 A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等 , 在正方形 A′B′C′O 绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系 请证明你的结论。
【解析】 根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠A'OC'=90°，推出∠A'OB=∠COC'，证出△OBM≌△OCN．
解得：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的四分之一．
手拉手全等模型
典例精讲
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，∴∠A′OC′=90°，
即∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF，∵AO=BO，∠AOE=∠BOF，∠OAB=∠OBF，∴△AOE≌△BOF，
∴两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积等于一个正方形面积的四分之一．
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=3√2，则点C的坐标为_______．
【解析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，根据正方形的性质可以得出F是OE的中点，然后证明△AOB≌△BEC就可以得出OB=CE，AO=BE，就可以求得△OME是等腰直角三角形，由勾股定理就可以求出OE的值，∵BE=2，∴可求出OB=4,。依据“手拉手全等”可得出CE=OB，从而得出C点的纵坐标．
反思： 1、求点坐标—“横平竖直做垂线”；
2、注意：“一线三垂直”、“手拉手”全等模型的应用。
（6,4）
手拉手全等模型
典例精讲
如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2 ， 其中正确结论有 .
①②③
【解析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
手拉手全等模型
典例精讲
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )
A.3 B. 2√3 C. 3√2 D.3√3
C
手拉手全等模型
典例精讲
斜边中点模型
如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．
B
反思：本题也可构造“中点八字型”全等模型解决.
典例精讲
解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=√2，CF=3√2，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF=
平行+中点模型
如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．
【分析】如图，延长GP，DA交于M，由题意可得DM=4，DG=3-1=2，∴由勾股定理得，MG=√20=2√5.由△MAP≌△GEP，可得PG=√5.
√5
典例精讲
如图，矩形的顶点A,B分别在x轴,y轴上:AO=OB=2,AD = 4√2 ,将矩形ABCD绕点。顺时针旋转,每分钟 旋转90。,则第2021次旋转结束时，点C的坐标为( ）
A. (4,6) B. (6,4) C. ( -6,4) D. ( -4,6)
A
【分析】先求出C点坐标，根据OC点绕原点旋转，找出规律即可求解
跟踪练习
解：如图，过点C作CE上y轴于点E，连接OC，
:OA=OB=2 .∠ABO=∠BAO=45°, ∠ABC=90°.∠CBE=45, :
BC=AD=4√2, .CE=BE=4, .OE=OB+BE=6, ·C(-4,6),
矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）;
第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，-6）;
则第3次旋转结束时，点C的坐标为（-6，-4）;
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（-4，6）;：：
发现规律∶旋转4次一个循环，2021÷4=50..…1,
则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（6，4），故选∶A.
一线三直角全等模型
如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若BE＝2，求PB的长.
反思： “斜放直角”问题，通常构造“一线三直角”模型来解决。也可选择“手拉手全等”解决.
【解析】（1）过点P作PF⊥AB，PG上BC，垂足分别为点F、G.证明△PFE≌△PGC即可，
（2）设EF=x.根据△PFE≌△PGC.得到GC=EF=x.由BE=2得∶BF=x+2.
由正方形FBGP得∶BG=x+2.BG+GC=6.列出方程，求出x，在△PFG中，用勾股定理即可求出PB 的长.
解：（1）过点P作PF上AB，PG上BC，垂足分别为点F、G.
∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°,
.四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°,AB=AD=BC,
..∠ABD=∠AD8=45°，四边形FBGP是矩形，∴∠FPB=90°，∠ABD=90°-45°=45°,
∴∠ABD=∠FPB,
.'.FP=FB,
∴矩形FBGp是正方形.
.PF=PG,∠FPG=90°,
..∠FPG+∠EPG=90°,
EP⊥PC, ∴∠EPC=90°, ∴∠GPC+∠EPG=90°,
.∠FPG=∠GPC,
∠FPG=∠GPC,PF=PG,∠PFE=∠PGC,
△PFE≌△PGC（ASA） ∴PE=PC.
（2） 设EF=x.
∵△PFE≌△PGC.'.GC=EF=x.
由BE=2得∶BF=x+2. 由正方形FBGP得∶BG=x+2.
: BC=6,
..BG+GC=6. ..(x+2)+x=6, 解得∶x=2. . PF=BF=2+2=4,
△PFB中，LPFB=90°，由勾股定理得∶PB2=42+42=32，
: PB>0 .PB=4√2. 答∶ PB的长为4√2.
如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
一线三直角全等模型
典例精讲
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°。
∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°。
∴∠ABE=∠DAF。
∵在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF（ASA）。
∴AF=BE。
（2）MP与NQ相等。理由如下：
如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则四边形AMPF、BNQE都是是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ。
在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到________
【解析 】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，故AE的长即为PE+PC的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
√13
最值模型——“奶站模型”
典例精讲
解：如图所示：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于直线BD对称，∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE=2，CE=1，∴BC=AB=2+1=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√13，
∴PE与PC的和的最小值为√13．故答案为：√13．中小学教育资源及组卷应用平台
菱形、矩形、正方形 精讲
【简介】本系列练习共分三类：
1、性质与判定基础问题；2、变换与模型热点问题；3、翻折中的压轴问题
一、性质与判定基础问题
1．（2021广东广州）（3分）下列命题中，为真命题的是（　　）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为（1）（4），
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．
2．（4分）（2020 绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点评】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．
3．（2020台州）（4分）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）
A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
4．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，错误的是（ ）
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D. 如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
【答案】 D
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B不符合题意；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C不符合题意；
如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，可得四边形AEDF是菱形．只有AD⊥BC，不能判断四边形AEDF是正方形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角且四条边都相等的是正方形，据此判断即可。
6.下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】 D
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A是假命题；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是假命题；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题；
故答案为：D
【分析】根据正方形、平行四边形、菱形及矩形的判定方法逐项判断即可。
7.如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2 ，则菱形的边长为________cm ．
【答案】 13
【考点】勾股定理，菱形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接AC ， BD交于点O ，
∵B、E、F、D四点在同一条直线上，
∴E ， F在BD上，
∵正方形AECF的面积为50cm2 ，
∴ AC2＝50，AC＝10cm ，
∵菱形ABCD的面积为120cm2 ，
∴ ＝120，BD＝24cm ，
8、（2020 武汉模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为　 　．
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，进而利用三角形的内角和解答即可．
【答案】解：设∠CBD＝x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝x，
∴∠ADB＝∠CBD＝x，
∵AH⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB＝90°，
∵F为ED的中点．
∴AF＝FD，
∴∠FAD＝∠ADB＝x，
∵∠BAF＝120°，
∴∠BAD＝120°+x，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
可得：2x+120°+x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠BAD＝120°+x＝140°
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠C＝∠BAD＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD＝∠CBD解答．
9.（2021山东枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 　①③④　．（填序号）
【分析】由矩形得EB＝ED＝EA，∠BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得∠ADB＝22.5°，便可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BF＝DF，证明△AOF≌△ABD，得AF＝AB，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG＝OG，进而求得∠AGE＝45°，由矩形性质得ED＝EA，进而得∠EAD＝22.5°，再得∠EAG＝90°，便可判断④的正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE⊥BD 故①正确；
②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，
∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，
∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质．
10.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①；②；③；④.在以上4个结论中，正确的有( )
A. 1 B. 2 C.3 D. 4
【答案】C.
