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反比例函数精讲
1．（2020河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
2．（2021天津）（3分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
3．（2021福建）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则
y1　 　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
4、（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　 　．
5、（2019安徽）已知点关于x轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为
A. 3 B. C. D.
6、（2019仙桃）反比例函数，下列说法不正确的是
A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. 图象关于直线对称 D. y随x的增大而增大
7．（2019上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
8、如图，双曲线经过矩形OABC的顶点B，双曲线交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接若OD：：3，则的面积为_____．
9．（2019·娄底）将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（ ）
B． C． D．
10.已知点A（x1 ，﹣4），B（x2 ，8）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. x2＜x1＜0 B. x1＜0＜x2 C. x1＜x2＜0 D. x2＜0＜x1
11.如图， 是函数 的图像上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴， 的面积记为 ，则（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4， 的面积为6，则 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
13. （2019·眉山）如图，反比例函数的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．
14．（2019·衡阳）如图，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象，都经过A（－1，2），B（2，－1），结合图象，则不等式kx＋b＞的解集是（ ）．
A. x＜－1 B. －1＜x＜0 C. x＜－1或0＜x＜2 D.－1＜x＜0或x＞2
15.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）
A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2
16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点，正方形ABCD的顶点C,D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图像上，若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图像上，则n的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
17．（2020湖北鄂州）如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为　 　．
18. （2019·潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上．则tan∠BAO的值为 ．
19.如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，连接 ，若 ，则 的值是（ ）
A. 1、-3 B. 1、3 C. 2、3 D. 3、-1
20.已知矩形 的面积是 ，它的对角线 与双曲线 交于点 ，且 .则 .
21. （2019·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为 （ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
22．（2020温州）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　．
23．（2021湖北黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　6　．
24．（2021重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
25.如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M.若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG= ， 则k= .
26．（2021新疆）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．
27.已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集.
28．（2020湖北黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝，tan∠DOB＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当S△ACO＝S△OCD时，求点C的坐标．
29．（2021四川广元）（6分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
30．（2021河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
31．（2021广西贵港）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
32．（2020黄石）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
33. (2019山东泰安)已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
34．（2021北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
35．（2021重庆B卷）（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　当x＝3时函数有最小值y＝1　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．
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反比例函数 精讲
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①定义式（三种）；②图象与性质；③K的几何意义
2、熟练掌握：
①待定系数法；
②K的几何意义解题方法；
③面积的四种类型解法；
④相似、平移变换相关解法；
⑤存在性问题解法.
二、能力目标
通过本章各类问题方法的系统复习可以强化训练学生对数、形结合思想的理解和掌握，同时增强学生对函数思想的深入理解，为高中的后续学习奠定基础.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
【例1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图像分别是C1和C2,设点P在C1上，PA⊥x轴，垂足为点B，S△PAO= 。
【例2】如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　 　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【例3】如图，平行于x轴的直线与函数y=K1/x（k1＞0，x＞0），y=K2/x（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为__________
【例4】如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S=__________
【例5】（2016株洲）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、或
【变式训练1】如图，反比例函数y1=K1/x和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若K1/x＞k2x，则x的取值范围是 （ ）
（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1
（C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞1
【变式训练2】（2020 天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y
（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞k/x中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
，
【变式训练3】（2017开封一模）如图,一次函数y=kx+2的图像与反比例函数y=m/x的图像交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点C、D,且S△PBD=4， OC：OA=1：2.
(1)求点D的坐标；
（2）.求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图像写出当x＞0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。
【例6】（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数(k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
A. B.8 C.10 D.
【例7】如图所示，反比例函数 的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为______________
【例8】（2019重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
【例9】（2021山东淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）
A． B． C． D．12
【例10】（2021重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【例11】（2021辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【例12】（2019甘肃）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A(-1,n)、B（2，-1）两点，与y轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
(3)若M（x1,y1）、N（x2,y2）是反比例函数上的两点，
当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
【例13】（2014 河南）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y= （k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．
【例14】如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数 的图象交于A(m,6),B(3,n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【例15】（2016 聊城）如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象
与反比例函数y=m/x的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
【例16】（2016 葫芦岛）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2√5，反比例函数y= 的图象经过点B，则k的值为______．
【例17】如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【例18】(2018·郑州一模)直线y＝kx＋b与反比例函数y＝6/x(x＞0)的图象分别交于点A(m，3)和点B(6，n)，与坐标轴分别交于点C和点D.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【例19】直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝k/x（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(-2,0)
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标。
【例20】（2018黄冈市改编）如图，反比例函数y＝ （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）填空：反比例函数的解析式为　 　，直线AC的解析式为　 　，B点的坐标是　 　．
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形．
①在图中用直尺和2B铅笔画出所有符合条件的平行四边形；
②根据所画图形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
【例21】（2018成都）如图，在平面直角坐标系 xoy中，一次函数y=x+b 的图象经过点A(-2,0) ，与反比例函数的图象交于B(a，4) .
