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关于函数部分有效复习几点思考
浙江省天台中学 褚人统 Email:churentong@163.com 邮编：317200
本稿比较长，主要分三大部分，分别为近四年浙江省高考数学压轴试题解析、复习建议、三个附件，以对综合试题复习方法的讨论为主兼带一般函数试题的复习方法讨论，供同行们参考使用．
第一部分　五道数学压轴试题解析
由于浙江省高考试题命题组成员大部分有一定的连续性，从个体来看，每一个成员的对数学的认识、熟练的知识范围、擅长的能力爱好范畴总是一定的（有限止的），因此对近年的高考综合试题特征的研究有一定的必要，有助于对高考复习重点的把握．
高考命题强调以能力立意，以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，加强对知识的综合性和应用性的考查，在知识网络的交汇处设计试题．而中学数学内容可以整合为数与形的两条线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识；可以把方程视为函数值为零，不等式可以看成两个函数值的大小比较，数列、三角函数则是特殊的一类函数．所以高考试题中涉及函数的考题面大量广，一旦被编制为解答题就是中高档试题了．综观近三年浙江省有关函数综合题的考查，重在考查对函数知识理解的准确性、深刻性，重在考查与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．
以下的解答力图从学生的实际思维、知识、方法思想等情况出发，来求得压轴题的应试策略与方法；提供这些具体、详细的解法，是考虑了有些老师比较忙，没有深入钻研，或只参考了命题组提供的答案。
例１．（2009年浙江理２２）已知函数，，其中．
（I） 设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（具体解法看附件三中例3.）
例２．（2010理22题14分）已知是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
（具体看附件四）
例３．（2011年理22题14分）设函数
（I）若的极值点，求实数；
（II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数．
（I）解：求导得
因为的极值点，所以
解得经检验，符合题意，所以
（II）这里用参数与变量分离方法来解决，不用命题者的思路．
对于函数，若对任意的，恒有即成立．若要进行参变分离，则需要在两边同时除于，而，于是还需要分类讨论．
当时，结论显然成立，得；
当时，，上面的问题等价于，即．令、；则问题就等价于
．
容易知道在上单调递增，故；
而在单调递增，且，故在上递减，在上单调递增，故；
于是，综上就有a的取值范围是
注：我一拿到该题，第一反应是这样的思路，也应该是考生的第一思路；它的方法应该属于“参数与变量分离”的方法，而这里的分离不算容易，应该算难于分离了，出现了、这样的函数，一般学生是有点担心做不出了。而参考答案却是很抽象的，我反对把抽象的方法教给学生，把抽象的方法教给学生只有害处。
例４．（今年样卷压轴题）设函数在内有极值．
（I）求实数的取值范围；（II）若，，求证：．
注：是自然对数的底数．
（具体看附件三的例1）
例5．（2012年理科第22题14分）已知，函数．
（Ⅰ）证明：当时，
（i）函数的最大值为；
（ii）；
（Ⅱ）若对x∈恒成立，求的取值范围．
分析：（Ⅰ）由于，结合两个问题都在变量x∈情形下进行的，对于分四种情形下把两个问题进行一次性解决．
当时
此时，恒有， 在上递增；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）．
当时，，
此时，， 在上递减，在上递增；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）．
当时，，
此时，， 在上递减，在上递增；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）
，令，则上式就是，则，所以在区间递增，即．
当时，即时，因为
所以恒有， 在上递减；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）．
综上，所要证明的结论恒成立．
（Ⅱ）由（i）知，当，，所以；又由（ii）知恒有．
所以，对于恒成立的充要条件是，即或，由图形用线性规划方法可以求得．
点评：（1）本试题考查的知识点有绝对值、导数、函数的单调性、最值、线性规划等；考查的数学技能比较多，主要有分类讨论、分析比较、转换化归等，是下手容易走出难的特点；其实，近4年来浙江的最后压轴题都不是很难的，就是繁，做起来要走的路很长，有时间的情况下一般考一类的考生还是能得大多的分数的；那为什么得分率很低呢？主要是三大原因：考试答题到这里已经没有时间了，文字表达有一定的问题（考生理解有困难，如今年的江西理21题，一般人看后都要吓晕了），心理害怕因素（考前就已经对最后一道试题如何做进行了定位）；
（2）第II题是不等式恒成立问题，考查的还是平时用的主要方法——最值方法，但得出结论“对于恒成立的充要条件”是需要强实的数学工夫，非一般同学能看出来的；
（3）导数的第2次应用（深层应用）是2011、2012年的函数试题的主要特征。
今年的浙江文科试题也很相似．
（文第21题15分）已知a∈R，函数．
（I）求f(x)的单调区间
（II）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0.
