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高中数学简答题专练
1、设全集U R，
M m |方程mx2 x 1 0有实数根 ， N n |方程x2 x n 0有实数根 ,求 CUM N.
2、已知集合 A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求 A∩B；
(2)若集合 C＝{x|2x＋a>0}，满足 B∪C＝C，求实数 a的取值范围．
3、某班 50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中 A，B，C三道知识题作答情况如下：答错 A者 17人，
答错 B者 15 人，答错 C者 11人，答错 A，B者 5人，答错 A，C者 3 人，答错 B，C者 4 人，A，B，C
都答错的有 1人，问 A，B，C都答对的有多少人？
4、对于 k∈A，如果 k－1 A且 k＋1 A，那么 k是 A的一个“孤立元”，给定 S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S的
3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
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3
5、设数集 M＝{x|m≤x≤m＋ } 1，N＝{x|n－ ≤x≤n}，且 M，N都是集合 U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义 b
4 3
－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合 M∩N的长度的最小值．
6、设集合U {2,3,a 2 2a 3} , A {| 2a 1 |,2} , U A {5} ,求实数a的值.
7、已知集合 A a2 ,a 1, 3 ,B a 3,2a 1,a2 1 ，若 A B 3 ，
求实数 a的值。
8、 1 2（ ）已知P x | x 3x 2 0 ,Q x | ax 2 0 ,Q P ,求a的值.
（2）已知 A x | 2 x 3 ,B x |m 1 x 2m 5 , B A ,求m的取值范围.
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9、已知 A＝{x∈R|x＜－1或 x＞5}，B＝{x∈R|a≤x＜a＋4}，若 A B，求实数 a 的取值范围．
10、已知 A＝{x|x<－1 或 x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当 B A 时，求实数 a的取值范围．
11、A 2 2 2＝{2,4，x －5x＋9}，B＝{3，x ＋ax＋a}，C＝{x ＋(a＋1)x－3,1}，a、x∈R，求：
(1)使 A＝{2,3,4}的 x 的值；
(2)使 2∈B，B A 成立的 a、x 的值；
(3)使 B＝C 成立的 a、x 的值．
12、已知集合 A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合 C是这样一个集合：其各元素都加
2 后，就变为 A 的一个子集，若各元素都减 2后，则变为 B的一个子集，求集合 C.
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13、已知 A {x 2 x 5}， B {x m 1 x 2m 1}， B A ,求m的取值范围。
A 14、已知集合 x N |
8
N ，试用列举法表示集合 A。
6 x
1
15、设 A为实数集，且满足条件：若 a∈A，则 ∈A (a≠1)．
1－a
求证：(1)若 2∈A，则 A中必还有另外两个元素；
(2)集合 A不可能是单元素集．
16、已知集合 A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明
理由．
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17、判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加 2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5 3 1，， 组成的集合含有四个元素；
2 2
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
18、设 P、Q为两个非空实数集合，P中含有 0,2,5三个元素，Q中含有 1,2,6三个元素，定义集合 P
＋Q中的元素是 a＋b，其中 a∈P，b∈Q，则 P＋Q中元素的个数是多少？
19、用适当的方法表示下列集合
①方程 x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于 1 000的奇数构成的集合；
③不等式 x－2>6的解的集合；
④大于 0.5且不大于 6的自然数的全体构成的集合．
8
20、已知集合 A x N | N

，试用列举法表示集合 A。
6 x


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21、已知 A {x 2 x 5}， B {x m 1 x 2m 1}， B A ,求m的取值范围。
22、已知集合 A a2 ,a 1, 3 ,B a 3,2a 1,a2 1 ，若 A B 3 ，
求实数 a的值。
23、设全集U R，M m |方程mx2 x 1 0有实数根 ，
N n |方程x2 x n 0有实数根 ,求 CUM N.
24、已知集合 A是由 a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求 a.
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25、A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，a、x∈R，求：
(1)使 A＝{2,3,4}的 x 的值；
(2)使 2∈B，B A 成立的 a、x 的值；
(3)使 B＝C 成立的 a、x 的值．
26、已知集合 A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合 C是这样一个集合：其各元素都加
2 后，就变为 A 的一个子集，若各元素都减 2后，则变为 B的一个子集，求集合 C.
27、已知 A＝{x∈R|x＜－1或 x＞5}，B＝{x∈R|a≤x＜a＋4}，若 A B，求实数 a 的取值范围．
28、已知 A＝{x|x<－1 或 x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当 B A 时，求实数 a的取值范围．
29、集合 A x | x2 ax a2 19 0 ， B x | x2 5x 6 0 ，C x | x2 2x 8 0
满足 A B ,， A C ,求实数 a的值。
30、 y x2设 ax b, A x | y x a ,M a,b ,求M
31、设U R，集合 A x | x2 3x 2 0 ， B x | x2 (m 1)x m 0 ；
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若 (CU A) B ，求m的值。
32、设 A {x x2 4x 0},B {x x2 2(a 1)x a2 1 0} ,其中 x R ,
如果 A B B，求实数a的取值范围。
33、设集合 A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若 A∩B＝B，求 a的值．
34、设全集是数集 U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知 A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数 a，b的值．
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35、已知方程 x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合 A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，
A∩C＝A，A∩B＝ .求 p，q的值．
36、设 U＝{1,2,3}，M，N是 U的子集，若 M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合
此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
37、已知集合 A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为 U，若 B∪( UB)＝A，求 UB.
38、学校开运动会，某班有 30名学生，其中 20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两
项都没有报名的有 4人，问两项都参加的有几人？
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39、动点 P从边长为 1的正方形 ABCD的顶点出发顺次经过 B、C、D再回到 A；设 x表示 P点的行程，
y表示 PA的长，求 y关于 x的函数解析式.
3 x 1
40、①．求函数 y 的定义域；
| x 1 | | x 1 |
②求函数 y x 1 2x 的值域；
2
③求函数 y 2x 2x 3
x 2
的值域.
x 1
41、已知函数
(1)求 f(－3)，f[f(－3)]；
(2)画出 y＝f(x)的图象；
(3)若 f(a) 1＝ ，求 a的值．
2
42、已知
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(x, y)
在映射 f 的作用下的像是
(x y, xy)
求
( 2,3)
在 f 作用下的像和
(2, 3)
在 f 作用下的原像。
43、对于二次函数
y 4x2 8x 3
（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）画出它的图像，并说明其图像由
y 4x2
的图像经过怎样平移得来；
（3）求函数的最大值或最小值；
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44、已知函数 f (x)， g(x)同时满足：
g(x y) g(x)g(y) f (x) f (y)
f ( 1) 1 f (0) 0 f (1) 1
求 g(0), g(1), g(2)的值.
45、已知 ，若 f(1)＋f(a＋1)＝5，求 a的值
46、已知函数
(x 1) f ( x 1 ) f (x) x
x 1
其中 x 1，求函数解析式.
47、画出下列函数的图象、
（1）y＝x2－2，x∈Z 且｜x｜≤2；
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（2）y＝－2x2＋3x，x∈（0，2］；
（3）y＝x｜2－x｜；
（4）
3 x＜－2，
y ＝ －3x －2 x＜2，