求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设 M是直线 AB上一点，过 M作MN//x轴 ，交反比例函数 的图象于点 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.
【例22】（2020郑州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(0，4)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB沿y轴向上平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′．当这个函数的图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．
【例23】 如图1，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（0，4），反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，将等边三角形AOB沿y轴正方向平移一定距离得到△A′O′B′，此时B′O′的中点D恰好落在反比例函数y＝的图象上，求等边三角形AOB平移的距离．
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反比例函数精讲
北师版九年级上册 反比例函数期末复习精编
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①定义式（三种）；②图象与性质；
③K的几何意义
2、熟练掌握：
①待定系数法；②K的几何意义解题方法；
③面积的四种类型解法；
④相似、平移变换相关解法；
⑤存在性问题
二、能力目标
通过本章各类问题方法的系统复习可以强化训练学生对数、形结合思想的理解和掌握，同时增强学生对函数思想的深入理解，为高中的后续学习奠定基础.
反比例函数及其性质
反比例函数 的图象特征和性质
函数 大致 图象 图象 位置 函数性质
（增减性）
k > 0
k < 0
一、三象限
二、四象限
当x>0(或x<0)时，y随x增大而减小
当x>0(或x<0)时，y随x增大而增大
x
y
0
x
y
0
K的几何意义
yy
yx
0
P
yP
xP
yy
yx
0
yPP
yPA
B
A
B
yy
yx
0
P
yPA
yPB
Q
yy
yx
0
yPM
yPN
k的几何意义
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA= ×4=2，S△BOA= ×2=1，
∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1。
反思：依据k的几何意义解决.
如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图像分别是C1和C2,设点P在C1上，PA⊥x轴，垂足为点B，S△PAO= 。
典例精讲
如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　 　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【解析】 连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△CAB=3， 而S△OAB=|k|， ∴|k|=3，
∵k＜0， ∴k=﹣6． 故答案为：﹣6．
反思：依据k的几何意义解决.
典例精讲
如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为__________
反思：依据k的几何意义解决.
典例精讲
如图，A、B是函数 的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S=__________
【解析】∵A，B是函数 （k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，
∴若假设A点坐标为（x，y），
则B点坐标为（-x，-y）．
∴CD=2x，AC=BD=y，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△BCD=2xy=2k．
故四边形ABCD的面积S是2k．
故选D．
反思：依据k的几何意义解决.
跟踪练习
自变量取值范围问题
——“三点四段”
反思：
(1)先从交点处向x轴做垂线，（2）在原点、两个垂足处描粗；（3）将x轴分四段观察.
D
典例精讲
如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是 （ ）
（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1
（C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞1
跟踪练习
反思：
(1)先从交点处向x轴做垂线，（2）在原点、两个垂足处描粗；（3）将x轴分四段观察.
C
（2020 天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y
（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
跟踪练习
（1）分别求出a和b的值；
【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4， |k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y ，
∴把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y
得，a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（2）根据图象直接写出mx+n＞的解集：
解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【分析】求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有 ，
（2017开封一模）如图,一次函数y=kx+2的图像与反比例函数y=m/x的图像交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点C、D,且S△PBD=4， OC：OA=1：2.
(1)求点D的坐标；
（2）.求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图像写出当x＞0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。
跟踪练习
解∶（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2∴点D的坐标为（0，2）.
(2)∵AP//OD,∴Rt△PAC∽ Rt△DOC.
OD：OA=1:2，∴OD：AP=OC：AC=1:3.∴AP=6.
∴BD=6-2=4,
由S△PBD=4可得BP=2，∴P（2，6）. 把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为y=2x＋2，
（3）由题图可得x>2.
反比例函数解析y=
（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数 (k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
提示：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4, ).答案D.
待定系数法综合
典例精讲
如图所示，反比例函数 的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为______________
解：过D作DE⊥OA于E，设D（m，k/m），∴OE=m．DE=k/m，∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA=2m，OC=2k/m，
∵矩形OABC的面积为8，∴OA OC=2m 2k/m=8，
∴k=2，故答案为：2．
反思：依据k的几何意义解决.
