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必修二 第七章 机械能守恒定律 章末小结
一、单项选择题（共10小题；共40分）
1. 如图所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地高 的 点滑到同一水平面上，轨道 、 是光滑的，轨道 是粗糙的，则
A. 沿轨道 滑下重力做功多
B. 沿轨道 滑下重力做功多
C. 沿轨道 滑下重力做功多
D. 沿三条轨道滑下重力做的功一样多
2. 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为 的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的 点，已知杆与水平面之间的夹角 ，当小球位于 点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。现让小球自 点由静止释放，小球在 、 间某点静止，在小球滑到最低点的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是
A. 小球的动能与重力势能之和保持不变
B. 小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C. 小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D. 小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
3. 如图所示，光滑水平面上 、 、 三个质量均为 的物体紧贴着放在一起， 、 之间有微量炸药。炸药爆炸过程中 对 做的功为 ，若炸药爆炸过程释放的能量全部转化为三个物体的动能，则炸药爆炸过程中释放出的能量为
A. B. C. D.
4. 如图，一半径为 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径 水平。一质量为 的质点自 点上方高度 处由静止开始下落，恰好从 点进入轨道。质点滑到轨道最低点 时，对轨道的压力为 ， 为重力加速度的大小。用 表示质点从 点运动到 点的过程中克服摩擦力所做的功。则
A. ，质点恰好可以到达 点
B. ，质点不能到达 点
C. ，质点到达 点后，继续上升一段距离
D. ，质点到达 点后，继续上升一段距离
5. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为 、套在粗糙竖直固定杆 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 处由静止开始下滑，到达 处的速度为零，。如果圆环在 处获得一竖直向上的速度 ，恰好能回到 处。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 。则
A. 从 到 的下滑过程中，圆环的加速度一直减小
B. 从 下滑到 过程中弹簧的弹性势能增加量等于
C. 从 到 的下滑过程中，克服摩擦力做的功为
D. 上滑过程系统损失的机械能比下滑过程多
6. 一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处。物块初动能为 ，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能 与位移 关系的图线是
A. B.
C. D.
7. 如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为 ，从 点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到 点恰好静止。物块向左运动的最大距离为 ，与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中
A. 弹簧的最大弹力为 B. 弹簧的最大弹性势能为
C. 物块克服摩擦力做的功为 D. 物块在 点的初速度为
8. 我国高铁技术处于世界领先水平，复兴号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。某短编组列车由 节车厢组成，其中第 、 节车厢为动车，其余为拖车，若改为 节动车带 节拖车的长编组，则列车的最大速度变为原来的
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
9. 如图，原长为 的轻弹簧一端固定一质量为 的小球，另一端套在光滑轴 上。将球拉至弹簧水平且处于原长状态，由静止释放。摆至竖直位置时弹簧的长度变为 ，不计空气阻力。则
A. 经竖直位置时弹簧的弹力大小为
B. 经竖直位置时小球的动能为
C. 下摆过程中小球的机械能守恒
