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浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2018九上·深圳期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，所以A错误；
B、不是轴对称图形，所以B错误；
C、不是轴对称图形，所以C错误；
D、是轴对称图形，所以D正确.
故选D.
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，根据轴对称图形的概念求解即可. 关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形是轴对称图形.
2．（2019·金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，
∴a的取值范围为：2＜a＜8，
∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.
故答案为：C.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.
3．（2017七下·抚宁期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故答案为：D．
【分析】从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线；
根据三角形高线的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答.
4．（2021八上·义乌期中）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（　　）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°.
故答案为：A.
【分析】分两种情况：①当70°是顶角时，②当70°是底角时，据此解答即可.
5．（2019八上·吴兴期末）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】（1）当 时， ，此时 ，
∴当 时，能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故可以选A；
（ 2 ）当 时， ，此时 ，
∴当 时，不能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故不能B；
（ 3 ）当 时， ，此时 ，
∴当 时，不能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故不能C；
（ 4 ）当 时， ，此时 ，
∴当 时，不能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故不能D；
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可知a=-2是假命题的一个反例 ;由正数的绝对值是它本身，正数的相反数是负数可知B、C、D都不是假命题的一个反例 .
6．（2021八上·义乌期中）若a＞b，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C． a﹣1＞ b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由不等式的性质可作出判断：
A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；
B：当m＝0时，两边都得0，故B错误；
C：在a＞b两边同时乘以 ，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定成立，故C正确；
D：不等式两边都加﹣2，不等号方向不变，故D错误.
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．（2021八上·金华期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO，∠ECD=∠CED，
设∠O=∠CDO=x，则∠ECD=∠CED=∠O+∠CDO=2x，
∵∠BDE=∠O+∠CED=75°
∴x+2x=3x=75°，
解之：x=25°，
∴∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO=180°-75°-x=180°-75°-25°=80°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠O=∠CDO，∠ECD=∠CED，设∠O=∠CDO=x，利用三角形的外角的性质可表示出∠ECD，∠CED；再利用三角形的外角的性质，建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO，代入计算可求出∠CDE的度数.
8．（2019八下·汉阳期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）
A． B． C．4 D．7
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC= ，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC= .
故答案为：A.
【分析】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CBE，从而利用ASA判断出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的对应边相等得出BE=AD=3，然后利用勾股定理即可算出BC的长，AC的长，得出答案.
9．（2021八上·义乌期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1﹣S2+S3+S4等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质
【解析】【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC.
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC.
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故答案为：B.
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，Rt△FPT≌Rt△EMK，Rt△AQF≌Rt△ACB，Rt△ABC≌Rt△EBN，从而得出S2＝SRt△ABC，S3＝S△FPT，S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，S4＝SRt△ABC，从而得出S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+
SRt△ABC，据此即可求解.
10．（2021八上·义乌期中）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2.其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2.故④正确，
故答案为：A.
【分析】证明△DAB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，从而得出∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，据此判断①②；由∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝90°，可求出∠CEB＝90°，据此判断③；利用勾股定理可得BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2.据此判断④.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2019八上·瑞安期末）用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是　 　.
【答案】
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：根据题意知这个不等式为 ，
故答案为： .
【分析】x与3的和表示为x+3,利用和大于6，列出不等式即可.
12．（2021八上·义乌期中）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题：　 　，该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）.
【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假.
【分析】命题是由题设和结论组成，逆命题将原命题的题设和结论互换，据此填空即可.
13．（2021八上·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为　 　.
【答案】3cm
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm.
故答案为：3cm.
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD＝DE=3cm.
14．（2021八上·义乌期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为　 　.
【答案】22
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴m、n中有一边为5，
p、q中有一边为3，
m、n与p、q中剩余两边相等，
∵3+5＝8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7＝22.
故答案为：22.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，且m、n与p、q中剩余两边相等，根据三角形三边关系可得两三角形剩余两边最大为7，从而求出结论.
15．（2021八上·义乌期中）如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为　 　.
【答案】6cm
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×3×AD＝9cm2，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）.
故答案为：6cm.
【分析】连接AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由S△ABC＝ BC AD＝9cm2，可求出AD=6，根据轴对称的性质及两点之间线段最短，可得AD的长为BM+MD的最小值，据此即得结论.
16．（2021八上·义乌期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝　 　.
【答案】1或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x.
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝ ，
∴PB＝ .
如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y.
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
综上所述，PB的值为：1或 .
【分析】分两种情况看：①如图1，当∠PCB′＝90°时，②如图2，当∠CPB′＝90°，根据折叠的性质及勾股定理分别解答即可.
三、解答题（本题有8小题，共66分.）
17．（2021八上·义乌期中）解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2） .
