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北师版九年级上册 一元二次方程期末复习精编
一元二次方程模块精讲
一、 双基目标
1、理解“一元二次方程”的意义；
2、熟练掌握“一元二次方程”的四类计算方法；并能运用其思想解决相关问题.
3、熟练掌握“一元二次方程应用”中的
四类方程模型的解题方法.
二、能力目标
通过此章的系统复习可以加深学生对方程模型的两个核心意义的理解和掌握.
(1)运算工具价值;
(2)理解一元二次方程是探索解决未知世界的问题模型之一；
知识导图

一元二次方程的解法

根的判别式问题

根与系数关系的问题

一元二次方程应用模型
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
知识回顾
（2021毕节）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【分析】由一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得a≠0且 Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
D
典例精讲
（2021甘肃）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　　。
【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
1
典例精讲
1.（2020湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
2．（2020·黔西南州）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义
对各选项进行判断．
【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．
【答案】D
{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac≥0时，方程有实数根．因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0
有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．
又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，
所以m－1≠0．综上所述，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
跟踪练习
（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．
则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
A
典例精讲
跟踪练习
一元二次方程根与系数有以下的关系：
如果一元二次方程 的两个根
是x1，x2，那么
韦达定理
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
(2) 2x2 - 3x + =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
口答
反思：在使用“跟与系数的关系”解题时。（1）先化成一般式；（2）满足△=b2-4ac≥0.
【古典方法一】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程5x2+kx-6=0的两个根
分别是x1、x2，其中x1=2 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
典例精讲
若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
跟踪练习
解：设方程2x2＋5x＋n＝0的两个根
分别是x1、x2，其中x1=-2 。
所以：
即：
由于
得：n=4
答：方程的另一个根是 ，n=4
【古典方法二】设 x1 、 x2是方程2x2+4x-3=0 利用 根与系数的 关系，求下列各式的值：
典例精讲
【古典方法三】已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB ， AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（　　）
A. k=16 B. k=25 C. k=-16或k=-25 D. k=16或k=25
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82-10×8+k=0，解得：k=-16，当BC是底，则AB和AC是腰，则b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，解得：k=-25，综上所述：k=-16或k=-25．故选：C．
【分析】根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可
典例精讲
（2020湖北十堰市）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为
，再结合韦达定理求解即可．
典例精讲
解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
1.（2020铜仁）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m丶n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根，则k的值等于（ ）
A.7 B.7或6 C.6或-7 D.6
2、（2019仙桃）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )
A. 12 B. 10 C. 4 D.-4
跟踪练习
B
A
（2021贵州遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
跟踪练习
【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，
得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．
【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝
（2020湖北鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且 + ＝x1x2﹣4，求实数k的值．
跟踪练习
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
（2020黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+√nx﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
跟踪练习
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m≥0，从而得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣√n，x1 x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
★一除、二移、三配、四化、五解.
“配方法”解方程的基本步骤：
4、利用开平方法求出原方程的两个解.
3、把方程的左边配成一个完全平方式;
2、把常数项移到方程的右边;
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
知识点睛
典例精讲
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
4、写出方程的解x1与x2.
2、求出b2-4ac的值.
