初中数学 七年级 上册知识点大全及例题(含解析)

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初中数学 七年级 上册知识点大全及例题(含解析)

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第一章 有理数 3 22
例 1.把下面的有理数填在相应的大括号里:15,- ,0,-30,0.15,-128, ,
⒈正数和负数的概念 8 5
正数:比 0大的数. 负数:比 0 小的数. 0 既不是正数,也不是负数 +20,-2.6.
(1)非负数:{ ,…};
2.具有相反意义的量 (2)负数:{ ,…};
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。 (3)正整数:{ ,…};
比如:如果零上 8℃表示为+8℃,那么零下 8℃就表示为-8℃ (4)负分数:{ ,…}.
22 3
解:(1)15,0,0.15, ,+20 (2)- ,-30,-128,-2.6 (3)15,+20 (4)
2.有理数的概念 5 8
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) 3
- ,-2.6
⑵正分数和负分数统称为分数 8
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理
数。 3.数轴的概念
注意:(1)引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数, 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
-1,-3,-5…也是奇数。
(2)π不是有理数 比如:在数轴上与表示 2的点距离 3个单位长度的点表示的数是________.
1.有理数的分类 解:-1或者 5。 如图所示
正整数 -1 0 2 0 2 5
正整数
正有理数 整数 0
正分数 在 2 的左边 3 个单位长度 在 2 的右边 3 个单位长度
负整
有理数 0 有理数
正分数 4.利用数轴表示两数大小
负整数 分数
负有理数 负分数 ⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
负分数
⑵正数大于 0,负数都小于 0,正数大于负数;
总结:①正数、0统称为非负数
⑶两个负数绝对值大的反而小
②负数、0统称为非正数
比如: 在-1,-2, 1,2这四个数中,最小的是_____.
解:-2<-1 <1<2 a (a 0) a (a 0)即: a 0 (a 0) 或 a
a (a 0) ﹣a (a 0)
3.绝对值的性质:若|x|=a(a>0),则 x=±a;
相反数
1.——只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0 的相 例 3 绝对值小于 4的所有整整数有________________________
反数是 0。 解:0、±1、±2、±3
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为
负; 例 4 若|x|=3,|y|=5,则 x+y=________
⑶0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是 0。 解:|x|=3, |y|=5
2.相反数的性质与判定 x=3 或者 x=﹣3 y=5 或者 y=﹣5
⑴互为相反数的两数和为 0,和为 0的两数互为相反数,即 a,b 互为相反数,则 a+b=0 当 x=3,y=5 时 x+y=3+5=8
3.双重符号的化简:同号得正,异号得负 当 x=3,y=-5 时 x+y=3+(-5)=-2
当 x=-3,y=5 时 x+y=-3+5=2
例 2 ﹣2 的相反数是________,倒数是________,绝对值是________。 当 x=-3,y=-5 时 x+y=-3+(-5)=-8
解析:①只有符号不同的两个数叫做互为相反数。∴-2 的相反数是 2; ∴若|x|=3,|y|=5,则 x+y=±2 或者±8
1 1
②数 a与 互为倒数.∴-2 的倒数是﹣ ;
a 2 例 5 解下列方程(1)|x|=3 (2)|x-1|=5 (3)|x+2|=8
③一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值 分析:第(2)题要把 x-1 看作一个整体;第(3)题要把 x+2 看作一个整体
是 0。∴-2 的绝对值是它的相反数 2; 解:(1)|x|=3 (2)|x-1|=5 (3)|x+2|=8
x=3 或者 x=﹣3 x-1=5 或者 x-1=﹣5 x+2=8 或者 x+2=﹣8
∴x=6 或者 x=﹣4 ∴x=6 或者 x=﹣10
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作|a|。 例 6(1)若|a-3|=a-3,则 a的取值范围是________。
2.绝对值的代数定义 解:由于褪绝对值符号褪得它本身
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0 的绝对值 a (a 0)
根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-3 是一个非正数
是 0. ﹣a (a 0)
即 a-3≥0,∴a≥3
(2)若|a-3|=3-a,则 a的取值范围是________。
解:由于褪绝对值符号褪得它的相反数
a (a 0)
根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-3 是一个非负数
﹣a (a 0)
即 a-3≤0,∴a≤3
2 2
非负数(两种非负数 a、|b|,即 a≥0;|b|≥0)
非负数的性质:若两个非负数的和为 0,必须每个非负数都为 0。
即 若|a|+|b|=0,则 a=0 且 b=0。 例 8 已知 a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是 2
2 2 2
若 a +b =0 ,则 a=0 且 b=0。 求 a+b+cd+m 的值
2
若 a +|b|=0 ,则 a=0 且 b=0。 分析:a,b互为相反数,即 a+b=0;c,d 互为倒数,即 cd=1; m 的绝对值是 2,即
2 2 2 2
m=﹢2 或者 m=-2,∴m =(﹢2) =4 或者 m =(-2) =4
例 7 若(1)│x+2│+│y-3│=0,则 xy=________. 解:根据题意得,
2 2
(2)若(x+2) +( y-3) =0,则 x y 2- =_____。 a+b+cd+m
2 x =0 +1 +4
(3)若│x+2│+( y-3) =0,则 ________.
y =5
2 x
(4)若│x+2│与( y-3) 互为相反数,则 _____。
y 例 9 计算:
分析:若两个非负数的和为 0,必须每个非负数都为 0。 +(+3.7)=_____,-(-3.7)=_____,+(-3.7)=_____,-(+3.7)=_____.
解:(1)∵│x+2│≥0,│y-3│≥0 2 2 +|+3.7|=_____,-|-3.7|=_____,+|-3.7|=_____,-|+3.7|=_____.(2)∵(x+2) ≥0, ( y-3) ≥0
∴│x+2│=0,│y-3│=0
2 2
∴(x+2) =0,( y-3) =0
x+2=0,y-3=0
x+2=0,y-3=0 注意区别:绝对值符号与括号不一样
x=-2,y=3
x=-2,y=3 去括号时根据法则:同号得正,异号得负
xy=-2×3=-6
x-y=-2-3=-5 去绝对值符号时要先算绝对值部分
解:
2
2
(3)∵│x+2│≥0, ( y-3) ≥0 (4)∵│x+2│与( y-3) 互为相反数
2
即│x+2│+( y-3) =0 +(+3.7)=3.7,-(-3.7)=3.7,+(-3.7)=-3.7,-(+3.7)=-3.7.2∴│x+2│=0,( y-3) =0
2
x+2=0,y-3=0 ∵│x+2│≥0, ( y-3) ≥0
2
x=-2,y=3 ∴│x+2│=0,( y-3) =0
x+2=0,y-3=0
+|+3.7|=3.7,-|-3.7|=-3.7,+|-3.7|=3.7,-|+3.7|=-3.7. Ⅱ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
3 1 3 2 1 7
- - + - + -
5 2 4 5 2 8
特殊的数 3 2 1 1 3 7
原式=- - - + + -
最小的正整数 最大的负整数 相反数等于 绝对值等于 倒数等于 5 5 2 2 4 8
1
本身的数 本身的数 本身的数 =-1+0- 8
-1 √ √ 1=-1
8
0 √ √
1 √ √ √ √ Ⅲ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
3 1 2
(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)
有理数的加减法 4 8 3
1 3 1 2 1
原式= +3 -3 +10 -1
1.有理数加法的运算律 8 4 8 3 4
3 1 1 1 2
⑴加法交换律:a+b=b+a =3 -1 + -3 +10
4 4 8 8 3
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 1 2
=2 -3+10
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: 2 3
1
=-3+13
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; 6
1
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”; =10
6
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”; Ⅳ. 先拆项后结合
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 (1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100)
5.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: =1+3+5+7…+99-2-4-6-8…-100
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) =1-2+3-4+5-6+7-8…+97-98+99-100 (100 个数字 2个一对共有 50 对)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) =-1-1-1-1…-1-1
原式=-33+18-15-1+23 (去括号) =-1×50
=-33-15-1+18+23 (归归类把符号相同的数结合在一起) =-50
=-49+41 (各算各的,加与加算,减与减算)
=-8 (最后再合并) 有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则 后加减’的顺序进行。
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; 有理数的乘方
②任何数同 0 相乘,都得 0; 1.乘方的概念
③几个不是 0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数 求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 a n 中,a 叫做底
时,积是负数;
数,n 叫做指数。
④几个数相乘,如果其中有因数为 0,则积等于 0.
2.乘方的性质
2.倒数
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
1
乘积是 1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为 a· =1
a (2)正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是 0。
1 1 1 2 2
(a≠0),就是说 a 和 互为倒数,即 a 是 的倒数, 是 a的倒数。 2 2
a a a 注意区分: 4
2 ( 4)2 和
3 和