【答案】（1）解：去括号得：3﹣3x≥2x+18，
移项得：﹣3x﹣2x≥18﹣3，
合并得：﹣5x≥15，
解得：x≤﹣3；
（2）解：去分母得：10﹣2（2﹣3x）＞5（1+x），
去括号得：10﹣4+6x＞5+5x，
移项得：6x﹣5x＞5﹣10+4，
解得：x＞﹣1.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用去括号、移项合并、系数化为1进行解不等式即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解不等式即可.
18．（2021八上·拱墅期中）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.
【答案】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由BE＝FC结合线段的和差关系可得BF＝CE，证明△ABF≌△DCE，据此可得结论.
19．（2021八上·义乌期中）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边.
【答案】（1）解：如图甲所示：△ABC即为所求
（2）解：如图乙所示：△ACD即为所求，
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）画出底为4，高为3的等腰三角形即可；
（2）根据全等三角形的性质画出AC=AC，CD=AB，AD=BC的△ACD即可.
20．（2021八上·义乌期中）如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4.
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数.
【答案】（1）解：由勾股定理得，EF＝ ＝ ＝5，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）解：∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出EF=5，由线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC， 根据BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF 即可求解；
（2） 由 EA＝EB，FA＝FC，可得∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，在△ABC中利用三角形内角和先求出∠B+∠C＝45°， 再根据∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C 即可求解.
21．（2021八上·义乌期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
【答案】（1）解：根据分析，水厂的位置M为：
（2）解：如图2，
，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝ （千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3＝150（万元）.
答：最低费用为150万元.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线l的对称点E，连接BE交于直线l于一点，即为点M，此时铺设水管的费用最少；
（2）过点E作EF⊥BD交于点F，利用勾股定理求出BE的长，再乘以每千米3万元，即得最低费用.
22．（2021八上·义乌期中）在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
【答案】（1）解：设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，
依题意得：3x＝2（100﹣x），
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60.
答：甲服装厂每天制做40套这种防护服，乙服装厂每天制做60套这种防护服.
（2）解：设甲服装厂每天多做m套，
依题意得：10[（40+m）+（60+8）]≥1200，
解得：m≥12.
答：甲服装厂每天至少多做12套.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，根据“甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.”列出方程，并求解即可；
（2）设甲服装厂每天多做m套，根据10天内完成的套数不低于1200，列出不等式，求出最小整数值即可.
23．（2021八上·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒.
（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值.
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形.
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由.
【答案】（1）解：当t＝2时，DB＝6，
∵BM＝10，
∴DM＝4，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，
∴DM＝MQ，即4＝2a，
解得，a＝2；
（2）解：①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝6，
∴t＝2；
②由勾股定理得，AC＝ ＝10，
当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，
∵BC＝6，
∴BD＝4，
∴t＝ ；
③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，
∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，
解得，t＝ ，
综上所述：t＝2或 或 时，△DCA为等腰三角形
（3）解：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或 .
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）当△DMQ与△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，
∵BM＝10，
∴BD＝2或BD＝18，
∴t＝ 或t＝6，
∴a＝9或a＝1；
②△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，
∴BD＝4或16，
∴t＝ 或 ，
∴a＝6或 ，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或 .
【分析】（1）当t＝2时，MQ=2a，DB＝6，可得DM=BM-BD=4， 由于△DMQ是等腰三角形 ，可得DM＝MQ，据此建立关于a方程，求解即可；
（2）分三种情况：①当AC＝AD时 ， ②当AC＝CD时 ， ③当AD＝CD ，据此分别解答即可；
（3）分两种情况：①△DMQ≌△ABC，②△DMQ≌△CBA，根据全等三角形的性质分别解答即可.
24．（2021八上·义乌期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′.
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是　 　；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）4
（2）解：存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4 ，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4 ﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4 ﹣4＝OP，
∴S△BOP＝ OB OP＝ ＝8 ﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4 +4，
∴S△BOP＝ OB OP＝ ×4×（4 +4）＝8 +8；
（3）解：存在，OP的长是0或4+4 或4﹣4 或4.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接BP，
设点P到直线AB的距离为h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝ ＝4 ，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4 ，
∴S△ABP＝ AB h＝ AP OB，
∴h＝OB＝4，
即点P到直线AB的距离是4，
故答案为：4；
（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4 ，
∴OP＝4+4 ；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4 ，
∴OP＝4 ﹣4；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时OP＝4；
综上，OP的长是0或4+4 或4﹣4 或4.
【分析】（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，利用勾股定理求出AP，根据S△ABP＝ AB h＝ AP OB，求出h即可；
（2） 分两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，②如图所示：当P在x轴的负半轴时， 据此分别求解即可；
（3）分四种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，据此分别求解即可.