3、代入求根公式 : 　　　　　 　　　　　　　　　　　
用公式法解一元二次方程的步骤:
知识点睛
（3）2x2-7x=0
（2）x2+2x+2=0
（1）3x2+5x-1=0
（4）4x +1=-4x
用公式法解方程
示例
（1）3x2+5x-1=0
（1）解：a=3，b=5，c=-1，
b -4ac=5 -4×3×（-1）=37>0
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
∵b -4ac=2 -4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（2）解：a=1，b=2，c=2
（3）2x2-7x=0
（3）解：a=2，b=-7，c=0
b -4ac=（-7） -4×2×0=49>0
Х=
=
Х2=0
Х1=
（4）4x +1=-4x
（4）解：移项，得4x +4x+1=0
a=4，b=4，c=1，b -4ac=4 -4×4×1=0
X=
=-
=-
X1=X2
（2019山西）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
跟踪练习
(2018年黄石市)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，那么该三角形的周长为( )
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
(2018年云南省)一元二次方程5x2-2x=0的解是 。
跟踪练习
【解析】方程可化为（x-5）（x-7）=0， 解得x1=5，x2=7，
当x=3时，三角形周长为3+3+4=10；
当x=7时，3+4=7，不能构成三角形；
综上，该三角形的周长为10．
解出方程，求出方程的两根，选择能构成三角形的解，计算出三角形的周长．
本题考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
考点点评：本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的解法，要注意分类讨论．
一元二次方程的应用
一、面积问题
四、动态几何问题
二、增长率问题
三、营销利润问题
（1）审：是指读懂题目，弄清题意
（2）设：是指设元，也就是设未知数；
（3）列：找出等量关系，列方程；
列方程解应用题的一般步骤:
（4）解：就是解方程，求出未知数的值；
（5）检验：检验求出未知数的值是否满足 实际问题的要求；
（6）答：就是回答所求问题，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．
知识点睛
（2019山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．
反思：列方程时，可考虑将图形平移的方式来解决。
典例精讲
【解答】
(12-x)(8-x)=77
[解析]道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形,矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x),根据矩形的面积公式,列出关于道路宽的方程求解.
[详解]道路的宽为x米.依题意得:
(12-x)(8-x)=77,
故答案为:(12-x)(8-x)=77.
[点睛]本题考查了一元二次方程的应用,关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系.
（徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20cm。在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 200 cm2
一元二次方程应用模型一
典例精讲
如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ， 求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为 ．
（16-2x）（9-x）=112．
【分析】 如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16-2x，9-x；
那么根据题意即可得出方程．
解答 解：设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16-2x，9-x；
根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112，
故答案为：（16-2x）（9-x）=112．
点评 本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
跟踪练习
一元二次方程应用模型一
如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为 510平方米，则道路的宽为 米.
3
跟踪练习
一元二次方程应用模型一
增长（降低）率问题
若变化前的数量为a,变化后的数量为b，
变化次数为n，设平均变化率为x,则
a(1±x)n=b
知识点睛
（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，
根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
一元二次方程应用模型二
典例精讲
（2020湖北鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，
2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72
万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
一元二次方程应用模型二
典例精讲
解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，
2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
（2018年广东省）某种电脑病毒传播专门快，假如一台电脑被感染，通过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？假设病毒得不到有效操纵，3轮感染后，被感染的电脑会可不能超过700台？
跟踪练习
一元二次方程应用模型二
设涨价（降价）x 元，售价_____元； (第一步)
增加销量______件，总销量______件； (第二步)
单件利润______元，总利润=单利×总销量 (第三步)
利润“三步曲”
第一步：涨价(降价)
第二步：销量
第三步：利润
知识点睛
营销利润问题
（2017.山东）某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个。已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少时，
厂家每天可获利润20000元？
总利润=单利×总销量
20000=（售价-360）×
（160+
解：设销售单价为x元，由题意得
(x-360)[160+2(480-x)]=20000
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润2000元
解得：x1=x2=460
一元二次方程应用模型三
典例精讲
某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件。若该商店计划让该商品每天获利1125元，求该商品的售价。
解：设销售单价为x元，由题意得
1125=（x-20）×
x2-70x+1225=0
(x-35)2=0
∴x1=x2=35
答：该商品的售价为35元。
总利润=单利×总销量
一元二次方程应用模型三
典例精讲
（遵义中考）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20元/千
克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系。
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量;
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克
一元二次方程应用模型三
典例精讲
动态几何类问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
化动为静,是解这类问题的关键.
2）常找的数量关系——
面积，勾股定理等；
知识点睛
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由
典例精讲
【古典二】如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
一元二次方程应用模型四
t=5s
t=4.8或1.6s
t=3.2s
典例精讲
如图，在△ABC中，C=90°，AC=16 cm，BC=8cm，
动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为 ts.