【解析】由折叠和正方形的性质可知，，
∴.又∵，∴. 故结论①正确.
∵正方形ABCD的边长为12，BE=EC，∴.
设，则，在中，由勾股定理，得，即，解得，.∴.∴. 故结论②正确.
∵，∴是等腰三角形.易知不是等腰三角形，∴和不全等. 故结论③错误.
∵，∴.故结论④正确.
综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个.故选C.
【考点】折叠问题；正方形的性质；全等的判定和性质；勾股定理.
11．如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC，OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F；③作射线 OF，交边 BC于点 G，则点 G 的坐标为( )
A．(4， ) B．( ，4) C．( ，4) D．(4， )
【解答】
[答案]A.
[解析]解:由作图方法知,OG是∠BOC的平分线,
过G作GH垂直AC于H,∴GH=BG,
由题意知:∠CBO=90°,BC=3,OB=4,
由勾股定理知:OC=5,
∵OG=OG,GH=BG,
∴Rt△OGH≌Rt△OGB,
∴OB=OH=4,
∴CH=1,
设G(4,m),则BG=m,CG=3-m,CH=1,
∴(3-m)2=m2+1,解得:m=,
即G(4, ),答案为:A.
12.如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到，连接，，若，，，与重叠部分的面积为，则下列结论：①；②当时，四边形是菱形；③当时，为等边三角形；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析 ①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；
②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．
③当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．
④易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．
解答 解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，
在△A1AD1与△CC1B中，
AA1=CC1 ∠A1=∠ACB A1D1=CB 故①正确；
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC1=1，
∴△AC1B是等边三角形，
∴AB=D1C1，
又AB∥D1C1，
∴四边形ABD1C1是菱形，
故②正确；
③如图所示：
则可得BD=DD1=BD1=2，
∴△BDD1为等边三角形，故③正确．
④易得△AC1F∽△ACD，
∴S△AC1F：S△ACD=（2 x2）：2，
解得：S△AC1F=√3/8（x 2）2（0＜x＜2）；故④错误；
综上可得正确的是①②③．
故答案为：①②③．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．
13.如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 为（ ）
A. 45° B. 25° C. 30° D. 40°
【答案】 A
【考点】等边三角形的性质，正方形的性质
【解析】【解答】 等边三角形ADE，
AE=AB， EAD= AED=60°，
正方形ABCD，
AB=AD， DAB=90°，
EAB=150°， AEB= ABE，
AEB=(180°－150°) 2=15°，
BED=60°－15°=45°．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形的性质可得AE=AB， EAD= AED=60°，由正方形的性质可得 AB=AD， DAB=90°，最后根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出AEB的度数即可。
14．（2020遵义）（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．
【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝AC BD，
∴DE＝＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理．注意菱形的对角线互相垂直平分．
15、如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是________．
【答案】（5，4）
【解析】
【解答】解：∵菱形ABCD的页点A。B的和分别为（-3, 0）。
（2,0）点D在y轴上.
∴AB=5, ∴DO=4.
∴点C的坐标是∶（5，4）.
故答案为∶（5，4）.
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标.
16、如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( )
A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故答案为：60．
17、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE=1/2BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°-70°=20°，
故答案为：20°．
18.(驻马店新蔡县一模)如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足.若CF＝3，CE＝4，求AP的长.
解：连接PC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
∵PD＝PD，
∴△APD≌△CPD(SAS).
∴AP＝CP.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°.
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形.
∴PC＝EF.
∴在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2＝42＋32＝25.
∴EF＝5.
∴AP＝CP＝EF＝5.
19、如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．
【答案】30°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°
∵E为边AB的中点，
∴AE=BE
由折叠的性质可得∶∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE FE=BE
∴AE=FE
∵∠EFA=∠EAF=75°∴∠BEF=∠EAF+∠EFA=150°
∴∠CEB=∠FEC=75°
∴∠FCE=∠BCE=90°-75°=15°
∴∠BCF=30° 故答案为∶30°
20、如图，在△ABC 中，AB=AC=12，BC=8， BE 是高，且点 D、F 分别是边 AB、BC 的中点，则△DEF 的周长等于_____________________．
[答案]16
[解析]
根据三角形中位线定理分别求出DF,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半计算出DE、EF即可.
[详解]解: 点D、F分别是边AB、BC的中点, ∴DF=1/2AC=6
∵BE是高
∴∠BEC=∠BEA=90°
∴DE=1/2AB=6,EF=1/2BC=4 ∴△DEF的周长=DE+DF+EF=16 故答案为:16.
[点睛]本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形中位线的性质,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形中位线的性质是解题的关键.
21、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
【答案】A
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 故选A.