答案：（I）f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为；（II）略．
第二部分 复习建议
由解决上述试题的体验，发现浙江卷函数综合试题不象别的省份，还是有类可寻的．部分教师希望在指导学生夺取最后综合试题得高分有灵丹妙药，甚至猜题是不可能的，我们寻求的还是做好扎实的基本功出发，教师主要按步骤做以下的内容．
教师要做一做近年来的高考试题
前面已经说了，高考试题命题人员大部分有一定的连续性，他们的命题特点与风格、对于考纲的理解与把握、知识重点栏目与能力的要求程度的看法等都能在历年试题中体现出来，这些试题对于我们近一阶段的复习有导向作用，以期达到高效复习的目的．做试题还可以提高自己的解题能力、命题水平以及对试卷的评价能力，这是不可忽略的作用，笔者向你介绍的第一部分内容目的也在于此．
另外，教师对考纲的学习是十分的重要的，可以了解自己在各轮复习时究竟应该怎么去做，有没有达到预期的效果；对考纲提供的样卷研究也是十分必要的，样卷有时候可以预示命题的内容，复习做到有的方矢．
要明确第一轮复习的目标
第一轮复习主要的目标是知识目标、解题方法目标和能力目标。关于知识目标，一般要遵循考纲的要求，完成考纲规定的知识；对于重点中学，可以适当扩展一点。笔者这里重点考虑第一轮复习的要达到的方法与能力的目标。具体来说是下面的15点。
1．求函数解析式，计算函数值
此题型主要考查学生运算能力，通常是给出解析式和自变量，求函数值，学生只需代入并计算即可，若函数为抽象函数(即没有给出具体的解析式)，则对代入的技巧要求更高，计算量相对更小；对于分段函数，则需要判断一下自变量所属的范围，对于已知奇偶性的函数，则可借助自变量相反数的函数值；还有一类题目，解析式中带有待定系数，此时只要代入题目中事先给出的数据，则可通过解方程(组)解出待定系数．此类题目通常难度偏低．
2．会计算定义域
此类题型也属于基础题型，解法比较固定，难度不会太大．对于给出具体解析式的函数，求定义域只需注意以下六点即可：①分式的分母非零；②偶次开方的被开方数非负；③对数式中的真数为正；④零次幂的底数非零；⑤指、对数的底为正且非一；⑥计算正切值时对应的角终边不落在y轴．在具体题目中，根据以上6点要求列出不等式(组)，解之即可．
3．求函数的值域、极值、最值
此类题目是高考函数的热点问题，2012年高考中每套试卷中都有这类题目的影子，而此类题目难度覆盖层面较大，有易有难，主要取决于解析式的复杂程度．求值域的先决条件是已知定义域与解析式，这两项准备工作通常不难完成，甚至多数题目中条件会直接给出，关键是求值域的方法灵活多变，常见的方法有：单调性法，数形结合法(适合选择、填空题)、导数法(求出最值，值域的端点通常就是最值)，变形过程中还可能利用到分离常数、配方、换元等变形技巧．其中借助导数方法的较多(因为导数也是高考数学的一大热点)，这就要求学生对导数的应用非常熟练：导数的正负可以判断单调性；单调区间的交界处即极值点；综合考察极值点与端点可以找到最值点．
例。（12年重庆理第8题5分）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
答案：．
4．函数单调性
此类题目通常考查函数单调性的判定或应用，且常与导数相结合，难度通常不会太大．对于单调性的判定问题，常见的解决方法有：利用定义(较繁琐，很少见)、利用导数(较常见，因为导数也是考点)、利用图象(适合选择、填空题)、利用复合函数单调性判断法则(常用于含有指对数或三角函数的复合函数)、利用关于单调性运算的结论(如增+增=增，增-减=增，增*增=增(要求函数值均恒正)，-增=减，等等)．至于单调性的应用，则主要有求最值和比大小．单调性求值域的问题前面已经提到，而比大小指的是，在函数中，如果某一个区间上的单调性已知，则在此区间内，可由与中其中一组大小关系，推断另外一组大小关系．其中常用的是将的大小关系转化为的大小关系，因为这样可以省去代入函数中的运算．
例．（2012年浙江理第9题5分）设．
A.若，则a＞b B.若，则a＞b
C.若，则a＞b D.若，则a＜b
分析一：对于选择支A、B，我们可以构造两个函数、，很容易发现这两个函数都是增函数，在同一坐标系下，如图1所示，在条件下，条件表明点A只能在点B的右侧，从而有，所以选择支A是正确的．从考试角度来说，我们就不必要对选择支C、D进行思考了．
其实由图2可以发现选择支C、D是错误的．
分析二：从考试角度来说，可以用“撞”的方法，如对于选择支A、B，若，则一定有，另还有可能成立，从而会有机会成立的．
分析三：由可得，由函数是增函数容易得；用这样的思想容易甄别C、D的正确性就显得简单了．
点评：本题在浙江高考理科卷选择题中是第9题，属于选择题中最后的第二题，说明有较高的难度，解决它需要一定的数学能力；分析一就体现了很强函数构造、画图、数形转换等能力；分析二就体现了很强的数学直观能力，需要扎实的数学基础，是考试要实现快、准等目的所采用的常用方法．浙江文10也是大同小异的试题．
（浙江文10题5分）.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数．
A.若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B.若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C.若ea-2a=eb-3b，则a＞b
5．函数奇偶性与图象的对称性
此类题目通常考查函数奇偶性的判定与应用，难度不会太大．对于奇偶性的判定，则主要通过定义，先检查定义域是否关于原点对称，然后考查f(-x)与f(x)的关系，此外还可以利用关于奇偶函数运算的结论(如奇+奇=奇，奇*偶=奇，|奇|=偶，奇’=偶，等等)．关于奇偶性的应用，则主要有两点：第一是微观上的，即考查互为相反数的两个自变量所对应的函数值之间的关系，第二是宏观上的，即通过原点某侧的图象推断原点另一侧的图象．
6．函数周期性
函数的周期性主要在三角函数中出现，对于一般函数，更多见的是“类周期函数”，即类似于周期函数的函数，这些函数在相邻两个“周期”内，解析式略有不同，例如满足f(x+2)=2f(x)的函数f(x)．周期函数与类周期函数主要考查函数自变量从某周期到另一周期的跳跃，而这个动作的基础则是从某周期到相邻周期的过度和变换，因此这类题目的关键就是根据题目条件，做好过渡工作．另外，周期函数与函数的对称性密切相关，两个对称性(轴对称或中心对称)常常可以确保函数具有周期性(如果函数图象有两个对称轴，则周期为轴间距的2倍；如果有两个对称中心，且这两个中心纵坐标相同，则周期为两个中心横坐标差的2倍；如果有一个对称轴和一个对称中心，则周期为对称中心到对称轴距离的4倍)，利用函数周期性画函数图象也比较常见．
7．零点的分布问题
此类题型题目多在新课标地区出现，考查零点的存在定理：上的连续函数f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件是f(a)f(b)<0；若f(x)为连续单调函数，则为充要条件；为此，此类题目只需判断端点函数值是否异号即可，通常难度不大．对于f(x)的图象容易被作出的情况，数形结合也不失为一种好的方法．现在利用零点存在定理解决综合问题也经常出现，这样的试题难度就很大．
例．（12年辽宁理第11题5分）设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
分析：由知,所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且；而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，如图，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B.
