资源简介

让高考试题在问题探究中尽放光芒
摘要：本文以2010年浙江高考理22题为材料，整理出７个问题，每一个问题都给予一个建议性的意见，结合问题探究教学法，设计为一节高考试题分析课的教案．
关键字：试题，问题，探究，意见，建议．
高考试题是命题组（一般由10多位高中名师和大学老师、命题专家组成）集体智慧的结晶，是经过了高考检验的、优秀的数学教学题材．根据笔者的经验，在高三各轮的教学复习中，经常性地对高考试题从各个角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考试题的命题风格、命题热点、命题形式，有利于考生适应高考情景，提高高考知识复习的针对性．
2010年浙江理科数学试卷第21题(本题14分)是一道漂亮的试题，笔者把它与“问题探究教学法”进行结合，首先在自己的课堂里上了一节试题分析实验课，根据课的过程与课后的反思，现在设计为一堂“高考试题分析课”，供参考．
一 试题及课前准备
题:已知是给定的实常数．设函数，，是的一个极大值点．（I）求的取值范围；（II）设，，是的三个极值点，问是否存在实数，可找到，使得，，，的某种排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差数列？若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
课前准备：在课前早一天或两天把该试题作为作业布置给学生探索、钻研（要求学生不能查阅有关答案），并在适当时间后上交批改，对学生的作业情况进行归纳、分析、归类，以便设计提出下面的问题．有条件的要准备好多媒体课件，没有条件的把要求多媒体展示部分的印刷出来给学生，人手一份．
二 问题的设计与解决思路的探究
问题1：做题的第一关是审题．同学们能谈谈你在拿到这个试题入手做时的感觉是什么？
参考答案： 主要的感觉有（１）拿到手的时候，一读试题，与以前的高考压轴题不一样，题意叙述简短，意思清清楚楚．（２）试题不同于一般的高考压轴题，一般的高考压轴题是入手容易，走出难；而这里让人迎面碰到的就是一个辣手的问题：如何破解条件“是的一个极大值点”？（３）一般的压轴试题的第1小题是比较简单、直接的问题，这里的好象也一样，可是着手做时发现求函数的导数却是一个难题．
问题2：同学们是如何求函数的导数呢？
参考答案：据参加高考的数学成绩不错的学生回忆：今年浙江高考数学试题选择、填空部分总体难度比较高，这个试题是最后一道题，这样剩下可解答的时间就不多，本以为很容易拿下这个导数关节点，在花了比较多时间后才得出一个导数结论，也不知道这个导数结论正确不正确．其实，不同的考生，在求函数的导数时方法是不同的，是最能体现一个考生数学功底的，由于求导数路程比较长、运算量大，当方法选择不当时，导出的结论容易是错误的．
最简单的办法：令，先对求导，这里求导最好要用积函数的求导方法，即
．后对求导数，这样，容易提取因式，化简得这样一个明朗的结论．
求导误区：把展开为，求的导数得，这样对求导就会变成这样的结果，这个结论即繁又不能及时发现，十分不理想，会使后面解题不顺畅或解题受阻．
由此，同学们应该有所感触，那就是高考的压轴试题解答一定会有点不平常，需要扎实的数学基础和高强的数学能力．
问题3：同学们是如何利用条件“是的一个极大值点”来确定题中第１问中的取值范围？
参考答案：部分同学就会以为条件“是的一个极大值点”等价于“”，把代入式子进去，自然会得到，这个参数跑到什么地方也不知道了．
其实，能解答到这里的大多同学都明白条件“是的一个极大值点”等价于“，且在的附近当时有、当时有”．
由，自然会发现；令，而当时有、当时有，又由是一元二次、连续的函数，这样只要就能保证结论“在的附近当时有、当时有”；由得出．
问题4：参加高考的考生反应第２小题的条件表达实在抽象，难以理解或突破，同学们看看能怎样的突破？
参考答案：当然这里的解答必须建立在第１小题通畅解答的基础上，否则也真的难以想象怎么样才会顺利解决．