D. 下摆过程中小球减少的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能
10. 物体以某一速度冲上粗糙的固定斜面，上升到 高处后返回斜面底端。若物体在向上、向下运动过程中动能与重力势能相等时的高度分别为 、 ，则
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共14分）
11. 质量为 的物体做匀加速直线运动，从 增加至 ，则该物体的初动能为 ，动能的增加量为 。
12. 据报道： 年澳大利亚科学家利用 长的电磁轨道炮，将质量为 的弹丸以 的高速发射获得成功。假设弹丸在轨道炮内做匀加速直线运动，弹丸所受的合力为 。如果每分钟能发射 颗弹丸，该电磁轨道炮的输出功率约为 。
13. 如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周做匀速运动。当绳的拉力为 时，圆周半径为 ；当绳的拉力增大到 时，小球恰可沿半径为 的圆周匀速运动。在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为 。
14. 质量为 的人造地球卫星与地心的距离为 时，引力势能可表示为 ，其中 为引力常量， 为地球质量。该卫星原来在半径为 轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为 ，则变轨后的周期 （填“变大”“变小”或“不变”），此过程中因摩擦而产生的热量为 。
三、解答题（共3小题；共39分）
15. 用如图所示装置用来演示小球在竖直面内的圆周运动，倾斜轨道下端与半径为 的竖直圆轨道相切于最低点 。质量为 的小球从轨道上某点无初速滚下，该点距离圆轨道最低点 的竖直高度为 。小球经过最低点 时的速度大小为 ，经过最高点 时恰好对轨道无压力。已知重力加速度 ，求：
（1）小球经过最高点 时速度的大小。
（2）小球经过最低点 时对轨道压力的大小。
（3）小球从开始运动到圆轨道最高点过程中损失的机械能。
16. 如图所示，将一根轻质弹簧和一个质量为 的小圆环穿在水平细杆上，弹簧左端固定，右端与小圆环相接触（但不拴接，小环可脱离）， 和 是由细杆弯成的两段 圆弧， 杆与 圆弧下端相切， 圆弧上端与 圆弧下端相切， 圆弧的半径为 。 圆弧的半径为 ， 点为弹簧自由端的位置，整个轨道竖直放置，除 段粗糙外，其余部分均光滑。用外力抓住小圆环缓慢向左压缩弹簧，当弹簧的压缩量为 时释放，小圆环弹出后恰好能到达 点，返回水平杆时刚好与弹簧接触停在 点，重力加速度为 （已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，小球通过 处和 处没有能量损失）。求：
（1）当弹簧的压缩量为 时，弹簧具有的弹性势能。
（2）若将小圆环放置在弹簧的压缩量为 位置释放，小圆环到达最高点 时，轨道所受到的作用力 。
（3）为了使小圆环能停在 的中点，弹簧具有的弹性势能。
17. 如图所示，水平面右端放一大小可忽略的小物块，质量 ，以 向左运动，运动至距出发点 处将弹簧压缩至最短，反弹回到出发点时速度大小 。水平面与水平传送带理想连接，传送带长度 ，以 顺时针匀速转动。传送带右端与一竖直面内光滑圆轨道理想连接，圆轨道半径 ，物块进入轨道时触发闭合装置将圆轨道封闭。（，，）求：
（1）物体与水平面间的动摩擦因数 。
（2）弹簧具有的最大弹性势能 。
（3）要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物体间的动摩擦因数 应满足的条件。
答案
第一部分
1. D
2. B
【解析】小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒。弹簧处于原长时弹性势能为零，小球从 点到最低点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错，B项正确；
小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错；
小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错。
3. C
【解析】因为在光滑水平面上，整个系统动量守恒，爆炸后 与 速度相等，又 对 做的功为 ，根据动能定理结合 ，可得 的速度 。根据动量守恒有 ，根据能量守恒有 。
4. C
【解析】质点由静止开始下落到最低点 的过程中
由动能定理：
质点在最低点：
由牛顿第三定律得：
联立得 ，质点由 点到 点的过程中在等高位置处的速度总小于由 点到 点下滑时的速度，故由 点到 点过程克服摩擦力做功 ，故质点到达 点后，会继续上升一段距离，选项 C 正确。
5. C
【解析】A.圆环从 处由静止开始下滑，经过 处的速度最大，到达 处的速度为零，所以圆环先做加速运动，再做减速运动，经过 处的速度最大，所以经过 处的加速度为零，所以加速度先减小，后增大，故A错误；