点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题；求零点个数问题的常规处理是将变换化简（注意不要失根）为，后一般用数形结合方法判断个数；在画图形时不要随意画，要正确判断函数的性质尤其单调性、最值，画准确的图象，否则是在用一个错误的“形”来判断“数”了．
8．函数图象
此类题目大多可分为三种题型：作图，识图，图象变换，难度多属中档题．作图题需要学生熟悉基本初等函数的作法，了解常函数、简单的指对函数、幂函数、一次函数、二次函数、三次函数与（）的图象画法，能够较精确地作出函数图象，并通过观察图象得出相应的结论．识图题则是在条件给出图形的情况下，学生根据图象，抽取出图象中的隐含信息，如定义域、单调区间、奇偶性、周期性、最值、极值、对称轴、对称中心、定点以及渐近线等，从而解决相关问题．函数图象变换，则考查了学生对于平移变换、对称变换(关于坐标轴或坐标原点对称)、伸缩变换和翻折变换的掌握程度．
例．（12年全国新课标第10题5分） 已知函数；则的图像大致为（ ）
分析：因为，得；当，此时由且递增，得，所以递减；同理，由，此时，由且递减，得，所以递增；得在区间递减，在区间上递增；所以选B．
点评：本题比较综合应用了导数与函数单调性的关系、函数的图象与性质（尤其单调性）．当然从考试角度来说考生还有很多轻巧的办法如排除法，还有使用性质“当时恒有”等
9．分段函数
分段函数，即函数在定义域的不同子集合内，采用不同的对应法则，此概念对应题目多为简单或中档题．解决此类题目只要判断清楚待求自变量究竟在定义域的哪一个子集就好了，如果不确定，则需进行讨论．至于分段函数与单调性、最值等问题的综合，只需在每一“段”内分别考察单调性、最值，然后综合考虑即可．
10．复合函数
此概念比较容易理解，就是将内层函数的函数值代入外层函数，得到新的函数值；关键是分清谁是内层，谁是外层，若函数解析式已给出，则题目通常难度不大，若函数为抽象函数，则往往偏难．
11．指数、对数的运算性质
此类问题重点考查指数、对数的运算性质，例如对数的三条运算性质，即，及．属于最基本的运算公式，学生在高一入学不久就学习过，高考时，这些公式应该已经运用得十分熟练了．如果对于含有指数式、对数式的数的大小比较，那难度一般还是比较高的，需要找恰当的中间常数来帮忙．
12．导数、切线问题
此部分内容主要包括两种题型：一是求导函数或导数值，二是利用导数求切线，两类题目主要考察学生运算能力，难度适中．求导函数只需牢记8个基本求导公式，掌握四则运算的导数运算法则和复合函数的运算法则即可(用定义求导数的题目非常少见)；对于求导数值的题目，通常就是先求出导函数，然后代入自变量；求切线的问题，关键在于是否已知切点横坐标，若已知，则将其代入函数可得切点纵坐标，代入导函数可得切线斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；若切点横坐标未知，则通常设其为t，然后用点斜式算出切线方程(含t)，然后再借助其他条件求出t，则此时切线方程随之确定．
注意！“在点P处的切线”与“过点P的切线”是两个不同的概念；“在点P处的切线”斜率等于该点的导数值，而“过点P的切线”仅表明，切线是经过点P的，但直线未必在点P处与曲线相切，这样“过点P的切线的斜率”不一定是该点的导数值，即过点P但不以点P为切点的切线方程也是符合题意的.
13．解不等式
这部分内容重点考察学生的运算能力与解不等式的思维习惯，难度通常不会太低．高中阶段常见到的解不等式题型，包括含绝对值的不等式、二次不等式、高次不等式、分式不等式、无理不等式、三角不等式以及指对数不等式，每一种类型的不等式都有自己的独特的常规解决办法，而且多有相应的注意事项．绝对值不等式只要记住两个基本公式即可，，；解二次不等式可死记结论：若其可以分解成一次因式乘积，则在最高次系数为正的前提下，大于零取两根之外，小于零取两根之间；高次函数通常用标根法，要注意系数为正及“奇过偶不过”；分式不等式中切忌直接去分母，要考虑分母的正负，移项通分是比较保险的办法，对于不等式某侧为零的情况，可将分式结构直接改写成相乘结构，但要时刻注意分母不为零；无理不等式首先要确保偶次被开方数的非负性，其次要考虑两边平方的条件，只有不等式两边同正的前提下，方可同时平方且不改变不等号方向，对于有负数的情况则可直接利用正数大于负数，或两边同时乘以“-1”化正；三角不等式多借助函数图象或单位圆；指对数不等式主要利用函数单调性或采用换元法，特别指出，对数不等式要时刻注意定义域，即保证真数为正．总之解不等式一要保证变形前后的等价性，二要时刻关注使得不等式有意义的条件．
14．求参量取值范围
此类型题目属于传统题目，由来已久，常常出现，且难度通常不低．这种题目通常有三个明显特征：第一、题目中直接或间接给出一个包含两个字母的等式或不等式(两个字母：一个是自变量，另一个是参变量)；第二、题目中常有“有解”、“无解”“恒成立”等标志；第三、两个字母中一个范围已知(这个字母就是自变量)，另一个的范围待求(这个字母即参变量)．这类题目有两种较为通用的解决思路，分离变量法与选主元法，而它们最终都要借助求函数值域来解决问题．对于分离变量法，顾名思义，要把两个变量分开到等式或不等式的两边，得到f(x)=g(a)，或的形式，由于一个字母的范围已知，不妨设x范围已知，则可知f(x)的范围(即值域)，然后结合题目中的要求就可以求出相应的a的范围了．对于选主元法，则是将自变量(已知范围的那个字母，不妨设为x)看做变数，参变量(待求范围的字母，设为a)看做常数，则可整理出g(x)=f(x,a)=0或，然后求出函数g(x)的值域(含有字母a)，与0确定大小关系(解关于a的不等式)即可．然而对于一些高难度题目(例如压轴题)，可能会有一些另类的解法，这样的题目解法人人都能看懂，但如果不提供解法，几乎人人都做不出来，因此对这类题目不宜花费太多精力去研究，况且这类题目的解法往往也不具备通用性．
例．（2012年浙江理第17题4分）设，若时均有，则__________．
分析：构造函数；
若，则显然不能满足题意；
若，即，则是三次项系数小于0的三次函数，它不可能对于时均有成立；
则，此时函数可以化为，它与轴有三个交点，坐标分别为、、，由三次项系数为正的三次函数的图象特征告诉我们，如要满足“对于时均有成立”，如图所示，只要，解得．
点评：（1）对于每一份试卷，选择与填空的最后一题共两题也是一份试卷的压轴试题，当然，这里的压轴题难度绝不能超过大题的压轴题，压轴题个数一般各为一道，选择题的难度系数最好为0.４，填空题的难度系数最好为０.2．由于大题是考查主要知识板块，那么选择、填空是考查一些“边角”知识．选择与填空试题特征应该有所区别，它们的知识特征是“逻辑强、思路长、推理杂、算量大、表述缠”，还兼顾考查各种数学修养、感觉、投机、智力、能力等素质，思维特征是“简、平、快”，实实在在地考查数学的基本功夫．这两个压轴试题往往是这份高考卷的亮点所在，是拉分题．
（2）多年来，浙江高考数学试卷命题对于选择、填空的压轴试题的命题形成了自己的风格，即一个代数题一个几何题；而这两个压轴题从考试角度来看，一般情况下是可以用数学直觉思维、直觉能力去解、去撞．
