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第一章 有理数 3 22
例 1．把下面的有理数填在相应的大括号里：15，－ ，0，－30，0.15，－128， ，
⒈正数和负数的概念 8 5
正数：比 0大的数. 负数：比 0 小的数. 0 既不是正数，也不是负数 ＋20，－2.6.
(1)非负数：{ ，…}；
2.具有相反意义的量 (2)负数：{ ，…}；
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。 (3)正整数：{ ，…}；
比如：如果零上 8℃表示为+8℃,那么零下 8℃就表示为-8℃ (4)负分数：{ ，…}．
22 3
解：(1)15，0，0.15， ，＋20 (2)－ ，－30，－128，－2.6 (3)15，＋20 (4)
2.有理数的概念 5 8
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） 3
－ ，－2.6
⑵正分数和负分数统称为分数 8
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理
数。 3.数轴的概念
注意：（1）引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数， 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
-1,-3,-5…也是奇数。
（2）π不是有理数 比如：在数轴上与表示 2的点距离 3个单位长度的点表示的数是________．
1.有理数的分类 解：-1或者 5。 如图所示
正整数 -1 0 2 0 2 5
正整数
正有理数 整数 0
正分数 在 2 的左边 3 个单位长度 在 2 的右边 3 个单位长度
负整
有理数 0 有理数
正分数 4.利用数轴表示两数大小
负整数 分数
负有理数 负分数 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
负分数
⑵正数大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；
总结：①正数、0统称为非负数
⑶两个负数绝对值大的反而小
②负数、0统称为非正数
比如： 在－1，－2， 1，2这四个数中，最小的是_____.
解：－2＜－1 ＜1＜2 a (a 0) a (a 0)即： a 0 (a 0) 或 a
a (a 0) ﹣a (a 0)
3.绝对值的性质：若|x|=a（a>0），则 x=±a；
相反数
1.——只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相 例 3 绝对值小于 4的所有整整数有________________________
反数是 0。 解：0、±1、±2、±3
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为
负； 例 4 若|x|=3，|y|=5，则 x+y=________
⑶0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。 解：|x|=3， |y|=5
2.相反数的性质与判定 x=3 或者 x=﹣3 y=5 或者 y=﹣5
⑴互为相反数的两数和为 0，和为 0的两数互为相反数，即 a，b 互为相反数，则 a+b=0 当 x=3，y=5 时 x+y=3+5=8
3.双重符号的化简：同号得正，异号得负 当 x=3，y=-5 时 x+y=3+（-5）=-2
当 x=-3，y=5 时 x+y=-3+5=2
例 2 ﹣2 的相反数是________，倒数是________，绝对值是________。 当 x=-3，y=-5 时 x+y=-3+（-5）=-8
解析：①只有符号不同的两个数叫做互为相反数。∴-2 的相反数是 2； ∴若|x|=3，|y|=5，则 x+y=±2 或者±8
1 1
②数 a与 互为倒数．∴-2 的倒数是﹣ ；
a 2 例 5 解下列方程（1）|x|=3 （2）|x-1|=5 （3）|x+2|=8
③一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值 分析：第（2）题要把 x-1 看作一个整体；第（3）题要把 x+2 看作一个整体
是 0。∴-2 的绝对值是它的相反数 2； 解：（1）|x|=3 （2）|x-1|=5 （3）|x+2|=8
x=3 或者 x=﹣3 x-1=5 或者 x-1=﹣5 x+2=8 或者 x+2=﹣8
∴x=6 或者 x=﹣4 ∴x=6 或者 x=﹣10
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。 例 6（1）若|a-3|=a-3，则 a的取值范围是________。
2.绝对值的代数定义 解：由于褪绝对值符号褪得它本身
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0 的绝对值 a (a 0)
根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-3 是一个非正数
是 0. ﹣a (a 0)
即 a-3≥0，∴a≥3
（2）若|a-3|=3-a，则 a的取值范围是________。
解：由于褪绝对值符号褪得它的相反数
a (a 0)
根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-3 是一个非负数
﹣a (a 0)
即 a-3≤0，∴a≤3
2 2
非负数（两种非负数 a、|b|，即 a≥0；|b|≥0）
非负数的性质：若两个非负数的和为 0，必须每个非负数都为 0。
即 若|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。 例 8 已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是 2
2 2 2
若 a ＋b =0 ，则 a=0 且 b=0。 求 a+b+cd+m 的值
2
若 a ＋|b|=0 ，则 a=0 且 b=0。 分析：a，b互为相反数，即 a+b=0；c，d 互为倒数，即 cd=1； m 的绝对值是 2，即
2 2 2 2
m=﹢2 或者 m=-2，∴m =（﹢2） =4 或者 m =（-2） =4
例 7 若（1）│x+2│+│y-3│=0，则 xy=________． 解：根据题意得，
2 2
（2）若(x+2) +( y-3) =0，则 x y 2- =_____。 a+b+cd+m
2 x =0 +1 +4
（3）若│x+2│+( y-3) =0，则 ________．
y =5
2 x
（4）若│x+2│与( y-3) 互为相反数，则 _____。
y 例 9 计算：
分析：若两个非负数的和为 0，必须每个非负数都为 0。 ＋(＋3.7)＝_____，－(－3.7)＝_____，＋(－3.7)＝_____，－(＋3.7)＝_____.