3
注意:①0没有倒数;
-42=-4×4=-16
2
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带 2 2 2 4
( 4)2=(-4)×(-4)=16
分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置; 3 3 3
2
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); 2 2 2 4

④倒数等于它本身的数是 1或-1,不包括 0。 3 3 3 9
有理数混合运算的顺序:
3.有理数的乘法运算律
先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号
⑴乘法交换律: ab=ba
内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
⑵乘法结合律: (ab)c=a(bc).
比如以下基础题
⑶乘法分配律: a(b+c)=ab+ac
2 2
(1) 10-(-4) (2) 10-|-4| (3) 10-(-4) (4)10-(-4) ÷(-2)
=10+4 =10-4 =10-16 =10-16÷(-2)
=-6
4.有理数的除法法则 =14 =6 =10-(-8)
=10+8
(1)除以一个数,等于乘以这个数的倒数。 1 1
(5) 10÷(-3)×(- ) (5) 10÷(-3)×(- ) =18
3 3
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0
=10÷1 1 1=10×(- )×(- )
的数,都得 0 3 3=10 (错误)
1 10
5.有理数的乘除混合运算 =10× = (正确)9 9
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
2 2
例 10 计算(1) (-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,
2 2 n
(2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) 科学记数法:把一个很长很长的数表示成 a×10 的形式(其中 1≤|a|<10,n 是正
(3)(-1)4 5 2 1 5 2 3 2× -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2 整数),这种方法叫做科学记数法。原数中小数点向左移动几位 n就是几。
3 8 6
7 7
2 1 5 比如:52000000=52000000.=5.2×10 ;-52000000=-52000000.=-5.2×102 3 2
(4) -14×5-( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2
3 8 6
解:(1) (2) 近似数
2 2 2 2
(-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) 1. 只有近似数有精确度的问题,准确数不存在精确度问题。
=9-8×2+4-16÷(-2) =-9-8×2+4-16÷(-2)
2. 一个近似数,四舍五入到哪一位,就近似到哪一位。
=9-16+4-(-16÷2) =-9-16+4-(-16÷2)
=9-16+4-(-8) =-9-16+4-(-8) (近似到哪一位,看最后一个数字在哪个位数上,如:3.58 10
4 ,是一个万位数,
=9-16+4+8 =-9-16+4+8 最后一个数字 8在百位上,所以精确到百位。)
=9+4+8-16 =-25+12
例 11. 按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
=21-16 =-13
(1)2.715(精确到百分位);
=5
(2)0.139 5(精确到 0.001);
(3)561.53(精确到个位);
(3) (3) (4)21.345(精确到 0.1).
4 5 2 1 5 2 3 2 4 5 2 1 5 2 3 2(-1) × -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2 (-1) × -( - - )×(-24)-(-4)
3 8 6 3 8 6 解:
÷(1()-22.)7-22.(2)0.140.(3)562.(4)21.3.
2 1 5 2 1 5
=1×5-[ ×(-24)- ×(-24)- ×(-24)]-16÷(-8)-4 =-1×5-[ ×(-24)- ×(-24)- ×(-24)]-16÷(-8)-4
3 8 6 3 8 6
程序化
=5-[-16-(-3)-(-20)]-(-2)-4 =-5-[-16-(-3)-(-20)]-(-2)-4
=5-(-16+3+20)+2-4 =-5-(-16+3+20)+2-4 有理数的混合运算先定运算顺序、再定每步运算的符号、只需要处理好符号,然后
=5-(-16+23)+2-4 =-5-(-16+23)+2-4 用绝对值进行计算,转化为小学的计算。
=5-7+2-4 =-5-7+2-4 特别注意
=5+2-7-4 =-5-7-4+2
1.概念题不要忽略“0”,注意“0”是有理数按符号分类中的一类,要把所有情况都
=7-11 =-16+2
考虑到;
=-4 =-14
2.计算题不要丢符号,注意“一步定号”,再算绝对值;
3.遇到拿不准的问题,回到定义、法则去考虑;
4.遇到读不懂题的时候,把中文叙述和数学符号语言相互转化试一试;
规律寻找题 (3)根据上面的归纳,你可以猜想出第 n个单项式是什么?
结果与该数字(图形)所处位置 n之间的关系
(1)偶数倍(2n) (4)请你根据猜想,写出第 2 015,2 016 个单项式.
(2)奇数倍(2n+1 或者 2n-1)
2 2 2 n
(3)平方(n)、平方多 1(n +1)、平方少 1(n -1) 解:(1)这组单项式的系数的符号规律是(-1) ,系数绝对值的规律是 2n-1.
n
(4)2 的乘方(2 ) (2)次数的规律是从 1开始的连续自然数.
n n
(5)几倍(几 n)、几倍多几(几 n+几)、几倍少几(几 n-几) (3)第 n 个单项式是(-1) (2n-1)x .
2 015 2 016
(6)以上的综合 (4)第 2 015 个单项式是-4 029x ,第 2 016 个单项式是 4 031x .
流程为:观察→猜想→验证
例 2.用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案:
(1)第 4个图案中有白色地面砖 块;
例 1 观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。试按此规律写出的第 100个数
(2)第 n个图案中有白色地面砖 块。
是 。
解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第 100个数。我们 ……
把有关的量放在一起加以比较:
第一个 第二个 第三个
给出的数: 0,3,8,15,24,……。
观察途径一:
所处位置: 1,2,3, 4, 5,……。
容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减 1。因此,第 n项是
n2-1,第 100项是 1002-1。 ……
第一个 第二个 第三个
2 3 4 19 20
2.观察下列单项式:-x,3x ,-5x ,7x ,…,-37x ,39x ,…,回答下列问题:
(1)每个黑色地砖周围都有 6块白色地砖,理论来说第 4个图案中有白色地砖 6
(1)这组单项式的系数的规律是什么?
×4=24 块,但是每两个相邻黑色地砖之间都有 2块白色地砖重叠,第二个图形重叠
2×(二-1)=2 块,第三个图形重叠 2×(三-1)=4 块,第四个图形重叠 2×(四-1)
(2)这组单项式的次数的规律是什么?
=6 块,∴第 4个图案中的实际白色地砖=理论数-重叠数,即 6×4-2×(四-1)=18 块;
(2)每个黑色地砖周围都有 6块白色地砖,理论来说第 n个图案中有白色地砖 6n
块,但是每两个相邻黑色地砖之间都有 2块白色地砖重叠,第二个图形重叠 2×(二
-1)=2 块,第三个图形重叠 2×(三-1)=4 块,第四个图形重叠 2×(四-1)=6 块, ……
……第 n个图形重叠 2×(n-1)=2(n-1)块,
第一个 第二个 第三个
∴第 n个图案中的实际白色地砖=理论数-重叠数,即 6n-2(n-1)=4n+2 块,
观察途径二: 每个图形左上角和右下角的 2块白色地砖除外,都是由 这种个体构成,
…… ∴第四个图形共有白色地砖 4×4+2=18 块;第 n个图形共有白色地砖 4n+2 块;
第一个 第二个 第三个
(1)第一个图形有 6块白色地砖,后面每个图形都比前一个图形多 4 块白色地砖,
如图所示第四个图形比第一个图形多 4×(四-1)=12 块,∴第四个图形共有白色地 第二章 整式的加减
砖 6+4×(四-1)=18 块; 知识点一
(2)第一个图形有 6块白色地砖,后面每个图形都比前一个图形多 4 块白色地砖, 1. 单项式——由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫单项式.
如图所示第 n 个图形比第一个图形多 4×(n-1)=12 块,∴第 n个图形共有白色地砖 2. 单项式的系数——单项式中的数字因数叫单项式的系数.
6+4×(n-1)=4n+2 块; 3. 单项式的次数——单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数.
m n 4 n
观察途径三: 例 1 如果单项式-xy z 和 5a b 都是五次单项式,那么 m=_____,n=_____; 单项式
m n 4 n
-xy z 的系数是_____,3a b 的系数是_____。
m n 4 n
…… 解:(1)∵单项式-xy z 和 5a b 都是五次单项式
4 n m n
∴单项式 3a b 的指数和 4+n=5 ;单项式-xy z 的指数和 m+n=5
第一个 第二个 第三个
由 4+n=5 得 n=1 ,把 n=1 代入上面 m+n=5 中得 m+1=5 解之得 m=4
m n 4 n
每个图形最左边的 2块白色地砖除外,剩余白色地砖都是黑色地砖的 4倍,如图所示 (2)单项式-xy z 的系数是-1,3a b 的系数是3
∴第四个图形共有白色地砖 4×4+2=18 块;第 n个图形共有白色地砖 4n+2 块;
知识点二
观察途径四: 1.几个单项式的和是多项式,每个单项式是多项式的项,次数最高项的次数是多项
式的次数,不含字母的项是多项式的.
2.单项式和多项式统称为整式. 2