（3）当我把这个试题给即将升入高三现高二的学生做时，学生的思维如水滴入烧滚的油中，油花四溅；特别的是，既然，就取几个的特殊值代入试试，来缩小的范围（其实就是找到结论成立的必要条件）；有几个学生发现当时不等式就化为，那说明，不过要告诉学生这个的值还需要检验的、为什么要检验．这个思维的基础就主元的改变，即不等式可以化归为，变化时特殊情形就是，即．学生这样的思维就是直觉思维，能力就是数学直觉的能力，我们在教学中要大力培养这样的思维和能力．考试真的按照上面分析内容中的样子做肯定是考不快的．这就是这个试题的亮点所在．
（4）解决这个无理方程是需要技巧的，否则就是做对也是在隐性失分；具体可以化为，后面比较简单；当然也可以直接把代入中去求的值．
15．函数压轴综合题
函数压轴综合试题与选择、填空的压轴题一样，是一份试卷好差的重要标志，是导向标；一个好的综合试题必须具备三个特点．一是试题要与《普通高中数学课程标准（实验）》及《考试纲要》要求相一致．在知识层面上，除了要保证重点知识重点保证外还要使课程内容的更新在高考试题中得到体现；在理念层面上，体现《普通高中数学课程标准（实验）》提出的教学理念；在深度上，核心内容稳中求新，注重对教学本质的理解；在思想方法层面上，强化思想方法，深化能力立意．二是试题要对于日常教学发挥正面的导向作用，重视对概念的理解和把握，强调教学的基本方法，加强对应用意识的考查，注重学习、探究能力的考查．三要具有创新性、发展性．
我们很高兴看到，2012年浙江高考函数压轴试题在具备“好的高考数学试题特点”方面又向前进了一大步．近四年来有三年不同于全国或各省份的试题，命题风格相似（由此可以看出命题组成员是没有大的变化），这些试题共同的特点是，以三次函数为载体，二次函数为基础，图象为依托，分类讨论、数形结合为主要技能，思想方法朴素及来自中学范畴，完成解题路途平坦但路程很长很长．
函数综合压轴试题的难度是怎么样把握为好呢？应该以一般的重点中学毕业班数学老师去做，化40分钟左右时间，能有一大半的老师把试题给予一个完整的解答；切忌是这样的一个试题，老师去做谁也做不出，去看答案大多都看得懂的的试题，这样的试题就是从选拔角度来说也是毫无意义的．
三、在第二轮要有针对性的重点复习
有针对性的重点复习也是为了夯实基础，看看第一轮复习课中还有什么重点内容没有达到要求或丢失了．
针对本部分内容特别要检查以下几个重点内容的落实．
（1）二次函数的三种形式、图象以及它的基本性质，二次函数三个字母的几何意义是否清楚，二次函数在一个区间上的值域是否会求，含有参数的二次函数是否会针对参数进行分类讨论，在绝对值里的二次函数的图象是否会进行变换等．
例如，在上面四个压轴题中就有三个题在解决过程中，要求会根据二次方程在闭区间、开区间、半开半闭区间上根的要求去分类画图象讨论，不会遗漏，而这是学生难点却是实在的方法，可以避开抽象的思维．象上面的例1，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根；学生必须会熟练得出图象与轴的交点应该有5种情况，不可遗漏，具体看解答的5个图．
（2）三次函数是考试的重点（尤其文科的试题，几乎每一年必考），对于三次函数，每一个学生都必须要清楚地知道它的图象特征，具体如下．
三次函数一般形式是　，当时，它的图象不是图1就是图2，图2可以看作是图1中的两个极值点重合而来的；当时，它的图象不是图3就是图4，图4可以看作是图3中两个极值点重合而来的；熟悉了图象就容易判断单调性和极值点（包括极值点的存在性），这样就有助解决三次函数的综合试题．
（3）要掌握包括指数函数、对数函数在内的基本函数图像、性质，还要掌握函数的各种情形的图象与性质．
（4）确实落实与检查学生的函数求导知识掌握，要求每一个学生会对基本函数和简单复合函数进行求导，会导数是我们解决函数综合题最基础的要求；要求学生确切地理解导数的应用，防止不必要的错误；
（５）含参数不等式恒成立的试题是现在高考的热点，这类试题首先要搞清楚，哪个是参数哪个是变量，而参数与变量分离的方法是解决这类问题的主要和常用方法；具体可以参见附件二，但不要钻得太深了．
（６）压轴试题的函数模型大多是通过转化后变为单纯的二次函数、三次函数，或二次函数、三次函数中一个与指数函数、对数函数中一个进行四则运算复合的函数模型；函数不是确定的，它大多是动态函数，即含有参数的函数，上面说了参数与变量分离是解题常用和主要的办法．具体可以参见下面的思路归纳．
含有参数的函数解题方法运用分类讨论、数形结合、函数的主要性质等．
（７）要养成解决函数问题的一些良好习惯，如做函数试题首先要注意求定义域，会利用特殊值或特殊情形等（即能使结论成立的必要条件）缩小参数的范围、作出函数的图象、对函数的性质进行判断和评估等；因为高考主要是考常用的通法，所以在问题解决时首先会想到使用常用的、主要的方法等，常用方法的思维强度低，易于学生接受，也往往是学生第一思维，在考试时这个第一思维要坚持走下去，虽然“路”很长，也可能走不到底，但却能赢得大部分的分数．
（8）读题能力的培养也是十分必要的．因为压轴试题，文字长，表达复杂、抽象是自然的；部分考生不缺扎实的数学功夫，却缺文字功夫和坚强的意志品质；训练的材料可以从历年高考试题中寻找．
开设三类有针对性的专题课
专题一：开设有针对性的知识、方法与思想提升的专题课．高三第一轮是按知识分类来划分章节进行复习的，数学方法、思想往往伴随着问题的解决而引入，因此是零散的；这样的知识分布也不利于学生储存与提取．为了高考应试，第二轮复习就要解决上述问题，也就是要达到这样的目的，在学生的脑子中，知识是按考试题型分类储存的，思想与方法是按问题类型概括统一的．现在学校采用的第二轮复习用书的专题大多是大而空、泛，缺乏针对性，学生的知识得不到系统的提升，解题能力得不到有效的提高；根据笔者的经验，在第三部分附件中的前二个专题，针对提升学生的函数综合试题解题能力是有效的，供同行们参考使用；附件一是知识概括型的专题范例，附件二是思想方法高度归纳型的专题范例，在教学时要突出常用（主要）方法的落实．我这里还有一些专题，考虑篇幅限制没有附上，同行们有兴趣的话可以向我发电子信件索取电子稿件．
专题二：开设几节提高学生作复合函数图象能力的专题课．尽管压轴试题都是含参数的函数（动态函数），但我们把可以把参数进行估计，对于某些参数，也能大概作出函数的图象，这些图象却是学生思维、方法产生的基础，因此，会作复合函数图象的能力是解决压轴综合题的所必须的．具体参见附件三．
每一年高考下来，笔者喜欢研究所有高考试题，也写成了很多文章．对去年全国所有高考试卷压轴函数题进行了研究，大多数的函数其实都可以先画出一个大概的图象，因此，提高考生作复合函数图象的能力、开设作复合函数图象课的专题是十分重要的，范例函数的来源可以从高考试题中选择．谈到这里，笔者常听到同事们议论有的高考试题出得真好！其实，是命题专家们在意甚至随意先造出一个函数来，后用几何画板画出图象，由图象的许多特征开出问题一二三来．我们在第一线教学，太忙了，我们有空的时候也这样去做做，也会造出很多优秀的试题来．
专题三：开设几节高考综合试题解题方法分析的专题课．主要从高考时候的心态调节、试题审题，试题分析，试题解答，消除思维障碍等入手分析，最好以试题研究形式上好这样的课．笔者的附件四材料就是以这样方式写成的案例供读者思考．
强化训练
模拟训练、市地联合模拟考试就是一个强化训练的机会，试卷分析不但要分析试题解决过程，同时也要分析试题的审题、切题、修正、检验等各过程．由我们浙江近四年高考的函数综合试题特征，结合省教育厅关于高考命题要求（试题越来越简单）的走向，选择的试题千万不要太过分偏了，尤其舍弃那些“去做题，谁也做不出来；看解答，大家都能看得懂