－3 x 2．
48、设 f (x) 2是抛物线，并且当点 (x, y)在抛物线图象上时，点 (x, y 1)在函数 g(x) f [ f (x)]
的图象上，求 g(x)的解析式.
49、若 3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求 f(x)．
50、 2 2在同一坐标系中绘制函数 y x 2x， y x 2 | x |得图象.
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1－x
51、已知函数 f( )＝x，求 f(2)的值．
1＋x
52、如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者 9 时离开家，15时回家．根
据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到 12∶00他骑了多少千米？
(5)他在 9∶00～10∶00和 10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
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53、如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为 2 m，渠深为 1.8 m，斜坡的倾斜角是 45°.(临界状
态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积 A(m2)表示成水深 h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
54、求下列函数的导数：
(1)f(x)＝log 2x；(2)f(x)＝2
－x.
55、设 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求 f2012(x)
3
56、 2求与曲线 y＝ x 在点 P(8,4)处的切线垂直于点 P 的直线方程．
57、在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距 d是车速 v(公里/小时)
的平方与车身长 S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为 50公里
/小时，车距恰好等于车身长，试写出 d关于 v 的函数关系式(其中 S为常数)．
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58、如图，动点 P从边长为 4的正方形 ABCD的顶点 B开始，顺次经 C、D、A绕周界运动，用 x表示点
P的行程，y表示△APB的面积，求函数 y＝f(x)的解析式．
59、设 f(x)是 R 上的函数，且满足 f(0)＝1，并且对任意实数 x，y，有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求
f(x)的解析式．
60、画出函数 f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若 x1第16页,共78页
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(3)求函数 f(x)的值域．
61、已知二次函数 f(x)满足 f(0)＝f(4)，且 f(x)＝0的两根平方和为 10，图象过(0,3)点，求 f(x)的解析式．
62、已知 ，
(1)画出 f(x)的图象；
(2)求 f(x)的定义域和值域．
63、 3 2已知函数 f(x)＝x ＋ax ＋2，x＝2 是 f(x)的一个极值点，求：
(1)实数 a 的值；
(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．
64、 2已知函数 f (x) x 1，且 g(x) f [ f (x)]，G(x) g(x) f (x)，试问，是否存在实数 ，使
得G(x)在 ( , 1]上为减函数，并且在 ( 1,0)上为增函数.
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65、在经济学中，函数 f (x)的边际函数为Mf (x)，定义为Mf (x) f (x 1) f (x)，某公司每月最多
生产 100台报警系统装置。生产 x台的收入函数为 R(x) 3000x 20x 2（单位元），其成本函数为
C(x) 500x 4000（单位元），利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数 p(x)及其边际利润函数Mp(x)；
②求出的利润函数 p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.
66、已知 f (x) (x 2)2 , x [ 1,3]，求函数 f (x 1)得单调递减区间.
67、判断下列函数的奇偶性
① y x3 1 ； ② y 2x 1 1 2x ；
x
x 2 2(x 0)
③ y x 4 x ； ④ y 0(x 0) 。

x
2 2(x 0)
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x
e
68、设 f(x)＝ ，其中 a 为正实数．
ax21＋
4
(1)当 a＝ 时，求 f(x)的极值点；
3
(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a的取值范围．
69、函数 f (x), g(x)在区间[a,b]上都有意义，且在此区间上
① f (x)为增函数， f (x) 0；
② g(x)为减函数， g(x) 0 .
判断 f (x)g(x)在[a,b]的单调性，并给出证明.
70、已知 f (x) x 2005 ax 3 b 8， f ( 2) 10，求 f (2) .
x
2
f(x) x ＋ax＋b71、已知 ＝ ，x∈(0，＋∞)．
x
(1)若 b≥1，求证：函数 f(x)在(0,1)上是减函数；
(2)是否存在实数 a，b，使 f(x)同时满足下列两个条件：
①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是 3.若存在，求出 a，b的值；若不存在，
请说明理由．
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72、已知奇函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.
(1)求证：函数 f(x)在(－∞，0)上是增函数；
(2)解关于 x的不等式 f(x)<0.
73、如图，有一块半径为 2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形 ABCD的形状，它的下底 AB是⊙O
的直径，上底 CD的端点在圆周上，设 CD＝2x，梯形 ABCD的周长为 y.
(1)求出 y关于 x的函数 f(x)的解析式；
(2)求 y的最大值，并指出相应的 x值．
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74、在经济学中,函数 f (x)的边际函数为Mf (x) ,定义为Mf (x) f (x 1) f (x) ,某服装公司每天最多生
2
产 100件.生产 x件的收入函数为 R(x) 300x 2x （单位元）,其成本函数为C(x) 50x 300（单
位元）,利润等于收入与成本之差.
（1）求出利润函数 p(x)及其边际利润函数Mp(x)；
（2）分别求利润函数 p(x)及其边际利润函数Mp(x)的最大值；
（3）你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义是什么？
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75、已知函数 f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若 f(x)在 x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数 a的取值范围；
(2)若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)在 x∈[1，a]上的最大值和最小值．
76、设函数 f(x)＝1 1－ ，x∈[0，＋∞)
x＋1
(1)用单调性的定义证明 f(x)在定义域上是增函数；
(2)设 g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断 g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明 f(x)的增长是越来
越快还是越来越慢？
77、分别指出函数 f (x) x 1 在 , 1 和 (0,1]上的单调性,并证明之.
x
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78、对于二次函数 y 4x2 8x 3，
①指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
y 4x2
②画出它的图像，说明其图像由 的图像经过怎样的平移得来；
③求函数的最大值或最小值；
④分析函数的单调性.
79、快艇和轮船分别从 A地和 C地同时开出，如右图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是 45
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千米/时和 15千米/时，已知 AC＝150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
80、设 f（x）是定义在 R 上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求解不等式 f（x）＋f（x
－2）＞1．
81、求下列函数的单调区间．
3 3
(1)f(x)＝x ＋ ；
x
(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．
82、已知函数 f(x)＝x2 x－1·e ＋ax3 bx2＋ ，且 x＝－2 和 x＝1是 f′(x)＝0 的两根．
(1)a，b 的值；
(2)f(x)的单调区间．
83、已知 f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且 a求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
a
84、已知函数 f(x)＝ax－ －2lnx(a≥0)，若函数 f(x)在其定义域内为单调函数，求 a的取值范围．
x
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85、画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
86、已知 f(x)＝ x2－1，试判断 f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
87、定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 m，n总有 f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当 x>0时，0(1)试求 f(0)的值；
(2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论．
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88、函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的 x，y∈(0，＋∞)，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
且 f(4)＝5.
(1)求 f(2)的值；
(2)解不等式 f(m－2)≤3.
1
89、确定函数 y＝x＋ （x＞0）的单调区间，并用定义证明．
x
90、若函数 y＝f(x)对任意 x，y∈R，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)指出 y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)如果 x>0时，f(x)<0，判断 f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，若对任意实数 x，恒有 f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求 k的取值范围．
91、设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减，若 f(m)＋f(m－1)>0，求实数 m的取值范
围．
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92、已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，b∈R 都满足 f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求 f(0)，f(1)的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性．
93、 y＝ f(x)在 (0,2)上是增函数， y＝ f(x＋ 2) 5是偶函数，则 f(1)， f( )， f( 7 )的大小关系是
2 2
____________________________．
94、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
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1－x2， x>0，
(4)f(x)＝ 0， x＝0，
x2－1， x<0.
1 5
95、 f 3 2 2已知 (x)＝x ＋ mx －2m x－4(m 为常数，且 m>0)有极大值－ ，求 m的值．
2 2
96、设函数 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，097、求下列函数的极值．
x3－2
(1)f(x)＝ ；
2 x 2－1
f x x2 －x(2) ( )＝ e .
98、设函数 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且 f(2a2＋a＋1)值范围．
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－x2＋2x x>0
99、已知奇函数 f(x)＝ 0 x＝0 .
x2＋mx x<0
(1)求实数 m的值，并在给出的直角坐标系中画出 y＝f(x)的图象；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定 a的取值范围．
100、（10 分）已知集合 A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1 或 x>5}．
(1) 若 A∩B＝Φ，求 a的取值范围； (2) 若 A∪B＝B，求 a的取值范围．
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1
101、（１0分）已知 ≤a≤1，若函数 f x ax2 2x 1在区间[1，3]上的最大值为M a ，
3
最小值为N a ，令 g a M a N a ．
（1）求 g a 的函数表达式；
1
（2）判断函数 g a 在区间[ ，1]上的单调性，并求出 的最小值 .
3
102、设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：
①当 x∈R 时，其最小值为 0，且 f(x－1)＝f(－x－1)成立；
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②当 x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．
(1)求 f(1)的值；
(2)求 f(x)的解析式；
(3)求最大的实数 m(m>1)，使得存在 t∈R，只要当 x∈[1，m]时，就有 f(x＋t)≤x成立．
1
103、已知 ≤a≤1，若函数 f(x)＝ax2－2x＋1 在区间[1,3]上的最大值为 M(a)，最小值为 N(a)，令 g(a)＝
3
M(a)－N(a)．
(1)求 g(a)的函数表达式；
(2) 1判断函数 g(a)在区间[ ，1]上的单调性，并求出 g(a)的最小值．
3
104 、 某 商 品 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 格 p( 元 ) 与 时 间 t( 天 ) 的 函 数 关 系 是 p ＝
t＋20， 0该商品的日销售量Q(件)与时间 t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0－t＋100， 25≤t≤30，t∈N.
t∈N)．
(1)求这种商品的日销售金额的解析式；
(2)求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30天中的第几天？
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105、若 f(x)是定义在(0 x，＋∞)上的增函数，且 f( )＝f(x)－f(y)．
y
(1)求 f(1)的值；
(2)若 f(6) 1＝1，解不等式 f(x＋3)－f( )<2.
x
106、讨论函数 f(x) a＝x＋ (a>0)的单调区间．
x
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107、已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，集合 A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求 q的值及 UA.
t
108、已知函数 y＝x＋ 有如下性质：如果常数 t>0，那么该函数在(0， t]上是减函数，在[ t，＋∞)
x
上是增函数．
4x2－12x－3
(1)已知 f(x)＝ ，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数 f(x)的单调区间和值域；
2x＋1
(2)对于(1)中的函数 f(x)和函数 g(x)＝－x－2a，若对任意 x1∈[0,1]，总存在 x2∈[0,1]，使得 g(x2)＝f(x1)
成立，求实数 a的值．
109、已知函数 f(x)对一切实数 x，y∈R 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0时，f(x)<0，又 f(3)＝－2.
(1)试判定该函数的奇偶性；
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(2)试判断该函数在 R 上的单调性；
(3)求 f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
110、函数 f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值 3，求 a的值．
111、函数 f(x)是 R 上的偶函数，且当 x>0时，函数的解析式为 f(x) 2＝ －1.
x
(1)用定义证明 f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当 x<0时，函数的解析式．
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112、求下列函数的定义域．
y (x－1)
0 1 x＋2
（1） ＝ ；（2） y＝ ；（3） y＝ ．
－x 2＋x＋2 2x＋1＋x－1 x－x
1
113、设集合 A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中 p、q为常数，x∈R，当 A∩B＝{ }
2
时，求 p、q的值和 A∪B.
114、(本题满分 12 分)设集合 A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合 B＝{x|x<－1 或 x>5}，分别就下列条件求
实数 a 的取值范围：
(1)A∩B≠ ，(2)A∩B＝A.
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115、（１0分）若 f (x)是定义在 0, x 上的增函数，且 f f x f y
y
⑴求 f 1 的值；⑵若 f 6 1，解不等式 f x 3 f 1 x 2
116、（１2分）定义在 R上的函数 f (x)，对任意的 x, y R，有
f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y)，且 f (0) 0。
（1） 求证： f (0) 1 ； （2）求证： f (x)是偶函数。
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2
f (x) px 2 5117、（１2分）已知函数 是奇函数，且 f (2) .
q 3x 3
（1）求函数 f(x)的解析式；
（2）判断函数 f(x)在 (0,1)上的单调性，并加以证明.
3 x3 2x 2 x ( ,1)
118、（10 分）已知 f(x)= ,求 f[f(0)]的值.
x
3 x 3 x (1, )
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119、求下列函数的值域．
（1）y＝－ x 2＋x＋2；（2）y＝3－2x，x∈［－2，9］；（3）y＝ x 2－2x－3，x∈（－1，2］；
x－10 x 6，
（4）y＝
8－2x －2 x＜6．
120、(本题满分 14 分)设函数 f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.
(1)当 a＝2 时，解关于 x 的不等式 f(x)(2)记 F(x)＝f(x)－g(x)，求函数 F(x)在(0，a]上的最小值(a>0)．
121、(本题满分 12 分)
a
(1)若 a<0，讨论函数 f(x)＝x＋ ，在其定义域上的单调性；
x
a
(2)若 a>0，判断并证明 f(x)＝x＋ 在(0， a]上的单调性．
x
122、(本题满分 12 分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40cm 与 60cm 现将它剪成一
个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
123、(本题满分 12 分)图中给出了奇函数 f(x)的局部图象，已知 f(x)的定义域为[－5,5]，试补全
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其图象，并比较 f(1)与 f(3)的大小．
124、(本题满分 12 分)二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)若 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求 a的取值范围．
x＋2
125、已知函数 f(x)＝ ，
x－6
(1)点(3,14)在 f(x)的图象上吗？
(2)当 x＝4时，求 f(x)的值；
(3)当 f(x)＝2时，求 x的值．
以下是答案
一、解答题
1、解：当m 0时， x 1，即0 M ；
当m 0 1时， 1 4m 0,即m ，且m 0
4
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1
∴m ，∴CUM

