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初二第一学期期末参考样题
数 学 2022.1
学校 姓名 准考证号
考 生 须知 本样题共 8 页，共三部分，28 道题，满分 100 分。考试时间 90 分钟。 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是
A B C D
2021 年 10 月 16 日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现 “径向对接”， 对接过程的控制信息通过微波传递. 微波理论上可以在 0.000 003 秒内接收到相距约 1 千米的信息. 将数字 0.000 003 用科学记数法表示应为
A． 30 103 B． 3106 C． 3105 D． 0.3104
下列变形是因式分解的是
A． x(x 1) x2 x B． x2 6x 4 (x 3)2 5
C． x2 xy 3 x(x y) 3 D． x2 2x 1 (x 1)2
下列计算正确的是
A． (3a3 )2 9a6 B． a3 a2 2a5 C． a3 a2 a6 D． a8 a2 a4
(
数学试卷
第
1
页
（共
8
页）
)
如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上一点，DE⊥AC 于点 E.
若 EC = 3，则 DC 的长为
A．4 B．5
C．6 D．7
下列变形正确的是
如图，△ABC≌△DEC，点 E 在线段 AB 上，∠B=75°，则∠ACD 的度数为
A．20° B．25°
C．30° D．40°
某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福. 小冬以长方形 ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示. 若四个正方形的周长之和为 24， 面积之和为 12，则长方形 ABCD 的面积为
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
若分式 1
x 2
有意义，则 x 的取值范围是 .
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（2，4）与点 B 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标是 .
11. 分解因式： 3a2 12 = .
若 x 4 是关于 x 的方程 的解，则 m 的值为 .
若等腰三角形有一个角为 40°，则它的顶角度数为 .
在 处填入一个整式，使关于 x 的多项式 x2 +
.（写出一个即可）
+1 可以因式分解，则 可以为
如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， CE⊥AB 于点 E，AD
与 CE 交于点 F，连接 BF. 若 BF 平分∠ABC，EF=2，BC=8，则
△CDF 的面积为 .
如图，在△ABC 中，AC=BC，以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧交
BC 于点D，交 AC 于点E. 再分别以点 C，D 为圆心，大于 CD 的
长为半径作弧，两弧相交于 F，G 两点. 作直线 FG. 若直线 FG 经过点 E，则∠AEG 的度数为 °.
三、解答题（本题共 60 分，第 17、18、19、21、22 题每题 4 分，第 20、23、24、25 题每题
5 分，第 26 题 6 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分）
17. 计算：
18. 化简： (x 2)2 (x 3)(x 1) .
19. 化简：
20. 解方程：
如图，已知线段 AB 及线段 AB 外一点 C，过点 C 作直线 CD，使得 CD⊥AB.
小欣的作法如下：
① 以点 B 为圆心，BC 长为半径作弧；
② 以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点 D；
③ 作直线 CD.
则直线 CD 即为所求.
根据小欣的作图过程补全图形；
完成下面的证明.
证明：连接 AC，AD，BC，BD.
∵ BC BD，
∴ 点 B 在线段 CD 的垂直平分线上.（ ）（填推理的依据）
∵ AC ，
∴ 点 A 在线段 CD 的垂直平分线上.
∴ 直线 AB 为线段 CD 的垂直平分线.
∴ CD⊥AB.
在 3×3 的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形. 图中△ABC 是一个格点三角形. 请在图 1 和图 2 中各画出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形，并画出对称轴.
图 1 图 2
23. 如图，在△ABC 中，∠B=∠C，点 D，E 在 BC 边上，AD=AE. 求证：CD=BE.
24.已知2+2-1=0，求代数式 的值
25.某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
26. 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A( 4，0)，B(4，0)，C(0，4)，给出如下定义：若
P 为△ABC 内(不含边界)一点，且 AP 与△BCP 的一条边相等，则称 P 为△ABC 的友爱点．
（1）在 P1(0，3)，P2( 1，1)，P3( 2，1)中，△ABC 的友爱点是 ；
如图 2，若 P 为△ABC 内一点，且PAB PCB 15 , 求证：P 为△ABC 的友爱点；
直线 l 为过点 M (0，m) 且与 x 轴平行的直线，若直线 l 上存在△ABC 的三个友爱点，
直接写出 m 的取值范围 ．
图 1 图 2
27.在分式 中，若 M ，N 为整式，分母 M 的次数为 a，分子 N 的次数为b(当 N 为常数时，
b 0 )，则称分式 为a b 次分式. 例如，
为三次分式.
请写出一个只含有字母 x 的二次分式 ；
已知 （其中 m，n 为常数）.
若 m 0 ， n 5 ，则 A B ， A B ， A B ， A2 中，化简后是二次分式的为
；
若 A 与 B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为 1，求2m n 的值.