”的试题。
用别的省份往年高考试题的训练也是必要的，有助于对试题的“新生事物”的认识，更有助于学生的“应试能力”的提高．
如2010年全国新课标理科压轴题：设函数．（I）若，求的单调区间；（II）若当时，，求的取值范围．
对于这个试题的第（II）问，如果按常规做法是做不出来的，它是“非常规出牌”的试题，说“会做出的是凤毛麟角”都有点夸大；但按现在的评分理念，一个考生努力按常规去做，且写出来，尽管没有结果却能获得大多的分数．
又如附件三中的2011年的湖南的压轴试题，能很好地培养学生良好的审题习惯，即珍贵的“图形诱导出思想方法”的习惯．
第三部分 附件材料
附件一：例析函数中十一对易混的问题
函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十二对问题加以剖析并举例说明．
一、定义域与值域
例1．（I）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（II）若函数的值域为，求实数的取值范围．
分析：（I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立．令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，．
（II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集．当时，，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求．故实数的取值范围是．
评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．
二、定义域与有意义
例2．（I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围．
（II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围
分析：（I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．
（II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即．
评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集．
三、值域与函数值变化范围
例3．（I）若函数的值域为，求实数的取值范围．
（II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围．
分析：（I）因为函数，所以，即的值域为，于是有，解得或．
（II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．
评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值．
四、主元与次元
例4．（I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
分析：（I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：
i）当时，即时，只要，即，此时矛盾．
ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾．
iii）当时，即时，只要，即．
综上，实数的取值范围．
（II）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是，解得或或
评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．
五、有解与恒成立
例5．（I）已知，若恒成立，求实数的取值范围．
（II）已知，若有解，求实数的取值范围．
分析：（I）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的上方，即就可，易知，所以，．
（II）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的上方即可，即，又，所以，
评注：“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可．有解，有解．
“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．
六、单调区间与区间单调
例6．（I）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
（II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围．
分析：（I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得．
（II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得．
评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．
七、某点处的切线与过某点的切线
例7．（I）求曲线在点处的切线方程．
（II）求曲线过点的切线方程．
分析：（I）由得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（II）设切点为，又，所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为．又在切线上，于是就有，即，解得或；
当时，切点就是，切线为；
当时，切点就是，切线斜率为，切线为．
评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．
八、对称与周期
例8．（I）若函数对一切实数都有，且，求．（II）若函数对一切实数都有，且，求．
分析：（I）因为对于一切，都有，即，恒成立，那么就有的图象关于直线对称，所以，．
（II）因为函数对一切实数都有，那么就有是周期函数且，则 ．
评注：若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线对称．若函数对一切实数都有，则有是周期函数，且其中一个周期为．
九、中心对称与轴对称
例9．（I）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．
（II）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．
分析：（I）若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线成轴对称；又时有；所以时，有，；
解析式为
（II）函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称；又时有；所以时，有，．解析式为