m |m
1

4 4
1 1
而对于N ， 1 4n 0,即 n ，∴ N n | n 4 4


(C M ) N ∴ U x | x
1

4
2、解 (1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x> a－ }，B∪C＝C B C，
2
a
∴－ <2，∴a>－4.
2
3、
解 由题意，设全班同学为全集 U，画出 Venn图，A表示答错 A的集合，B表示答错 B的集合，C
表示答错 C 的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为
1,2,3,4,10,7,5，因此 A∪B∪C中元素数目为 32，从而至少错一题的共 32人，因此 A，B，C全对的有
50－32＝18人．
4、解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与 k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与 k
相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共 6个．
5、解 在数轴上表示出集合 M与 N，可知当 m＝0且 n＝1或 n 1－ ＝0 3且 m＋ ＝1时，M∩N的“长
3 4
m 0 n 1 M N {x|2 x 3} 3 2 1 1 1度”最小．当 ＝ 且 ＝ 时， ∩ ＝ ≤ ≤ ，长度为 － ＝ ；当 n＝ 且 m＝ 时，M∩N＝
3 4 4 3 12 3 4
{x|1 x 1} 1 1 1≤ ≤ ，长度为 － ＝ .
4 3 3 4 12
综上，M 1∩N的长度的最小值为 .
12
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6、解：由U {2,3,a 2 2a 3}及 U A {5}知 a
2 2a 3 5
解得 a 2或 a 4
当 a 2时, A {2,3}符合题意；
当 a 4时, A {9,2}不符合题意,舍去.故 a 2
7、解：∵ A B 3 ，∴ 3 B，而 a2 1 3，
∴当 a 3 3,a 0, A 0,1, 3 ,B 3, 1,1 ，
这样 A B 3,1 与 A B 3 矛盾；
当 2a 1 3,a 1,符合 A B 3
∴ a 1
8、解：（1）由已知得 P 1,2 .当 a 0时,此时Q ,符合要求
a 0 2当 时,由 1得 a 2
a
2
由 2得 a 1 ,所以 a的取值分别为 0、1、2
a
（2）当m 1 2m 5时 B ,符合要求,此时m 4
m 1 2m 5
m 1 2
当 时由题意得 解得 m∈Φ,
2m 5 3
所以m的取值范围是 ( , 4)
9、[解析] 如图
∵A B，∴a＋4≤－1或者 a＞5.
即 a≤－5 或 a＞5.
a
10、[解析] ∵A＝{x|x<－1 或 x>2}，B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－ }，
4
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a
∵A B，∴－ ≤－1，即 a≥4，所以 a 的取值范围是 a≥4.
4
11、[解析] (1)∵A＝{2,3,4} ∴x2－5x＋9＝3
解得 x＝2 或 3
2
(2)若 2∈B，则 x＋ax＋a＝2
2 2 7
又 B A，所以 x －5x＋9＝3 得 x 2＝2或 3，将 x＝2或 3分别代入 x ＋ax＋a＝2 中得 a＝－ 或－
3 4
x2＋ax＋a＝1①
(3)若 B＝C，则
x2＋(a＋1)x－3＝3②
①－②得：x＝a＋5 代入①解得 a＝－2或－6
此时 x＝3 或－1.
12、[解析] 由题设条件知 C {0,2,4,6,7}，C {3,4,5,7,10}，∴C {4,7}，∵C≠ ，∴C＝{4}，
{7}或{4,7}．
13、解：当m 1 2m 1，即m 2时， B ,满足 B A，即m 2；
当m 1 2m 1，即m 2时， B 3 ,满足 B A，即m 2；
m 1 2
当m 1 2m 1 ，即m 2时，由 B A，得 即 2 m 3；
2m 1 5
∴m 3
14、解：由题意可知6 x是8的正约数，当6 x 1, x 5；当 6 x 2, x 4；
当6 x 4, x 2；当6 x 8, x 2；而 x 0，∴ x 2,4,5，即 A 2,4,5 ；
1
15、证明 (1)若 a∈A，则 ∈A.
1－a
又∵2 A 1∈ ，∴ ＝－1∈A.
1－2
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1 A 1 1∵－ ∈ ，∴ ＝ ∈A.
1－ －1 2
1 1
∵ ∈A，∴ ＝2∈A.
2 1 1－
2
∴A 1中另外两个元素为－1， .
2
(2)若 A 1为单元素集，则 a＝ ，
1－a
即 a2－a＋1＝0，方程无解．
a 1∴ ≠ ，∴A不可能为单元素集．
1－a
16、解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合 A中代表的元素是 x，满足条件 y＝x2＋3中的 x∈R，所以 A＝R；
集合 B中代表的元素是 y，满足条件 y＝x2＋3中 y的取值范围是 y≥3，所以 B＝{y|y≥3}．
集合 C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线 y＝x2＋3上，所以 C＝{P|P是抛物线 y
＝x2＋3上的点}．
17、解 (1)正确．因为参加 2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3) 1不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5＝ ，在这个集合中只能作为一元素，故这
2
个集合含有三个元素．
(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．
18、解 ∵当 a＝0时，b依次取 1,2,6，得 a＋b的值分别为 1,2,6；
当 a＝2时，b依次取 1,2,6，得 a＋b的值分别为 3,4,8；
当 a＝5时，b依次取 1,2,6，得 a＋b的值分别为 6,7,11.
由集合元素的互异性知 P＋Q中元素为
1,2,3,4,6,7,8,11共 8个．
19、解 ①∵方程 x(x2＋2x＋1)＝0的解为 0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且 x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
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20、解：由题意可知6 x是8的正约数，当 6 x 1, x 5；当6 x 2, x 4；
当6 x 4, x 2；当6 x 8, x 2；而 x 0，∴ x 2,4,5，即 A 2,4,5 ；
21、解：当m 1 2m 1，即m 2时， B ,满足 B A，即m 2；
当m 1 2m 1，即m 2时， B 3 ,满足 B A，即m 2；
m 1 2
当m 1 2m 1，即m 2时，由 B A，得 即 2 m 3；
2m 1 5
∴m 3
22、解：∵ A B 3 ，∴ 3 B，而 a2 1 3，
∴当 a 3 3,a 0, A 0,1, 3 ,B 3, 1,1 ，
这样 A B 3,1 与 A B 3 矛盾；
当 2a 1 3,a 1,符合 A B 3
∴ a 1
23、解：当m 0时， x 1，即0 M ；
当m 0 1时， 1 4m 0,即m ，且m 0
4
1
∴m ，∴CUM m |m
1

