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导数构造法解决函数问题
关系式为“加”型：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意对的符号进行讨论）
（5） 构造
关系式为“减”型
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意对的符号进行讨论）
（10） 构造
【类型1 直接构造函数】
【例1】函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
【解析】
令所以为的单调递增函数，
又因为
所以不等式的解集为
【变式1-1】（1）定义在上的函数满足，对任意的有，则不等式的解集是
【解析】，令，则，
设，则，所以，即函数单调递减，
又因为，为偶函数，所以，即
（2）已知函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，所以在上单调递减
因为不等式，可等价于，
即，所以，所以或.
（3）设是定义域为的函数的导函数，，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，即，
设函数，，则在上单调递减，
又，所以，
不等式转化为：，即，所以.
（4）已知函数的定义域为，，若对任意实数都有，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记，
∵对任意实数都有，∴，
∴函数是定义在上的单调递增函数，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵函数是定义在上的单调递增函数
∴
【变式1-2】（1）设奇函数在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. c. D.
【答案】D
【解析】∵，即，
构造函数，
根据题意可知：在上，，故在上单调递减，
∵为奇函数，
∴，
即为奇函数，故在上单调递减，
因此原不等式可化为：，即，解得.
（2）已知定义在上的奇函数，若的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，则，所以，
又因为不等式的解集等价于不等式的解集.
所以
【类型2 】
【例2】设，是上的可导函数，，，求不等式的解集。
【解析】同上题的原函数为，
构造新函数可知，单调递减，
又因为即，
所以的解集是
【变式2-1】设，在上的导函数分别是，，且满足，则当时，有（ ）
【答案】C
【解析】因为不等式左边的原函数为，因此需要构造新函数，
令，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即
【类型3构造】
【例3】已知是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，，若，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】构造函数，.
由于，故函数在上单调递减或为常函数.
所以对任意正数，，若，则必有.
又因为，且，结合不等式性质，有，.
综上所述，.
【变式3-1】（1）已知是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若
，，，则，，的大小关系是
【答案】
【解析】令，由条件知，时，，即在上单调递减.
又为偶函数，则为奇函数，故在上单调递减.
又，所以.
（2）已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则，故为上的增函数，
所以，即.
【变式3-2】已知定义为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则下列关于的大小关系正确的是（ ）
D.
【答案】D
【解析】令，则.
∵当时，
∴当时，，即当时，，因此当时，函数单调递增.
∵函数为奇函数，∴，
∵，∴，即.
【变式3-3】已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
【答案】D
【解析】
令单调递减
【变式3-4】（1）已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，
因为，所以当时，；当时，．
当时，，，所以．
当时，，，所以．
当时，，所以．
综上所述，故答案为C．
（2）已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数，则的对称轴为，
构造函数，则关于对称，
当时，由，得，
则在上单调递增，在上也单调递增，
故，∴．本题选择A选项．
【类型4 构造 】
【例4】已知函数的定义域为R，且对任意的，则对任意正数必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造函数，则，故在上单调递增，
又，所以，即，所以，故选.
【变式4-1】已知为上的可导函数，且对任意的，均有.是比较与的大小
【答案】
【解析】构造函数，
则，即在上单调递减，
故，即，即.
【变式4-2】已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
.
【答案】A
【解析】
令
所以为上的单调减函数，
又因为，故不等式的解集为
【变式4-3】定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因为，设，则，
不等式，
设函数，，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
综上可判断出在定义域内单调增且，
因此原不等式的解集为.
【类型5 】
【例5】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为上的奇函数，所以，设，
所以，所以为上奇函数，
对求导，得，
而当时，有
故时，，即单调递增，
又为上可到，在处连续，所以在上单调递增，
不等式，
，
，
即，所以，解得
【变式5-1】已知函数的定义域为，且其图象关于坐标原点对称，当时，对（为的导函数），则使得成立的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，由题可知为奇函数，
∴也为奇函数，，
∵当时，，即.
当时，，∴在上单调递减.
∵在上为奇函数，∴在上单调递减，且，
当时，，即，
当时，，
当时，，
∵，
∴①当时，由，得，解得解集为；
②当时，，则的解集为空集；
③当时，由，的，解得的解集为
综上所述，的取值范围为.
【变式5-2】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，，
所以在上单调递增，
，即，
所以.
，所以.
【变式5-3】已知偶函数的定义域为，是的导数，，
不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，定义域是.
显然，是偶函数，
时，由，得，
又，时，，，
不等式，
即为，，即，
∴，∴或.
【类型6 】
【例6】设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
而可化为，又，
即，解得，
所以不等式的解集是.