待定系数法综合
典例精讲
（2019重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
M
解：过B作BM⊥x轴于M，∵BD//x轴，∴yB=4,即BM=4.
∵∠DAB=90°，可推知△DOA∽△AMB。
∴OA：OD=BM：AM=1:2.∴AM=8，∴B为（10,4）
∵点E是矩形OABC的对角线DB的中点，∴ xE =5，yE=4
∴E（5,4）∴K=5×4=20.
B
（2021山东淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝ 的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）
待定系数法综合
典例精讲
（2021重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
待定系数法综合
典例精讲
（2021辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝ 经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）
待定系数法综合
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（yA﹣yB）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
典例精讲
面 积 问 题
“铅锤法”求面积
模型总结
（2019甘肃）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A(-1,n)、B（2，-1）两点，与y轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
(3)若M（x1,y1）、N（x2,y2）是反比例函数 上的两点，
当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
“铅锤法”求解面积
典例精讲
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
F
【分析】作AF⊥y轴,如图，S△ACD+S△BCD=S△ABD。
其中S△ACD=AF×DC/2,S△BCD=BD×DC/2,
∴S△ABD= DC×（AF+BD）= DC×（XB-XA）
若把DC看成是两个三角形（△ACD、△BCD）的公共底。本题（2）面积计算符合——“铅锤法”求面积。
(3)若M（x1,y1）、N（x2,y2）是反比例函数 上的两点，
当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
（2014 河南）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y= （k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．
分割思想求解面积
典例精讲
【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN=2，AN=1，则ON=OA﹣AN=4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入y= 中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
解：（1）作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA﹣AN=4，
∴D点坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y= 得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．
本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．
如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数 的图象交于A(m,6),B(3,n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
分割思想求解面积
典例精讲
【分析 】（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；
解：（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8得6=-m+8，n=-2×3+8，解得m=1，n=2，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），把A（1，6）代入y=, k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，反比例函数的图象在一次函数图象上方．
（3）求△AOB的面积．
（3）由直线y=-2x+8可知与x轴的交点为（4，0），∴S△AOB=×4×6-×4×2=8．
平行线间面积问题
模型总结
（2016 聊城）如图，在直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= 的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
平行线间面积问题
典例精讲
如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象
与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
跟踪练习
分析 （1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y= 求得k、m的值即可；
解：（1）根据题意，将点A（2，-2）代入y=kx，得：-2=2k，解得：k=-1，∴正比例函数的解析式为：y=-x，将点A（2，-2）代入y= ，得：-2= ，解得：m=-4；∴反比例函数的解析式为：y=-
（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，
联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．
（2）直线OA：y=-x向上平移3个单位后解析式为：y=-x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式
∴第四象限内的交点C的坐标为（4，-1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC= ×BO×xC= ×3×4=6．
（2016 葫芦岛）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2√5，反比例函数y= 的图象经过点B，则k的值为______．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过B作BC⊥x轴于点C，如图.
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°.
又∵∠CBO+∠BOC=90°，
∴∠CBO=∠AOD.
又∵∠BCO=∠ADO，
∴△BOC∽△OAD，
∴BC:CO=OD:AD=2:1=2.
设CO=x，则BC=2x(x＞0)，
∴x2+(2x)2=(2√5)2，
解得x=2，
∴B(-2，4)，
∴k= 2×4，
∴k=-8.
反思：斜放直角——构造“一线三垂直”相似模型
相似变换问题
典例精讲
如图，已知点A，B分别是反比例函数y= （x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO= ，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
相似变换问题
典例精讲
解：如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵∠ACO= ∠0DB=90°,
∴∠OBD+∠BOD=90°.
∴∠A0B=90°,
∴∠BOD+∠A0C=90°,
(2018·郑州一模)直线y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象分别交于点A(m，3)和点B(6，n)，与坐标轴分别交于点C和点D.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
相似存在性问题
典例精讲
直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(-2,0)
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标。
．
相似存在性问题
跟踪练习
（2018黄冈市改编）如图，反比例函数y＝ （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）填空：反比例函数的解析式为　 　，直线AC的解析式为　 　，B点的坐标是　 　．
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形．
①在图中用直尺和2B铅笔画出所有符合条件的平行四边形；
②根据所画图形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
平行四边形存在性问题
典例精讲
（2018成都）如图，在平面直角坐标系 xoy中，一次函数y=x+b 的图象经过点A(-2,0) ，与反比例函数 的图象交于B(a，4) .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）设 M是直线 AB上一点，过 M作MN//x轴 ，交反比例函数 的图象于点 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.