4 4


N 1 4n 0, n 1 N n | n 1而对于 ， 即 ，∴
4 4
∴ (CUM ) N
1
x | x


4
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24、解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
3
∴a＝－1或 a＝－ .
2
则当 a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故 a＝－1应舍去．
a 3 7当 ＝－ 时，a－2＝－ ，2a2＋5a＝－3，
2 2
3
∴a＝－ .
2
25、 2[解析] (1)∵A＝{2,3,4} ∴x －5x＋9＝3
解得 x＝2 或 3
2
(2)若 2∈B，则 x＋ax＋a＝2
2 2 2 7
又 B A，所以 x －5x＋9＝3 得 x＝2或 3，将 x＝2或 3分别代入 x ＋ax＋a＝2 中得 a＝－ 或－
3 4
x2＋ax＋a＝1①
(3)若 B＝C，则
x2＋(a＋1)x－3＝3②
①－②得：x＝a＋5 代入①解得 a＝－2或－6
此时 x＝3 或－1.
26、[解析] 由题设条件知 C {0,2,4,6,7}，C {3,4,5,7,10}，∴C {4,7}，∵C≠ ，∴C＝{4}，
{7}或{4,7}．
27、[解析] 如图
∵A B，∴a＋4≤－1或者 a＞5.
即 a≤－5 或 a＞5.
a
28、[解析] ∵A＝{x|x<－1 或 x>2}，B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－ }，
4
a
∵A B，∴－ ≤－1，即 a≥4，所以 a 的取值范围是 a≥4.
4
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29、解： B 2,3 ，C 4,2 ，而 A B ，则 2,3至少有一个元素在 A中，
又 A C ，∴ 2 A，3 A，即9 3a a2 19 0，得 a 5或 2
而 a 5时，A B与 A C 矛盾，
∴ a 2
30、解：由 A a 得 x2 ax b x的两个根 x1 x2 a，
x2即 (a 1)x b 0的两个根 x1 x2 a，
x 1 1∴ 1 x2 1 a 2a,得a ， x x b ，3 1 2 9
M 1 1 , ∴
3 9


31、解： A 2, 1 ，由 (CU A) B ,得B A，
当m 1时， B 1 ，符合B A；
当m 1时， B 1, m ，而 B A，∴ m 2，即m 2
∴m 1或 2。
32、解：由 A B B得B A，而 A 4,0 ， 4(a 1)2 4(a2 1) 8a 8
当 8a 8 0，即 a 1时，B ，符合 B A；
当 8a 8 0，即 a 1时， B 0 ，符合 B A；
当 8a 8 0，即 a 1时， B中有两个元素，而 B A 4,0 ；
∴ B 4,0 得 a 1
∴ a 1或a 1。
33、解 ∵A∩B＝B，∴B A.
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∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或 B≠ .
当 B＝ 时，方程 ax＋1＝0无解，此时 a＝0.
当 B 1≠ 时，此时 a≠0，则 B＝{－ }，
a
1 1
∴－ ∈A，即有－ ＝－2，得 a 1＝ .
a a 2
1
综上，得 a＝0或 a＝ .
2
34、解 ∵ UA＝{5}，∴5∈U且 5 A.
a2＋2a－3＝5，
又 b∈A，∴b∈U，由此得
b＝3.
a＝2， a＝－4，
解得 或 经检验都符合题意．
b＝3 b＝3
35、解 由 A∩C＝A，A∩B＝ ，可得：A＝{1,3}，
即方程 x2＋px＋q＝0的两个实根为 1,3.
1＋3＝－p p＝－4
∴ ，∴ .
1×3＝q q＝3
36、解 符合条件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共 3个．
37、解 因为 B∪( UB)＝A，
所以 B A，U＝A，因而 x2＝3或 x2＝x.
①若 x2＝3，则 x＝± 3.
当 x＝ 3时，A＝{1,3， 3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3， 3}，此时 UB＝{ 3}；
当 x＝－ 3时，A＝{1,3，－ 3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－ 3}，此时 UB＝{－ 3}．
②若 x2＝x，则 x＝0或 x＝1.
当 x＝1时，A中元素 x与 1相同，B中元素 x2与 1也相同，不符合元素的互异性，故 x≠1；
当 x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，
U＝A＝{1,3,0}，从而 UB＝{3}．
综上所述， UB＝{ 3}或{－ 3}或{3}．
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38、
解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为 a，b，x.
a＋x＝20，
根据题意有 b＋x＝11，
a＋b＋x＝30－4.
解得 x＝5，即两项都参加的有 5人．
39、显然当 P在 AB上时，PA= x；当 P在 BC上时，PA= 1 (x 1) 2
当 P在 CD上时， PA= 1 (3 x)2
当 P在 DA上时，PA=4 x，再写成分段函数的形式.
40、①．因为 | x 1 | | x 1 |的函数值一定大于 0，且 x 1无论取什么数三次方根一定有意义，故其
值域为 R；
②．令 1 2x t， t 0， 1 2 ，原式等于 1 1x (1 t ) (1 t 2 ) t (t 1) 2 1，故 y 1。
2 2 2
③．把原式化为以 x为未知数的方程
(y 2)x 2 (y 2)x y 3 0
当 y 2时， (y 2)2 4(y 2)(y 3) 0，得 2 y 10 ；
3
当 y 2时，方程无解；所以函数的值域为 (2,10] .
3
41、解 (1)∵x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f[f(－3)]＝f(2)＝2×2＝4.
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(2)函数图象如右图所示．
(3) a 1 f(a) a 5 1 a 9当 ≤－ 时， ＝ ＋ ＝ ， ＝－ ≤－1；
2 2
当－12 2
当 a≥1时，f(a)＝2a 1 1＝ ，a＝ [1，＋∞)，舍去．
2 4
9 2
故 a的值为－ 或± .
2 2
42、
( 2,3)
在 f 作用下的像是
(1, 6)
和
(2, 3)
在 f 作用下的原像是
(3, 1)或( 1,3)
43、（1）开口向下；对称轴为
x 1
顶点坐标为
(1,1)
（2）其图像由
y 4x2
的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到；
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（3）函数的最大值为 1。
44、令 x y得：
f 2 (x) g 2 (y) g(0)
再令 x 0，即得 g(0) 0,1 . 若 g(0) 0，令 x y 1时，得 f (1) 0不合题意，故 g(0) 1；
g(0) g(1 1) g(1)g(1) f (1) f (1)
1 g 2即 (1) 1，所以 g(1) 0；那么
g( 1) g(0 1) g(0)g(1) f (0) f (1) 0， g(2) g[1 ( 1)] g(1)g( 1) f (1) f ( 1) 1 .
45、解 f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当 a＋1≥0，即 a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或 a＝－5(舍去)．
当 a＋1<0，即 a<－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知 a＝－1.
x 1
46、题示：分别取 x t和 x ，可得
x 1
(t 1) f ( x 1 ) f (x) x x 1