22、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠BAH=∠AHD，∠CAH=∠AHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥AC，EF∥AB，再根据平行四边形的定义证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等角对等边可得∠BAH=∠AHD，∠CAH=∠AHF，然后求出∠DHF=∠BAC，再根据平行四边形对角相等可得∠DEF=∠BAC，等量代换即可得证．
本题考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
考点点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
23、（2020春 工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件　 　时，四边形EGFH是菱形；
②当AB与CD满足条件　 　时，四边形EGFH是矩形．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EGAB，EG∥AB，FHAB，FH∥AB，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；
②根据矩形的判定定理解答．
【答案】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EGAB，EG∥AB，
同理，FHAB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FGCD，FG∥CD，
当AB＝CD时，EG＝FG，
∴四边形EGFH是菱形；
②∵HF∥AB，
∴∠HFC＝∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB＝∠DCB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠HFC+∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故答案为：①AB＝CD；②AB⊥CD．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．
24、（2020春 蚌埠期末）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC＝∠ECB，再根据等边对等角得OE＝OC，同理OC＝OF，可得EO＝FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
【答案】解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE∠ACB，
同理，∠ACF∠ACG，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACG）180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA＝∠AOM，
∴∠BCA＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
25、如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、。
求证：四边形是平行四边形；
若，，则在点的运动过程中
①当______时，四边形是矩形；
②当______时，四边形是菱形。
分析 （1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC=BE，可证四边形BECD是平行四边形；
（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，再由∠ABC=120°可得∠ECB=30°，再根据直角三角形的性质可得BE=2；
②根据四边形BECD是菱形可得BE=EC，再由∠ABC=120°，可得∠CBE=60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．
解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB ∠DCF=∠EBF FC=BF
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC=BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①BE=2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，
∴BE=1/2BC=2，
故答案为：2；
②BE=4，
∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=4．
故答案为：4．
点评 此题主要考查了菱形和矩形的性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角．
二、变换与模型热点问题
1．（2020广西崇左）（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
2.（2020广州）（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
3．（2021广西贵港）（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，首先证明AM＝CN，再利用平行线分线段成比例定理求出CN＝a，推出AM＝a，BM＝BN＝2a，可得结论．
【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵CN∥AD，
∴＝＝，
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为3a，求出AM＝a，BM＝BN＝2a．
4．（2021山东菏泽）（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　1：3　．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出EF的长是解题的关键．
5．（2020海南）（3分）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在 ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
6.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为__ ．
【答案】
【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．
【解析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE， ∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，∴∠MEF=∠ADE，
∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE， ∴△BMF是等边三角形， ∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t， ∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4， ∴3t=4， ∴t=
考点：(1)、菱形的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、等边三角形的性质．
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 2，则另一直角边BC的长为 ．
【答案】7．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．
【解析】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF－FM=6－5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．
解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 2 ，∴CM=6．∴MA=CM－AC=6－5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
8、【2020江苏镇江外国语学校段测】如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,P为AB的中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在直线上的C'处,折痕为DE,则∠DEC=_______°.
【答案】75　
【解析】　如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD,∠ADC=120°,∠C=60°,△ABD是等边三角形.∵P为AB的中点,∴DP平分∠ADB,∴∠ADP=30°,∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=90°,由折叠可知∠CDE=∠PDE, ∴∠CDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°-∠C-∠CDE=75°.
9.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【考点】菱形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AP，EF交于O点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD,AB∥CD.
∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PE∥AF,PF∥AE.
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE.
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2= ．
【分析】设AP，EF交于O点，根据四边形ABCD为菱形，得出S△POF=S△AOE.所以阴影部分的面积等于△ABC的面积．因为△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，根据已知求得菱形ABCD的面积= AC BD=5，即可得出答案。
9、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（　　）
A．（，） B．（，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】先求出BD的解析式，设点B（a，﹣a+2），则点D（2﹣a，a），由等腰直角三角形的性质和BN＝2ND，可得（﹣a+2）＝2（﹣a），即可求解．
【答案】解：∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴直线AC为y＝x，M（1，1），
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴设直线BD为y＝﹣x+b，
∵点M在直线BD上，
∴1＝﹣1+b，
∴b＝2，
∴直线BD为y＝﹣x+2，
设点B（a，﹣a+2），则点D（2﹣a，a），
∵BN＝2ND，
∴（﹣a+2）＝2（﹣a），
∴a＝﹣2，
∴点B（﹣2，4），
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，一次函数的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10、（2020 广陵区二模）如图，在菱形OABC中，点A的坐标是（2，1），点B的横坐标是3，则点C的坐标是　 　．
【分析】作AD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，AE⊥BF于E，BG⊥y轴于H，CG⊥BH于G，CM⊥Y轴于M，则四边形BHOF是矩形，四边形ADFE是矩形，四边形GHMC是矩形，证明Rt△ABE≌Rt△AOD，得出BE＝OD＝2，求出BF＝3，同理可证：△CBG≌△AOD，得出CG＝AD＝1，BG＝OD＝2，得出HM＝1，OM＝2，即可得出结果．
【答案】解：作AD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，AE⊥BF于E，BG⊥y轴于H，CG⊥BH于G，CM⊥Y轴于M，如图所示：
则四边形BHOF是矩形，四边形ADFE是矩形，四边形GHMC是矩形，∠ADO＝∠AEB＝∠CGB＝∠CMO＝90°，
∵点A的坐标是（2，1），点B的横坐标是3，
∴OD＝2，EF＝AD＝1，BH＝3，
∴AE＝1，
∴AE＝AD，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
在Rt△ABE和Rt△AOD中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AOD（HL），
∴BE＝OD＝2，
∴BF＝3＝BH，
同理可证：△CBG≌△AOD，
∴CG＝AD＝1，BG＝OD＝2，
∴HM＝1，OM＝3﹣1＝2，
∴C（1，2）；
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP=1,点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为（ ）
A.4 B.4 C.5 D.5
解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：C．
12、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．
【答案】：
解题思路：
①求DH的最小值，我们发现正方形的顶点D是固定点，H是动点，
我们需要研究H的位置是否具有关键性质，这个时候需要进行边角关系的研究；
②由题干条件我们知道△EAB≌△FDC，则∠ABE=∠DCF，而△DGA≌DGC（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠ABE，
∵∠DAG+∠HAB=90°，
∴∠ABE+∠HAB=90°，
∴AH⊥HB，
这个时候我们得到了垂直关系，知道△HAB是直角三角形；
③结合最值问题中常用的三个定理，我们取AB中点M，连接HM，DM，如图所示：
此时DH≥DM-HM，且这三点共线时，取等号，此时DH=DM-HM，
易求得HM=1，
,
∴，至此得出DH的最小值为
13、（2020 邗江区二模）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【答案】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，
∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，
∴AM∥BD，
∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE＝FM，
∴AE+CF＝FM+FC＝CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°
∴BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，CM
∴AE+CF的最小值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
14、（2019 邹平县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是　 　．
【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小＝DH，先证明△ADC是等边三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
【答案】解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB＝AD＝CD＝BC＝6，
∵∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠B＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD＝∠GAC
∴点F关于AG的对称点H在AC上，此时EF+ED最小＝DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC＝90°，DC＝6，∠CDH∠ADC＝30°，
∴CHDC＝3，DH3，
∴EF+DE的最小值＝DH＝3
故答案为3．
【点睛】本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．
15、（2019 灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）
A．5 B．7 C．7 D．
【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出ADAM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；
【答案】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．
由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴ADAM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤7，
∴AM的最大值为7，
∴AD的最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.如图所示,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】 C
【考点】等边三角形的性质，正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 设BE与AC交于点P'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
∴ PD+PE的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BE，与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，根据正方形ABCD的面积为16，得出AB=4，根据等边△ABE的性质得出BE=AB，即可得出答案.