这里表达中的三个极值点，即，，是的三个极值点，应该是基础的、稳定的；如果这三个点都象“浮萍”一样，那加上，要使得，，，的某种排列依次成等差数列的排列就有种，后要对这２４种逐一考虑显然是不现实的，高考肯定不是这样考的．
既然想到上一点，就要认真观察三个极值点，，的大小顺序关系．三个极值点，，就是三个根，进一步可以发现，一个根就是，另两个根就是的两个根．
这个试题最大的特点就是题意条件简单、明了，同学们还要明白一点，一般来说，压轴试题的前面小题是为后面题服务的；那么就要联系第１小题的解答过程“”或“”条件下，可得是在另两个根之间．由大小根的关系，不妨记，，，有．
问题5：有了上面的分析，你能全部解答问题了吗？
参考答案：若，使得，，，的某种排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差数列，与，，的顺序关系自然剩下下面的三个关系了．
（i）当或时，这样就有，即，此时，，或；
（ii）当时，这样就有，即，代入化简得，解得，；
（iii）当时，这样就有，即，代入化简得，解得，．
问题6：其实“，解得”这一步说得轻巧，做起来很坎坷的！你们有这样的体会吗？
参考答案：这里是一个无理方程的解题过程，对无理方程，高考要求应该是很低的，但这里不是这样的，还是很高的要求的！
对于，可以把看成一个整体，也可以把看承一个整体．如设，则方程就是，两边平方得．现在面临着对的取舍问题，是一个难点．
如何对的值进行取舍呢？只能从式子去看了，由得，这样就是取，得，即．
问题7：你们做了这样的一个高考试题有什么心得呢?
参考答案：我们知道，高考试题作为选拔性的考试，整份卷试题的85﹪问题的解决方法应该是“两纲”所要求的主要思想与方法，一定要走“阳光大道”，不选“阴间小道”．试题背景设计力求公平，贴近学生的实际，在大家都熟悉的情景中考查能力，问题设计力求入口宽，方法多样，使学生在公平背景下展示真实的水平．如这里，让更一般的学生一看就会知道是使用求导数方法来处理第（I）小题．
而对于压轴试题就不这样的．压轴题并不是孤立的，它存在一个大题之中，一般是放在整份试卷最后的一道，或最后的第二道；压轴试题一般分成两道或三道小题，前面的应该还是基础的，一般的学生都应该得分的，而后面的小题才是高难度．压轴题所考查的知识选择一般是在重点数学知识里选择，这样就需要一个综合题作为基础来支撑它．
高考试题作为选拔性的考试，最后压轴题的目的是让数学能力冒尖的学生在这里能有充分的发挥，以便拉开数学冒尖学生与一般学生的分数，提的问题或解决的方法应该是冒尖学生能力承受范围内，问题解决所用的思路或方法应该是这样冒尖学生能想到的．如这里，求导数的方法就与平时不一样，要走独特的、技巧的路子．
作为压轴题，问题设计力求入口宽，方法多样，使数学冒尖学生在公平背景下展示真实的水平，因此，压轴题命题时各个方面要源于课本而又高于课本．对于一元二次方程的两个根，一般的（绝大部分的）处理方法是用两根的韦达定理来解决，但这里就要求“韦达定理”与“求根公式”灵活运用，要根据情况适当取舍，单一只考虑“韦达定理”，就会使解题走入“死胡同”．
作为压轴题，与常规性的解答题应该不一样，总有一定的难度，这个难度就是在解题的具体环节的方法上体现，要有很大的灵活性，思维的跳跃性也要大．如这里，不但要会使用“求根公式”，还会能及时判断这两个根是有确定的大小关系的，有了这样的判断，后面的工作就大大简化了．
作为压轴题，由于它的责任要求，解题过程必然是漫长的、曲节的；特别是当解决过程中数学知识难度、技巧等降低时，必然要延长解决问题过程；我们这个试题就是有这样的特点．该试题是２０１０年浙江卷理科最后一题，编得很巧妙，既联系了平时训练的基础知识，又有很大的逻辑推理空间，浅入深出，下笔容易完成难，不象以前的或别的省份的压轴题，难得离谱、脱离教学实际和一点不给考生留下解决问题的线索，是具有较好试题功效的压轴试题．
作业：利用今天所学的高考试题的分析方法来分析09年浙江理科22题的多种解法，写一篇小论文．
结束本课程．

展开更多......

收起↑