2
f (t) f (
x 1) x 1
t 1 x 1 x 1
联立求解可得结果.
47、如下图
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48、令
f (x) ax 2 bx c (a 0)
也即
y ax 2 bx c
同时
2 2 2 2
(ax 2 bx c) 2 1= y 1 g(x) f [ f (x)]= a(ax bx c) b(ax bx c) c
通过比较对应系数相等，可得 a 1,b 0,c 1，也即
y x 2 1 g(x) x 4 2x 2 2
49、解 令 t＝x－1，则 1－x＝－t，
原式变为 3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，①
以－t代 t，原式变为 3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②
由①②消去 f(－t)，得 f(t)＝2t 2＋ .
5
即 f(x)＝2x 2＋ .
5
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高中数学简答题专练
50、题示：对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标，开口方向，与坐标轴交点坐标可得；
第二个函数的图象，一种方法是将其化归成分段函数处理，另一种方法是该函数图象关于 y 轴对称，
先画好 y 轴右边的图象.
1－x 1 1
51、解 由 ＝2，解得 x＝－ ，所以 f(2)＝－ .
1＋x 3 3
52、解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是 12时，离家 30千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家 17千米．
(4)11∶00至 12∶00他骑了 13千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是 10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是 14千米/时．
(6)从 12时到 13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
53、解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为 2 m，上底为(2＋2h)m，高为 h m，
A [2＋ 2＋2h ]h∴水的面积 ＝ ＝h2＋2h(m2)．
2
(2)定义域为{h|0由函数 A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|0(3)由于 A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线 h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，
又考虑到 01 2
54、解：(1)f′(x)＝(log 2x)′＝ ＝ .
xln 2 xln2
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高中数学简答题专练
－x 1 x
(2)∵2 ＝( ) ，
2
1 1
f x x
1 1 x
∴ ′(x)＝[( ) ]′＝( ) ln ＝－( ) ln2.
2 2 2 2
55、解：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为 4，
∴f2012(x)＝f0(x)＝sinx.
3
56、 2解：∵y＝ x ，
3 2 12
y x2 x x－∴ ′＝( )′＝( )′＝ ，
3 3
3
1
2 － 1
∴y′|x＝8＝ ×8 ＝ .3
3 3
1
即在点 P(8,4)的切线的斜率为 .
3
∴适合题意的切线的斜率为－3.
从而适合题意的直线方程为 y－4＝－3(x－8)，
即 3x＋y－28＝0.
57、解 根据题意可得 d＝kv2S.
∵v＝50时，d＝S，代入 d＝kv2S中，
解得 k 1＝ .
2 500
1
∴d＝ v2S.
2 500
当 d S＝ 时，可解得 v＝25 2.
2
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高中数学简答题专练
S 0≤v<25 2
2
∴d＝ 1 .v2S v≥25 2
2 500
58、解 当点 P在 BC上运动，
1
即 0≤x≤4时，y＝ ×4x＝2x；
2
1
当点 P在 CD上运动，即 42
当点 P在 DA上运动，即 8y 1＝ ×4×(12－x)＝24－2x.
2
2x， 0≤x≤4，
综上可知，f(x)＝ 8， 424－2x， 859、解 因为对任意实数 x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令 y＝x，
有 f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即 f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又 f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
60、解 因为函数 f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为 R，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现 f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以 f(3)(2)根据图象，容易发现当 x1第54页,共78页
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(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，
4]．
61、解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
f 0 ＝c，
由 f(0)＝f(4)知 f 4 ＝16a＋4b＋c，
f 0 ＝f 4 ，
得 4a＋b＝0.①
又图象过(0,3)点，
所以 c＝3.②
设 f(x)＝0的两实根为 x1，x2，
则 x1＋x
b c
2＝－ ，x1·x2＝ .
a a
所以 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝( b－ )2－2·c＝10.
a a
即 b2－2ac＝10a2.③
由①②③得 a＝1，b＝－4，c＝3.所以 f(x)＝x2－4x＋3.
62、
解 (1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数 f(x)的定义域为 R.
由图象知，当－1≤x≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当 x>1或 x<－1时，f(x)＝1，
所以 f(x)的值域为[0,1]．
63、解：(1)∵f(x)在 x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.
∵f′(x 2)＝3x ＋2ax，
∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.
(2)由(1)知 a＝－3，
f x x3 x2 f x x2∴ ( )＝ －3 ＋2， ′( )＝3 －6x.
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝2.
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高中数学简答题专练
当 x变化时 f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －2 ↗ 2 ↘ －2 ↗ 2
从上表可知 f(x)在区间[－1,3]上的最大值是 2，最小值是－2.
64、 g(x) f [ f (x)] f (x 2 1) (x 2 1)2 1 x 4 2x 2 2 .
G(x) g(x) f (x) x 4 2x 2 2 x 2 x 4 (2 )x 2 (2 )
G(x1) G(x2 ) [x
4
1 (2 )x
2
1 (2 )] [x
4 2
2 (2 )x2 (2 )]
(x1 x2 )(x1 x2 )[x
2
1 x
2
2 (2 )]
有题设
当 x1 x2 1时，
(x1 x2 )(x1 x2 ) 0
x 2 21 x2 (2 ) 1 1 2 4 ，
则 4 0, 4 当 1 x1 x2 0时，
(x1 x2 )(x1 x2 ) 0
x 21 x
2
2 (2 ) 1 1 2 4 ，
则 4 0, 4 故 4 .
65、 p(x) R(x) C(x) 20x2 2500x 4000, x [1,100], x N .
Mp(x) p(x 1) p(x)
[ 20(x 1)2 2500(x 1) 4000] ( 20x 2 2500x 4000),
2480 40x
x [1,100], x N
p(x) 20(x 125 )2 74125, x [1,100], x N
2
故当 x 62或 63时， p(x)max 74120（元）。
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因为Mp(x) 2480 40x为减函数，当 x 1时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.
边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.
66、函数
f (x 1) [(x 1) 2]2 (x 1)2 x 2 2x 1
x [ 2,2]，
故函数的单调递减区间为[ 2,1] .
67、①定义域 ( ,0) (0, )关于原点对称，且 f ( x) f (x)，奇函数.
1
②定义域为{ }不关于原点对称。该函数不具有奇偶性.
2
③定义域为 R，关于原点对称，且 f ( x) x 4 x x 4 x， f ( x) x 4 x (x 4 x)，故其不具有奇
偶性.
④定义域为 R，关于原点对称，
当 x 0时， f ( x) ( x)2 2 (x 2 2) f (x)；
当 x 0时， f ( x) ( x)2 2 ( x 2 2) f (x)；
当 x 0时， f (0) 0；故该函数为奇函数.
ax2x1＋ －2ax68、解：对 f(x)求导得 f′(x)＝e .①
1＋ax2 2
4
(1)当 a＝ 时，若 f′(x 2)＝0，则 4x －8x＋3＝0，
3
3 1
解得 x1＝ ，x2＝ .结合①，可知
2 2
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高中数学简答题专练
1 1 1 3 3 3
x (－∞， ) ( ， ) ( ，＋∞)
2 2 2 2 2 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
3 1
所以 x1＝ 是极小值点，x2＝ 是极大值点．
2 2
(2)若 f 2(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合①与条件 a>0，知 1＋ax －2ax≥0 在 R上恒
2
成立，即Δ＝4a －4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合 a>0，知 0所以 a 的取值范围为{a|069、减函数令a x1 x2 b ，则有 f (x1) f (x2 ) 0，即可得0 f (x1) f (x2 )；同理有 g(x1 ) g(x2 ) 0，
即可得 f (x2 ) f (x1) 0；
从而有 f (x1)g(x1) f (x2 )g(x2 )
f (x1)g(x1) f (x1)g(x2 ) f (x1)g(x2 ) f (x2 )g(x2 )
f (x1 )(g(x1 ) g(x2 )) ( f (x1 ) f (x2 ))g(x2 ) *
显然 f (x1)(g(x1) g(x2 )) 0， ( f (x1) f (x2 ))g(x2 ) 0从而*式* 0，
故函数 f (x)g(x)为减函数.
70、已知 f (x)中 x2005 ax3 b 为奇函数，即 g(x) = x 2005 ax 3 b 中 g( x) g(x)，也即 g( 2) g(2)
x x
f ( 2) g( 2) 8 g(2) 8 10
得 g(2) 18， f (2) g(2) 8 26 .
71、(1)证明 设 00，x1－x2<0.
又 b>1，且 0∵f(x1)－f(x )
x1－x2 x1x2－b
2 ＝ >0，
x1x2
∴f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数．
(2)解 设 0f(x ) f(x ) x1－x2 x1x2－b 则 1 － 2 ＝
x1x2
由函数 f(x)在(0,1)上是减函数，知 x1x2－b<0恒成立，则 b≥1.
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高中数学简答题专练
设 1x∈(0，＋∞)时，通过图象可知 f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.
故 a＝1.
72、(1)证明 设 x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)>－f(x2)，即 f(x1)∴函数 f(x)在(－∞，0)上是增函数．
(2)解 若 x>0，则 f(x)若 x<0，则 f(x)∴关于 x的不等式 f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
73、解 (1)作 OH，DN分别垂直 DC，AB交于 H，N，
连结 OD.
由圆的性质，H是中点，设 OH＝h，
h＝ OD2－DH2＝ 4－x2.
又在直角△AND中，AD＝ AN2＋DN2
＝ 2－x 2＋ 4－x2 ＝ 8－4x＝2 2－x，
所以 y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4 2－x，其定义域是(0,2)．
(2)令 t＝ 2－x，则 t∈(0， 2)，且 x＝2－t2，
所以 y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，
当 t＝1，即 x＝1时，y的最大值是 10.
74、解：（1） p(x) R(x) C(x) 2x 2 250x 300, x [1,100], x N
Mp(x) p(x 1) p(x) [ 2(x 1) 2 250(x 1) 300] ( 2x 2 250x 300) 248 4x ,
x [1,99], x N
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（ 2 ） p(x) 2x 2 250x 300 2(x 62.5)2 7512.5, x [1,100], x N , 故 当 x 62 或 63
时, p(x)max 7512（元）
因为Mp(x) 248 4x为减函数,当 x 1时有最大值 244
（3）当 x 1时边际利润函数取最大值,说明生产第二件衣服与生产第一件衣服的利润差最大。
75、解：(1)令 f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，
3 1
x＋
∴a＜ 2 x min＝3(当 x＝1时取最小值)．
∵x≥1，
∴a＜3，a＝3时亦符合题意，
∴a≤3.
(2)f′(3)＝0，即 27－6a＋3＝0，
a f x x3 x2∴ ＝5， ( )＝ －5 ＋3x，f 2′(x)＝3x －10x＋3.
1
令 f′(x)＝0，得 x1＝3，x2＝ (舍去)．
3
当 1＜x＜3 时，f′(x)＜0，当 3＜x＜5 时，f′(x)＞0，
即当 x＝3 时，f(x)的极小值 f(3)＝－9.
又 f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是 f(3)＝－9，
最大值是 f(5)＝15.
76、(1)证明 设 x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1
1
－ )－(1 1 ) x1－x2－ ＝ .
x1＋1 x2＋1 x1＋1 x2＋1
由 x1>x2≥0 x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
得 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
所以 f(x)在定义域上是增函数．
(2)解 g(x)＝f(x＋1)－f(x) 1＝ ，
x＋1 x＋2
g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加 1，f(x)的增加值越来越小，所以 f(x)的增长是越来越慢．
77、解： f (x) 1 x 在 ， 1 是增函数
x
证明：任取 x1 , x2 , 1 ,不妨设 x1 < x2,
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则 f (x1 ) f (x ) (x
1 1 1 1 1
2 1 ) (x2 ) (x1 x2 ) ( ) (xx x x x 1
x2 )(1 )
1 1 2 x1x2
x , x , 1 x x x x 0, x x 1, (x x )(1 1由于 1 2 且 1 2 ,所以 1 2 1 2 则 1 2 ) 0 ,x1x2
那么 f (x1 ) f (x2 ),所以f (x) x
1
在 , 1 是增函数
x
（2） f (x) x 1 在(0,1]是减函数
x
证明：任取 x1, x2 (0,1] ,不妨设 x1 < x2,
则 f (x ) f (x ) (x 1 ) (x 1 1 1 11 2 1 2 ) (x1 x2 ) ( ) (x1 x2 )(1 )x1 x x1 x2 x1x2
由于 x1, x2 (0,1]且x1 x2 ,所以 x1 x2 0, x1x2 1, (x x
1
则 1 2 )(1 ) 0 ,x1x2
1
那么 f (x1) f (x2 ),所以f (x) x 在(0,1]是减函数x
78、解：①开口向下、对称轴方程为 x 1、顶点坐标为(1,1);
②其图像由 y 4x2 的图像向上平移 1个单位和向右平移 1个 单位得来；
③当 x 1时函数有最大值为 1；
④函数的单调性：
在(－∞,1］上为增函数，在[1,+∞)上为减函数.
79、 解：设经过 x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为 y，
y＝ (150－45x)2 10＋(15x)2 (0＜x )，
3
可求得当 x＝3时，y有最小值．
答案：3小时．
80、 解：由条件可得 f（x）＋f（x－2）＝f［x（x－2）］，1＝f（3）．
所以 f［x（x－2）］＞f（3），又 f（x）是定义在 R 上的增函数，所以有 x（x－2）＞3，可解得 x＞3
或 x＜－1．
答案：x＞3或 x＜－1．
81、解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
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f 2
3 2 1
′(x)＝3x － ＝3(x － )，
x2 x2
由 f′(x)>0，解得 x<－1 或 x>1，
由 f′(x)<0，解得－1∴f(x)的递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)
2
＝2cos x＋cosx－1
＝(2cosx－1)(cosx＋1)．
∵0≤x≤2π，
π
∴由 f′(x)＝0 得 x1＝ ，x2＝π，
3
5
x3＝ π，
3
则区间[0,2π]被分成三个子区间：如表所示：
5
π π π 5 5 ( π，
x 0 (0， ) ( ，π) π (π， π) π 3 2π
3 3 3 3 3
2π)
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) ↗ ↘ ↘ ↗
π 5 π 5
∴f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)的单调递增区间为[0， ]，[ π，2π]，单调递减区间为[ ， π]．
3 3 3 3
82、 f x－1 2 2解：(1)∵ ′(x)＝e (2x＋x )＋3ax ＋2bx
x x－1＝ e (x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又 x＝－2 和 x＝1为 f′(x)＝0 的两根，
∴f′(－2)＝f′(1)＝0，
－6a＋2b＝0
故有 ，
3＋3a＋2b＝0
1
解方程组得 a＝－ ，b＝－1.
3
1
(2)∵a＝－ ，b＝－1，
3
f x－1∴ ′(x)＝x(x＋2)(e －1)，
令 f′(x)＝0 得 x1＝－2，x2＝0，x3＝1，
当 x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当 x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，
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∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．
83、证明 设 a∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)且 a∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
a 2
84、解：f′(x)＝a＋ － ，
x2 x
要使函数 f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
只需 f′(x)在(0，＋∞)内恒大于 0或恒小于 0.
2
当 a＝0 时，f′(x)＝－ <0 在(0，＋∞)内恒成立；
x
1 1
a f x a 2
1
当 >0 时，要使 ′( )＝ ( － ) ＋a－ ≥0恒成立，
x a a
1
∴a－ ≥0，解得 a≥1.
a
综上，a的取值范围为 a≥1或 a＝0.
85、解 y＝－x2＋2|x|＋3
－x2＋2x＋3 x≥0 － x－1 2＋4 x≥0
＝ ＝ .
－x2－2x＋3 x<0 － x＋1 2＋4 x<0
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数 y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
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86、解 函数 f(x)＝ x2－1在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1则 f(x2)－f(x1)＝ x22－1－ x12－1
x22－x21 x2－x1 x2＋x1
＝ ＝ .
x22－1＋ x21－1 x22－1＋ x12－1
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0， x22－1＋ x12－1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
故函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
87、解 (1)在 f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令 m＝1，n＝0，得 f(1)＝f(1)·f(0)．
因为 f(1)≠0，所以 f(0)＝1.
(2)函数 f(x)在 R 上单调递减．
任取 x1，x2∈R，且设 x1在已知条件 f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取 m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为 f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于 x2－x1>0，所以 0在 f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令 m＝x，n＝－x，则得 f(x)·f(－x)＝1.
当 x>0 1时，01>0，
f x
又 f(0)＝1，所以对于任意的 x1∈R 均有 f(x1)>0.
所以 f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即 f(x2)88、解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由 f(m－2)≤3，得 f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
m－2≥2
∴ ，解得 m≥4.
m－2>0
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
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高中数学简答题专练
89、解：本题可利用计算机作出该函数的图象，通过图象求得单调区间，最后用单调性的定义证明．
答案：增区间（1，＋∞），减区间（0，1）．
90、解 (1)令 x＝y＝0，得 f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
令 y＝－x，得 f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即 f(x)＝－f(－x)，所以 y＝f(x)是奇函数．
(2)令 x＋y＝x1，x＝x2，则 y＝x1－x2，
得 f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)．
设 x1>x2，∵x>0时 f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
则 f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即 f(x1)所以 y＝f(x)为 R 上的减函数．
(3)由 f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0，
得 f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，
∵f(x)是奇函数，有 f(kx2)>f(x2－x＋2)，
又∵f(x)是 R 上的减函数，
∴kx2即(k－1)x2＋x－2<0对于 x∈R 恒成立，
k－1<0
即 ，故 k<7.
Δ＝1＋8 k－1 <0 8
91、解 由 f(m)＋f(m－1)>0，
得 f(m)>－f(m－1)，即 f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
－1≤m≤3
－2≤1－m≤2
－2≤m≤2
∴ －2≤m≤2 ，即 ，
1
1－m>m m<2
1 m<1解得－ ≤ .
2
92、解 (1)令 a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0；
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令 a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
因为 f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，
而 0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，
∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
即 f(x)为奇函数．
f(793、 )2 2
解析 因 y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移 2个单位即得 f(x)的图象．所以函数 y＝f(x)的图
象关于直线 x＝2 对称，又因 f(x)在(0,2)上是增函数，所以 f(x)在(2,4)上是减函数，且 f(1)＝f(3)，由于
7>3>5，
2 2
∴f(7)2 2 2 2
94、解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当 x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当 x<0时 f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当 x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对 x∈R，总有 f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为 R 上的奇函数．
95、 2 2解：∵f′(x)＝3x ＋mx－2m ＝(x＋m)(3x－2m)，
2
令 f′(x)＝0，则 x＝－m 或 x＝ m.
3
当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化如下表
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2 2 2
x (－∞，－m) －m (－m， m) m ( m，＋∞)
3 3 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f x f m m3
1 3 5
∴ ( )极大值＝ (－ )＝－ ＋ m ＋2m
3
－4＝－ ，
2 2
∴m＝1.
96、解：由 f(x)＝sin x－cosx＋x＋1,0知 f′(x)＝cos x＋sin x＋1，
π
于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ )．
4
π 2 3π
令 f′(x)＝0，从而 sin(x＋ )＝－ ， 得 x＝π，或 x＝ .
4 2 2
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
3π 3π 3π
x (0，π) π (π， ) ( ，2π)
2 2 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
3π
f(x) ↗ π＋2 ↘ ↗
2
3π 3π 3π
因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，π)与( ，2π)，单调递减区间是(π， )，极小值为 f( )
2 2 2
3π
＝ ，极大值为 f(π)＝π＋2.
2
97、解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
x 2－2 x＋1
∵f′(x)＝ ，
3
2 x－1
令 f′(x)＝0，
得 x1＝－1，x2＝2.
当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
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3
f(x) ↗ － ↘ ↗ 3 ↗
8
故当 x＝－1 时，函数有极大值，
3
并且极大值为 f(－1)＝－ .
8
(2)函数的定义域为 R，
1
f′(x)＝2xe－x＋x2·( )′
ex
x －x x2 －x＝2 e － e
－x
＝x(2－x)e ，
令 f′(x)＝0，得 x＝0或 x＝2.
当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ 4e－2 ↘
由上表可以看出，当 x＝0时，函数有极小值，且为 f(0)＝0；当 x＝2 时，函数有极大值，且为 f(2)＝4e
－2
.
98、解 由 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知 f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1 1 7＝2(a＋ )2＋ >0，
4 8
2a2 2a 3 2(a 1)2 5－ ＋ ＝ － ＋ >0，
2 2
且 f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即 3a－2>0 2，解得 a> .
3
99、解 (1)当 x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
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又 f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知 f(x)
－x2＋2x x>0
＝ 0 x＝0 ，
x2＋2x x<0
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
a－2>－1
要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需 ，
a－2≤1
解得 1100、(1) 1 a 2 (2) a 4或a 5
1 1
101、解：（1）∵ a 1, f (x)的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为 x [1,3].
3 a
1
∴ f x 有最小值 N (a) 1 .
a
1
当 2≤ ≤3时，a 1 1[ , ], f (x)有最大值M a f 1 a 1；
a 3 2
1 1
当 1≤ <2 时，a∈( ,1], f (x)有最大值 M（a）=f(3)=9a－5;
a 2
a 2 1 (1 1 a ),
g(a) a 3 2