解：（1）∵│x+2│≥0，│y-3│≥0 2 2 ＋|＋3.7|＝_____，－|－3.7|＝_____，＋|－3.7|＝_____，－|＋3.7|＝_____.（2）∵(x+2) ≥0， ( y-3) ≥0
∴│x+2│=0，│y-3│=0
2 2
∴(x+2) =0，( y-3) =0
x+2=0，y-3=0
x+2=0，y-3=0 注意区别：绝对值符号与括号不一样
x=-2，y=3
x=-2，y=3 去括号时根据法则：同号得正，异号得负
xy=-2×3=-6
x-y=-2-3=-5 去绝对值符号时要先算绝对值部分
解：
2
2
（3）∵│x+2│≥0， ( y-3) ≥0 （4）∵│x+2│与( y-3) 互为相反数
2
即│x+2│+( y-3) =0 ＋(＋3.7)＝3.7，－(－3.7)＝3.7，＋(－3.7)＝-3.7，－(＋3.7)＝-3.7.2∴│x+2│=0，( y-3) =0
2
x+2=0，y-3=0 ∵│x+2│≥0， ( y-3) ≥0
2
x=-2，y=3 ∴│x+2│=0，( y-3) =0
x+2=0，y-3=0
＋|＋3.7|＝3.7，－|－3.7|＝-3.7，＋|－3.7|＝3.7，－|＋3.7|＝-3.7. Ⅱ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
3 1 3 2 1 7
- - + - + -
5 2 4 5 2 8
特殊的数 3 2 1 1 3 7
原式=- - - + + -
最小的正整数 最大的负整数 相反数等于 绝对值等于 倒数等于 5 5 2 2 4 8
1
本身的数 本身的数 本身的数 =-1+0- 8
-1 √ √ 1=-1
8
0 √ √
1 √ √ √ √ Ⅲ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
3 1 2
(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)
有理数的加减法 4 8 3
1 3 1 2 1
原式= +3 -3 +10 -1
1.有理数加法的运算律 8 4 8 3 4
3 1 1 1 2
⑴加法交换律：a+b=b+a =3 -1 + -3 +10
4 4 8 8 3
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 1 2
=2 -3+10
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： 2 3
1
=-3+13
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； 6
1
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； =10
6
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； Ⅳ. 先拆项后结合
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 （1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）
5.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： =1+3+5+7…+99-2-4-6-8…-100
Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） =1-2+3-4+5-6+7-8…+97-98+99-100 （100 个数字 2个一对共有 50 对）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) =-1-1-1-1…-1-1
原式=-33+18-15-1+23 （去括号） =-1×50
=-33-15-1+18+23 （归归类把符号相同的数结合在一起） =-50
=-49+41 （各算各的，加与加算，减与减算）
=-8 （最后再合并） 有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则 后加减’的顺序进行。
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 有理数的乘方
②任何数同 0 相乘，都得 0； 1.乘方的概念
③几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 a n 中，a 叫做底
时，积是负数；
数，n 叫做指数。
④几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.
