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高考试题—优质的教学资源
高考试题是命题组（一般由10多位高中名师和大学老师、命题专家组成）集体智慧的结晶，是经过高考检验的优秀的数学教学题材．
2008年重庆理科数学试卷第21题是一道漂亮的试题，笔者曾经把它与“问题探究教学法”进行结合，设计了一堂“高考试题分析课”，现在把它整理出来供同行参考．
课前准备：提前一天把08年重庆高考数学试卷（理）22题印发给学生，要求学生课前想一想、做一做。
题：设各项均为正数的数列满足，，.
（Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需证明）；
（Ⅱ）记，若对n≥2恒成立，求的值及数列的通项公式.
一．新课导入——“对数化”的概念
问题1：同学们还能准确回答“指数式子”和“对数式子”概念吗？他们是什么关系？除了一般的应用外谁还能说说有什么特别的应用？
指导性答案：我们知道指数式与对数式是可以互化的，它们对的三个数来说是同一关系的．
是对数中一个重要的公式，它具有能把“积”的形式转变为“和”的形式这样的功能，因此，解题时除了一般计算应用外，还要重视它是数学“转变”的重要工具。
问题2：大家想一想，在数列中经常有这样一个“转变”，你能说出来吗？
指导性答案：在数列这一章中，我们也学习过一个重要的结论：若正数等比数列，令，则数列就是等差数列。因为，“等差数列”总感觉到要比“等比数列”来得简单一点，所以，化“等比数列”为“等差数列”是我们常用的思想，是简化运算的一个好办法．
问题3：结合大家已经做过重庆理科第22题，猜一猜，我们这一节课的主题应该是什么？
指导性答案：引入课题，我们把上述的方法称为对“积（幂）的形式”进行“对数化”处理方法，即：对于个正数，要计算的积结果，有的时候很麻烦也很难，此时，我们就可以考虑把它两边取对数，变成了，这样就把一个积的计算转化为和的运算，可能会使运算更简单一点．
二．切题
问题4：第一问“若，求，并猜想的值（不需证明）么？”意味着我们平常在数列等问题所做的什么方法？
指导性答案：“归纳、猜想、证明”的方法。这一小题应该是基础的、送分的题。
多媒体展示或板书演示：(Ⅰ) 递推式子可化为，因此，，；注意到前四项的指数规律，故猜想此时数列的通项为；
从而有．
问题5：大家应该明白，第（Ⅱ）问与第（I）问是分离的，千万不要把第（I）问的结论拿到第（Ⅱ）问用；这样，对于递推条件“”，只给了一个条件“”，这个数列还是不能确定的，最好还应该知道的大小，你们看这个的大小应该从哪里去求得？
指导性答案：应该从条件“记，若对n≥2恒成立”去求得。而且，题意也明确要求的大小，一旦求得，从理论上来说就可以求得，那么，自然可以求得了。
问题6：大家对解决第（Ⅱ）小题都是有困难吗？你再看看、再体味体味条件“记，若对n≥2恒成立”中关键字是什么？最困难的是什么？
指导性答案：关键字是“对n≥2恒成立”中“恒成立”，即永远成立，这个可要理解到位。
最困难是由于，是关于，的积的形式，这样，很难把与条件“对n≥2恒成立”联系起来。
问题7：想想我们应该怎么办？
指导性答案：这里就步入我们这一节课的主题了。考虑到把进行对数化处理，令,记表示的前项的和，则，条件“对n≥2恒成立”转化为“对n≥2恒成立”； 条件“”也转化为“，”．
问题8：我们为什么取以2为底的对数？现在的条件也明朗了吗？后面怎么办？
指导性答案：由于不等式“”中右边的幂是以2为底。
此时，如果把即看成已知的一个数，那么条件就很明朗了。
多媒体展示或板书演示：递推式化为，为二阶线性递推，特征方程为，特征根为，从而容易得到两个递推式，即和；这两个递推式反应了数列和分别以，为公比的等比数列，则可以得到两个结果及；联合两式得，则求和得和式，又恒成立，化简得对一切对n≥2恒成立．
问题9：后面就是如何突破这个“恒成立”的条件了，也是涉及到不等式等综合知识了，我们一起来想想办法。
指导性答案：的系数是“”，根据处理“恒成立”类型习惯思路，是要两边同除于系数“”，然后求右边的最大值或最小值。
多媒体展示或板书演示：观察的系数，可以发现：当时，；当时，。
从而，取时，得恒成立，因为，所以右式小于等于（时取等号），从而得出。
取时，， ，由于右式是大于，且当时，极限为，从而得出．
纵上所述，，，
问题10：总算解决完整了！你有什么体会？
指导性答案：作为压轴题，总是有一定的难度的，涉及到方方面面知识，也不是一般的同学能达到的，需要坚实的数学基础和高强的数学能力。对“积（幂）的形式”进行“对数化”处理方法在平时虽有应用，却不深刻，想不到高考中还是大有用武之地。
三．总结与巩固
问题11：请大家举一个例子：解题时含有对“积（幂）的形式”进行“对数化”处理方法。
指导性答案：在递推条件下求数列通项公式的方法中有一种方法就是“对数变换法”。
例：已知数列各项都是正数，且满足：，（）求数列 的通项公式
解：由，（）得，，把看成项，则数列就是“”型数列，所以有，因此，有，即．
评注：对于递推公式形如（其中且）或（其中且）的数列通项公式的求法，通常可以考虑将其两边取对数式，得到或，则数列符合“”型数列形式，从而求解．
问题12：为了巩固今天学习的效果，老师提供了下面一道高考试题，请大家在课外用今天所学习的方法来解决第1、2两个问题．
（2012年浙江理第22题14分）已知，函数．
（Ⅰ）证明：当时，
（i）函数的最大值为；
（ii）；
（Ⅱ）若对x∈恒成立，求的取值范围．
答案：．结束本课程．
根据笔者的经验，在高三各轮的教学复习中，经常性地对高考试题从各个角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考试题的命题风格、命题热点、命题形式，有利于考生适应高考情景，提高高考复习的针对性．

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