9a 6
1 1
( a 1).
a 2
1 a a 1（2）设 1 2 ,则 g(a1) g(a2 ) (a1 a2 )(1
1
) 0, g(a1) g(a3 2 a a 2
),
1 2
g(a) 1 1 在[ , ]上是减函数.
3 2
1
设 a1 a2 1, 则 g(a1) g(a2) (a a )(9
1
1 2 ) 0, g(a1) g(a ),2 a 21a2
1 1 1
g a1 在( ,1]上是增函数.∴当 a 时， g a 有最小值 ．2 2 2
102、解 (1)在②中令 x＝1，有 1≤f(1)≤1，故 f(1)＝1.
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(2)由①知二次函数的开口向上且关于 x＝－1对称，故可设此二次函数为 f(x)＝a(x＋1)2(a>0)，又由 f(1)
1 a 1＝ 代入求得 ＝ ，故 f(x) 1＝ (x＋1)2.
4 4
(3)假设存在 t∈R，只要 x∈[1，m]，就有 f(x＋t)≤x.
取 x＝1，有 f(t＋1)≤1，
1
即 (t＋2)2≤1，
4
解得－4≤t≤0.
对固定的 t∈[－4,0]，取 x＝m，有 f(t＋m)≤m，
1
即 (t＋m＋1)2≤m，
4
化简得 m2＋2(t－1)m＋(t2＋2t＋1)≤0，
解得 1－t－ －4t≤m≤1－t＋ －4t，
故 m≤1－t＋ －4t≤1－(－4)＋ －4× －4 ＝9，
t＝－4时，对任意的 x∈[1,9]，
恒有 f(x－4)－x 1＝ (x2 1－10x＋9)＝ (x－1)(x－9)≤0，
4 4
所以 m的最大值为 9.
(1) 1 a 1 f(x) x 1103、解 ∵ ≤ ≤ ，∴ 的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为 ＝ ∈[1,3]．
3 a
∴f(x)有最小值 N(a)＝1 1－ .
a
当 2 1 1 1≤ ≤3时，a∈[ ， ]，f(x)有最大值 M(a)＝f(1)
a 3 2
＝a－1；
1 1<2 1当 ≤ 时，a∈( ，1]，f(x)有最大值 M(a)＝f(3)
a 2
＝9a－5；
a－2 1 1＋ ≤a 1≤ ，
a 3 2
∴g(a)＝
9a－6 1＋ 1a 2
(2) 1设 ≤a13 2
＝(a a )(1 11－ 2 － )>0，
a1a2
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[1 1， ]上是减函数．
3 2
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1
设 1
2 － )<0，∴g(a1)2 a1a2
1
∴g(a)在( ，1]上是增函数．
2
1
∴当 a＝ 时，g(a) 1有最小值 .
2 2
104、解 (1)设日销售金额为 y(元)，则 y＝p·Q.
t＋20 －t＋40
∴y＝
－t＋100 －t＋40
－t2＋20t＋800， 0＝
t2－140t＋4 000， 25≤t≤30，t∈N.
－t2＋20t＋800
(2)由(1)知 y＝
t2－140t＋4 000
－ t－10 2＋900， 0＝
t－70 2－900， 25≤t≤30，t∈N.
当 0当 25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1 125(元)．
由 1 125>900，知 ymax＝1 125(元)，且第 25天，日销售额最大．
105、解 (1)令 x＝y≠0，则 f(1)＝0.
(2)令 x＝36，y＝6，
f(36则 )＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，
6
1
故原不等式为 f(x＋3)－f( )x
即 f[x(x＋3)]又 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
x＋3>0
1
故原不等式等价于 >0
x
002
106、解 任取 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1则 x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·
x1x2－a.
x1x2
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当 0∴x1x2－a<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即 f(x)在(0， a)上是减函数．
当 a≤x1a，∴x1x2－a>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
∵函数 f(x)是奇函数，∴函数 f(x)在(－∞，－ a]上是增函数，在[－ a，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－ a]，[ a，＋∞)上为增函数，在[－ a，0)，(0， a]上为减函数．
107、解 设方程 x2－5x＋q＝0的两根为 x1、x2，
∵x∈U，x1＋x2＝5，∴q＝x1x2＝1×4＝4或 q＝x1·x2＝2×3＝6.
当 q＝4时，A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，
∴ UA＝{2,3,5}；
当 q＝6时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
∴ UA＝{1,4,5}．
2
108、解 (1)y f(x) 4x －12x－3 4＝ ＝ ＝2x＋1＋ －8，
2x＋1 2x＋1
设 u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，
y u 4则 ＝ ＋ －8，u∈[1,3]．
u
1 u 2 0 x 1由已知性质得，当 ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ 时，f(x)单调递减；
2
1
所以减区间为[0， ]；
2
当 2≤u 3 1≤ ，即 ≤x≤1时，f(x)单调递增；
2
1
所以增区间为[ ，1]；
2
由 f(0)＝－3，f(1)＝－4，f(1) 11＝－ ，
2 3
得 f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故 g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意，f(x)的值域是 g(x)的值域的子集，
－1－2a≤－4
a 3∴ ∴ ＝ .
－2a≥－3 2
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109、解 (1)令 x＝y＝0，得 f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)
＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令 y＝－x，得 f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)任取 x10，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
即 f(x2)∴f(x)在 R 上是减函数．
(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，
∴f(12)最小，f(－12)最大．
又 f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)
＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，
∴f(－12)＝－f(12)＝8.
∴f(x)在[－12,12]上的最大值是 8，最小值是－8.
110、解 ∵f(x)＝4(x a－ )2－2a＋2，
2
a
①当 ≤0，即 a≤0时，函数 f(x)在[0,2]上是增函数．
2
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由 a2－2a＋2＝3，得 a＝1± 2.
∵a≤0，∴a＝1－ 2.
a
②当 0< <2，即 02
f(x)min＝f(a)＝－2a＋2.
2
由－2a＋2＝3 1，得 a＝－ (0,4)，舍去．
2
a
③当 ≥2，即 a≥4时，函数 f(x)在[0,2]上是减函数，
2
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由 a2－10a＋18＝3，得 a＝5± 10.
∵a≥4，∴a＝5＋ 10.
综上所述，a＝1－ 2或 a＝5＋ 10.
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111、(1)证明 设 0f(x1)－f(x
2 2
2)＝( －1)－( －1)
x1 x2
2 x2－x1
＝ ，
x1x2
∵00，x2－x1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
即 f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解 设 x<0，则－x>0，
∴f(－x) 2＝－ －1，
x
又 f(x)为偶函数，
∴f(－x) f(x) 2＝ ＝－ －1，
x
即 f(x) 2＝－ －1(x<0)．
x
112、（1）（－1，1）∪（1，2）；（2）R；（3）（－∞，0）．
1 1
113、解 ∵A∩B＝{ }，∴ ∈A.
2 2
∴2(1)2 1＋3p( )＋2＝0.
2 2
5 1
∴p＝－ .∴A＝{ ，2}．
3 2
又∵A 1∩B＝{ } 1，∴ ∈B.
2 2
∴2(1)2 1＋ ＋q＝0.∴q＝－1.
2 2
∴B {1 1＝ ，－1}．∴A∪B＝{－1，，2}．
2 2
114、[解析] (1)因为 A∩B≠ ，所以 a<－1 或 a＋3>5，即 a<－1 或 a>2.
(2)因为 A∩B＝A，所以 A B，所以 a>5 或 a＋3<－1，即 a>5 或 a<－4.
115、解：⑴在等式中令 x y 0，则 f 1 0；
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⑵在等式中令 x 36, y 6则 f 36 f 36 f 6 ， f 36 2 f 6 2，
6
故原不等式为： f (x 3) f (1 ) f (36),即 f x(x 3) f (36)，
x
x 3 0

