2021-2022中考二轮专题 “PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)(word版含答案)

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2021-2022中考二轮专题 “PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)(word版含答案)

资源简介

“PA+k·PB”型的最值问题
【问题背景】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k值为 1
时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“饮马问题”模型
来处理,即可以转化为轴对称问题来处理。
而当 k取任意不为 1的正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无
法进行,因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点 P所在图像的不同来分类,一般分为 2类研究。
即点 P在直线上运动和点 P在圆上运动。
其中点 P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
点 P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】
线段最值问题常用原理:
①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②两点间线段最短;
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
【模型初探】
(一)点 P在直线上运动
“胡不归”问题
如图 1-1-1所示,已知 sin∠MBN=k,点 P为角∠MBN其中一边 BM上的一个动
点,点 A在射线 BM、BN的同侧,连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的
位置如何确定
分析:本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,过点 P作 PQ⊥BN垂足为
Q,则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2),
即 A、P、Q三点共线时最小(如图 1-1-3),本题得解。
图 1-1-1
图 1-1-2
图 1-1-3
动态展示:见 GIF格式!
思考:当 k值大于 1时,“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢?
提取系数 k即可哦!!!
【数学故事】从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危
的消息后,便立即启程赶路。由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原
理,所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B(如图所示),而忽视了走折线虽
然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气,小
伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?
胡不归?…何以归”。这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到
家?倘若可以,他应该选择一条怎样的路线呢?这就是风靡千百年的“胡不归问
题”。
【模型初探】
(二)点 P在圆上运动
“阿氏圆”问题
如图所示 2-1-1,⊙O的半径为 r,点 A、B都在⊙O外,P为⊙O上的动点,
已知 r=k·OB.连接 PA、PB,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确
定?
A
A
B
P
C
P
P
A
O
B
B
C
O
O
图 2-1-1
图 2-1-2
图 2-1-3
分析:本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,(如图 2-1-2)在线段 OB
上截取 OC使 OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似,即 k·PB=PC。
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,即 A、P、C
三点共线时最小(如图 2-1-3),本题得解。
动态展示:见 GIF格式!
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,已知平面上两点 A、B,则所有满足
PA=kPB(k≠1)的点 P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现,故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤:
第一步:连接动点至圆心 O(将系数不为 1的线段的两个端点分别与圆心
相连接),则连接 OP、OB;
第二步:计算出所连接的这两条线段 OP、OB长度;
OP
第三步:计算这两条线段长度的比
k ;
OB
OC OP
第四步:在 OB上取点 C,使得


OP OB
第五步:连接 AC,与圆 O交点即为点 P.
【模型类比】
① “胡不归”构造某角正弦值等于小于 1系数
起点构造所需角(k=sin∠CAE)--------过终点作所构角边的垂线----------
利用垂线段最短解决问题
② “阿氏圆”构造共边共角型相似
构造△PAB∽△CAP推出 PA
2
AB
即:半径的平方=原有线段 构造线段
【典型例题】
1.(胡不归问题)如图,四边形 ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M为对角线
1
BD(不含 B点)上任意一点,则 AM+ BM的最小值为
2
.
A
D
1
分析:如何将 BM转化为其他线段呢?
2
1
即本题 k值为 ,必须转化为某一角的正弦值啊,
2
M
即转化为 30°角的正弦值。
思考到这里,不难发现,只要作 MN垂直于 BC, B
C
1
1
则 MN= BM,即 AM+ BM最小转化为 AM+MN最小,本题得解。
2
2
A
D
详解:如图,作 AN⊥于 BC垂足为 N,
∵四边形 ABCD是菱形且∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,
M
1
MN
BM
即 sin∠DBC= =
2

B
C
N
1
∴ BM=MN,
2
1
1
∴AM+ BM=AM+MN,即 AM+ BM的最小值为 AN.
2
2
3
在 RT△ABN中,AN=AB·sin∠ABC=6
3 3
.
2
1
∴AM+ BM的最小值为3 3 .
2
变式思考:(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗?
(2) 本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗?
答案:(1)6 3 (2)6 3
本题也可用“费马点”模型解决哦!!!!----详见:本公众号前文!
2.(阿氏圆问题) 如图,点 A、B在☉O上,且 OA=OB=6,且 OA⊥OB,点 C是 OA
的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在☉O上,则 2PC PD的最小值为__________.
分析:如何将 2PC转化为其他线段呢?
不难发现本题出现了中点,即 2倍关系
就出现了。套用“阿氏圆”模型:
构造共边共角相似
半径的平方=原有线段 构造线段
E
详解:∴连接 OP,在射线 OA上截取 AE=6.
即:OP ∴△OPC∽△OEP
∴ PE 2PC
∴ 2PC PD PE PD ,即 P、D、E三点共线最小.
在 RT△OED中,
16 144 4 10
2
OC OE
A
C
P
D
B
O
DE