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形ABCD内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ．
【答案】
【考点】勾股定理，矩形的性质，确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的O上，
连接CO交O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，
∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，
∴OC= ，
∴CE′=OC-OE′=2-2，
∴线段CE的最小值为2-2.
【分析】 由AE⊥BE得出点E在以AB为直径的O上，连接CO交O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，求出O的半径的长，再利用勾股定理求出OC的长，从而得出CE′的长，即可得出答案.
18.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，A（8，0），D（5，7），点P是边AB或边OA上的一点，连接CP，DP，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为 .
【答案】 （8，3）或（ ，0）
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，A（8，0），D（5，7），
∴B（8，7），OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，
∴CD＝5，BD＝3，
∵点P是边AB或边OA上的一点，
∴当点P在AB边时，CD＝DP＝5，
∴BP＝ ＝4，
∴PA＝AB﹣BP＝3，
∴P（8，3）.
当点P在边OA上时，只有PC＝PD，
此时P在CD的垂直平分线上，
∴P（ ，0）.
综上所述，满足条件的点P坐标为（8，3）或（ ，0）.
故答案为：（8，3）或（ ，0）.
【分析】根据矩形的性质以及点A、D的坐标可得B（8，7），OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，则CD＝5，BD＝3，当点P在AB边上时，CD＝DP＝5，由勾股定理求出BP，进而求出PA，据此可得点P的坐标；当点P在边OA上时，只有PC＝PD，此时P在CD的垂直平分线上，据此可得点P的坐标.
19.如图，在菱形ABCD中， ， ， 为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】 B
【考点】菱形的性质，三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】连接AC，如图所示，
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF ，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC ， 是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝ BC＝2，
∴AH＝ ，
S四边形AECF＝S△ABC＝ BC AH＝ ×4×2 ＝4 ，
故答案为：B．
【分析】证明△ABE≌△ACF（ASA），得出S△ABE＝S△ACF ， 再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC ， 是定值，即可求解。
20.如图，正方形 的对角线相交于点 ，点 是正方形 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形 绕点 自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为 ，正方形 的面积为 ．则 与 的关系是 ．
【答案】 S1= S2
【考点】正方形的性质，旋转的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠BOE=∠BOF+∠BOE，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中， ，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE=S△BOF ，
∴四边形EOFB的面积S1=S△AOB= S2 ，
故答案为：S1= S2 ．
【分析】根据正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，求得∠AOE=∠BOF，根据全等三角形的性质得出结论即可。
21.如图，正方形 的边长是4， ，线段 的两端点在 上滑动，当 为多长时， 与以D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由.
【答案】 解：∵正方形ABCD边长是4，BE＝CE，
∴BE＝2，
∴AE＝ ，
∵∠B＝∠D＝90°
①当 时.△ABE∽△NDM
.
DM＝ .
②当 时，
△ABE∽△MDN.
.
∴DM＝ .
∴DM＝ 或 .
【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质
【解析】【分析】由正方形的性质结合BE=CE可得BE=2，由勾股定理求出AE，①当时，△ABE∽△NDM；②当时，△ABE∽△MDN，然后利用相似三角形的性质求解即可.
22．（2020遵义）（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；
（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中，
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE＝，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AC＝AG+GC，
∴AG＝，CG＝，
∴GE＝GC﹣CE＝＝．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB=FB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，
又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，∴BE=CE，
又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，
又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=AH=AB．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24.如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值.
解：(1)证明：连接CD.
∵O是EF的中点，
∴OE＝OF.
又∵OD＝OG，
∴四边形EDFG为平行四边形.
∵AC＝BC，D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝DC，∠A＝∠FCD＝45°，CD⊥AB.
在△AED和△CFD中，
∴△AED≌△CFD(SAS).
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∴四边形EDFG为菱形.
∵CD⊥AD，∴∠ADE＋∠EDC＝90°.
∴∠EDC＋∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°.
∴四边形EDFG为正方形.
(2)∵四边形EDFG为正方形，
∴当正方形的边长DE最短时，正方形的面积最小.
过点D作DE′⊥AC交AC于点E′，根据“垂线段最短”，当DE′⊥AC时，DE的长度为DE′的长，此时四边形EDFG的面积最小.
∵AD＝CD，DE′⊥AC，
∴AE′＝E′C，DE′＝AC＝2.
∴当点E为AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，四边形EDFG面积的最小值为2×2＝4.
25.如图1，已知在 中， ， cm， cm.点 由 出发沿 向点 匀速运动，同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 cm/s.以 为边作平行四边形 ，连接 ，交 于点 .设运动的时间为 （单位 ）（ ）.解答下列问题：
（1）用含有 的代数式表示
（2）如图1，当 为何值时，平行四边形 为矩形？
（3）如图2，当 为何值时，平行四边形 为菱形？
【答案】 （1）5-t
（2）当 ANME是矩形时，MN⊥AB，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：t= ，
∴当t= 时， ANME是矩形；
（3）当 ANME是菱形时，EN⊥AM，AO=OM=5-t，
则△ANO∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得，t= ，
∴当t= 时， ANME为菱形；
【考点】勾股定理，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm.
∴由勾股定理得：AC= =10cm，
∵点M由C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴CM=2tcm，
∴AM=AC-CM=10-2t，
∵四边形AEMN为平行四边形，
∴AO= AM=5-t；
故答案为：5-t；
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=10cm，由题意可得CM=2tcm，AM=AC-CM=10-2t，利用平行四边形的性质可得AO= AM，即可求解；
（2）根据矩形的性质可求出MN∥BC，可证△AMN∽△ACB， 根据相似三角形的性质求出t值即可；
（3）由菱形的性质可得EN⊥AM，AO=OM=5-t， 可证△ANO∽△ACB， 根据相似三角形的性质求出t值即可 .
26．（2021甘肃）（8分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）根据正方形的性质得∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，由已知DE＝AF可得AH＝AF，即可得△AHF是等腰三角形；
（3）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：由（1）知四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
（3）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
由（1）知四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27、已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
分析 （1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
解答 （1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）证明：连接AC，如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
∠BAE=∠CAF BA=AC ∠B=∠ACF
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=1/2AB=2，AG=√3/3BG=2√3，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2√3，
∴EB=EG-BG=2√3-2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2√3-2，
在RT△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=2√3-2，
∴FH=CF sin60°=（2√3-2） √3/2=3-√3．
∴点F到BC的距离为3-√3．
点评 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
三、翻折中的（填空）压轴问题
1、(2014.河南）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .
如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=7-x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+（7-x）2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，
∴a2=22+（4-a）2，
解得a=，即DE=，
②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，
∴a2=12+（3-a）2，
解得a=，即DE=
故答案为：或
2．（3分）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为　或　．
【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形分别求解即可．
【解答】解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC＝AC＝2，
∴AC＝2AN，
∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE＝．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝．
综上所述，满足条件的EF的值为或．
【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
3、如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 .
【答案】 或4
【考点】勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2 ，
∴AB= ；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为4 或4；
故答案为：4 或4.
【分析】当∠A'EF=90°时，由轴对称的性质可得A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，由中位线的性质可得DE∥AB，则∠CDE=∠MAN=90°，进而推出AC∥A'E，得到A'C=A'E=4，由直角三角形斜边上中线的性质可得BC=2A'E=8，然后由勾股定理就可求出AB；当∠A'FE=90°时，易得∠ABF=90°，由轴对称的性质可得∠ABC=∠CBA'=45°，推出△ABC是等腰直角三角形，据此求解.
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2 ，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为________.
1.【答案】 4或
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当AF＜ AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，
则A′E=AE=2 ，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
设MN是BC的垂直平分线，
则AM= AD=3，
过E作EH⊥MN于H，
则四边形AEHM是矩形，
∴MH=AE=2 ，
∵A′H= ，
∴A′M= ，
∵MF2+A′M2=A′F2 ，
∴（3-AF）2+（ ）2=AF2 ，
∴AF=2，
∴EF= =4；
②当AF＞ AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，
则A′E=AE=2 ，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
设MN是BC的垂直平分线，
过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，
则四边形AGHD是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，
∴A′H=A′G= HG=3，
∴EG= = ，
∴DH=AG=AE+EG=3 ，
∴A′F= =6，
∴EF= =4 ，
综上所述，折痕EF的长为4或4 ，
故答案为：4或4 .
【分析】①当AF＜ AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2 ，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过E作EH⊥MN于H，由矩形的性质得到MH=AE=2 ，根据勾股定理得到A′H= ，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF＞ AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2 ，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根据矩形的性质得到DH=AG，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论.
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菱形、矩形、正方形 精讲
一、 双基目标
1、熟记“平行四边形、菱形、矩形、正方形”性质与判定；
2、能结合线、角、三角形等几何知识灵活解决各类特殊四边形的计算与证明问题；
3、熟练掌握“菱形、矩形、正方形”中存在的常用模型及运用.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
菱形的性质与判定
【例1】.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
解：如图∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD互相垂直平分。
∵AO=3cm BO=4cm
∴AB==5cm
又∵S菱形=AC×BD/2
∴S菱形=24cm2
【例2】已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．
解：如图∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD互相垂直平分。
∵AO=3cm BO=4cm
∴AB==5cm
∴S菱形=AE×BC=24cm2
∴AE=4.8cm
【例3】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 。
分析 如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
解答 解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，
∴AB=BC=4，AB CE′=8√3，
∴CE′=2√3，
在Rt△BCE′中，BE′=2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2√3，
故答案为2√3．
点评 本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．
【例4】如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【解析】∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AD=12cm，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE= AD=6（cm）．
故选：C．
【例5】如图，在菱形 ABCD中，AB=2 ，∠B = 60° ，E、F 分别是边 BC、CD 中点，则 △AEF 周长等于（ B ）
A. 2√3 B.3√3 C. 4√3 D.3
解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=∠B=60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∵E、F分别为BC、CD的中点，
∴AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF=，∠BAE=∠CAE=∠DAF=∠CAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴AE=AF=EF=√3，
∴△AEF的周长为3√3．
故答案为3√3
根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．
∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，
【例6】如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形
证明：∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB= ，BD=2，求OE的长．
解答∶（1）证明∶∵AB//CD，∴∠OAB=∠DCA.
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC, ∴CD=AD=AB.
∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AD=AB，.□ABCD是菱形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC,BD⊥AC.
∵CE⊥AB，OE=OA=OC. ∵OB=1/2BD=1,
【例8】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD，△ABO是等边三角形，试判断四边形BECO的形状，并给出证明。
证明：四边形BECO是菱形.理由如下;
四边形 ABCD是平行四边形，.AO=CO,BO=D0.
△AB0是等边三角形，A0=B0. .BO=CO=D0=A0.
又∵BE//AC，CE//BD，∴四边形 BECO是平行四边形.
从而可知四边形 BECO是菱形.
【例9】（2019郑州一模） 如图所示，在等边三角形ABC中，BC=8 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）填空：
①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为_________s时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．
（1）证明：∵D为AC的中点，
∴AC=CD，
∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD．
在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠FCD
∠AED=∠CFD
AD=CD
∴△ADE≌△CDF（AAS）．
（2） ①设x秒时，AE=CF，
则有2x-6=x，解得x=6．
此时AE=CF=AC=6，
即四边形ACFE是菱形，
②∵AG∥BC，
∴△ACE与△FCE为等高的三角形，
当AE=2CF时，S△ACE=2S△FCE．
设满足AE=2CF的时间为y，
则有x=2|6-2x|，
解得：x=12/5，或x=4．
故答案为：①6；②12/5或4．
【例10】（2021郑州一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）补充的条件是：AC⊥CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，∴0E=0F．∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥CD，∴四边形AECF是菱形．
【例11】（中点八字型）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【解答】延长EF交DC的延长线于H点
∵在菱形ABCD中，∠A=100°，
E，F分别是边AB和BC的中点∴∠B=80°，BE=BF
∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°
∵AB∥DC
∴∠FHC=∠BEF=50°
又∵BF=FC，∠B=∠FCH∴△BEF≌△CHF∴EF=FH
∵EP⊥DC∴∠EPH=90°∴FP=FH∴∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．
故选C．
点评：解答本题的关键是读懂题意及图形，正确作出辅助线，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题
【例12】（手拉手模型）如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=________度．
解：连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°∴AB=AC，∠ACF= ∠BCD=60°，∴∠B=∠ACF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，又∠AFD=180°-45°-60°=75°，则∠CFE=180°-75°-60°=45°．故答案为45．
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理．
【例13】如图，BC⊥y轴，BC【答案】或3或3．
【解析】
【分析】
分类讨论,根据AE、AF、EF为对称轴进行翻折,展开讨论,见详解.