2 2 2 2 2 2
=3x y-7yx -xy z +y xz -4xy 3yx -5xy +4y x
2 2 2 2
例 2多项式 5a -2a b+ab -4b -6 的项分别是______________________ 2

2 2 2 2 2 2
常数项是_______,它是___次___项式 =3x y-7x y-xy z +xy z -4xy 3xy -5xy +4xy
2 2 2 2
解:它的项分别是 5a ,-2a b,+ab ,-4b ,-6,常数项是-6
14

2 2 2 2
它是三次五项式(次数以-2a b 的或者+ab 的为准) =-4x y 3 xy -xy
合并同类项法则:把同类项的系数相加减;字母部分保持不变.
1.同类项:(1)所含字母相同;
2 4 2 12 2 14
(2)相同字母的指数也相同. 3-7=-4 -1+1=-0 4 = -5+4=-13 1 3 3 3 3
3 a b
例 3 若-2x y 与 5x y 是同类项, 则 a+b=_______.
3 a b
解析:∵-2x y 与 5x y 是同类项,
∴x的指数与 x的指数相同,y的指数与 y的指数相同
即 3=b,a=1,
∴a+b=1+3=4.
(2)合并同类项——把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项 2 2例 5 若将 x-y看成一个整体,则化简(x-y) -3(x-y)-4(x-y) +5(x-y)的结果是( )
合并同类项法则:就是根据分配律把同类项的系数相加减;字母部分保持不变. 2 2解:(x-y) -3(x-y)-4(x-y) +5(x-y)
归纳步骤: 2 2=(x-y) -4(x-y) -3(x-y)+5(x-y)
(1)找出同类项并做标记; 2=-3(x-y) +2(x-y)
(2)运用交换律、结合律将多项式的同类项结合;
(3)合并同类项;
(4)按同一个字母的降幂(或升幂排列). 去括号法则:利用乘法分配律把括号前的运算符号连同倍数分给括号里的每一项,
分配符号时打打箭头,同号得正,异号得负。
2 2 2 2 2 2 2
例 4 计算 3x y-xy z-4xy-5xy 3 yx +4y x -7yx +y xz
2 例 6 计算