f (x) 0, 1 0 0 x 153 3又 在 上为增函数，故原不等式等价于：
x 2
0 x(x 3) 36
116、（1）证明：取 x 0, y 0，f (0 0) f (0 0) 2 f (0) f (0)，2 f (0) 2 f 2 (0) ∵ f (0) 0
∴ f (0) 1
（2）证明：取 x 0， f (y) f ( y) 2 f (0) f (y)，
∵ f (0) 1 ， ∴ f (y) f ( y) 2 f (y)，即 f ( y) f (y)
∴ f (x)是偶函数。
117、解：（1）∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的 x，都有 f ( x) f (x)，
px 2 2 px 2 2
即 ，整理得：q 3x q 3x ∴q=0 ………2分
q 3x q 3x
f (2) 5 f (2) 4p 2 5又∵ ，∴ ，
3 6 3
解得 p=2 …………………………………………4分
f (x) 2x
2 2
∴所求解析式为 …………………………………………5分
3x
2
f (x) 2x 2 2（2）由（1）可得 = (x 1 )，
3x 3 x
设0 x1 x2 1，
2 1 1 2 1 1
则由于 f (x1 ) f (x 2 ) [(x 2 ) (x1 )] [(x 2 x1 ) ( )]3 x 2 x1 3 x 2 x1
2 [(x x ) x1 x 2 ] 2 (x x 1 2 1 x= 1
x 2
3 2 1