【详解】
解：如上图连接OD,过点B作BH⊥OA于H,
由题可知,BD=,OA=4,
∵∠DEF=45°．
∴BH=OC=,CD=,OD=3,
①如下图
若沿着AE进行翻折,即EF=AF, 此时F落在x轴下方点N处,四边形ANEF为正方形
∴∠A=∠AEF=45°,△AEF为等腰直角三角形,
∵∠DEF=45°,
∴DE⊥OA,
∴△OED是等腰直角三角形,OD=AB=3,
∴OE=,
②若沿着AF进行翻折,即AE=EF,此时点F与B重合,E点落在N点处,如下图
此时∠BDE=45°,四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD=,
∴OE=OA-AE=4=3,
③若沿着EF进行翻折,即AE=AF,如下图
∵∠A=45°,
∴此时△EAF为等腰直角三角形,
∵易证△DOE∽△AEF
∴OE=OD=3
综上,OE=或3或3．
矩形的性质与判定
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
【解析】∵在矩形ABCD中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO= 16÷2=8．
∵AO=BO，∠AOB=60°，∴AB=AO=8，∴CD=AB=8，∴共有6条线段为8．故选D．
【例2】如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是 ___________________。
解∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，∴AC=2AB，故②正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，∴AC=2AB，故②正确；∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∴BO=BE，∵∠COB=180°-60°=120°，∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，故③正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故答案为：①、②、③、④．
【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PE＋PF的值=
【解析】延长CD至M,使DM=CD,连接AM，过P作PN⊥AM,N为AM上的点。
在△ACM中，AD⊥CM且CD=DM,
则AD是△ACM的角平分线。
则PF=PN.
又在四边形ABDM中，AB平行等于DM。
则为平行四边形。AM平行BD,
故PE,PN在同一直线上.
那么PE+PF=PE+PN=EN
平行四边形ABDM面积
S=ABxAD=BDxEN
而BD=√(5x5+12x12)=13
则EN=ABxAD/BD=5x12/13=60/13.
【例5】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A.6 B.10 C.8 D.12
解：由已知得∠DCA=∠D′CA，
∵AB∥CD
∴∠DCA=∠BAC
∴∠D′CA=∠BAC
∴AF=CF，
设AF=x，则CF=x，BF=8 x，
在Rt△CBF中，x2=(8 x)2+42，
解得：x=5，
∴S△AFC=1/2AF BC=10
【例6】如图，矩形ABOC 的顶点A的坐标为（-4，5），D是 OB的中点，E是0C 上的一点，当 △ADE 的周长最小时，点E的坐标是 。
【答案】B
【解析】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E， 则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（﹣4，5），
∴A′（4，5），B（﹣4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线DA′的解析式为y= x+ ，
当x=0时，y= ，
∴E（0， ），
故选B．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和轴对称-最短路线问题的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径才能正确解答此题．
【例7】如图，矩形ABGD中，AB=4，BC=2，把矩形 ABGD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABGD内部的点D处，则 CD'的最小值是（ ）
A.2 B.√5 C.2√5-2 D.2√5 +2
【解析】：根据题意，点D'在以点A为圆心、AD为半径且在矩形ABCD内部的圆弧上，
连接AC交圆弧于点D'.
由勾股定理得AC=2√5.所以CD'的最小值为2√5-2.
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是 ．
解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示．∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，∴OD=AB=8，∵△ABC是边长为16的正三角形，D为AB的中点，∴CD=AB=8√3．在△OCD中，OC＜OD+CD．当点O、C、D三点共线时，OC=OD+CD最大，此时OC=8+8√3．故答案为：8+8√3．
【例8】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A．2.5 B．2.4 C．2 D．3
【解析】∶'PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
..∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∵.四边形AEPF是矩形，
..EF，AP互相平分.且EF=AP，
..EF，AP的交点就是M点，
当AP的值最小时，AM的值就最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小.
由等面积法可知：AP×BC=AB×AC,
在Rt△ABEC中，由勾股定理，得BC=10，
∵AB=6,AC=8,
∴10AP=6×8, AP= 。AM=1/2 AP=2.4
【例9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）
A. 13cm B. 12cm C. 10cm D. 8cm
（1）证明见解析;（2）AB=13cm。
【解析】
（1）由三角形中位线定理推知ED//FC,2DE=BC，然后结合已知条件"EF//DC"，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形;
(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE 的周长=AB-BC，故BC=25口AB，然后根据勾股定理即可求得;
解：(1)∵D,E分别是AB,AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ ABC的中位线，
∴ED// FC,BC=2DE。
又∵EF//DC
∴四边形CDEF是平行四边形;
（2）∵'四边形CDEF是平行四边形;
∴DC=EF
"."DC是Rt △ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC
∴四边形DCFE的周长=AB+BC
∴四边形DCFE的周长为25cm，..BC=25-AB，
∵在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC的长5cm。
∴AB2=BC2-AC ，即AB2=（25-AB）2+52，解得，AB=13cm.
故选A
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键.
【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF的长为( )
解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE=DF= AB，∵AB=AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF=FC=3，∵BE⊥AC，∴EF= BC=3，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7，∴AB=4，由勾股定理知 AF=√7．故答案为：√7．
考点：1.三角形中位线定理；2.矩形的性质．
考点分析： 考点1：四边形 四边形：四边形的初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。主要考察内容：①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。突破方法：①掌握多边形，四边形的性质和判定方法。熟记各项公式。②注意利用四边形的性质进行有关四边形的证明。③注意开放性题目的解答，多种情况分析。
由勾股定理知 AF=√7．
故答案为：√7．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
【例11】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=8，
又∵矩形对角线的交点等分对角线，
∴OD=4，
又∵在△AOD中，EF为△AOD的中位线，
∴EF=2．
故答案为2．
【例12】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为________．
【解析】∶由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM= AC=AM=MC.