评注：函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称．
十、时恒成立与时恒成立
例10．（I）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．
（II）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．
分析：（I）设，则；于是，对于任意的时，恒成立．即；容易知道，故．
（II）对于任意的，都有恒成立，等价于当时，；容易求得，，于是，故．
评注：时恒成立，等价于时，；时恒成立，等价于时．
十一、函数单调与数列单调
例11．（I）若函数是单调增函数，求实数的取值范围．
（II）若函数（且）是单调增函数，求实数的取值范围．
分析：（I）因为函数在区间是单调增函数，所以对称轴直线，得实数的取值范围是．
（II）因为函数在且上是单调增函数，所以，对于一切，恒成立，即恒成立，故．
评注：数列是特殊的函数．若在上是增函数，则数列一定是增数列，但反之未必成立．因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理．
附件二、不等式恒成立的八种解法探析
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
1最值法
例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
分析：不等式恒成立，可以转化为
解：（I）（过程略）．
（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．
（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．
所以的取值范围为．
评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．
2分离参数法
例2．已知函数
（I）求函数的单调区间；
（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．
分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为
（II）不等式等价于不等式，由于，知；设 ，则．
由（I）知，，即；于是， ，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．
所以的最大值为．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
3 数形结合法
例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．
分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．
故所求的的取值范围为．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
4 变更主元法
例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．
故应该有，解得或．
所以实数的取值范围是．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设是常数，且（）．
（I）证明：对于任意，．
（II）假设对于任意有，求的取值范围．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．
（II）假设对于任意有，取就有解得；
下面只要证明当时，就有对任意有
由通项公式得
当（）时，
当（）时，，可见总有．
故的取值范围是
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
6分段讨论法
例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当时，显然＜0成立，此时，
（ii）当时，由＜0，可得＜＜，
令
则＞0，∴是单调递增，可知
＜0，∴是单调递减，可知
此时的范围是（—1，3）
综合i、ii得：的范围是（—1，3） ．
例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，
当时，不等式恒成立，所以，此时；
当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；
当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；
由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间
说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
7单调性法
例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．
解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．
因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
8判别式法
例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．
解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；
当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．
综上可知，所求的实数的取值范围是．
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于的不等式在上恒成立，求 实数的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．
当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．
技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．
附件三：以图启思，思如泉涌
大家知道，中学数学内容可以整合为数与形的两条主线，数形结合是常用的方法、老生常谈的话题了．在高考时，考生对于一般的选择与填空试题还能想起或熟练使用数形结合的方法；但在面临综合函数试题时，就会忘记或不会使用数形结合的方法．以下选择的四个高考代数综合试题，分别代表了四类典型的应用；这四个试题，在解决它们过程中，如果能想到数形结合（实际上是由图形诱导出解决问题的思想与方法），你所走的路就将是捷径．教师在临考复习时，可以开设这样的专题性教学，对学生增强解代数综合试题的信心，提高综合的解题能力有很大帮助的！四个试题都有多种解法，本文只选择唯一解法－－该解法是用来揭示本文的主题思想．
一、动态函数，开辟“形”经，穷其性质