2.乘方的性质
2.倒数
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
1
乘积是 1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 a· =1
a （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是 0。
1 1 1 2 2
（a≠0），就是说 a 和 互为倒数，即 a 是 的倒数， 是 a的倒数。 2 2
a a a 注意区分： 4
2 ( 4)2 和
3 和

3
注意：①0没有倒数；
－42=－4×4=－16
2
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带 2 2 2 4
( 4)2=(－4)×(－4)=16
分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； 3 3 3
2
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； 2 2 2 4

④倒数等于它本身的数是 1或-1,不包括 0。 3 3 3 9
有理数混合运算的顺序：
3.有理数的乘法运算律
先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号
⑴乘法交换律： ab=ba
内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
⑵乘法结合律： (ab)c=a(bc).
比如以下基础题
⑶乘法分配律： a(b+c)=ab+ac
2 2
（1） 10-（-4） （2） 10-|－4| （3） 10-(-4) （4）10-(-4) ÷(-2)
=10+4 =10-4 =10-16 =10-16÷(-2)
=-6
4.有理数的除法法则 =14 =6 =10-(-8)
=10+8
（1）除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 1 1
（5） 10÷(-3)×(- ) （5） 10÷(-3)×(- ) =18
3 3
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0
=10÷1 1 1=10×(- )×(- )
的数，都得 0 3 3=10 （错误）
1 10
5.有理数的乘除混合运算 =10× = （正确）9 9
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
2 2
例 10 计算（1） (-3) －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2)
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，
2 2 n
（2） -3 －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2) 科学记数法：把一个很长很长的数表示成 a×10 的形式（其中 1≤|a|＜10，n 是正
（3）(-1)4 5 2 1 5 2 3 2× －( － － )×(-24)－(-4) ÷(-2) -2 整数），这种方法叫做科学记数法。原数中小数点向左移动几位 n就是几。
3 8 6
7 7
2 1 5 比如：52000000=52000000.=5.2×10 ；-52000000=-52000000.=-5.2×102 3 2
（4） -14×5－( － － )×(-24)－(-4) ÷(-2) -2
3 8 6
解：（1） （2） 近似数
2 2 2 2
(-3) －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2) -3 －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2) 1. 只有近似数有精确度的问题，准确数不存在精确度问题。
=9-8×2+4-16÷(-2) =-9-8×2+4-16÷(-2)
2. 一个近似数，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。
=9-16+4-(-16÷2) =-9-16+4-(-16÷2)
=9-16+4-(－8) =-9-16+4-(－8) （近似到哪一位，看最后一个数字在哪个位数上，如：3.58 10
4 ，是一个万位数，
=9-16+4+8 =-9-16+4+8 最后一个数字 8在百位上，所以精确到百位。）
=9+4+8-16 =-25+12
例 11． 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
=21-16 =-13
(1)2.715(精确到百分位)；
=5
(2)0.139 5(精确到 0.001)；
(3)561.53(精确到个位)；
（3） （3） (4)21.345(精确到 0.1)．
4 5 2 1 5 2 3 2 4 5 2 1 5 2 3 2(-1) × －( － － )×(-24)－(-4) ÷(-2) -2 (-1) × －( － － )×(-24)－(-4)
3 8 6 3 8 6 解：
÷(1()-22.)7-22.(2)0.140.(3)562.(4)21.3.
2 1 5 2 1 5
=1×5－[ ×(-24)－ ×(-24)－ ×(-24)]－16÷(-8)-4 =-1×5－[ ×(-24)－ ×(-24)－ ×(-24)]－16÷(-8)-4
3 8 6 3 8 6
程序化
=5-[-16－(-3)－(-20)]-(-2)-4 =-5-[-16－(-3)－(-20)]-(-2)-4
=5-(-16+3+20)+2-4 =-5-(-16+3+20)+2-4 有理数的混合运算先定运算顺序、再定每步运算的符号、只需要处理好符号，然后
=5-(-16+23)+2-4 =-5-(-16+23)+2-4 用绝对值进行计算，转化为小学的计算。
=5-7+2-4 =-5-7+2-4 特别注意
=5+2-7-4 =-5-7-4+2
1.概念题不要忽略“0”，注意“0”是有理数按符号分类中的一类，要把所有情况都
=7-11 =-16+2
考虑到；
=-4 =-14
2.计算题不要丢符号，注意“一步定号”，再算绝对值；
3.遇到拿不准的问题，回到定义、法则去考虑；
4.遇到读不懂题的时候，把中文叙述和数学符号语言相互转化试一试；
规律寻找题 (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第 n个单项式是什么？
结果与该数字（图形）所处位置 n之间的关系
（1）偶数倍（2n） (4)请你根据猜想，写出第 2 015，2 016 个单项式．
（2）奇数倍（2n+1 或者 2n-1）
2 2 2 n
（3）平方（n）、平方多 1（n +1）、平方少 1（n -1） 解：(1)这组单项式的系数的符号规律是(－1) ，系数绝对值的规律是 2n－1.