28.在△ABC 中，∠B=90°，D 为 BC 延长线上一点，点 E 为线段 AC，CD 的垂直平分线的交点，连接 EA，EC，ED．
（1）如图 1，当∠BAC=50°时，则∠AED = °；
（2）当∠BAC=60°时，
① 如图 2，连接 AD，判断△AED 的形状，并证明；
② 如图 3，直线 CF 与 ED 交于点 F，满足∠CFD=∠CAE．P 为直线 CF 上一动点．当PE PD 的值最大时，用等式表示 PE，PD 与 AB 之间的数量关系为 ， 并证明．
图 1 图 2 图 3初二第一学期期末参考样题
数 学 答 案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A C B C B
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. ； 10.（，4）； 11. ； 12. 5； 13. 40°或100°；
14. 2x（答案不唯一）； 15. 4； 16. 126.
三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）
17. .
解：原式= ----------------------3分
=. ----------------------4分
18. 化简：.
解：原式= ----------------------2分
=. ----------------------4分
19. 化简：.
解：原式= ----------------------2分
= ----------------------3分
=. ----------------------4分
20. 解方程：.
解：方程两边同乘，得 ----------------------1分
. ----------------------3分
解得. ----------------------4分
检验：当时，.
∴ 原分式方程的解为. ----------------------5分
21. （1）
---------------------2分
（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；----------------------3分
AD . ----------------------4分
22. 如图（答案不唯一）.
---------------------2分
---------------------4分
23. 证明：∵ AD=AE，
∴ ∠AEB=∠ADC. ----------------------1分
在△CAD与△BAE中，
∴ △CAD≌△BAE. ----------------------4分
∴ . ----------------------5分
24. 解：∵ ，
∴ ． ----------------------1分
原式=
=
= ----------------------3分
= ----------------------4分
=． ----------------------5分
25. 解：设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器．---------1分
依题意，得． ----------------------2分
解得 ． ----------------------3分
经检验，是原分式方程的解且符合实际． ----------------------4分
∴．
答：现在平均每天生产200台机器． ----------------------5分
26．（1）P1，P2； ----------------------2分
（2）证明：∵ 点A(-4，0)，B(4，0)，C(0，4)，
∴ AO=CO=BO．
∵ ∠AOC=∠BOC=90°，
∴ ∠CAO=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°．
∴ AC＝BC，∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°． ----------------------3分
∵ ∠PAB =∠PCB=15°，
∴ ∠CAP=∠CAO -∠PAB=30°，∠ACP=∠ACB -∠PCB=75°．
∴ ∠APC=180°-∠ACP -∠CAP=75°．
∴ ∠APC=∠ACP．
∴ AP=AC．
∴ AP=BC．
∴ 点P为△ABC的友爱点． ----------------------4分
（3）0＜m＜2． ----------------------6分
27. （1），答案不唯一． ----------------------1分
（2）①，； ----------------------3分
② ∵ ，
∴ ．
∵ 与的和是一次分式，
∴ m0． ----------------------4分
∴ ．
∵ 与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
∴ 或 ．
∴ 或 ． ----------------------6分
∴ 或 ． ----------------------7分
28.（1）80； ----------------------1分
（2）① △AED是等边三角形． ----------------------2分
证明： ，，
∴ ．
线段AC, CD的垂直平分线交于点E，
∴ EA=EC=ED． ----------------------3分
∴ ∠EAC=∠ACE，∠EDC=∠DCE．
在四边形EACD中，
．
EA=ED，
∴ △AED是等边三角形． ----------------------4分
② 数量关系：PEPD＝2AB. ----------------------5分
证明：作点D关于CF的对称点G，直线EG交CF于点P，此时PE－PD最大.
连接AD，GC，GD.
∵ ∠CFD＝∠CAE，∠CFD＋∠CFE＝180°，
∴ ∠CAE＋∠CFE＝180°.
∵ ∠AEF＝60°，
∴ ∠ACF＝360°(∠CAE＋∠CFE＋∠AEF)＝120°.
∵ ∠ACD＝150°，
∴ ∠DCP＝∠ACD∠ACF＝30°. ----------------------6分
∵ 点D与点G关于CF对称，
∴ ∠GCD＝2∠DCP＝60°，GC＝CD ，GP＝PD.
∴ △GCD为等边三角形 .
∵ ∠CDG＝∠ADE＝60°，DG＝DC，DE＝DA，
∴ ∠1＝∠2.
∴ △ACD ≌ △EGD（SAS）.
∴ AC＝EG.
∴ PEPD＝EG＝AC.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴ AC=2AB.
∴ PEPD＝2AB. ----------------------7分
5

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