1 / 1浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2018九上·深圳期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019·金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
3．（2017七下·抚宁期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·义乌期中）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（　　）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
5．（2019八上·吴兴期末）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
6．（2021八上·义乌期中）若a＞b，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C． a﹣1＞ b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
7．（2021八上·金华期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
8．（2019八下·汉阳期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）
A． B． C．4 D．7
9．（2021八上·义乌期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1﹣S2+S3+S4等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．（2021八上·义乌期中）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2.其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2019八上·瑞安期末）用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是　 　.
12．（2021八上·义乌期中）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题：　 　，该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）.
13．（2021八上·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为　 　.
14．（2021八上·义乌期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为　 　.
15．（2021八上·义乌期中）如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为　 　.
16．（2021八上·义乌期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝　 　.
三、解答题（本题有8小题，共66分.）
17．（2021八上·义乌期中）解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2） .
18．（2021八上·拱墅期中）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.
19．（2021八上·义乌期中）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边.
20．（2021八上·义乌期中）如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4.
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数.
21．（2021八上·义乌期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
22．（2021八上·义乌期中）在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
23．（2021八上·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒.
（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值.
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形.
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由.
24．（2021八上·义乌期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′.
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是　 　；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，所以A错误；
B、不是轴对称图形，所以B错误；
C、不是轴对称图形，所以C错误；
D、是轴对称图形，所以D正确.
故选D.
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，根据轴对称图形的概念求解即可. 关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形是轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，
∴a的取值范围为：2＜a＜8，
∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.
故答案为：C.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故答案为：D．
【分析】从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线；
根据三角形高线的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°.
故答案为：A.
【分析】分两种情况：①当70°是顶角时，②当70°是底角时，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】（1）当 时， ，此时 ，
∴当 时，能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故可以选A；
（ 2 ）当 时， ，此时 ，
∴当 时，不能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故不能B；
（ 3 ）当 时， ，此时 ，
∴当 时，不能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故不能C；
（ 4 ）当 时， ，此时 ，
∴当 时，不能说明命题“对于任意实数a， ”是假命题，故不能D；
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可知a=-2是假命题的一个反例 ;由正数的绝对值是它本身，正数的相反数是负数可知B、C、D都不是假命题的一个反例 .
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由不等式的性质可作出判断：
A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；
B：当m＝0时，两边都得0，故B错误；
C：在a＞b两边同时乘以 ，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定成立，故C正确；
D：不等式两边都加﹣2，不等号方向不变，故D错误.
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO，∠ECD=∠CED，
设∠O=∠CDO=x，则∠ECD=∠CED=∠O+∠CDO=2x，
∵∠BDE=∠O+∠CED=75°
∴x+2x=3x=75°，
解之：x=25°，
∴∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO=180°-75°-x=180°-75°-25°=80°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠O=∠CDO，∠ECD=∠CED，设∠O=∠CDO=x，利用三角形的外角的性质可表示出∠ECD，∠CED；再利用三角形的外角的性质，建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO，代入计算可求出∠CDE的度数.
8．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC= ，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC= .
故答案为：A.
【分析】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CBE，从而利用ASA判断出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的对应边相等得出BE=AD=3，然后利用勾股定理即可算出BC的长，AC的长，得出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质
【解析】【解答】解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC.
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC.
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故答案为：B.
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，Rt△FPT≌Rt△EMK，Rt△AQF≌Rt△ACB，Rt△ABC≌Rt△EBN，从而得出S2＝SRt△ABC，S3＝S△FPT，S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，S4＝SRt△ABC，从而得出S1﹣S2+S3+S4＝（S1+S3）﹣S2+S4＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+
SRt△ABC，据此即可求解.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2.故④正确，
故答案为：A.
【分析】证明△DAB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，从而得出∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，据此判断①②；由∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝90°，可求出∠CEB＝90°，据此判断③；利用勾股定理可得BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2.据此判断④.
11．【答案】
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：根据题意知这个不等式为 ，
故答案为： .
【分析】x与3的和表示为x+3,利用和大于6，列出不等式即可.
12．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假.
【分析】命题是由题设和结论组成，逆命题将原命题的题设和结论互换，据此填空即可.
13．【答案】3cm
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm.
故答案为：3cm.
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD＝DE=3cm.
14．【答案】22
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴m、n中有一边为5，
p、q中有一边为3，
m、n与p、q中剩余两边相等，
∵3+5＝8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7＝22.
故答案为：22.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，且m、n与p、q中剩余两边相等，根据三角形三边关系可得两三角形剩余两边最大为7，从而求出结论.
15．【答案】6cm
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×3×AD＝9cm2，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）.
故答案为：6cm.
【分析】连接AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由S△ABC＝ BC AD＝9cm2，可求出AD=6，根据轴对称的性质及两点之间线段最短，可得AD的长为BM+MD的最小值，据此即得结论.
16．【答案】1或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x.