平行四边形存在性问题
跟踪练习
（2020郑州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(0，4)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数 （x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB沿y轴向上平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′．当这个函数的图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．
图象平移问题
典例精讲
如图1，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（0，4），反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，将等边三角形AOB沿y轴正方向平移一定距离得到△A′O′B′，此时B′O′的中点D恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，求等边三角形AOB平移的距离．
图象平移问题
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反比例函数 精讲
1．（2020河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
2．（2021天津）（3分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣5＜0，0＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．（2021福建）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
4、（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　 　．
【答案】∶0
【解析】∶∵点A（a，b）（a>0，b>0）在双
曲线y=上
∴k1= ab.
又∵点A与点B关于x轴对称，∴B(a,-b).
∵点B在双曲线y=上.
.·. k2= -ab.
.k1+k2=ab＋（-ab）=0.故答案为0.
5、（2019安徽）已知点关于x轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】点关于轴的对称点的坐标为，又在反比例函数的图象上，所以，，故选A.
【考点】轴对称的坐标特征及反比例函数解析式的确定
6、（2019仙桃）反比例函数，下列说法不正确的是
A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. 图象关于直线对称 D. y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
解：由点（1，-3）的坐标满足反比例函数y=-，故A是正确的；
由k=-3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y=-关于y=x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y=x和y=-x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
7．（2019上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【知识考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质．
【思路分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．
【解题过程】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
8、如图，双曲线经过矩形OABC的顶点B，双曲线交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接若OD：：3，则的面积为_____．
【解答】解：设D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，
∴9＝3m 3n，
∴mn＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，
∴k＝4mn
∴双曲线y＝（x＞0），
∴E（3m，n），F（m，3n），
∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，
∴S△BEF＝BE BF＝mn＝
故答案为．
9．（2019·娄底）将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（ ）
B． C． D．
【答案】C．
【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．
∵将的图象向右平移1个单位长度后所得函数关系式为，
∴将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象的解析式为．
故选C．
10.已知点A（x1 ，﹣4），B（x2 ，8）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. x2＜x1＜0 B. x1＜0＜x2 C. x1＜x2＜0 D. x2＜0＜x1
【答案】 D
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵点A（x1 ， ﹣4），B（x2 ， 8）都在反比例函数 的图象上，
∴﹣4x1＝﹣5，8x2＝﹣5，
解得 ， ，
∴x2＜0＜x1 ．
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得出﹣4x1＝﹣5，8x2＝﹣5，则可求出 ， ，再对各选项进行判断即可。
11.如图， 是函数 的图像上关于原点对称的任意两点， 轴， 轴， 的面积记为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】关于原点对称的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(x ，y )，根据题意得B(-x ，-y )，BC=2x ，AC=2y
∵A在函数 的图像上
∴x y =1
故答案为：A
【分析】根据反比例函数图象上的点A、B关于原点对称，可以写出它们的坐标，则△ABC的面积即可求得.
12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4， 的面积为6，则 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】 B
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，
∴A（2， ），B（4， ），
作AC⊥x轴于C ， BD⊥x轴于D ，
则S△AOC＝ ×2× ＝ ，S△BOD＝ ×4× ＝ ，
∴S△AOC＝S△BOD ，
∴S△ABO＝S△AOC+S梯形ACDB﹣S△BOD＝S梯形ACDB＝6，
∴ （ + ）（4﹣2）＝6，
解得：k＝8，
故答案为：B ．
【分析】先求出S△AOC＝S△BOD ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
13. （2019·眉山）如图，反比例函数的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．
【答案】4
【解析】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=|k|，S△OAD=|k|，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S矩形ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则，∴k=4．故选：B.