2 2 2 2 2 2
解:3x y-xy z-4xy-5xy 3yx +4y x -7yx +y xz (1) 4a-b-3(a+2b-1)
利用这些关键字列出式子。
=4a-b-3a-6b+3 相减的关系。例如:“小,少,减少,减少,降低,提前,差,……”,利用这
=4a-3a-b-6b+3 些关键字列出式子。
= a-7b+3 相乘的关系。例如:“几倍,几分之几,……”,利用这些关键字列出式子。
2.相关公式
行程问题:路程 = 时间×速度
总价=单价×数量 总量=单量×件数
(2) (2x-3y)+4(x+2y-6) 总产量=亩产量×亩数 总产量=公顷产量×公顷数
商品销售问题:利润=售价-成本,
=2x-3y+4x+8y-24 总利润=单件利润×件数,或总利润=总售价-总成本
=2x+4x-3y+8y-24 1
商品售价=商品标价×折扣率(即售价=定价·折· )
=6x+5y-24 10
A 的具体数量=总数量×A 所占总数的百分率
化简求值时,幂运算中当底数是负数或者是分数时,要把底数用括号括起来。比如:
当 a=-4,b= 2时,a2+b2= 42 22 顺逆流问题: v 顺水= v 静+v- + (错误) 水, v 逆水= v 静-v 水;
3 3
a 2 2当 =-4,b= 时,a2+b2=(-4)2+( )2 (正确)
3 3 v 顺风= v 静+v 风, v 逆风= v 静-v 风
当两个符号连在一起时,要把后一个符号连同数字用括号括起来 1 2周长、面积、体积问题:S△= 底×高,C 圆=2πR,S 圆=πR ,C 长方形=2(长+宽),
比如:10+-2 10--2 10×-2 10÷-2 2(错误)
10+(-2) 10-(-2) 10 2×(-2) 10÷(-2) (正确) S 长方形=长×宽,S 平行四边形=底×高, C 正方形=4×边长,S 正方形=边长 ,S 环形=
2 2 3
π(R -r ),V 长方体=长×宽×高,V 正方体=边长 ,V 圆柱=S 底×高,
解应用题的基本步骤:审清题意(分析题中各数量之间的关系),关键在于抓住
问题中的有关数量关系,仔细读题,找出题目里的关键字。 有关常见应用题类型及 3.数字问题
各量之间的关系 (1)要搞清楚数的表示方法:一个两位数,若 a 是十位上的数,b 是个位上的数
1. 和、差、倍、分问题: 数,则该两位数表示为: 10a+b ; 比如:58=5×10+8
相加的关系。例如:“大,多,增加,提高,上升,推迟,和,合,共,……”,
一个三位数,若 a 是百位上的数,b是十位上的数,c 是个位上的数,则该三
位数是:100a+10b+c; 比如:358=3×100+5×10+8 (1)整数:{ …};
(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1;偶 (2)正分数:{ …};
数用 2n 表示,连续的偶数用 2n+2 或 2n—2 表示;奇数用 2n+1 或 2n﹣1 (3)负分数:{ …};
表示. (4)正数:{ …};
(5)负数:{ …};
例 1 买一个篮球需要 x 元,买一个排球需要 y 元,买一个足球需要 z 元,买 3 个篮 (6)非负数:{ …}
球、5 个排球、2 个足球一共需要多少钱?
分析:买篮球的钱= 1篮球的单价×篮球数量 1.在下表适当的空格里打上“√”号.
买排球的钱=排球的单价×排球数量 整数 分数 正数 负数 自然数 有理数
买足球的钱=足球的单价×足球数量 1
总共买球的钱=买篮球的钱+买排球的钱+买足球的钱 5
即:总共买球的钱= 3x + 5y + 2z 7
0
-3.14
-12
1.填空:
(1)如果 5元表示收入 5元,那么-3元表示________; 11 . 在数轴上与表示 2的点距离 5个单位长度的点表示的数是________.
(2)如果 7千克表示增加 7千克,那么-8千克表示________; 11 .数轴上与原点距离为 4个单位长度的点表示的数是________.
(3)如果-9 米表示向左运动 9米,那么 9米表示_______;
(4)如果 5米表示向东运动 5米,那么-5米表示_______, 2.填空
那么 0米表示__________; 5 -3 1 2
-
(5)如果 0.2 米表示水位高于正常水位 0.2 米,-0.2 米表示_______,那 2 5
么 0 米表示__________. 相反数
倒数
1 1
1.把下列各数填在相应的大括号里:2 016,1,-1,-2 015,0.5, ,- ,-0.75, 绝对值
10 3
0,20%.
3 2 2
3. 绝对值小于 5的所有整整数有________________________ (6)(-10) +[(-4) -(1-3 )×2]
1
3 .绝对值不大于 5的所有整整数有________________________ 1 7 1 1 3 3(7) 10÷(-3)×(- )+ ×( - )× ÷
3 6 6 3 14 5
4.若|a|=2,|b|=3,则 a+b=________
1 1 1 1
5 解下列方程(1)|x|=2 (2)|x-1|=10 (3)|x+2|=6 (8)计算:( -1)×( -1)×( -1)×…×( -1).2 016 2 015 2 014 1 000
6.(1)若|a-2|=a-2,则 a的取值范围是________。
11.规定一种新运算“※”,两数 a、b 通过“※”运算得(a+2)×2-b,即 a※b
7.(1)若│a+2│+│b-3│=0,则 ab=________.
=(a+2)×2-b,例如:3※5=(3+2)×2-5=10-5=5.根据上面规定解答下题:
2 2
(2)若(a+3) +( b-5) =0,则 a-b=_____。
(1)求 7※(-3)的值;
2 a
(3)若│a+3│+( b-5) =0,则 ________. (2)7※(-3)与(-3)※7 的值相等吗?
b
1
11 .“!”是一种运算符号,并且 1!=1,2!=1×2,3!=1×2×3,4!=1×2×3×4,…,
2 a
(4)若│a+3│与( b-5) 互为相反数,则 _____。 2 016!
b 则 的值为 ( )
2 015!
(5)若 a-2 与-7互为相反数,求 a的值.
A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 016
8. 已知 a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是 2 1
11 .(铜仁中考)照下图所示的操作步骤,若输入 x的值为 5,则输出的值为________.
2
求 2(a+b) -3(cd) +4m 的值
输入 x ―→ 加上 5 ―→ 平方 ―→ 减去 3 ―→ 输出
9. 计算:
2 2
6.36 6 2 500 50
+(+5)=_____,-(-5)=_____,+(-5)=_____,-(+5)=_____.
12.用科学记数法表示下列各数
+|+5|=_____,-|-5|=_____,+|-5|=_____,-|+5|=_____.
1 ①3010000000 ②15800000 ③3 618 ④216 000 ⑤-80 000 ⑥-712.3
9 .下列各对数:-1与+(-1),+(+1)与-1,-(-2)与+(-2),-(-12)与+
13.下列用科学记数法表示的数,原来分别是什么数?
(+12),-(+5)与-(-5),其中互为相反数的有( )
6 5 4 8
3.5×10 ,1.20×10 ,-9.3×10 ,-2.34×10 .
A.0 对 B.1 对
C.2 对 D.5 对
2 2 14.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
10. 计算(1) (-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)
2 2 (1)2.715(精确到百分位);
(2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)
(2)0.139 5(精确到 0.001);
(3)(-1)4 5 2 1 5 2 3 2× -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2
3 8 6 (3)561.53(精确到个位);
(4) -14 5 2 1 5 2 3 2× -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2
3 8 6 (4)21.345(精确到 0.1).
6 1
(5)-1 -(1-0.5)× ×[2 2-(-3) ]
3
15.在数轴上,一只蚂蚁从原点出发,它先向右爬了 4个单位长度到达点 A,再向右 200、195、197、199、202、196.
爬了 2个单位长度到达点 B,然后又向左爬了 10 个单位长度到达点 C. (1)如果每袋余粮以 200 千克为标准,求这 10 袋余粮总计超过多少千克或者不足多
(1)画出数轴并标出 A、B、C三点在数轴上的位置; 少千克?
如图: (2)这 10 袋余粮一共多少千克?
(2)写出 A、B、C三点表示的数; 18.北京航天研究院所属工厂,制造“神舟”10 号飞船上的一种螺母,要求螺母内
(3)根据点 C 在数轴上的位置,C 点可以看作是蚂蚁从原点出发,向哪个方向爬了几 径可以有±0.02 mm 的误差,抽查 5个螺母,超过规定内径的毫米数记作正数,没有
个单位长度得到的? 超过规定内径的毫米数记作负数,检查结果如下:
+0.01 -0.018 +0.026 -0.025 +0.015
16.检修小组从 A地出发,在东西路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶 (1)指出哪些产品是合乎要求的?(即在误差范围内的)
为负,一天中行驶记录如下(单位:千米):-4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. (2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些?(即最接近规定尺寸)
(1)则收工时距 A地多少千米?(说明方向和距离)
(2)检修小组这天总共行驶了多少千米? 19.某只股票上周末的收盘价格是 10.00 元,本周一到周五的收盘情况如下表:
(3)若汽车每千米耗油 0.2 升,问从 A地出发到收工时共耗油多少升? (“+”表示股票比前一天上涨,“-”表示股票比前一天下跌)
1
16 .一只小虫从某点 O 出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数, 上周末
周一 周二 周三 周四 周五
向左爬行的路程记为负数,爬行的各段路程依次为(单位:厘米):+5,-3,+10, 收盘价
-8,-6,+12,-10.问: 10.00 +0.28 -2.36 +1.80 -0.35 +0.08
(1)小虫最后是否回到出发点 O (1)周一至周五这只股票每天的收盘价各是多少元?
(2)小虫离开出发点 O最远是多少厘米? (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了,还是下跌了,上涨(下跌)多少?
(3)在爬行过程中,如果每爬行 1厘米奖励 2粒芝麻,则小虫一共得到多少粒芝麻? (3)这五天的收盘价中哪天的最高?哪天的最低?相差多少?
17.某公司 2013 年前四个月盈亏的情况如下(盈余为正):-160.5 万元,-120 万元, 119 .上周五某股民小王买进某公司股票 1 000 股,每股 35 元,下表为本周内每日股
+65.5 万元,280 万元. 票的涨跌情况(单位:元):
试问 2013 年前四个月该公司总的盈亏情况. 星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6
1
17 .用简便方法计算: 则在星期五收盘时,每股的价格是________.
某产粮专业户出售余粮 10 袋,每袋重量如下(单位:千克):199、201、197、203、
3.(1)当 k=__ __ 2k 2时,3x y 与-x y 是同类项.
