资源简介

一个十分重要的函数的图象与性质应用
新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习（ab≠0）的图象、性质与应用．
2．1 定理：函数（ab≠0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的双曲线．
首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax的值与的值比较，当很大很大的时候， 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax的值；当的值很小很小，几乎为0的时候，ax的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是的值．从而，函数（ab≠0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．
由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．
例1．若函数是双曲线，求实半轴a，虚半轴b，半焦距c，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．
分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=x就是实轴了，得出顶点为A（，3），A1（-，-3）； ∴ a==, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有=tan30o, 得b=2 , c==4, ∴ F1(2,)F2(-2,-)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P（x, ）满足即可；
所以，函数表示的曲线是双曲线．
（在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）
2．2五种表现形式
表现 1：函数 （a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在和上函数分别是单调递增的，在和上函数分别是单调递减的；在x=处有极大值，在x=处有极小值；值域是．
表现 2：函数 （a<0,b<0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在和上函数分别是单调递减的，在和上函数分别是单调递增的；在x=处有极小值，在x=处有极大值；值域是．
表现 3：函数 （a>0,b<0）的双曲线大概图象如右：
此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵>0，所以，函数在和上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R．
表现 4：函数 （a<0,b>0）的双曲线图象如右：
此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵<0，所以，函数在和上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R．
特别，后面两个函数的单调性很“单纯”，在解题时候要引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．
表现 5：函数 (x≠0) 是等轴双曲线，以x轴、y轴为渐近线，在两个区间和上函数分别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数
2、3应用举例与重点推广
这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．
例2．已知x>y>0 , xy=1 ,求的最小值及此时x、y的值
解：∵x>y>0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，
∴=；
解混合式得：
所以当： 时候，取得最小值为．
例3．求y= (x≥0)
解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 由 x≥0得t≥2,而在上是减函数的，所以y≤-5,值域为
例11．已知
（1）若a＞0，求的单调区间
（2）若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围
解：=
当＞0时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）（i）当时，显然＜0成立，此时，
（ii）当时，由＜0，可得＜＜，
令
则＞0，∴在要求区间内是单调递增，可知
＜0，∴在要求区间内是单调递减，可知
此时的范围是（—1，3）
综合i、ii得：的范围是（—1，3）
从上面几个例子可以看出，形如 或（m≠0,a≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．
重点推广：到此我们来看看函数 （ad≠bc，a≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？
它可以通过变形化为，继续化为，因此，函数（ad≠bc，a≠0）的图象是可以从的图象通过平移而来的，从而（ad≠bc，a≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有相同的单调性，>0时都是单调递减，<0时都是单调递增．这个函数与函数 （a>0,b>0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．
例4．已知正项数列满足a1=a (0求证
分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理；
i）n=1时 a1=a，符合求证结论
ii设n=k时 结论成立
则n=k+1时候， ak+1≤,而，因此，考虑函数f(x)==1- 在区间和区间都是递增函数，（0，1），所以f(x)=在0，1）也是递增函数，从而，ak+1≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．
综上所述，对任意n是正的自然数都成立．
这样，（ad≠bc，a≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数（ab≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．

展开更多......

收起↑