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝ ，
∴PB＝ .
如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y.
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
综上所述，PB的值为：1或 .
【分析】分两种情况看：①如图1，当∠PCB′＝90°时，②如图2，当∠CPB′＝90°，根据折叠的性质及勾股定理分别解答即可.
17．【答案】（1）解：去括号得：3﹣3x≥2x+18，
移项得：﹣3x﹣2x≥18﹣3，
合并得：﹣5x≥15，
解得：x≤﹣3；
（2）解：去分母得：10﹣2（2﹣3x）＞5（1+x），
去括号得：10﹣4+6x＞5+5x，
移项得：6x﹣5x＞5﹣10+4，
解得：x＞﹣1.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用去括号、移项合并、系数化为1进行解不等式即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解不等式即可.
18．【答案】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由BE＝FC结合线段的和差关系可得BF＝CE，证明△ABF≌△DCE，据此可得结论.
19．【答案】（1）解：如图甲所示：△ABC即为所求
（2）解：如图乙所示：△ACD即为所求，
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）画出底为4，高为3的等腰三角形即可；
（2）根据全等三角形的性质画出AC=AC，CD=AB，AD=BC的△ACD即可.
20．【答案】（1）解：由勾股定理得，EF＝ ＝ ＝5，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）解：∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出EF=5，由线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC， 根据BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF 即可求解；
（2） 由 EA＝EB，FA＝FC，可得∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，在△ABC中利用三角形内角和先求出∠B+∠C＝45°， 再根据∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C 即可求解.
21．【答案】（1）解：根据分析，水厂的位置M为：
（2）解：如图2，
，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝ （千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3＝150（万元）.
答：最低费用为150万元.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线l的对称点E，连接BE交于直线l于一点，即为点M，此时铺设水管的费用最少；
（2）过点E作EF⊥BD交于点F，利用勾股定理求出BE的长，再乘以每千米3万元，即得最低费用.
22．【答案】（1）解：设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，
依题意得：3x＝2（100﹣x），
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60.
答：甲服装厂每天制做40套这种防护服，乙服装厂每天制做60套这种防护服.
（2）解：设甲服装厂每天多做m套，
依题意得：10[（40+m）+（60+8）]≥1200，
解得：m≥12.
答：甲服装厂每天至少多做12套.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，根据“甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.”列出方程，并求解即可；
（2）设甲服装厂每天多做m套，根据10天内完成的套数不低于1200，列出不等式，求出最小整数值即可.
23．【答案】（1）解：当t＝2时，DB＝6，
∵BM＝10，
∴DM＝4，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，
∴DM＝MQ，即4＝2a，
解得，a＝2；
（2）解：①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝6，
∴t＝2；
②由勾股定理得，AC＝ ＝10，
当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，
∵BC＝6，
∴BD＝4，
∴t＝ ；
③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，
∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，
解得，t＝ ，
综上所述：t＝2或 或 时，△DCA为等腰三角形
（3）解：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或 .
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）当△DMQ与△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，
∵BM＝10，
∴BD＝2或BD＝18，
∴t＝ 或t＝6，
∴a＝9或a＝1；
②△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，
∴BD＝4或16，
∴t＝ 或 ，
∴a＝6或 ，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或 .
【分析】（1）当t＝2时，MQ=2a，DB＝6，可得DM=BM-BD=4， 由于△DMQ是等腰三角形 ，可得DM＝MQ，据此建立关于a方程，求解即可；
（2）分三种情况：①当AC＝AD时 ， ②当AC＝CD时 ， ③当AD＝CD ，据此分别解答即可；
（3）分两种情况：①△DMQ≌△ABC，②△DMQ≌△CBA，根据全等三角形的性质分别解答即可.
24．【答案】（1）4
（2）解：存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4 ，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4 ﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4 ﹣4＝OP，
∴S△BOP＝ OB OP＝ ＝8 ﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4 +4，
∴S△BOP＝ OB OP＝ ×4×（4 +4）＝8 +8；
（3）解：存在，OP的长是0或4+4 或4﹣4 或4.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接BP，
设点P到直线AB的距离为h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝ ＝4 ，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4 ，
∴S△ABP＝ AB h＝ AP OB，
∴h＝OB＝4，
即点P到直线AB的距离是4，
故答案为：4；
（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4 ，
∴OP＝4+4 ；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4 ，
∴OP＝4 ﹣4；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时OP＝4；
综上，OP的长是0或4+4 或4﹣4 或4.
【分析】（1）连接BP，设点P到直线AB的距离为h，利用勾股定理求出AP，根据S△ABP＝ AB h＝ AP OB，求出h即可；
（2） 分两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，②如图所示：当P在x轴的负半轴时， 据此分别求解即可；
（3）分四种情况：①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，据此分别求解即可.
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