2m 8 6 2n
第二章 整式的加减 (2)当 m=__ __,n=__ __时,3x y 与-x y 是同类项.
n-1 4 2 m+1
1.填表: (3)已知-2a b 与 a b 是同类项,则 2n-m=__ __.
2 n m 4
3vt (4)若 2x y 与-3x y 是同类项,则 m=__ __,n=__ __.5 2 2
-2a 1.3h -xy -t -
2 m 2 4 n单项式 2 x y 2πab (5)若-2x y 与 3x y 能合并同类项,则 m-3n 的值是__ __.
2 2
系数 4.已知一个多项式与 3x +9x 的和等于 3x +4x-1,则这个多项式是( )
次数 A.-5x-1 B.5x+1
C.-13x-1 D.13x+1
1 2 2
2.填表: 4.若 A=x-xy,B=xy+y ,则 A+B为( )
2 2
2 2 3 2 2 2 2 2
多项式 m n +m -2n-3 a +2a b+ab -b +1 3x y-4xy-1 A.x +y B.2xy
2 2
项 C.-2xy D.x -y
1 2 2
4 次项 4.计算 3a +2a-1 与 a -5a+1 的差,结果正确的是( )
2 2
A.4a -3a-2 B.2a -3a-2
3 次项
2 2
C.2a +7a D.2a +7a-2
2 次项
1 2
4 .若 m-(-3x)=2x -3x-3,则 m应该是( )
1 次项
2 2
A.2x -3 B.2x -3x-3
常数项
2 2
C.2x -6x-3 D.2x -9x-3
几次几项式
1 2 2
4 .x -x+5 减去 3x -4 的结果是________.
1 2 2
3 b 4 .多项式________与 m +m-2 的和是 m-2m.
2.关于 x的多项式(a-4)x -x +x-b 是二次三项式,则 a=________,b=________.
5.计算:
2
1 2 2 m n 2 2 3 3 m-n x-1 3
2 .下列式子:4xy,x +x- , ,y+y+ ,2x -3,0,- +a,m, , , .
3 2 y ab m+n 2 x (1)a+2b+3a-2b; (2)2(a-1)-(2a-3)+3;
2 2 3 2 3 2
(3)2(2a +9b)+3(-5a -4b); (4)3(x +2x -1)-(3x +4x -2);
其中单项式有________________________________;
2 2 2 2 2 2
(5)3(x -x y-2x y )-2(-x +2x y-3);
其中多项式有________________________________;
2 2
(6)-(2x +3xy-1)+(3x -3xy+x-3);
整式有______________________________________.
3 3 3
(7)a b+(a b-2c)-2(a b-c);
2 2 2
(8)(4ab-b )-2(a +2ab-b );
(5)5 箱苹果重 m kg,每箱重 kg ;
6.先化简,再求值: (6)一个数比 a 的 2倍小 5,则这个数为 ;
2 3 3
(1)(4a+3a -3-3a )-(-a+4a ).其中 a=-2; (7)全校学生总数是 x,其中女生占总数 52%,则女生人数是 ,
2 2 2
(2)2(x y+xy)-3(x y-xy)-4x y,其中 x=1,y=-1. 男生人数是 ;
1 (8)某校前年购买计算机 x 台,去年购买数量是前年的 2 倍,今年购买数量又是2 2 2 2
(3)已知 A=4ab-2b -a ,B=3b -2a +5ab,当 a=1.5,b=- 时,求 3B-4A
2 去年的 2倍,则学校三年共购买计算机 台;
的值. (9)某班有 a 名学生,现把一批图书分给全班学生阅读,如果每人分 4 本,还缺
25本,则这批图书共 本;
1 2 2 2 2 2 2
6 .若 a+b=5,则式子(3a -2ab-b )-(a -2ab-3b )的值是________. (10)一个两位数,十位上的数字为 a,个位上的数字为 b,则这个两位数
2 2
7.已知 x-x+1的 2倍减去一个多项式得到 3x +4x-1,求这个多项式. 为 .
(11)笔记本的单价是 x元,圆珠笔的单价是 y 元,小红买 3本笔记本,2 支圆珠笔,
3 2 2 3
8.已知 x、y互为相反数,且|y-3|=0,求 2(x -2y )-(x-3y)-(x-3y +2x )的 小明买 4本笔记本,3 支圆珠笔,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明一共花了多少
值. 钱?
4
9.某工厂第一车间有 x人,第二车间比第一车间人数的 少 30 人,如果从第二车间 (12)两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的
5
速度都是 50 km/h,水流速度是 a km/h.
调出 10 人到第一车间,那么:
①2h后两船相距多远?
(1)两个车间共有多少人?
② 2h后甲船比乙船多航行多少千米?
(2)调动后,第一车间的人数比第二车间多多少人?
10.
一、数字规律类:
(1)某种商品每袋 4.8 元,在一个月内的销售量是 m 袋,用式子表示在这个月内销
1 3 7 13 21
售这种商品的收入. 1.一组按规律排列的数: , , , , ,…… 请你推断第 9 个数4 9 16 25 36
(2)圆柱体的底面半径、高分别是 r,h,用式子表示圆柱体的体积. 是 .
(3)有两片棉田,一片有 m hm2 (公顷,1 hm2 =104 m2 ),平均每公顷产棉花 a kg; 2.已知下列等式: ① 13=12; ② 13+23=32; ③ 13+23+33=62;
另一片有 n hm2 ,平均每公顷产棉花 b kg,用式子表示两片棉田上棉花的总产量. ④ 13 + 23 + 33 + 43 = 102 ; … … … … 由 此 规 律 知 , 第 ⑤ 个 等 式
(4)在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片,大正方形的边长是 a mm,小 是 .第 n 个等式是 .
正方形的边长是 bmm,用式子表示剩余部分的面积. 3.观察下列各式;①、1 2 +1=1×2 ;②、2 2 +2=2 2×3;③、3 2 +3=3×4 ;4 +4=4×
5……请把你猜想到的规律用自然数 n表示出来 。 ……
4 . 观 察 下 面 的 几 个 算 式 : ① 、 1+2+1=4 ; ② 、 1+2+3+2+1=9 ; ③ 、 利用上面规律,请你迅速算出:
1+2+3+4+3+2+1=16;……根据你所发现的规律,请你直接写出第 n 个式子 ①1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=
5.已知一列数:1,―2,3,―4,5,―6,7,… 将这列数排成如上所示的形式: ②据①你会算出 1+2+3+…+100 是多少吗?
按照上述规律排下去,那么第 10行从左边数第 5个数等于 . ③据上你能推导出 1+2+3+…+ n的计算公式吗?
1, 1 , 26. 有一列数: , 1 , 2 , 3 , 1 ……,第 9个数是 . 11.给出下列算式: 32 12 8 8 1, 52 32 16 8 2, 7 2 52 24 8 3 ,
2 2 3 3 3 4
92 7 27.观察下列各式: …,用 n(自然数)把这个规 32 8 4,…,观察上面的一系列等式,你能发现什么规律?用代数式表
律表示出来. 示这个规律是 。
8.观察下列等式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……
12.研究下列算式,你会发现有什么规律?
这些等式反映出自然数间的什么规律呢?设 n 表示自然数,请用含有 n 的等式 1 3 1 4 22 ; 2 4 1 9 32 ;3 5 1 16 42; 4 6 1 25 52 ……
表示出来。 请将你找出的规律用公式表示出来: 。
9.研究下列等式,你会发现什么规律?
13.观察下列等式:9 1 8 ; 16 4 12 ; 25 9 16 ; ……………
1×3+1=4=22
这些等式反映出自然数间的某种规律,设 n表示自然数,用关于 n的等式表示出来:
2×4+1=9=32
14.观察下列等式:12 1 1 2; 22 2 2 3;32 3 3 3;…………………
3×5+1=16=42
4 6+1=25=52 请你将猜想到的规律用自然数 n(n 1)表示出来 ;×
… 2 215.已知: 22 2 ,3 3 32 3 4 4 , 42 4 a a ,…若10 102 (a、
3 3 8 8 15 15 b b
设 n为正整数,请用 n表示出规律性的公式来. b为正整数),则 a+b= 。
16.观察下面的一列单项式: x, 2x2 , 4x3 , 8x4,…根据你发现的规律,第 7
10.观察下列几个算式,找出规律:
个单项式为 ;第n个单项式为
1+2+1=4
17 1 3 5 7.观察下列一组数: , , , ,…… ,它们是按一定规律排列的. 那么这
1+2+3+2+1=9 2 4 6 8
1+2+3+4+3+2+1=16 一组数的第 k个数是 .
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
a518 2 a
8 a11 … a≠0 n 10 b b.一组按一定规律排列的式子:- a , ,- , , ,( )则第 个式 …,若 102 符合前面式子的规律,则a b 。
2 3 4 a a
子是__(n 为正整数). 1 1 124.观察: (1 1 ) ,
3 5 2 3 5
19.观察下列等式: 1 1 1 (1 1 )
1.42 12 3 5 5 7 2 5 7 ; 1 1 1
(1 1 )
2.52 7 9 2 7 9 22 3 7 ;
…………
3.62 32 3 9 1 1 1 1 1 1 1 1
计算: L = 。
2 4 4 6 6 8 18 20
4.72 42 3 11;
…………
则第n(n是正整数)个等式为________.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 120 1 1
二、图形规律类:
.观察下列各式: , , ,…,根据
1 3 2 3 3 5 2 3 5 5 7 2 5 7 1.
1 1 1 1
观察计算: = .(n为正整数)
1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)
21. 1 2 3 4有一列数 ,, , ,…,那么第 7 个数是 .
2 5 10 17
22.因为13 1 1 1 1,12 1 1 ⑴填写下表: 1,
13 23 1 8 9 (1 2)2 32 9
13 23 33 1 8 27 36 (1 2 3)2 62 36
13 23 33 43 1 8 27 64 100 (1 2 3 4)2 102 100
⑵照这样的规律搭建下去,搭 n个这样的三角形需要多少根火柴棒?
那么13 23 33 43 993 1003
2.若按图 2方式摆放桌子和椅子
23.
(1)第 4个图案中有白色地面砖 块;
(2)第 n个图案中有白色地面砖 块。
……
⑴一张桌子可坐 6人,2张桌子可坐 人。
第一个 第二个 第三个
⑵按照上图方式继续排列桌子,完成下表:
5.下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案,图案的每条边(包括两个顶点)
上都有 n(n 2)个棋子,每个图案棋子总数为 S,按下图的排列规律推断,S 与 n 之
间的关系可以用式子 来表示。
3. 图 3—4①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点,得到图 3—4②;再
分别连结图 3—4②中间的小三角形三边的中点,得到图 3—4③,按此方法继续下去,
请你根据每个图中三角形个数的规律,完成下列问题。 ……
n 2 n 3 n 4 n 5
s 4 s 8 s 12 s 16
① ② ③