含有参变量的函数我们可以称为动态函数，动态函数的图像由于其参变量的变化，图像类型（大致形状）大多数也要紧跟着变化、复杂而不确定，因此，教师、学生往往就不会往数形结合去考虑；可少数情形就不同，图像类型不会跟着参变量的变化而变化，大致还是确定的，其性质也是稳定的，这样的情形务必要联系图形，利用图形来指导代数思想进行解题．
例1．（2012年浙江省高考样卷压轴题）设函数在内有极值．（I）求实数的取值范围；（II）若，，求证：．
注：是自然对数的底数．
分析：此题如果按一般审题方法着手思考，就要走很多弯路；其实，假如你先思考这个复合函数的大概图象，你就会找到解决问题的捷径．
当然，你首先要注意到的是，函数的定义域是；若，由函数及在区间和分别是增函数，可得在定义域内的两个区间上都是增函数，与“函数在内有极值”条件矛盾；同理．
这样就得；先由的图象1，结合的大概图象2，就可以得到函数的大概图象3，它的形状是稳定的，不会因（）的变化而变化．对题中的函数图象就有了这样准确的判断：在区间（0,1）内函数值都小于0，先递增后递减；在区间内，函数值都大于0，先递减后递增．这样的判断，不仅有利于问题（I）的解决，更有利于问题（II）理解与解决了．
解：（I）函数的定义域是；
，当时，有，所以，由上式分子是二次函数，题意就转化为在有解且符合极值点要求，令，不妨设，由且可得；因此，就有，得．
（II）由得或；由得或；所以得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．
由，则，由得，所以，，由且得，由，又在时是递增的，所以，．即．
评注：①在（I）中很少学生会使用两根式方法设定的，为满足在有解且符合极值点要求，即有两个不同的根，且小的根在区间内，只能得到如下的三个图，图4就能推得，图5和图6均无解．
②本题解题关键是能得到条件，它是关于函数中变量的取值范围．
二、确定函数，理顺思路，呈现方法．
综合代数试题给出的函数中不含有参变量，就是一个确定的函数，那它的图像不象前面一样，应该是确定的．确定的函数，更应该画出图像，借助图像来寻找、获得或建立使问题解决的代数方法．
例2．（2011年湖南理压轴题）已知函数，．（I）求函数的零点个数，并说明理由；（II）设数列满足，，证明：存在常数M，使得对于任意的，都有成立．
分析：这个试题在去年高考后不久便被一个老师引入到我校新高三的一份试卷中；一开始，新高三的数学老师基本上对第（II）题解题毫无头绪、无法入手，都说没有见过这样的试题，个别老师见了答案后还无法理解为什么要这样的分类；事后都认为这个试题太好了！其实思维的障碍就是在单纯地用代数思想去解决问题了．
假如大家先画一个大概的图象，即心中有了如图７的图象，整个问题的解决尤其问题（II）的对的分类讨论就不是很难了，思维、方法涌出就水到渠成．
（I）函数的零点个数由图７所示，一共有两个零点，其中一个是正的零点，记为，即；如果要求用代数去证明的话，那工作量很大，也有一定的难度，限于篇幅，具体请读者去看有关高考解答资料．
（II）由于数列满足，，由两个图象的位置关系，我们可以得到启发：当时，如图８，就有，也就是说数列是递增数列但有上界，即取；当时，如图９，就有，也就是说数列是递减数列但有下界，上界就是初始的，即取．
代数证明：当时，由（I）得，得，又由是递增函数可知；结合也是递增函数就可由得；纵上就有．同理，当时，就有 ．
所以，当时，就有；当时，就有；当时，就有．
所以，存在常数，使得对于任意的，都有成立
　评注：解了此题，你是否有“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”的感叹！
三、多个函数，辨析位置，挖掘隐含．
有些函数综合试题，我们可以不画出图像，你也能解决它，正如下面高考试题的标准答案，但这种解决方法实在是繁琐，老师、学生都很难看懂；当综合试题中含有两个函数时，一般情况至少一个是动态函数，那画出它们之间的位置关系，会使一些隐性条件清晰起来，去掉不必要的讨论与辨别，快马加鞭直达主题．
例3．(2012年薪课标全国卷理21题)已知函数．
（I）求的解析式及单调区间；
（II）若，求的最大值．
分析：（I）略解：，将代入得，将代入得，即；它的单调递减区间为，单调递增区间为．
（II）若恒成立，即恒成立；记、；结合的单调性，由对于恒成立可得；欲求的最大值，则须有；这样，与的图像关系只能是图10那样．
当正数确定时，的最大值情形就是直线与曲线相切时；可以求出切点坐标为，即的最大值为．
从而，其中，下面只要求上式的右边最大值，即函数的最大值就可以了．
在处达到最大值，最大值为．
评注：这里由图就可以使“”、“ ”、“ 的最大值情形就是直线与曲线相切时”等条件清晰出来，使解题快速又正确．今年6月底，笔者曾用该题编在一份试卷上（做压轴题），对学生进行过考试检测，根据答题结果统计，发现使用图像（结果基本上正确）的有18位，不使用图像也在分析推理（基本上没有结果）的有9位，还有16位就是什么也不会做的（大概没有时间）．此实例说明想到用图像与不用图像会使结果大不相同．
四、常规函数，穷现情形，不重不漏．
动态函数由于参数的不同，图像的形状会不同，或形状可能相同但某些位置关系、性质会不同，用代数解决即抽象又很难想到，也很难完美落实．如果根据参编量的变化，采用连续的多个图像，来穷现所有情况，把要解决的问题搞清楚，也是一种务实而有效的方法．
例4．（2009年浙江理２２）已知函数，，其中．
（I） 设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
分析：因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根；则图象与轴的交点有下列的5种情况（如图11的5个小图所示）：
图（1）的充要条件是即；
图（2）与图（3）合并的结论是，即；
图（4）的充要条件是，即；
图（5）的充要条件是，即不存在．
所以，．
（II）实际上，由于是二次函数且对称轴为，是一次函数且 ，由题意，有以下三种情况图象（如图12中的三个图），每一个图象的轴的左边是的示意图，轴的右边的直线是的示意图而曲线是左边的图象的延伸．
图A表明且，但不合题意，也无解；
图B表明且，符合题意但无解；
图C表明且，符合题意，得．
所以，满足题意．
评注：上面的方法走的路虽有点长，但实在、具体．
亲爱的读者，高考函数综合试题其实就是包含动态函数的试题，是高考的压轴试题，也是好学生获得高分的重要根据点；使用与不使用图形来诱导出代数思想方法是他们是否取得高分区别所在，也是老师您高考辅导成功与否的标志；这样，您阅读了本文以后，你是否对数形结合的理念有所改进呢！
附件四：让高考试题在问题探究中尽放光芒
摘要：本文以2010年浙江高考理22题为材料，整理出７个问题，每一个问题都给予一个建议性的意见，结合问题探究教学法，设计为一节高考试题分析课的教案．
关键字：试题，问题，探究，意见，建议．
高考试题是命题组（一般由10多位高中名师和大学老师、命题专家组成）集体智慧的结晶，是经过了高考检验的、优秀的数学教学题材．根据笔者的经验，在高三各轮的教学复习中，经常性地对高考试题从各个角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考试题的命题风格、命题热点、命题形式，有利于考生适应高考情景，提高高考知识复习的针对性．