14．（2019·衡阳）如图，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象，都经过A（－1，2），B（2，－1），结合图象，则不等式kx＋b＞的解集是（ ）．
A. x＜－1 B. －1＜x＜0 C. x＜－1或0＜x＜2 D.－1＜x＜0或x＞2
【答案】C．
【解析】由图象得，不等式kx＋b＞的解集是x＜－1或0＜x＜2，故选C．
15.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）
A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2
【答案】 C
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点，正方形ABCD的顶点C,D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图像上，若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图像上，则n的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】 B
【考点】正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，一次函数图象与坐标轴交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图过点D、C分别做DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为E,F．
CF交反比例函数的图像于点G．
把x=0和y=0分别代入y=-4x+4
得y=4和x=1
∴A(1,0),B(0,4)
∴OA=1，OB=4
由ABCD是正方形，易证
△AOB≌△DEA≌△BCF（AAS）
∴DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4
∴D(5，1)，F(0,5)
把D点坐标代入反比例函数y= ，得k=5
把y=5代入y= ,得x=1,即FG=1
CG=CF-FG=4-1=3,即n=3
故答案为B．
17．（2020湖北鄂州）如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为　﹣9　．
【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，
∴可设A（x，），
∴OC＝x，AC＝，
∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，
∵OB＝3OA，
∴＝＝＝，
∴OD＝3AC＝，BD＝3OC＝3x，
∴B（，﹣3x），
∵点B反比例函数y＝图象上，
∴k＝×（﹣3x）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
18. （2019·潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上．则tan∠BAO的值为 ．
【答案】
【解析】分别过点A、B作x轴的垂线AC和BD，垂足为C、D.
则△BDO∽△OCA，
∴
∵S△BDO=，S△ACO=，
∴，
∴tan∠BAO=．
19.如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，连接 ，若 ，则 的值是（ ）
A. 1、-3 B. 1、3 C. 2、3 D. 3、-1
【答案】 B
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥y轴与点D，如图所示.
一次函数y＝k1x+2中，当x＝0时， y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），OC＝2.
又∵S△OBC＝ OC BD＝1，
∴BD＝1.
∵tan∠BOC＝ ，
∴OD＝3.
B点坐标为（1，3），
分别代入 和 ，
，
解得k1＝1，k2＝3.
故答案为：B.
【分析】过点B作BD⊥y轴与点D，易得C（0，2），则OC＝2，根据三角形的面积公式可得BD，由∠BOC的正切函数可得OD，进而可得点B的坐标，接下来分别代入一次函数、反比例函数解析式中就可求出k1、k2.
20.已知矩形 的面积是 ，它的对角线 与双曲线 交于点 ，且 .则 .
【答案】 6
【考点】反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵OB：OD=4：3，
∴可设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（4m，4n）.
∵矩形OABC的面积为 ，
∴4m 4n= ，
∴mn= ，
把D的坐标代入函数解析式得： ，
∴k=9mn=9× =6，
故答案为：6.
【分析】可设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（4m，4n），可得矩形OABC的面积为4m 4n= ， 即得mn= ，把点D坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值.
21. （2019·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为 （ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【答案】B．
【解析】如图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB＝∠DOA＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ED＝EB，∠DAB＝90°．
∴∠OAD＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°．
∴∠OAD＝∠FBA．
∴△AOD∽△BFA．
∴．
∵BD∥x轴，A（2，0），D（0，4），
∴OA＝2，OD＝4＝BF．
∴．
∴AF＝8．
∴OF＝10，E(5，4)．
∵双曲线y＝过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选B．
22．（2020温州）点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为　　．
【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3＝，S1＝，S2＝，
故答案为．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
23．（2021湖北黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　6　．
【分析】过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再确定△ACH与△AOH的面积．
【解答】解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴设A（x，﹣），S△AOH＝，
∵AB＝2BC，
∴，，
∴BG＝AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为，代反比例函数中得点B的坐标为（3x，），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC＝＝ （﹣4x） （﹣）＝6
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数的几何意义和平行线分线段成比例，熟练的将解析式，点坐标、线段长进行灵活转换才是解题的关键．
24．（2021重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
25.如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M.若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG= ， 则k= .
【答案】
【考点】锐角三角函数的定义，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，
∴FN=MN=3 ，
∴AN=MB=8﹣3=5 ，
设OA=x，则OB=x+3，
∴F（x，8），M（x+3，5），
∴8x=（x+3）×5 ，
解得，x=5，
∴F（5，8），
∴k=5×8=40.
故答案为：40.
【分析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，易得FN=MN=3 ， AN=MB=5 ， 设OA=x，则OB=x+3，F（x，8），M（x+3，5），然后根据点F、M在反比例函数图象上可得x，进而得到点F的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
26．（2021新疆）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．
【分析】（1）待定系数法求解．
（2）将x＝﹣2代入一次函数解析式求解．
（3）通过观察图像求解．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入y＝得3＝,
解得k2＝6，
∴y＝,
把B（n，﹣1）代入y＝得﹣1＝,
解得n＝﹣6，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1）．
把A(2,3)，B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得：
,
解得,
∴y＝x+2．
（2）把x＝﹣2代入y＝x+2得y＝﹣2×+2＝1，
∴点P（﹣2，1）在一次函数y＝k1x+b的图象上．
（3）由图象得x≥2或﹣6≤x＜0时k1x+b≥，
∴不等式k1x+b≥的解集为x≥2或﹣6≤x＜0．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及一次函数与反比例函数的性质．
27.已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集.