……
(1)将下表填写完整
6.如图,是用棋子摆成的图案,摆第 1个图案需要 7枚棋子,摆第 2个图案需要 19
图形编号 1 2 3 4 5 … 枚棋子,摆第 3个图案需要 37 枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第 6个图案需
三角形个 要 枚棋子,摆第 n个图案需要 枚棋子.
1 5 9 …

(2)在第 n 个图形中有____________________个三角形(用含 n的式子表示)。
4.用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案: …
(1) (2) (3)
7.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m 的值是 1 请观察上图并填写下表
0 4 2 6 4 8 6 图形编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
2 8 4 2 6 44 m 圆的个数
2 你能试着表示出第 n 个正方形中圆的个数吗?用你发现的规律计算出第 2008
A.38 B.52 C.66 D.74 个图形中有多少个圆.
n(n 为正整数 )个黑色梯形的面积 Sn .
8. 11.如图,都是由若干盆花组成的形如三角形的图案,则组成第 n个图案所需花盆的如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图
总数是___________________.
(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第
*
三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分
* * *
割,……,则得到的第五个图中,共有________个正三角形.
* * * * *
*
* * * * * * * *
……
*
12.观察正方形图案,每条边上有 n(n 2)个圆点,每个图案中圆点总数式 S ,按此
9.观察下列球的排列规律(其中●是实心球,○是空心球): 推断 S 与 n的关系式为
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○
● ………… ………………
从第 1个球起到第 2005 个球止,共有实心球 个.
n=2,S=4 n=3,s=8
10.探索题: 如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆. n=4,s=12
13.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第 n个图形由 n个正方形组成,通过观察可以
˙˙˙ 发现:
则 第 (4) 堆 三 角 形 的 个 数 为 _____________ ; 第 (n) 堆 三 角 形 的 个 数 为
n=1 ________________.n=2 n=3 n=4
17.下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律,第 5
(1)第 4 个图形中火柴棒的根数是 ;(2)第 n个图形中火柴棒的根 个图案中白色正方形的个数为 ;第 n 个图案中白色正方
数是 ; 形的个数为____________________。
14. ① ② ③

●●● ●●●●● ●●●●●●●
● ● ●
第 1个 第 2个 第 3个
● ● ●
● ● 18.用同样大小正方形按下列规律摆放,将重叠部分涂上颜色,第 n个图案中正方形
● 的个数是
上面是用棋子摆成的“T”字,按这样的规律摆下去,摆成第 10个“T”字需要多少
……
个棋子?第 n 个呢?
n=1 n=2 n=3
15.下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子.
19.用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案:
第1个 第2个 第3个
观察图形的变化规律,写出第 n 个小房子用了 块石子. (1)第 4 个图案中有白色纸片 张;(2)第 n 个图案中有白色纸片
张.
16.按如下规律摆放三角形: 20.如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,然后将其中的一个正方形再剪成
四个小正方形,再将其中的一个正方形剪成四个小正方形,
如此继续下去,……,根据以上操作方法,请你填写下表:
(1) (2) (3)
操作次数 N 1 2 3 4 5 … N …