求t的值;（1）若△PCQ的面积是△ABC的面积的
（2）△PCQ的面积能否与四边形 ABPQ的面积相等
若能，求出t 的值;若不能，说明理由。
跟踪练习
一元二次方程应用模型四
附录：
图像法解一元二次方程一中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程模块精讲
1．（2021·山东菏泽）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．
【详解】解：(1)当时，为一元二次方程。
∵关于的方程有实数根，
∴，解得，且，
(2)当时，3x+1=0，为一元一次方程，该方程恒有解，故。
综上所述: 则的取值范围是,故选：D．
2.关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m的值是（　　）
A. -3 B. 1 C. 1或-3 D. -4或2
【答案】 A
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入原方程得， m2+2m-3=0，
解得， ， ，
∵m-1≠0，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】根据题意把x=0代入原方程，得出关于m的一元二次方程求解，结合二次项系数m-1≠0，即可解答.
3．（2019新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　D　）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
4.一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：

方程没有实数根．
故答案为：D．
【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况；
5．（2021甘肃）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　。
【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
6．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别式b2－4ac的值，若b2－4ac＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根．在方程x2－2x＝0中，因为a＝1，b＝－2，c＝0，所以b2－4ac＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，所以有两个不相等的实数根，因此本题选D．
7. （2020·攀枝花） 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
{解析}由方程无实数根可知，得，则A符合题意.
8、用配方法解方程x2﹣8x＋3＝0时，原方程应变形为（ ）
A. （x﹣4）2＝13 B. （x﹣4）2＝3 C. （x＋4）2＝13 D. （x＋4）2＝3
【答案】 A
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
则 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出即可作答。
9．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
【答案】A
【解析】由2x2－3x－1＝0，得2x2－3x＝1，∴x2－x＝，x2－x＋()2＝＋()2，∴(x－)2＝．本题中“x”即完全平方式“a2－2ab＋b2”中的“2ab”，确定b值是完成配方的关键．
10．（2020·临沂）一元二次方程的解是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】B
【解析】考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用公式比较简洁：，所以，，选项B正确．
11.设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 .
【答案】 -2021
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
，
，
故答案为：-2021.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b和ab的值 ，然后将原式变形，最后代值计算即可.
12．（2020·遵义）已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则＋的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D -
【考点】本题考查一元二次方程根与系数的关系．∵x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，∴＋＝（x1＋x2）2－2 x1·x2＝9＋4＝13． 故选D.
13．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A -
【考点】根据一元二次方程根与系数的关系“”求解．
设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7．
14．(2020自贡)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴，∴a．
因此本题选A．
14．（2020·南京）关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【解析】化简方程，得：x2＋x－2－p2＝0，根据的判别式△＝12－4×1×(－2－p2)＝1＋8＋4p2＝9＋4p2＞0，故该方程有两个不相等实数根.
15．（2021广西玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用判别式的意义求出m的范围是解决问题的关键．
16.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18
【答案】 B
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得32﹣12×3+k=0，
解得k=27．
将k=27代入原方程，
得x2﹣12x+27=0，
解得x=3或9．
3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；
②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，
此时144﹣4k=0，
解得k=36．
将k=36代入原方程，
得x2﹣12x+36=0，
解得x=6．
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为36．
故选：B．
【分析】由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
17．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
【答案】C
【解析】 结合一元二次方程的解及判别式，根据边长3是底边长还是腰长分类讨论求解，注意所得解需符合三角形的三边关系．①当3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程的两相等实根，则△＝(－4)2－4k＝0，解得k＝4，此时，两腰的和=x1+x2=4＞3，满足三角形三边的关系，∴k＝4；②当3为等腰三角形的腰长时，则x＝3为一元二次方程的一个解，把x＝3代入方程，得9－12＋k＝0，解得k＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x1=1，x2=3，因为1+3＞3，符合三角形的三边关系，所以k＝3．综上可知，k的值为3或4．
18.已知关于x的一元二次方程的两个实数根为 ， ， 且 ， 则k的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 B
【考点】完全平方公式及运用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： .
故答案为：B.