OD
2

OE
2
即 2PC PD的最小值为 4 10 .
1
变式思考:(1)本题如要求“ PC PD ”的最小值你会求吗?
2
3
(2) 本题如要求“ PC PD ”的最小值你会求吗?
2
A
C
P
B
答案:(1)2 10 (2)3 10
O
D
E
【变式训练】
(胡不归问题)
1.如图,等腰△ABC中,AB=AC=3,BC=2,BC边上的高为
AO,点 D为射线 AO上一点,一动点 P从点 A出发,沿 AD-DC
运动,动点 P在 AD上运动速度 3个单位每秒,动点 P在
CD上运动的速度为 1个单位每秒,则当 AD=
运动时间最短为 秒.
时,
7
4
3
答案: 2 ,
2
4
2.如图,在菱形 ABCD中,AB=6,
且∠ABC=150°,点 P是对角线 AC上的一个动点,
则 PA+PB+PD的最小值为
.
答案:6
2
本题也可用“费马点”模型解决哦!!!
【中考真题】
(胡不归问题)
1.(2016 徐州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax
2
+bx+c的图像经过
点 A(-1,0),B(0,- 3)、C(2,0),其中对称轴与 x轴交于点 D。
1
若 P为 y轴上的一个动点,连接 PD,则 PB PD 的最小值为

2
8 3
9
2.(2014.成都)如图,已知抛物线 y
(x 2)(x 4) 与 x轴从左至右依次交于点
3
4 3
3
A、B,与 y轴交于点 C,经过点 B的直线 y
D(-5,3 3)。
x
与抛物线的另一个交点为
3
设 F为线段 BD上一点(不含端点),连接 AF,一动点 M从点 A出发,沿线段 AF
以每秒 1个单位的速度运动到 F,再沿线段 FD以每秒 2个单位的速度运动到 D
后停止,当点 F的坐标为
时,点 M在整个运动过程中用时最少?
3
答案: 3 , 2,2 3
4
课外提升:2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不
归”问题。
要好好专研哦!!!
(胡不归问题变式)
【变式训练】
(阿氏圆问题)
1.(1)【问题提出】:如图 1,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,
1
⊙C半径为 2,P为圆上一动点,连结 AP,BP,求 AP+ BP的最小值.
2
尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图 2,连接 CP,在
CD CP
1
CB上取点 D,使 CD=1,则有

,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,
CP CB
2
PD
BP
1
1
1

,∴PD= BP,∴AP+ BP=AP+PD.
2
2
2
1
请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+ BP的最小值为___________ .
2
1
(2).【自主探索】:在“问题提出”的条件不变的情况下, AP+BP的最小
3
值为___________.
(3).【拓展延伸】:已知扇形 COD中,∠COD=90 ,OC=6,OA=3,OB=5,
点 P是 CD上一点 ,则 2PA+PB的最小值为___________.
2
答案: 37 , 37 ,13.
3
2.如图,在直角坐标系中,以原点 O为圆心作半径为 4的圆交 X轴正半轴于点 A,
1
点 M坐标为(6,3),点 N坐标为(8,0), 点 P在圆上运动,求 PM PN 的最小值
2
3.如图,半圆的半径为 1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为

一动点,求 PC+PD的最小值为__________.
3
答案:5, 2 .
2
【中考真题】
(阿氏圆问题)
(2017·甘肃兰州)如图,抛物线 y x2 bx c 与直线 AB 交于 A 4, 4 ,B 0,4
1
两点,直线 AC : y
交 y 轴与点C ,点 E
2
是直线 AB 上的动点,过点 E 作 EF x 轴交 AC
于点 F ,交抛物线于点G .
(1)求抛物线 y
x2
x
的表达式;
(2)连接GB ,EO ,当四边形GEOB 是平行四边
形时,求点G 的坐标;
(3)①在 y 轴上存在一点 H ,连接 EH , HF ,
当点 E 运动到什么位置时,以 A,E,F,H 为顶点的四边形是矩形?求出此时点 E,H
的坐标;
②在①的前提下,以点 E 为圆心, EH 长为半径作圆,点 M 为⊙E 上一动点,求
1
AM
的最小值.
2
答案:(1) y=﹣x
2
﹣2x+4;(2) G(﹣2,4);
5 5
(3)①E(﹣2,0).H(0,﹣1);②

2
写在最后:
“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题,即“PA+k·PB”
(k≠1的常数)型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将
k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段 PC的长度,进而根据“垂线段最短
或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对 k值进行转化,“胡不归”需要构造某角
1
k2
的正弦值等于 k(如 k值>1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于 或等于 )
k
k1
将 k倍线段转化,再利用“垂线段最短”解决问题;
“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题,始终抓住点在圆上这个重要
信息,构造以半径为公共边的一组相似三角形,k值如大于 1则将线段扩大相同
的倍数取点,k值如小于 1则将线段缩小相同的倍数取点利用,再“两点之间线
段最短”解决问题。

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