正方形的个
4 7 10 … … 4=1+3 9=3+6 16=6+10
数 21.观察如下图的点阵图 图 7
和相应的等式,探究其中
A.13 = 3+10 B.25 = 9+16
的规律:
C.36 = 15+21 D.49 = 18+31
(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式;
23.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第 1 个图形有 6 个小圆,第 2
…… 个图形有 10 个小圆,第 3个图形有 16 个小圆,第 4个图形有 24 个小圆,……,
依次规律,第 6个图形有 个小圆.
①1=12; ②1+3=22; ③1+3+5=32; ④ ; ⑤ ; ……

第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形
(2)通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式______________.
24.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个
图形中有黑色瓷砖 __________块,第n个图形中需要黑色瓷砖__________块(用
含n的代数式表示).
22.观察下列图形,则第 n个图形中三角形的个数是( )
……
第 1 个 第 2 个 第 3 个 (1) (2) (3)
A. 2n 2 B. 4n 4 C. 4n 4 D. 4n 25.图 8 是一组有规律的图案,第 1 个 图案由 4个基础图形组成,第 2 个图案由 7
4.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”,而把 1、 个基础图形组成,……,第 n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成.
4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”. 从图 7中可以发现,任何一个大于 1 -
……
的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一
(2) (3)
规律的是( ) (1)
图 8
26.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下 29.下图是用火柴棍摆成的边长分别是 1,2,3 根火柴棍时的正方形.当边长为 n 根
去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是 . 火柴棍时,设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s,则 s= . (用 n
的代数式表示 s)
……
n=1 n=2 n=3
27.观察下列图形(每幅图中最.小.的三角形都是全等的),请写出第n个图中最.小.的
三角形的个数有 个.
第一章 有理数
1 1
1.(1)2 016,1, 0,-1,-2 015, (2)0.5, ,20%, (3)- ,-0.75,
10 3
第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 第 4 个图
1 1
(4)2 016,1,0.5, ,20%, (5)-1,-2 015,- ,-0.75,(6)2 016,1,
10 3
28.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第 5个大三角形中白色三 10.5, ,0,20%,
10
角形有 个 .
1
1 .
整数 分数 正数 负数 自然数 有理数
1 √ √ √ √
5
√ √ √
7
第1个 第2个 第3个 0 √ √ √
-3.14 √ √ √
-12 √ √ √
1 1
1 . -3 或者 7 1 .-4 或者 4
6.解:由于褪绝对值符号褪得它本身
2.填空 a (a 0)
根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-2 是一个非正数
5 -3 ﹣a (a 0)1 2
-
2 5 即 a-2≥0,∴a≥2
相反数 -5 3 1 2 (2)若|a-2|=2-a,则 a的取值范围是________。
-
2 5 解:由于褪绝对值符号褪得它的相反数
倒数 1 1 2 5 a (a 0)
- 根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-2 是一个非负数
5 3 2 ﹣a (a 0)
绝对值 5 3 1 2 即 a-2≤0,∴a≤2
2 5
7.分析:若两个非负数的和为 0,必须每个非负数都为 0。
3.解:0、±1、±2、±3、±4 解:(1)∵│a+2│≥0,│b-3│≥0 ( 2 22)∵(a+3) ≥0, (b-5) ≥0
1
3 .解:0、±1、±2、±3、±4、±5 ∴│a+2│=0,│b-3│=0 2 2
∴(a+3) =0,( b-5) =0
a+2=0,b-3=0
4.解:|a|=2, |b|=3 a+3=0,b-5=0
a=-2,b=3
a=2 或者 a=﹣2 b=3 或者 b=﹣3 a=-3,b=5
ab=-2×3=-6
当 a=2,b=3 时 a+b=2+3=5 a-b=-3-5=-8
当 a=2,b=-3 时 a+b=2+(-3)=-1 2
(3)∵│a+3│≥0, (b-5) ≥0
当 a=-2,b=3 时 a+b=-2+3=1 2∴│a+3│=0,(b-5) =0 2(4)∵│a+3│与(b-5) 互为相反数
当 a=-2,b=-3 时 a+b=-2+(-3)=-5 a+3=0,b-5=0 2即│a+3│+(b-5) =0
∴若|a|=2,|b|=3,则 a+b=±1 或者±5 (a=5-)3,由b题=5意得 a-2=7,所以 a=9.
2
∵│a+3│≥0, (b-5) ≥0
2
a 3 3 ∴│x+3│=0,(b-5) =0