19．（2020·湖北荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例.若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（ ）
A. 有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得，∴，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选C．
20.制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，设平均每次降低成本的百分率为x ， 根据题意列方程得（ ）
A. 300（1﹣2x）＝192 B. 300（1﹣x）2＝192
C. 300（1＋2x）＝192 D. 300（1＋x）2＝192
【答案】 A
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为 ，由题意可列出：
，
故答案为：A．
【分析】根据 连续两次降低成本，现在的成本是192元， 列方程即可。
21.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】 D
【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得： ．
故答案为：D．
【分析】总营业额=4月营业额+5月营业额+6月营业额，列出相应关系式，
22．（2019山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．
【解答】
(12-x)(8-x)=77
[解析]道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形,矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x),根据矩形的面积公式,列出关于道路宽的方程求解.
[详解]道路的宽为x米.依题意得:
(12-x)(8-x)=77,
故答案为:(12-x)(8-x)=77.
[点睛]本题考查了一元二次方程的应用,关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系.
23.某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 ， 那么小道进出口的宽应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等）
【答案】 解：设小道进出口的宽为x米，
根据题意可得
整理得
即
解得或
因为34＞30（不合题意，舍去），所有
答：小道进出口的宽度为1米.
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设小道进出口的宽为x米，根据题意可得(30-2x)(20-x)=532，求解即可.
24.有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2 ， 设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（　　）
A. 4x2=3600 B. 100×50﹣4x2=3600
C. （100﹣x）（50﹣x）=3600 D. （100﹣2x）（50﹣2x）=3600
【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设切去的小正方形的边长为x．
根据题意得（100﹣2x）（50﹣2x）=3600．
故选D．
【分析】易得底面积的长=原来的长﹣2×切去的正方形的边长，宽=原来的宽﹣2×切去的正方形的边长，根据长×宽=3600列方程即可．
25.如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ， 求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为________．
【答案】（16-2x）（9-x）=112
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16-2x，9-x，
根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112，
故答案为：（16-2x）（9-x）=112
【分析】利用平移法，设小路的宽度为xm，就可表示出草坪的总长度和总宽度，再根据矩形的面积公式可得出方程。
26.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2 ．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
【答案】 （1）解：根据题意可知，横彩条的宽度为 xcm，
∴y=20× x+2×12 x﹣2× x x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）解：根据题意，得：﹣3x2+54x= ×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x1=2，x2=16（舍），
∴ x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】本题主要考查根据实际问题列函数关系式及一元二次方程的实际应用能力，数形结合根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”列出函数关系式是解题的关键．（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为 xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的 ，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
27．（2020·西藏）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【答案】30m，20m
【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．
28.某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】 解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
解得：x＝5或x＝10，
要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；
答：每千克应涨价5元．
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．
29.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现， 如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元；
（2）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．
【答案】 （1）解：由题意可得，
每件童装降价x元，则每件盈利 元，每天销售 件，
∴ ，
整理得： ，
∴ 或 ，
∵为了增加利润，减少库存，
∴ ；
答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元；
（2）解：该专卖店每天盈利不能等于1300元，理由如下：
依题意得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴该方程无解；
即该专卖店每天盈利不能等于1300元．
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用“每天销售这种童装的利润=单件利润×每天的销售量”，列出关于x的一元二次方程，结合为了增加利润，减少库存，即可得解；
(2)根据利润为1300元得到一元二次方程，由一元二次方程根的判别式判断即可.
30．（2021·山东菏泽市）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【答案】27元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
【详解】解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得， 或，
要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克27元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
31．（2020·辽宁丹东市）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件） 60 65 70
销售量（件） 1400 1300 1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
， 解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，∴，故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
32.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】（1）解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2 ， 依题意有：（6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1 ， x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2
（2）解：不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：
S△ABC = ×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分
【考点】几何图形的动态问题，一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2 ， 可得出AP=x，BQ=2x，则PB=6-x，再根据s△PBQ=PB BQ=8，建立方程求解。
（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，先求出△ABC的面积，就可建立关于y的方程，再解方程，可得出此方程无解，可得出结论。
33．（2020荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为　1　．
【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
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一元二次方程模块精讲
1．（2021·山东菏泽）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
2.关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m的值是（　　）
A. -3 B. 1 C. 1或-3 D. -4或2
3．（2019新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
4.一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5．（2021甘肃）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　。
6．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
7. （2020·攀枝花） 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
8、用配方法解方程x2﹣8x＋3＝0时，原方程应变形为（ ）
A. （x﹣4）2＝13 B. （x﹣4）2＝3 C. （x＋4）2＝13 D. （x＋4）2＝3
9．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
10．（2020·临沂）一元二次方程的解是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
11.设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 .