【类型7 】
【例7】设、是定义域为的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
由，得，
因为所以，
又、是定义域为的恒大于0的可导函数，
故..
【变式7-1】设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造函数，因为，故是奇函数.
又，故当时，，单调递减.
又，再根据奇偶性画出的简图.
易得的解集为，即不等式的解集是
【变式7-2】已知函数的导数为，若，且，则不等式
的解集是
【答案】
【解析】由可得，
所以，即.
令，即，则单调递增.
不等式，
而，
所以不等式，
所以，解得.
【变式7-3】（1）函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，
则不等式的解集是
【答案】
【解析】∵，∴，
构造函数，则，
当时，，∴在单调递增，
∴不等式，即，
∴
（2）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵且，∴是奇函数,
设，
则时，，∴在上是减函数.
又是奇函数，
∴也是奇函数，因此在是递减，
从而，在上是减函数，
不等式为，即，∴.
【类型8 】
【例8】（2015 全国新课标卷）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围时（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】构造函数，则，
因为当时，，
故当时，，所以在上单调递减；
又因为上是奇函数，故函数是偶函数，
所以在上单调递增，且.
当时，，则；
当时，，则，
综上所述，使得成立的的取值范围是.
【变式8-1】已知在上可导，且，若对任意，，试解不等式
【答案】
【解析】当时，，则，
记，则为偶函数，
又，故对，.
所以，在上单调递增，
由原不等式变形得，，
则，即，
故，且.
当时，，不符合原不等式，
因此，不等式的解集为.
【变式8-2】设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
【解析】令
当时，
因为为上的奇函数且，所以，，
所以当时，
当时，又因为，故为偶函数，
当，
当时，
综上，的解集为
【变式8-3】（1）是定义在上的非负可导函数，且，对任意正数，若则必有（ ）
【解析】，
则应设，
在上，函数，单调递减，
因此，即
（2）是定义在上的非负、可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则；
因为，
所以时，，则函数在上是减函数或者常函数；
所以对任意正数，若，则必有.
∵是定义在上的非负可导函数，
∴
∵，∴，两式相乘得.
【变式8-4】设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，
∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增，
∵是定义在上的偶函数，∴，
即是定义在上的奇函数，
∴在上也单调递增.
又，∴，∴.不等式的解可等价于即的解，
∴或，∴不等式的解集为.故选：B.
【类型9 型】
【例9】已知是上的可导函数，且任意，均有，则有（ ）
A.
.
C.
D.
【答案】D
【解析】构造函数，则，
所以函数在上单调递减，
故，即，；
同理，，即，故选D
【变式9-1】可导函数满足，比较与的大小。
【答案】
【解析】构造，则，
所以是上的单调递增函数，
因此，即，.
【变式9-2】已知定义在R上的可导函数的部分导函数为，满足且为偶函数，，求不等式的解集.
【答案】
【解析】设函数，则，
所以函数是上的单调递减函数。
又为偶函数，，
所以，函数关于直线对称且，
则，即，即，
而函数是上的单调递减函数，
所以，即不等式的解集为.
【变式9-3】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的
底数，则（ ）
【答案】C
【解析】由，构造函数，求导得，
函数在定义域内单调递增，所以
【变式9-4】设为的导函数，且,（为自然对数的底数），则不等式的解集为
【答案】
【解析】，令
为上的递增函数，
，令，，则不等式可化为，即
不等式可化为：，即解得
【类型10 】
【例10】定义在上的函数满足，且，求的取值范围.
【答案】
【解析】由，且得，，且，
即且，
则函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
故，，即.
【变式10-1】已知定义在R上的函数,满足恒成立，且（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】得，前面有系数3，应涉及到复合函数求导问题.
构造函数，得，
所以函数在上单调递减，故有，
所以；同理，即.
【变式10-2】已知是定义在R上的偶函数，当时，若，则的解集为（ ）
A.（-2,2） B. C. D.
【答案】A
【解析】由，而知：在上单调减，
而，即，
又知：，
∴在上有，又是定义在上的偶函数，
则在上为偶函数，
所以在上单调增，
即，可得，
综上，有.
【变式10-3】已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知函数是上的单调递减函数，
且当时，，
据此可得：，即 恒成立，
令，则，
据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数的最小值为，则，
据此可得：实数的取值范围是．故选：．
【变式10-4】（难）设是函数的导函数，若对任意的实数，都有，且，则不等式的解集为______
【答案】
【解析】设，则，
因为，所以，
即在上为增函数，且.
所以不等式，
解得 1

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