b a+3=0,b-5=08.解:5根据题5意得,
分析:第(2)题要把 x-1 看作一个整体;第(3)题要把 x+2 看作一个整体 a=-3,b=5
解:(1)|x|=2 (2)|x-1|=10 (3)|x+2|=6 2 a 3 3
2(a+b) -3(cd) +4m
x=2 或者 x=﹣2 x-1=10 或者 x-1=﹣10 x+2=6 或者 x+2=﹣6 b 5 5
∴x=11 或者 x=﹣9 ∴x=4 或者 x=﹣8 =2×0-3×1+4×4
=-3+16
=13
9.解:
+(+5)=5,-(-5)=5,+(-5)=-5,-(+5)=-5.
+|+5|=5,-|-5|=-5,+|-5|=5,-|+5|=-5.
1
9 .D
10.
解:(1) (2)
2 2 2 2
(-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)
=9-8×2+4-16÷(-2) =-9-8×2+4-16÷(-2) 1 7 1 1 3 3
(7) 10÷(-3)×(- )+ ×( - )× ÷
=9-16+4-(-16÷2) =-9-16+4-(-16÷2) 3 6 6 3 14 5
1 1 7 1 2 3 5
=9-16+4-(-8) =-9-16+4-(-8) =10×(- )×(- )+ ×( - )× ×
3 3 6 6 6 14 3
=9-16+4+8 =-9-16+4+8 1 7 1 3 5
=10× + ×(- )× ×
=9+4+8-16 =-25+12 9 6 6 14 3
=21-16 =-13 10 7 210153 5 2 014 2 013 1 000 999
(8)=原 +(-9式=(-
× ×
6 6 1)4×
×(3-
) )×(- )×…×(- )×(- )=-
=5 2 016 2 015 2 014 1 001 1 000
10 5
= +(- )
2 015 92 014 722 013 1 000 999 999 111
×10 5× ×…× × =- =- .2 01=6 2 -015 2 014 1 001 1 000 2 016 224
(3) (3) 9 72
2 1 5 11.(18)07※(-5 3)=(7+2)×2-(-3)=21.4 5 2 3 2 2 1 5 2 3 2(-1) × -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2 -14×5-( - - )×(-24)-(-4) ÷(=-2 -
3 8 6 3 8 6 7
)2-2 72
(2)因为75(-3)※7=[(-3)+2]×2-7=-9,所以7※(-3)与(-3)※7的值不相等.2 1 5 2 1 5
=1×5-[ ×(-24)- ×(-24)- ×(-24)]-16÷(-8)-4 =-1×5-[ ×(-24)- ×(-24)- ×1 (=-24)]-116÷(-8)-4
3 8 6 3 8 161 .D72 11 .97
25
=5-[-16-(-3)-(-20)]-(-2)-4 =-5-[-16-(-3)-(-20)]-(-2)-4 =
24
=5-(-16+3+20)+2-4 =-5-(-16+3+20)+2-4 9 7 3 5 412.①3.01×10 ;②1.58×10 ;③3.618×10 ;④2.16×10 ;⑤-8×10 ;
=5-(-16+23)+2-4 =-5-(-16+23)+2-4 2
⑥-7.123×10 .
=5-7+2-4 =-5-7+2-4
13.原数分别为 3 500 000,120 000,-93 000,-234 000 000.
=5+2-7-4 =-5-7-4+2
=7-11 =-16+2 14.(1)2.72.(2)0.140.(3)562.(4)21.3.
=-4 =-14
15.(1)
6 1 2
(5)-1 -(1-0.5)× ×[2-(-3) ] 3
3 (6)(-10) +[
2 2
(-4) -(1-3 )×2]
1 1 =-1000+[16-(1-9)×2]
=-1- × ×(2-9)
2 3 =-1000+[16-(-8)×2]
=-1000+[16-(-16)]
(2)A、B、C 三点表示的数分别为 4、6、-4. 19.(1)10+0.28=10.28;10.28-2.36=7.92;7.92+1.80=9.72;9.72-0.35=
(5)C 点可以看作是蚂蚁从原点出发,向左爬了 4个单位长度得到的. 9.37;9.37+0.08=9.45.所以,周一至周五这只股票每天的收盘价分别为 10.28 元、
16.(1)-4+7-9+8+6-4-3=1 7.92 元、9.72 元、9.37 元、9.45 元.
答:收工时在 A地东边 1千米。 (2)10.00-9.45=0.55(元),本周末收盘价比上周末的收盘价下跌了 0.55 元.
(2)|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-4|+|-3|=4+7+9+8+6+4+3=41 (3)周一最高,周二最低,10.28-7.92=2.36(元),所以相差 2.36 元.
答:检修小组这天总共行驶了 41 千米。 191.34元
(3)0.2×41=8.2
答:检修行驶过程中一共耗油 8.2 升。 第二章 整式的加减
1
16 .(1)+5-3+10-8-6+12-10=0(厘米).即小虫最后回到出发点 O. 1.填表:
(2)小虫每次爬行后分别到达位置为:+5,+2,+12,+4,-2,+10,0.即小虫 系数 -2 1.3 -1 -1 3- 2 2π
2
离开出发点 O 最远是 12 厘米. (3)2×(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|
次数 5 1 3 2 2 3 3
+12|+|-10|)=108(粒).
答:小虫一共得到 108 粒芝麻.
2.填表:
17.-160.5-120+65.5+280=65(万元).
2 2 3 2 2 2 2 2
多项式 m n +m -2n-3 a +2a b+ab -b +1 3x y-4xy-1
答:盈余 65 万元.
2 2 3 2 2 2 2 2
项 m n ,+m ,-2n,-3 a ,+2a b,+ab ,-b , 3x y,-4xy,-1
1
17 .(1)以 200 千克为基准,超过 200 千克的数记作正数,不足 200 千克的数记作负
+1
数,则这 20 袋余粮对应的数分别为:-1、+1、-3、+3、0、-5、-3、-1、+2、
2 2
4 次项 m n 没有 没有
-4.
3 2 2 2
3 次项 +m +2a b,+ab 3x y
则-1+1-3+3+0-5-3-1+2-4=-11.
2 2
2 次项 没有 a,-b 没有
答:这 10 袋余粮总计不足 11 千克.
1次项 -2n 没有 -4xy
(2)200×10+(-11)=2 000-11=1 989.
常数项 -3 +1 -1
答:这 10 袋余粮一共 1 989 千克.
几次几项式 四次四项式 三次五项式 三次三项式
18.(1)+0.026>0.02,-0.025<-0.02,不在要求范围内,故不合乎要求,其他均合
2. 4 2
乎要求,故答案为+0.01,-0.018,+0.015.
2
m n 2 x-1
(2)越接近 0 质量越好,+0.01 到 0 的距离小于-0.018 和+0.015 到 0 的距离,最 21. 2 3 2单项式有 4xy, ,0,m 多项式有 x+x- ,2x -3, 整式有 4xy,x +x
2 3 2
接近 0,所以质量更好,故答案为+0.01.
2
2 m n 3 x-1 4 9
- , ,2x -3,0,m, 9.(1)依题意两个车间共有 x+ x-30=( x-30)人.
3 2 2 5 5
3.(1)1(2)3,4(3)3(4)2,4(5)-2 4 4
(2)原来第二车间人数为 x-30,调动后,第一车间有(x+10)人,第二车间有( x
1 1 1 1 2 1
4.A 4 .A 4 .D 4 .C 4 .-2x -x+9 4 .-3m+2 5 5
5.(1)原式=4a. 4 1
-40)人,调动后第一车间比第二车间多的人数为:(x+10)-( x-40)= x+50.
(2)原式=4. 5 5
2
(3)原式=-11a +6b. 1
答:调动后,第一车间的人数比第二车间多( x+50)人.
2
(4)原式=2x -1. 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(5)原式=3x -3x y-6x y +2x -4x y+6=5x -7x y-6x y +6. (11)解法 1:小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元,小明买笔记本和圆柱笔
2 2 2
(6)原式=-2x -3xy+1+3x -3xy+x-3=x -6xy+x-2. 共花费(4x+3y)元
3 3 3
(7)原式=a b+a b-2c-2a b+2c=0. 小红和小明一共花费(单位:元)
2 2 2 2 2
(8)原式=4ab-b -2a -4ab+2b =-2a +b . (3x+2y)+(4x+3y)=3x+2y+4x+3y=7x+5y
解法 2:小红和小明买笔记本共花费(3x+4x)元,买圆珠笔共花费(2y+3y)元
3 2
6.(1)原式=-7a +3a +5a-3. 小红和小明一共花费(单位:元)
当 a=-2时,原式=55. (3x+4x)+(2y+3y)=7x+5y
2 2 2 2
(2)原式=2x y+2xy-3x y+3xy-4x y=-5x y+5xy. (12)解①由题意得:甲船 2h 行驶了 2(50+a) km,乙船 2h行驶了 2(50-a) km,
2
当 x=1,y=-1时,原式=-5×1×(-1)+5×1×(-1)=0. 所以两船相距 : 2(50+a)+2(50-a)=200 km
2 2 2 2 2 2 2 2
(3)3B-4A=3(3b -2a +5ab)-4(4ab-2b -a )=9b -6a +15ab-16ab+8b +4a ②由①可知,2h后甲船比乙船多航行了 2(50+a)-2(50-a)=4a km
2 2
=17b -2a -ab.
1 1 2 2 1 1 9 3 1
当 a=1.5,b=- 时,原式=17×(- ) -2×1.5 -1.5×(- )=17× - + = .
2 2 2 4 2 4 2
1
6 .10
2 2 2 2 2
7.2(x -x+1)-(3x +4x-1)=2x -2x+2-3x -4x+1=-x-6x+3.
2
故这个多项式为-x-6x+3.
8.由|y-3|=0,得 y=3.又 x、y 互为相反数,所以 x=-3.
3 2 2 3 2
原式=2x -4y -x+3y-x+3y -2x =-y-2x+3y.
2
当 x=-3,y=3时,原式=-3-2×(-3)+3×3=6.

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