12．（2020·遵义）已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则＋的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
13．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
14．(2020自贡)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
14．（2020·南京）关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
15．（2021广西玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
16.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18
17．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
18.已知关于x的一元二次方程的两个实数根为 ， ， 且 ， 则k的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
19．（2020·湖北荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例.若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（ ）
A. 有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D.没有实数根
20.制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，设平均每次降低成本的百分率为x ， 根据题意列方程得（ ）
A. 300（1﹣2x）＝192 B. 300（1﹣x）2＝192
C. 300（1＋2x）＝192 D. 300（1＋x）2＝192
21.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
22．（2019山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．
23.某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 ， 那么小道进出口的宽应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等）
24.有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2 ， 设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（　　）
A. 4x2=3600 B. 100×50﹣4x2=3600
C. （100﹣x）（50﹣x）=3600 D. （100﹣2x）（50﹣2x）=3600
25.如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ， 求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为________．
26.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2 ．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度．
27．（2020·西藏）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
28.某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？
29.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现， 如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元；
（2）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．
30．（2021·山东菏泽市）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
31．（2020·辽宁丹东市）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件） 60 65 70
销售量（件） 1400 1300 1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
32.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
33．（2020荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为　 　．
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一元二次方程模块精讲
一、 双基目标
1、理解“一元二次方程”的意义；
2、熟练掌握“一元二次方程”的四类计算方法；并能运用其思想解决相关问题.
3、熟练掌握“一元二次方程应用”中的四类方程模型的解题方法.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
根的判别式问题
【例1】（2021毕节）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【例2】（2021甘肃）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　　。
【变式训练1】（2020湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
【变式训练2】（2020·黔西南州）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【例3】（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．
则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【例4】定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
根与系数关系问题
【例1】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
【变式训练】若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
【例2】设 x1 、 x2是方程2x2+4x-3=0利用 根与系数的关系，求下列各式的值：
【例3】已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB ， AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（　　）
A. k=16 B. k=25 C. k=-16或k=-25 D. k=16或k=25
【例4】（2020湖北十堰市）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【变式训练1】已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m丶n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根，则k的值等于（ ）
A.7 B.7或6 C.6或-7 D.6
【变式训练2】（2019仙桃）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )
A. 12 B. 10 C. 4 D.-4
【变式训练3】（2021贵州遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【例5】已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【例6】（2020黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+√nx﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
一元二次方程解法问题
【例1】．用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝
C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
【例2】用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0 （2）x2+2x+2=0
（3）2x2-7x=0 （4）4x +1=-4x
【例3】（2019山西）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【变式训练1】(2018年黄石市)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，那么该三角形的周长为( )
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【变式训练2】(2018年云南省)一元二次方程5x2-2x=0的解是 。
一元二次方程应用模型
【例1】（2019山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．
【例2】（徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20cm。在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 200 cm2
【变式训练1】如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为 ．
【变式训练2】如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为 510平方米，则道路的宽为 米.
【例3】（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【例4】（2020湖北鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【变式训练】（2018年广东省）某种电脑病毒传播专门快，假如一台电脑被感染，通过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？假设病毒得不到有效操纵，3轮感染后，被感染的电脑会可不能超过700台？
【例5】（2017.山东）某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个。已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少时，厂家每天可获利润20000元？
【例6】某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件。若该商店计划让该商品每天获利1125元，求该商品的售价。
【例7】（遵义中考）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20元/千
克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系。
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量;
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克
动态几何类问题
【例1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由
【例2】 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【例3】如图，在△ABC中，C=90°，AC=16 cm，BC=8cm，
动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为 ts.