【答案】 （1）解：把A（﹣4，2）代入 ， 得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为 ， 把B（n，﹣4）代入 ， 得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得： ， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）解：y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+ S△BOC= ×2×2+ ×2×4=6；
（3）解：由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2.
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积
【解析】【分析】（1） 把A（﹣4，2）代入y=， 得m=-8，据此可得反比例函数的解析式， 把B（n，-4）代入反比例函数解析式中可得n=2，然后利用待定系数法就可求出一次函数的解析式；
（2）易得C（-2，0），然后根据S△AOB=S△AOC+ S△BOC以及三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
28．（2020湖北黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝，tan∠DOB＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当S△ACO＝S△OCD时，求点C的坐标．
【分析】（1）根据OB＝，tan∠DOB＝，可求出点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式；
（2）利用S△ACO＝S△OCD，可得OD＝2AN，再根据相似三角形的性质，设AN＝a、CN＝b，表示出OD、OC，最后根据三角形OBM的面积为|k|＝1，列方程求出b的值即可．
【解答】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，
（1）在Rt△BOM中，OB＝，tan∠DOB＝．
∵BM＝1，OM＝2，
∴点B（﹣2，﹣1），
∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）∵S△ACO＝S△OCD，
∴OD＝2AN，
又∵△ANC∽△DOC，
∴＝＝＝，
设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，
∵S△OAN＝|k|＝1＝ON AN＝×3b×a，
∴ab＝，①，
由△BMD∽△CNA得，
∴＝，即＝，也就是a＝②，
由①②可求得b＝1，b＝﹣（舍去），
∴OC＝2b＝2，
∴点C（0，2）．
29．（2021四川广元）（6分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图像上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
30．（2021河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4×22＝16，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，2），
∴2＝，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝的图象经过B点，
∴m＝，
∴m2＝2，
∴小正方形的面积为4m2＝8，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，2），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2），
∴大正方形的面积为4×22＝16，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
31．（2021广西贵港）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
【分析】（1）将x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，
∴交点的坐标为（1，3），
将（1，3）代入y＝，
解得：k＝1×3＝3；
（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，
由，
解得：或，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），
∴AB＝＝4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强．
32．（2020黄石）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．
【分析】（1）根据点A（1，a）在y＝2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y＝（k≠0）的图象与反比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），即可求得k的值；
（2）因为B是反比例函数y＝和正比例函数y＝2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）由题意得：＝2x，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（﹣1，﹣2），
∵点A（1，2），
∴AB＝＝2，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，
∴AD＝AB＝2，
∴D（1+2，2）．
33. (2019山东泰安)已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
【思路分析】(1)根据OB的长度和△AOB的面积可求得点A的纵坐标,利用勾股定理求得点A的横坐标,进而用待定系数法可以求出反比例函数和一次函数的表达式;(2)设点P的坐标为(x,0),利用等腰三角形的边相等的关系,列出方程,进行求解,即可得到点P的坐标.
【解题过程】(1)过点A作AM⊥x轴于点M,则S△OAB＝＝,∵B(5,0),∴OB＝5,即＝,AM＝3,∵OB＝AB,∴AB＝5,在Rt△ABM中,BM＝＝4,∴OM＝OB+BM＝9,∴A(9,3),∵点A在反比例函数图象上,∴,m＝27,反比例函数的表达式为:,设一次函数表达式为y＝kx+b,∵点A(9,3),B(5,0)在直线上,∴3＝9k+b,0＝5k+b,解之,得k＝,b＝,∴一次函数的表达式为:y＝x;
(2)设点P(x,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AB2＝(9－5)2+32＝25,AP2＝(9－x)2+32＝x2－18x+90,BP2＝(5－x)2＝x2－10x+25,根据等腰三角形的两边相等,分类讨论:
①令AB2＝AP2,得25＝x2－18x+90,解之,得:x1＝5,x2＝13,当x＝5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0);
②令AB2＝BP2,得25＝x2－10x+25,解之,得:x3＝0,x4＝10,当x＝0时,点P与原点重合,故P2(0,0),P3(10,0);
③令AP2＝BP2,得x2－18x+90＝x2－10x+25,解之,得:x＝,∴P4(,0);
综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4(,0).