x x 3 1
2 )( 1) (x1 x 2 ) ………9分
1 2 x1x 2 3 x1x 2
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因此，当 0 x1 x 2 1时，0 x1x 2 1，
从而得到 f (x1 ) f (x 2 ) 0即， f (x1) f (x 2 )
∴ (0,1]是 f(x)的递增区间。 ………………………12 分
118、解： ∵ 0 （- ,1）， ∴f(0)= 3 2 ,又 3 2 >1，
f 3 2 3 2 3 3 2 -3 1 5 5∴ ( )=( ) +( ) =2+ = ,即 f[f(0)]= .
2 2 2
9
119、（1）（－∞， ）；（2）［－15，7］；（3）［－4，0］；（4）（－4，＋∞）．
4
120、[解析] (1)|x－2|<2x，则
x≥2， x<2，
或
x－2<2x. 2－x<2x.
2 2
∴x≥2 或 .
3 3
(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0∴F(x)＝－(a＋1)x＋a. ∵－(a＋1)<0，
∴函数 F(x)在(0，a]上是单调减函数，∴当 x＝a时，函数 F(x 2)取得最小值为－a .
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0， a]上单调减．
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a
121、[解析] (1)∵a<0，∴y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，
x
a
又 y＝x 为增函数，∴f(x)＝x＋ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．
x
a
(2)f(x)＝x＋ 在(0， a]上单调减，
x
设 0a a a(x2－x1)
＝(x1＋ )－(x2＋ )＝(x1－x2)＋
x1 x2 x1x2
a
＝(x1－x2)(1－ )>0，
x1x2
122、[解析] 如图，剪出的矩形为 CDEF，设 CD＝x，CF＝y，则 AF＝40－y.
∵△AFE∽△ACB.
AF FE 40－y x
∴ ＝ 即∴ ＝
AC BC 40 60
2
∴y＝40－ x.剩下的残料面积为：
3
1 2 2
S＝ ×60×40－x·y＝ x2－40x＋1 200＝ (x－30)2＋600
2 3 3
∵0∴在边长 60cm 的直角边 CB 上截 CD＝30cm，在边长为 40cm 的直角边 AC 上截 CF＝20cm 时，能使所剩
残料最少．
123、[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见 f(3)>f(1)．
124、[解析] (1)∵f(x)为二次函数且 f(0)＝f(2)，
∴对称轴为 x＝1.
f x f x a x 2又∵ ( )最小值为 1，∴可设 ( )＝ ( －1) ＋1 (a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，
即 f(x)＝2x2－4x＋3.
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高中数学简答题专练
1
(2)由条件知 2a<12
125、解 (1) f(3) 3＋2 5∵ ＝ ＝－ ≠14.
3－6 3
∴点(3,14)不在 f(x)的图象上．
(2)当 x＝4时，f(4) 4＋2＝ ＝－3.
4－6
(3)若 f(x)＝2 x＋2，则 ＝2，
x－6
∴2x－12＝x＋2，∴x＝14.
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