求t的值;（1）若△PCQ的面积是△ABC的面积的1/4
（2）△PCQ的面积能否与四边形 ABPQ的面积相等
若能，求出t 的值;若不能，说明理由。
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一元二次方程模块精讲
一、 双基目标
1、理解“一元二次方程”的意义；
2、熟练掌握“一元二次方程”的四类计算方法；并能运用其思想解决相关问题.
3、熟练掌握“一元二次方程应用”中的四类方程模型的解题方法.
二、能力目标
通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
根的判别式问题
【例1】（2021毕节）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
【分析】由一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得a≠0且 Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
【例2】（2021甘肃）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　　。
【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键
【变式训练1】（2020湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义
对各选项进行判断．
【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．
【变式训练2】（2020·黔西南州）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【解析】本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac≥0时，方程有实数根．因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0
有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．
又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，
所以m－1≠0．综上所述，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【例3】（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．
则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
【例4】定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
根与系数关系问题
【例1】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
【解析】把x=2代入得20+2k-6=0
所以k=-7
所以5x2-7x-6=0
利用韦达定理
x1x2=-6/5
所以x2=-3/5
【变式训练】若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
解：设方程2x2＋5x＋n＝0的两个根
分别是x1、x2，其中x1=-2 。
所以：
即：
由于
得：n=4
答：方程的另一个根是，n=4
【例2】设 x1 、 x2是方程2x2+4x-3=0利用 根与系数的关系，求下列各式的值：
；
【例3】已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB ， AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（　　）
A. k=16 B. k=25 C. k=-16或k=-25 D. k=16或k=25
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82-10×8+k=0，解得：k=-16，当BC是底，则AB和AC是腰，则b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，解得：k=-25，综上所述：k=-16或k=-25．故选：C．
【分析】根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可
【例4】（2020湖北十堰市）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式对等式变形为
，再结合韦达定理求解即可．
解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
【变式训练1】已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m丶n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根，则k的值等于（ ）
A.7 B.7或6 C.6或-7 D.6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【变式训练2】（2019仙桃）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )
A. 12 B. 10 C. 4 D.-4
【答案】A
【解析】
解：∵方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，
∴α+β=2，αβ=-4，
∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=4+8=12；
故选：A．
根据根与系数的关系可得α+β=2，αβ=-4，再利用完全平方公式变形α2+β2=（α+β）2-2αβ，代入即可求解；
本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【变式训练3】（2021贵州遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，
得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．
【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝
【例5】已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
【例6】（2020黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+√nx﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m≥0，从而得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，
∴△＝[]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣2，
∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1 x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，
解得：m＝9．
一元二次方程解法问题
【例1】．用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝
C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
{答案}A
{解析}由2x2－3x－1＝0，得2x2－3x＝1，∴x2－x＝，x2－x＋()2＝＋()2，∴(x－)2＝．本题中“x”即完全平方式“a2－2ab＋b2”中的“2ab”，确定b值是完成配方的关键．
【例2】用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0 （2）x2+2x+2=0
（3）2x2-7x=0 （4）4x +1=-4x
（1）解：a=3，b=5，c=-1， （2）解：a=1，b=2，c=2
b -4ac=5 -4×3×（-1）=37>0 ∵b -4ac=2 -4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（3）解：a=2，b=-7，c=0
b -4ac=（-7） -4×2×0=49>0
【例3】（2019山西）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
【变式训练1】(2018年黄石市)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，那么该三角形的周长为( )
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【解析】方程可化为（x-5）（x-7）=0， 解得x1=5，x2=7，
当x=3时，三角形周长为3+3+4=10；
当x=7时，3+4=7，不能构成三角形；
综上，该三角形的周长为10．
解出方程，求出方程的两根，选择能构成三角形的解，计算出三角形的周长．
本题考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
考点点评：本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的解法，要注意分类讨论
【变式训练2】(2018年云南省)一元二次方程5x2-2x=0的解是 。
一元二次方程应用模型
【例1】（2019山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．
【解答】
(12-x)(8-x)=77
[解析]道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形,矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x),根据矩形的面积公式,列出关于道路宽的方程求解.