BC.研究圆环从 处由静止开始下滑到 过程，运用动能定理列出等式：，在 处获得一竖直向上的速度 ，恰好能回到 ，运用动能定理列出等式：。解得：，则克服摩擦力做的功为 ，故C正确；从上述分析知：，所以在 处，弹簧的弹性势能为 ，则从 下滑到 过程中弹簧的弹性势能增加量等于 ，故B错误。
D.由能量守恒定律知，损失的机械能全部转化为摩擦生热了，而摩擦生热 ，显然两个过程相等，选项D错误。
6. C
【解析】设斜面的倾角为 ，物块的质量为 ，去沿斜面向上为位移正方向；根据动能定理可得：
上滑过程中：，
所以 ；
下滑过程中：，
所以 ；
根据能量守恒定律可得，最后的总动能减小。故C正确、ABD错误。
7. B
【解析】由题意得 最大时，物体即将反向运动，则 ，A错误；
从物体即将被弹回到物体静止在 点，弹性势能全部转化为摩擦生热，故 ，B正确；
物体克服摩擦力做功 ，C错误；
根据能量守恒 ，。
8. A
【解析】设每节动车的功率为 ，每一节车厢的质量为 ，阻力为 ，当只有两节动力车时，，改为 节动车带 节拖车时候，，解得 ，故选A。
9. D
【解析】经竖直位置时，小球有水平向左的分速度，需要提供向心力，而向心力由指向圆心的合力提供，所以弹簧的弹力大小应大于 ，故A错误；由静止释放摆至竖直位置时，小球重力势能减小量为 ，一部分转化为小球的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能，所以经竖直位置时小球的动能小于 ，故B错误；弹簧的弹力对小球做负功，因此小球的机械能不守恒，故C错误；由系统的机械能守恒知，下摆过程中小球减小的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，故D正确。
10. A
第二部分
11. ；
12. ；
【解析】[ ]弹丸在轨道炮内做匀加速直线运动，以 ，
的高速飞出轨道炮，根据动能定理有 ，
代入数据解得 ，
[ ]发射一颗炮弹做的功为 ，
所以，如果每分钟能发射 颗弹丸，则该电磁轨道炮的输出功率为 。
13.
14. 变小；
【解析】根据万有引力提供向心力得：
则：
受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间其轨道半径减小，则可知卫星的周期也减小；
卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则
轨道半径为 时 ，
卫星的引力势能为
轨道半径为 时
卫星的引力势能为
设摩擦而产生的热量为 ，根据能量守恒定律得：
联立① ⑤得 。
第三部分
15. （1）
【解析】小球在 点恰好对轨道无压力，根据牛顿第三定律知在 点轨道对小球没有作用力，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律：
可得 。
（2）
【解析】小球在最低点 处时，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
解得
由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力大小 ，则 。
（3）
【解析】对小球从开始释放到最高点 的过程，由能量守恒定律得
解得 。
16. （1）
【解析】由于小圆环恰好能到 点，则由功能关系知
由于返回时停在 点，由功能关系知
联立解得 。
（2） ；方向向下
【解析】由于弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，则
由功能关系知
联立解得
由牛顿第二定律知
解得
方向向下。
（3）
【解析】为了使物块停在 中点，则要求滑块达到的最高点为 点，则
为了使物块停在 中点，同时还应满足
联立可得 。
17. （1）
【解析】小物块在水平面向左运动再返回的过程，根据能量守恒定律得
代入数据解得 。
（2）
【解析】小物块从出发到运动到弹簧压缩至最短的过程，由能量守恒定律得，
弹簧具有的最大弹性势能 ，
代入数据解得 。
（3） 或
【解析】本题分两种情况讨论：
①设物块在圆轨道最低点时速度为 时，恰好到达圆心右侧等高点。
根据机械能守恒得 ，得 ，
说明物块在传送带上一直做匀加速运动。
由动能定理得：，
解得 。
②设物块在圆轨道最低点时速度为 时，恰好到达圆轨道最高点。
在圆轨道最高点有：，
从圆轨道最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得
解得
说明物块在传送带上一直做匀加速运动。
由动能定理得：
解得 。
所以要使物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物体间的动摩擦因数 应满足的条件是 或 。
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