∠BMC=60°.由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到BN =BM +MN2，再由MN=BM=1，得到BN的长√2。
【例13】如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形，并说明理由．
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形，不要说明理由．
证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC与△DBE中，
AB=BD
∠DBE=∠ABC
BC=BE
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当AD=AF时，四边形ADEF是矩形，
又∵AD=AB，AF=AC，
∴AB=AC时，四边形ADEF是菱形；
（4）综合（2）、（2）知，当△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形．
【例14】 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF。
（1）求证：D是BC的中点
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
【解答】答：四边形AFBD是矩形，
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE．
又∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE与△DCE中，
∠AFE＝∠DCE
∠FAE＝∠CDE
AE＝DE
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
又∵AF=BD，
∴BD=CD．
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【例15】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6。
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。∴EO=CO，FO=CO。
∴OE=OF。
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。
∵CE=12，CF=5，∴ 。
∴OC=EF=6.5。
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形。
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形。
【点睛】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案。
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长。
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可。
【例16】（2018郑州一模）如图，在OABCD中点0是边BC的中点，连接D0并延长，交AB延长线于点E连接BD.EC. （1）求证∶四边形 BECD是平行四边形∶
（2）当∠BOD = ° 时，四边形BECD是菱形.
（3）若∠A= 50°，则当 ∠BOD= 时，四边形 BECD是矩形。
（1）证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE//CD, ∴∠EBC= ∠DCB. ∵点0是边BC的中点，∴OB=0C.
∠EBC= ∠DCB, OB=0C,
在△BOE 和△COD中，
∵OE=0D,BE=CD,∠BOE = ∠COD,
∴△BOE≌△COD(ASA),
∴四边形 BECD是平行四边形.
解∶（2）90. (3)100.
【提示】∵四边形 BECD是矩形，∠DBE =90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=50°，AD//BC，∠CBE=∠A=50°，∠DBC=40°.又0B=0D.∠0DB=∠DBC=40°，∴∠BOD =180°-40°-40°=100°.
正方形的性质与判定
【例1】（2020河南）如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　1　．
【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．
【解答】解：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCDA是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴CF2＝OF DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵OC2＝OF OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【例2】（2021山东枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．
猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
【例3】（2015郑州一模）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上． (1)求S△DBF；
(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值.
【解析】
试题分析：（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积；
（2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；
（3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值．
试题解析：（1）∵点F在AD上， ∴，∴，
∴；
（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，∴四边形AFDB是梯形，∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，∴；
（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，存在最大值及最小值，因为△BFD的边BD=，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值．如图②所示DF⊥BD时，的最大值===，
的最小值==．
考点：1．旋转的性质；2．正方形的性质．
【例4】已知:如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC.垂足为点D.
AN是△ABC外角∠CAM的平分线.CE⊥AN.垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形,
(2)当△ABC满足什么条件时.四边形ADCE是一个正方形 并给出证明．
分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
解答：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°÷2=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
点评：本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
【例5】 (2020郑州）在△ABC 中，∠BAC= 90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点；过点 A 作 AF / /BC ，交 BE 的延长线于 F ，连接CF ．
（1）求证： AD= AF ；
（2）填空： ①当∠ACB=________时，四边形 ADCF 为正方形；
②连接 DF，当∠ACB=_______时，四边形 ABDF 为菱形.
解：（1）∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∵AD=CD=BD，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，∴∠AEF=∠DEB, ∴△AEF≌△DEB(AAS), ∴AF=BD,∴AD=AF.
（2）①当∠ACB=45°时，四边形ADCF 为正方形;∵AD=AF∴AF=CD，∵AF//CD..四边形ADCF是菱形、∴∠ACD=∠ACF=45°∴∠DCF=90°，∴四边形ADCF是正方形.
②当∠ACB=30°时，四边形 ABDF为菱形;
∵四边形ADCF是菱形，四边形 ABDF 是平行四边形，
∴CD=CF,AF=BD.AB=DF, ∵∠ACB=∠ACF=30°，∴∠DCF=60°,
∴△DCF是等边三角形，∴DF=CD,∴DF=BD,∴四边形ABDF为菱形.
答案∶①45 ②30
【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作 DE⊥BC，垂足为 F，交直线 MN 于点E，连接CD，BE。
（1）求证∶CE=AD;
（2）当D为AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形 说明你的理由;
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形 CDBE是正方形 请说明你的理由。
【例7】如图 , 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O, 正方形 A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等 , 在正方形 A′B′C′O 绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系 请证明你的结论。
分析 根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠A'OC'=90°，推出∠A'OB=∠COC'，证出△OBM≌△OCN．
解答 解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的1/4．
理由如下：
分析：由题可知△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积．
解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵AO=BO，∠AOE=∠BOF，∠OAB=∠OBF，
∴△AOE≌△BOF，
∴两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积等于一个正方形面积的四分之一．
点评：本题主要考查正方形的性质．
点评 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．
【例8】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=3√2，则点C的坐标为_______．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，根据正方形的性质可以得出F是OE的中点，就可以得出MF是梯形AOEC的中位线，证明△AOB≌△BEC就可以得出OB=CE，AO=BE，就可以求得△OME是等腰直角三角形，由勾股定理就可以求出OE的值，从而得出C点的纵坐标．
过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，
∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°，AO∥MF∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AM=CM，
∴∠OAB=∠EBC，OF=EF，
∴MF是梯形AOEC的中位线，
∴MF=1/2（AO+EC），
∵MF⊥OE，
∴MO=ME．
∵在△AOB和△BEC中，
∠CEO＝∠AOB∠OAF＝∠EBCAB＝BC
∴△AOB≌△BEC（AAS）
∠CEO＝∠AOB
∠OAF＝∠EBC
AB＝BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB=CE，AO=BE．
∴MF=1/2（BE+OB），
又∵OF=FE，
∴△MOE是直角三角形，
∵MO=ME，
∴△MOE是等腰直角三角形，
∴OE=6
∴A（0，2），
∴OA=2，
∴BE=2，
∴OB=CE=4．
∴C（6，4）．
故答案为：（6，4）．
本题考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理．
考点点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，梯形的中位线的性质的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证△OME是等腰直角三角形是关键．
【例9】如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2 ，其中正确结论有 .
分析 由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．
解答 解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，
则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．
故答案为：①②③．
点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
【例10】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )
A.3 B. 2√3 C. 3√2 D.3√3
【解析】如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，∠ADP＝∠CDE,∠APD＝∠E,AD＝CD
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP=√18=3√2．
故答案为：3√2．
【例11】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．
解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=√2，CF=3√2，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF=
【例12】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．
【答案】√5
【分析】如图，延长GP，DA交于M，由题意可得DM=4，DG=3-1=2，∴由勾股定理得，MG=√20=2√5.由△MAP≌△GEP，可得PG=√5.