【知识点】勾股定理,待定系数法求解析式,等腰三角形的存在性
34．（2021北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到y＝x﹣1，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y＝x﹣1．
（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x﹣1的值，
∴≤m≤1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
35．（2021重庆B卷）（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　当x＝3时函数有最小值y＝1　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．
【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可；
（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；
（3）根据图像求出即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，
解得：m＝﹣2，
即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，
当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，
当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；
（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞成立，
∴x＜0或x＞4．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键．
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反比例函数 精讲
一、 双基目标
1、理解并牢记：
①定义式（三种）；②图象与性质；③K的几何意义
2、熟练掌握：
①待定系数法；
②K的几何意义解题方法；
③面积的四种类型解法；
④相似、平移变换相关解法；
⑤存在性问题解法.
二、能力目标
通过本章各类问题方法的系统复习可以强化训练学生对数、形结合思想的理解和掌握，同时增强学生对函数思想的深入理解，为高中的后续学习奠定基础.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
【例1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图像分别是C1和C2,设点P在C1上，PA⊥x轴，垂足为点B，S△PAO= 。
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=×4=2，S△BOA= ×2=1，
∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1。
【例2】如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　 　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【解析】 连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB=S△CAB=3， 而S△OAB=|k|， ∴|k|=3，∵k＜0， ∴k=﹣6． 故答案为：﹣6．
【例3】如图，平行于x轴的直线与函数y=K1/x（k1＞0，x＞0），y=K2/x（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为__________
【例4】如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S=__________
【解析】∵A，B是函数（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，
∴若假设A点坐标为（x，y），
则B点坐标为（-x，-y）．
∴CD=2x，AC=BD=y，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△BCD=2xy=2k．
故四边形ABCD的面积S是2k．
故选D．
【例5】（2016株洲）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、或
【变式训练1】如图，反比例函数y1=K1/x和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若K1/x＞k2x，则x的取值范围是 （ C ）
（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1
（C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞1
【变式训练2】（2020 天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y
（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞k/x中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4， |k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y ，
∴把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y
得，a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）根据图象直接写出mx+n＞k/x的解集：
解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
【分析】求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有
，
【变式训练3】（2017开封一模）如图,一次函数y=kx+2的图像与反比例函数y=m/x的图像交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图像分别交x轴、y轴于点C、D,且S△PBD=4， OC：OA=1：2.
(1)求点D的坐标；
（2）.求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图像写出当x＞0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。
解∶（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2∴点D的坐标为（0，2）.
(2)∵AP//OD,∴Rt△PAC∽ Rt△DOC.
OD：OA=1:2，∴OD：AP=OC：AC=1:3.∴AP=6.
∴BD=6-2=4,
由S△PBD=4可得BP=2，∴P（2，6）. 把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=m/x可得一次函数解析式为y=2x＋2，反比例函数解析y=12/x
（3）由题图可得x>2.
【例6】（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数(k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
A. B.8 C.10 D.
提示：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4,).答案D.
【例7】如图所示，反比例函数 的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为______________
解：过D作DE⊥OA于E，设D（m，k/m），∴OE=m．DE=k/m，∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA=2m，OC=2k/m，
∵矩形OABC的面积为8，∴OA OC=2m 2k/m=8，
∴k=2，故答案为：2．
【例8】（2019重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
解：过B作BM⊥x轴于M，∵BD//x轴，∴yB=4,即BM=4.
∵∠DAB=90°，可推知△DOA∽△AMB。
∴OA：OD=BM：AM=1:2.∴AM=8，∴B为（10,4）
∵点E是矩形OABC的对角线DB的中点，∴ xE =5，yE=4
∴E（5,4）∴K=5×4=20.
【例9】（2021山东淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）
A． B． C． D．12
【分析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积＝9，再证明OH＝OB，求出△MOH的面积即可．
【解答】解：过点M作MH⊥OB于H．
∵AD∥OB，
∴△ADM∽△BOM，
∴＝（）2＝，
∵S△ADM＝4，
∴S△BOM＝9，
∵DB⊥OB，MH⊥OB，
∴MH∥DB，
∴＝＝＝，
∴OH＝OB，
∴S△MOH＝×S△OBM＝，
∵＝，
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出△OMH的面积．
【例10】（2021重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
【例11】（2021辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（yA﹣yB）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，
∴xB＝，xA＝，即A（，4），B（，2），
∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，
∴BC＝AB＝，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA﹣yB）＝8，
即×（4﹣2）＝8，
整理得＝4，
解得k＝±8，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
【例12】（2019甘肃）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A(-1,n)、B（2，-1）两点，与y轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.