2010年浙江理科数学试卷第21题(本题14分)是一道漂亮的试题，笔者把它与“问题探究教学法”进行结合，首先在自己的课堂里上了一节试题分析实验课，根据课的过程与课后的反思，现在设计为一堂“高考试题分析课”，供参考．
一 试题及课前准备
题:已知是给定的实常数．设函数，，是的一个极大值点．（I）求的取值范围；（II）设，，是的三个极值点，问是否存在实数，可找到，使得，，，的某种排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差数列？若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
课前准备：在课前早一天或两天把该试题作为作业布置给学生探索、钻研（要求学生不能查阅有关答案），并在适当时间后上交批改，对学生的作业情况进行归纳、分析、归类，以便设计提出下面的问题．有条件的要准备好多媒体课件，没有条件的把要求多媒体展示部分的印刷出来给学生，人手一份．
二 问题的设计与解决思路的探究
问题1：做题的第一关是审题．同学们能谈谈你在拿到这个试题入手做时的感觉是什么？
参考答案： 主要的感觉有（１）拿到手的时候，一读试题，与以前的高考压轴题不一样，题意叙述简短，意思清清楚楚．（２）试题不同于一般的高考压轴题，一般的高考压轴题是入手容易，走出难；而这里让人迎面碰到的就是一个辣手的问题：如何破解条件“是的一个极大值点”？（３）一般的压轴试题的第1小题是比较简单、直接的问题，这里的好象也一样，可是着手做时发现求函数的导数却是一个难题．
问题2：同学们是如何求函数的导数呢？
参考答案：据参加高考的数学成绩不错的学生回忆：今年浙江高考数学试题选择、填空部分总体难度比较高，这个试题是最后一道题，这样剩下可解答的时间就不多，本以为很容易拿下这个导数关节点，在花了比较多时间后才得出一个导数结论，也不知道这个导数结论正确不正确．其实，不同的考生，在求函数的导数时方法是不同的，是最能体现一个考生数学功底的，由于求导数路程比较长、运算量大，当方法选择不当时，导出的结论容易是错误的．
最简单的办法：令，先对求导，这里求导最好要用积函数的求导方法，即
．后对求导数，这样，容易提取因式，化简得这样一个明朗的结论．
求导误区：把展开为，求的导数得，这样对求导就会变成这样的结果，这个结论即繁又不能及时发现，十分不理想，会使后面解题不顺畅或解题受阻．
由此，同学们应该有所感触，那就是高考的压轴试题解答一定会有点不平常，需要扎实的数学基础和高强的数学能力．
问题3：同学们是如何利用条件“是的一个极大值点”来确定题中第１问中的取值范围？
参考答案：部分同学就会以为条件“是的一个极大值点”等价于“”，把代入式子进去，自然会得到，这个参数跑到什么地方也不知道了．
其实，能解答到这里的大多同学都明白条件“是的一个极大值点”等价于“，且在的附近当时有、当时有”．
由，自然会发现；令，而当时有、当时有，又由是一元二次、连续的函数，这样只要就能保证结论“在的附近当时有、当时有”；由得出．
问题4：参加高考的考生反应第２小题的条件表达实在抽象，难以理解或突破，同学们看看能怎样的突破？
参考答案：当然这里的解答必须建立在第１小题通畅解答的基础上，否则也真的难以想象怎么样才会顺利解决．
这里表达中的三个极值点，即，，是的三个极值点，应该是基础的、稳定的；如果这三个点都象“浮萍”一样，那加上，要使得，，，的某种排列依次成等差数列的排列就有种，后要对这２４种逐一考虑显然是不现实的，高考肯定不是这样考的．
既然想到上一点，就要认真观察三个极值点，，的大小顺序关系．三个极值点，，就是三个根，进一步可以发现，一个根就是，另两个根就是的两个根．
这个试题最大的特点就是题意条件简单、明了，同学们还要明白一点，一般来说，压轴试题的前面小题是为后面题服务的；那么就要联系第１小题的解答过程“”或“”条件下，可得是在另两个根之间．由大小根的关系，不妨记，，，有．
问题5：有了上面的分析，你能全部解答问题了吗？
参考答案：若，使得，，，的某种排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差数列，与，，的顺序关系自然剩下下面的三个关系了．
（i）当或时，这样就有，即，此时，，或；
（ii）当时，这样就有，即，代入化简得，解得，；
（iii）当时，这样就有，即，代入化简得，解得，．
问题6：其实“，解得”这一步说得轻巧，做起来很坎坷的！你们有这样的体会吗？
参考答案：这里是一个无理方程的解题过程，对无理方程，高考要求应该是很低的，但这里不是这样的，还是很高的要求的！
对于，可以把看成一个整体，也可以把看承一个整体．如设，则方程就是，两边平方得．现在面临着对的取舍问题，是一个难点．
如何对的值进行取舍呢？只能从式子去看了，由得，这样就是取，得，即．
问题7：你们做了这样的一个高考试题有什么心得呢?
参考答案：我们知道，高考试题作为选拔性的考试，整份卷试题的85﹪问题的解决方法应该是“两纲”所要求的主要思想与方法，一定要走“阳光大道”，不选“阴间小道”．试题背景设计力求公平，贴近学生的实际，在大家都熟悉的情景中考查能力，问题设计力求入口宽，方法多样，使学生在公平背景下展示真实的水平．如这里，让更一般的学生一看就会知道是使用求导数方法来处理第（I）小题．
而对于压轴试题就不这样的．压轴题并不是孤立的，它存在一个大题之中，一般是放在整份试卷最后的一道，或最后的第二道；压轴试题一般分成两道或三道小题，前面的应该还是基础的，一般的学生都应该得分的，而后面的小题才是高难度．压轴题所考查的知识选择一般是在重点数学知识里选择，这样就需要一个综合题作为基础来支撑它．
高考试题作为选拔性的考试，最后压轴题的目的是让数学能力冒尖的学生在这里能有充分的发挥，以便拉开数学冒尖学生与一般学生的分数，提的问题或解决的方法应该是冒尖学生能力承受范围内，问题解决所用的思路或方法应该是这样冒尖学生能想到的．如这里，求导数的方法就与平时不一样，要走独特的、技巧的路子．
作为压轴题，问题设计力求入口宽，方法多样，使数学冒尖学生在公平背景下展示真实的水平，因此，压轴题命题时各个方面要源于课本而又高于课本．对于一元二次方程的两个根，一般的（绝大部分的）处理方法是用两根的韦达定理来解决，但这里就要求“韦达定理”与“求根公式”灵活运用，要根据情况适当取舍，单一只考虑“韦达定理”，就会使解题走入“死胡同”．
作为压轴题，与常规性的解答题应该不一样，总有一定的难度，这个难度就是在解题的具体环节的方法上体现，要有很大的灵活性，思维的跳跃性也要大．如这里，不但要会使用“求根公式”，还会能及时判断这两个根是有确定的大小关系的，有了这样的判断，后面的工作就大大简化了．
作为压轴题，由于它的责任要求，解题过程必然是漫长的、曲节的；特别是当解决过程中数学知识难度、技巧等降低时，必然要延长解决问题过程；我们这个试题就是有这样的特点．该试题是２０１０年浙江卷理科最后一题，编得很巧妙，既联系了平时训练的基础知识，又有很大的逻辑推理空间，浅入深出，下笔容易完成难，不象以前的或别的省份的压轴题，难得离谱、脱离教学实际和一点不给考生留下解决问题的线索，是具有较好试题功效的压轴试题．
作业：利用今天所学的高考试题的分析方法来分析09年浙江理科22题的多种解法，写一篇小论文．
结束本课程．

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