【例13】 如图，矩形的顶点A,B分别在x轴,y轴上:AO=OB=2,AD = 4√2 ,将矩形ABCD绕点。顺时针旋转,每分钟 旋转90。,则第2021次旋转结束时，点C的坐标为( ）
A. (4,6) B. (6,4) C. ( -6,4) D. ( -4,6)
解：如图，过点C作CE上y轴于点E，连接OC，
:OA=OB=2 .∠ABO=∠BAO=45°, ∠ABC=90°.∠CBE=45, :
BC=AD=4√2, .CE=BE=4, .OE=OB+BE=6, ·C(-4,6),
矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）;
第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，-6）;
则第3次旋转结束时，点C的坐标为（-6，-4）;
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（-4，6）;：：
发现规律∶旋转4次一个循环，2021÷4=50..…1,
则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（6，4），故选∶A.
【例14】如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若BE＝2，求PB的长.
解：（1）过点P作PF上AB，PG上BC，垂足分别为点F、G.
∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°,
.四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°,AB=AD=BC,
..∠ABD=∠AD8=45°，四边形FBGP是矩形，∴∠FPB=90°，∠ABD=90°-45°=45°,
∴∠ABD=∠FPB,
.'.FP=FB,
∴矩形FBGp是正方形.
.PF=PG,∠FPG=90°,
..∠FPG+∠EPG=90°,
EP⊥PC, ∴∠EPC=90°, ∴∠GPC+∠EPG=90°,
.∠FPG=∠GPC,
∠FPG=∠GPC,PF=PG,∠PFE=∠PGC,
△PFE≌△PGC（ASA） ∴PE=PC.
（2） 设EF=x.
∵△PFE≌△PGC.'.GC=EF=x.
由BE=2得∶BF=x+2. 由正方形FBGP得∶BG=x+2.
: BC=6,
..BG+GC=6. ..(x+2)+x=6, 解得∶x=2. . PF=BF=2+2=4,
△PFB中，LPFB=90°，由勾股定理得∶PB2=42+42=32，
: PB>0 .PB=4√2. 答∶ PB的长为4√2.
【例15】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°。
∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°。
∴∠ABE=∠DAF。
∵在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF（ASA）。
∴AF=BE。
（2）MP与NQ相等。理由如下：
如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则四边形AMPF、BNQE都是是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ。
【例16】在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到________
解：如图所示：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于直线BD对称，∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE=2，CE=1，∴BC=AB=2+1=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√13，
∴PE与PC的和的最小值为√13．故答案为：√13．
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菱形、矩形、正方形 精讲
一、 双基目标
1、熟记“平行四边形、菱形、矩形、正方形”性质与判定；
2、能结合线、角、三角形等几何知识灵活解决各类特殊四边形的计算与证明问题；
3、熟练掌握“菱形、矩形、正方形”中存在的常用模型及运用.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
菱形的性质与判定
【例1】.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
【例2】已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．
【例3】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 。
【例4】如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【例5】如图，在菱形 ABCD中，AB=2 ，∠B = 60° ，E、F 分别是边 BC、CD 中点，则 △AEF 周长等于（ ）
A. 2√3 B.3√3 C. 4√3 D.3
【例6】如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形
【例7】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB= ，BD=2，求OE的长．
【例8】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD，△ABO是等边三角形，试判断四边形BECO的形状，并给出证明。
【例9】（2019郑州一模） 如图所示，在等边三角形ABC中，BC=8 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）填空：
①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为_________s时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．
【例10】（2021郑州一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
【例11】（中点八字型）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【例12】（手拉手模型）如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=________度．
【例13】如图，BC⊥y轴，BC矩形的性质与判定
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
【例2】如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是 ___________________。
【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PE＋PF的值=
【例5】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A.6 B.10 C.8 D.12
【例6】如图，矩形ABOC 的顶点A的坐标为（-4，5），D是 OB的中点，E是0C 上的一点，当 △ADE 的周长最小时，点E的坐标是 。
【例7】如图，矩形ABGD中，AB=4，BC=2，把矩形 ABGD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABGD内部的点D处，则 CD'的最小值是（ ）
A.2 B.√5 C.2√5-2 D.2√5 +2
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是 ．
【例8】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A．2.5 B．2.4 C．2 D．3
【例9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）
A. 13cm B. 12cm C. 10cm D. 8cm
【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF的长为( )
【例11】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.
【例12】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为________．
【例13】如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形，并说明理由．
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形，不要说明理由．
【例14】 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF。
（1）求证：D是BC的中点
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
【例15】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【例16】（2018郑州一模）如图，在OABCD中点0是边BC的中点，连接D0并延长，交AB延长线于点E连接BD.EC. （1）求证∶四边形 BECD是平行四边形∶
（2）当∠BOD = ° 时，四边形BECD是菱形.
（3）若∠A= 50°，则当 ∠BOD= 时，四边形 BECD是矩形。
正方形的性质与判定
【例1】（2020河南）如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
【例2】（2021山东枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．
猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【例3】（2015郑州一模）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上． (1)求S△DBF；
(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值.
【例4】已知:如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC.垂足为点D.
AN是△ABC外角∠CAM的平分线.CE⊥AN.垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形,
(2)当△ABC满足什么条件时.四边形ADCE是一个正方形 并给出证明．
【例5】 (2020郑州）在△ABC 中，∠BAC= 90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点；过点 A 作 AF / /BC ，交 BE 的延长线于 F ，连接CF ．
（1）求证： AD= AF ；
（2）填空： ①当∠ACB=________时，四边形 ADCF 为正方形；
②连接 DF，当∠ACB=_______时，四边形 ABDF 为菱形.
【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作 DE⊥BC，垂足为 F，交直线 MN 于点E，连接CD，BE。
（1）求证∶CE=AD;
（2）当D为AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形 说明你的理由;
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形 CDBE是正方形 请说明你的理由。
【例7】如图 , 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O, 正方形 A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等 , 在正方形 A′B′C′O 绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系 请证明你的结论。
【例8】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=3√2，则点C的坐标为_______．
【例9】如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2 ，其中正确结论有 .
【例10】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )
A.3 B. 2√3 C. 3√2 D.3√3
【例11】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．
【例12】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．
【例13】 如图，矩形的顶点A,B分别在x轴,y轴上:AO=OB=2,AD = 4√2 ,将矩形ABCD绕点。顺时针旋转,每分钟 旋转90。,则第2021次旋转结束时，点C的坐标为( ）
A. (4,6) B. (6,4) C. ( -6,4) D. ( -4,6)
【例14】如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若BE＝2，求PB的长.
【例15】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
【例16】在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到________
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