(3)若M（x1,y1）、N（x2,y2）是反比例函数上的两点，
当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
【答案】解：反比例函数经过点，
，
点在上，
，
，
把A，B坐标代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
直线交y轴于C，
，
，C关于x轴对称，
，
轴，
．
、是反比例函数上的两点，且，此时y随x的增大而增大，
．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用反比例函数的性质，比较函数值的大小．
利用待定系数法即可解决求问题．
先求出C点，再根据对称性求出点D坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可．
利用反比例函数图象的性质即可解决问题．
【例13】（2014 河南）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y= （k＞0）经过点D，交BC于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．
考点： 反比例函数综合题．版权所有
专题： 综合题．
分析： （1）作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN=2，AN=1，则ON=OA﹣AN=4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入y=中求出k的值即可得到反比例函数解析式； （2）根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．
解答： 解：（1）作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，如图， ∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6）， ∴BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3， ∵DN∥BM， ∴△ADN∽△ABM， ∴==，即==， ∴DN=2，AN=1， ∴ON=OA﹣AN=4， ∴D点坐标为（4，2）， 把D（4，2）代入y=得k=2×4=8， ∴反比例函数解析式为y=； （2）S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD =×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2 =12．
点评： 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．
【例14】如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数 的图象交于A(m,6),B(3,n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析 】（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；
解：（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8得6=-m+8，n=-2×3+8，解得m=1，n=2，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），把A（1，6）代入y=k/x, k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=6/x；
观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，反比例函数的图象在一次函数图象上方．
（3）由直线y=-2x+8可知与x轴的交点为（4，0），∴S△AOB=1/2×4×6-1/2×4×2=8．
点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．
（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）观察函数图象得到当03，反比例函数的图象在一次函数图象上方．（3）求得直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【例15】（2016 聊城）如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象
与反比例函数y=m/x的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
分析 （1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=m/x求得k、m的值即可；
解：（1）根据题意，将点A（2，-2）代入y=kx，得：-2=2k，解得：k=-1，∴正比例函数的解析式为：y=-x，将点A（2，-2）代入y= ，得：-2=，解得：m=-4；∴反比例函数的解析式为：y=-
（2）直线OA：y=-x向上平移3个单位后解析式为：y=-x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式
∴第四象限内的交点C的坐标为（4，-1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC= ×BO×xC= ×3×4=6．
【例16】（2016 葫芦岛）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2√5，反比例函数y= 的图象经过点B，则k的值为______．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过B作BC⊥x轴于点C，如图.
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°.
又∵∠CBO+∠BOC=90°，∴∠CBO=∠AOD.
又∵∠BCO=∠ADO，∴△BOC∽△OAD，
∴BC:CO=OD:AD=2:1=2.
设CO=x，则BC=2x(x＞0)，
∴x2+(2x)2=(2√5)2，
解得x=2，
∴B(-2，4)，∴k= 2×4，
∴k=-8.
【例17】如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
解：如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵∠ACO= ∠0DB=90°,
∴∠OBD+∠BOD=90°.
∴∠A0B=90°,
∴∠BOD+∠A0C=90°,
【例18】(2018·郑州一模)直线y＝kx＋b与反比例函数y＝6/x(x＞0)的图象分别交于点A(m，3)和点B(6，n)，与坐标轴分别交于点C和点D.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【例19】直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝k/x（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(-2,0)
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标。
【例20】（2018黄冈市改编）如图，反比例函数y＝ （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）填空：反比例函数的解析式为　 　，直线AC的解析式为　 　，B点的坐标是　 　．
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形．
①在图中用直尺和2B铅笔画出所有符合条件的平行四边形；
②根据所画图形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
【例21】（2018成都）如图，在平面直角坐标系 xoy中，一次函数y=x+b 的图象经过点A(-2,0) ，与反比例函数的图象交于B(a，4) .
求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设 M是直线 AB上一点，过 M作MN//x轴 ，交反比例函数 的图象于点 N，若 A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.
【例22】（2020郑州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(0，4)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB沿y轴向上平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′．当这个函数的图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．
【例23】 如图1，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（0，4），反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，将等边三角形AOB沿y轴正方向平移一定距离得到△A′O′B′，此时B′O′的中点D恰好落在反比例函数y＝的图象上，求等边三角形AOB平移的距离．
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