[详解]道路的宽为x米.依题意得:
(12-x)(8-x)=77,
故答案为:(12-x)(8-x)=77.
[点睛]本题考查了一元二次方程的应用,关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系.
【例2】（徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20cm。在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 200 cm2
【变式训练1】如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2 ，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为 ．
【分析】 如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16-2x，9-x；
那么根据题意即可得出方程．
解答 解：设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16-2x，9-x；
根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112，
故答案为：（16-2x）（9-x）=112．
点评 本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
【变式训练2】如图，在长为33米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为 510平方米，则道路的宽为 米.
C【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+33x﹣x2=20×33﹣510，解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍．
【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得20x+33x﹣x2=20×33﹣510
整理得x2﹣53x+150=0
解得x=50（舍去）或x=3
所以道路宽为3米．
故选C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的实际运用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
【例3】（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．500（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
【例4】（2020湖北鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
【变式训练】（2018年广东省）某种电脑病毒传播专门快，假如一台电脑被感染，通过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？假设病毒得不到有效操纵，3轮感染后，被感染的电脑会可不能超过700台？
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，依题意得：
1+，
，
或，
或（舍去），
．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
解析:略
【例5】（2017.山东）某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个。已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少时，厂家每天可获利润20000元？
设销售单价为x元，
由题意，得：（x-360）[160+2（480-x）]=20000，
整理，得：x2-920x+211600=0，
解得：x1=x2=460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000．
【例6】某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件。若该商店计划让该商品每天获利1125元，求该商品的售价。
【解答】
[分析]设商品售价为每件(30+x)元,则每天销售(100﹣5x)件,根据总利润=单件利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,将其代入30+x中即可求出该商品的售价.
[解答]解:设商品售价为每件(30+x)元,则每天销售(100﹣5x)件,
根据题意得:(30+x﹣20)×(100﹣5x)=1125,
整理得:x2﹣10x+25=0,
解得:x1=x2=5,
∴x+30=35.
答:该商品的售价为35元.
[点评]本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
【例7】（遵义中考）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20元/千
克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系。
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量;
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克
【解答】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
当x＝23.6时，y＝﹣2x+80＝32.8．
答：当天该水果的销售量为32.8千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
动态几何类问题
【例1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由
【例2】 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
（1）依题意得
AP=3t，CQ=2t，DQ=DC-CQ=16-2t，
∴16-2t=3t ∴t=3.2s
(2)依题意得 AP=3t，BP=AB-AP=16-3t，
CQ=2t，DQ=DC-CQ=16-2t，
故S梯形PBCQ﹦﹙CQ+PB﹚ BC．
又∵S梯形PBCQ﹦33，
∴﹙2t+16-3t﹚×6=33，
解得t=5．
答：P、Q两点出发后5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点P做PE⊥CD交CD于E．
QE=DQ-AP=16-5t，
在Rt△PQE中，
PH2+QE2=PQ2，
可得：（16-5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
【例3】如图，在△ABC中，C=90°，AC=16 cm，BC=8cm，
动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为 ts.
求t的值;（1）若△PCQ的面积是△ABC的面积的1/4
（2）△PCQ的面积能否与四边形 ABPQ的面积相等
若能，求出t 的值;若不能，说明理由。
【解答】
解：
(1)根据题意可得CP=2t，AQ=4t.
∵AC=16cm，AQ=4tcm，
∴CQ=(16-4t)cm，
∴S△PCQ=12×(16-4t)·2t.
∵AC=16cm，BC=8cm，
∴S△ABC=12×16×8=64，
∴12×(16-4t)·2t=14×64，
∴t=2，
∴2s后，△PCQ的面积是△ABC面积的1/4.
(2)△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等.理由如下：当△PCQ的面积与四边形ABPQ的面积相等时，
则S△PCQ=12S△ABC，即12×2t(16-4t)=12×64，
化简得t2-4t+8=0，
∵△=-16＜0，此方程无实数解，
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等.
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