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　五道数学压轴试题解析
由于浙江省高考试题命题组成员大部分有一定的连续性，从个体来看，每一个成员的对数学的认识、熟练的知识范围、擅长的能力爱好范畴总是一定的（有限止的），因此对近年的高考综合试题特征的研究有一定的必要，有助于对高考复习重点的把握．
高考命题强调以能力立意，以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，加强对知识的综合性和应用性的考查，在知识网络的交汇处设计试题．而中学数学内容可以整合为数与形的两条线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识；可以把方程视为函数值为零，不等式可以看成两个函数值的大小比较，数列、三角函数则是特殊的一类函数．所以高考试题中涉及函数的考题面大量广，一旦被编制为解答题就是中高档试题了．综观近三年浙江省有关函数综合题的考查，重在考查对函数知识理解的准确性、深刻性，重在考查与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．
以下的解答力图从学生的实际思维、知识、方法思想等情况出发，来求得压轴题的应试策略与方法．
例１．（2009年浙江理２２）已知函数，，其中．
（I） 设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（I）法一、因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当，即得时，有在上有两个相等的实根，故舍去，所以．
法二、因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根；则图象与轴的交点有下列的5种情况（图如右边）：
图（1）的充要条件是即；
图（2）与图（3）合并的结论是，即；
图（4）的充要条件是，即；
图（5）的充要条件是，即不存在．
所以，．
（II）（数形结合解题）实际上，由于是二次函数且对称轴为，是一次函数且 ，由题意，有以下三种情况图象（简图），每一个图象的轴的左边是的示意图，轴的右边的直线是的示意图而曲线是左边的图象的延伸．
图A表明且，但不合题意，也无解；
图B表明且，符合题意但无解；
图C表明且，符合题意，得．
所以，满足题意．
注：上面的方法走的路有点长，但实在、具体。
例２．（2010理22题14分）已知是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
分析：第（I）小题的求导既是解决本题的基础又是一个难点部分，当年很多考生在此就已经错了，后面的工作就白白浪费时间了．
（Ⅰ）解：，令，则；
于是，假设，是的两个实跟，且，此时
当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意．
当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故，
即，即，解得．
所以b的取值范围是（-∞，-a）．
（II）解：由（I）可知，，且；
假设存在b及满足题意，则
（1）当时，就有或，于是有，即
此时
或
（2）当时，则或，
①若 ，则；于是，即，
解得，此时，=
②若，则，于是，即，
解得；此时，
综上所述，存在b满足题意，
当时，
时，
时，
例３．（2011年理22题14分）设函数
（I）若的极值点，求实数；
（II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数．
（I）解：求导得
因为的极值点，所以
解得经检验，符合题意，所以
（II）这里用参数与变量分离方法来解决，不用命题者的思路．
对于函数，若对任意的，恒有即成立．若要进行参变分离，则需要在两边同时除于，而，于是还需要分类讨论．
当时，结论显然成立，得；
当时，，上面的问题等价于，即．令、；则问题就等价于
．
容易知道在上单调递增，故；
而在单调递增，且，故在上递减，在上单调递增，故；
于是，综上就有a的取值范围是
注：我一拿到该题，第一反应是这样的思路，也应该是考生的第一思路；它的方法应该属于“参数与变量分离”的方法，而这里的分离不算容易，应该算难于分离了，出现了、这样的函数，一般学生是有点担心做不出了。而参考答案却是很抽象的，我反对把抽象的方法教给学生，把抽象的方法教给学生只有害处。
例４．（今年样卷压轴题）设函数在内有极值．
（I）求实数的取值范围；（II）若，，求证：．
注：是自然对数的底数．
解：（I）函数的定义域是；
，当时，有，所以，由上式分子是二次函数，题意就转化为在有解且符合极值点要求，令，不妨设，由且可得；因此，只要，，得．
（II）由得或；由得或；所以得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．
由，则，由得，所以，，由且得，由，又在是递增的，所以，．即．
注：①在（I）中很少学生会使用两根式方法设定的，为满足在有解且符合极值点要求，得到如右的三个图，图1就能推得，图2和图3均无解．
②本题解题关键是能得到条件．
③对第（II）题的题意的理解很关键，理解透了就很简单，后面不成问题．
例5．（2012年理科第22题14分）已知，函数．
（Ⅰ）证明：当时，
（i）函数的最大值为；
（ii）；
（Ⅱ）若对x∈恒成立，求的取值范围．
分析：（Ⅰ）由于，结合两个问题都在变量x∈情形下进行的，对于分四种情形下把两个问题进行一次性解决．
当时
此时，恒有， 在上递增；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）．
当时，，
此时，， 在上递减，在上递增；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）．
当时，，
此时，， 在上递减，在上递增；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）
，令，则上式就是，则，所以在区间递增，即．
当时，即时，因为
所以恒有， 在上递减；因此
（i）函数的最大值为；
（ii）．
综上，所要证明的结论恒成立．
（Ⅱ）由（i）知，当，，所以；又由（ii）知恒有．
所以，对于恒成立的充要条件是，即或，由图形用线性规划方法可以求得．
点评：（1）本试题考查的知识点有绝对值、导数、函数的单调性、最值、线性规划等；考查的数学技能比较多，主要有分类讨论、分析比较、转换化归等，是下手容易走出难的特点；其实，近4年来浙江的最后压轴题都不是很难的，就是繁，做起来要走的路很长，有时间的情况下一般考一类的考生还是能得大多的分数的；那为什么得分率很低呢？主要是三大原因：考试答题到这里已经没有时间了，文字表达有一定的问题（考生理解有困难，如今年的江西理21题、北京理最后一题，一般人看后都要吓晕了），心理害怕因素（考前就已经对最后一道试题如何处理进行了定位）．
（2）第II题是不等式恒成立问题，考查的还是平时用的主要方法——最值方法，但得出结论“对于恒成立的充要条件”是需要强实的数学工夫，非一般同学能看出来的；
今年的浙江文科试题也很相似．
（文第21题15分）已知a∈R，函数．
（I）求f(x)的单调区间
（II）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0.
答案：（I）f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为；（II）略．

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