n
（4）2 的乘方（2 ） (2)次数的规律是从 1开始的连续自然数．
n n
（5）几倍（几 n）、几倍多几（几 n+几）、几倍少几（几 n-几） (3)第 n 个单项式是(－1) (2n－1)x .
2 015 2 016
（6）以上的综合 (4)第 2 015 个单项式是－4 029x ，第 2 016 个单项式是 4 031x .
流程为：观察→猜想→验证
例 2．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：
（1）第 4个图案中有白色地面砖 块；
例 1 观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第 100个数
（2）第 n个图案中有白色地面砖 块。
是 。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100个数。我们 ……
把有关的量放在一起加以比较：
第一个 第二个 第三个
给出的数： 0，3，8，15，24，……。
观察途径一：
所处位置： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n项是
n2-1，第 100项是 1002-1。 ……
第一个 第二个 第三个
2 3 4 19 20
2．观察下列单项式：－x，3x ，－5x ，7x ，…，－37x ，39x ，…，回答下列问题：
（1）每个黑色地砖周围都有 6块白色地砖，理论来说第 4个图案中有白色地砖 6
(1)这组单项式的系数的规律是什么？
×4=24 块，但是每两个相邻黑色地砖之间都有 2块白色地砖重叠，第二个图形重叠
2×（二-1）=2 块，第三个图形重叠 2×（三-1）=4 块，第四个图形重叠 2×（四-1）
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
=6 块，∴第 4个图案中的实际白色地砖=理论数-重叠数，即 6×4-2×（四-1）=18 块；
（2）每个黑色地砖周围都有 6块白色地砖，理论来说第 n个图案中有白色地砖 6n
块，但是每两个相邻黑色地砖之间都有 2块白色地砖重叠，第二个图形重叠 2×（二
-1）=2 块，第三个图形重叠 2×（三-1）=4 块，第四个图形重叠 2×（四-1）=6 块， ……
……第 n个图形重叠 2×（n-1）=2（n-1）块，
第一个 第二个 第三个
∴第 n个图案中的实际白色地砖=理论数-重叠数，即 6n-2（n-1）=4n+2 块，
观察途径二： 每个图形左上角和右下角的 2块白色地砖除外，都是由 这种个体构成，
…… ∴第四个图形共有白色地砖 4×4+2=18 块；第 n个图形共有白色地砖 4n+2 块；
第一个 第二个 第三个
（1）第一个图形有 6块白色地砖，后面每个图形都比前一个图形多 4 块白色地砖，
如图所示第四个图形比第一个图形多 4×（四-1）=12 块，∴第四个图形共有白色地 第二章 整式的加减
砖 6+4×（四-1）=18 块； 知识点一
（2）第一个图形有 6块白色地砖，后面每个图形都比前一个图形多 4 块白色地砖， 1. 单项式——由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫单项式.
如图所示第 n 个图形比第一个图形多 4×（n-1）=12 块，∴第 n个图形共有白色地砖 2. 单项式的系数——单项式中的数字因数叫单项式的系数.
6+4×（n-1）=4n+2 块； 3. 单项式的次数——单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数.
m n 4 n
观察途径三： 例 1 如果单项式-xy z 和 5a b 都是五次单项式，那么 m=_____，n=_____； 单项式
m n 4 n
-xy z 的系数是_____，3a b 的系数是_____。
m n 4 n
…… 解：（1）∵单项式-xy z 和 5a b 都是五次单项式
4 n m n
∴单项式 3a b 的指数和 4+n=5 ；单项式-xy z 的指数和 m+n=5
第一个 第二个 第三个
由 4+n=5 得 n=1 ，把 n=1 代入上面 m+n=5 中得 m+1=5 解之得 m=4
m n 4 n
每个图形最左边的 2块白色地砖除外，剩余白色地砖都是黑色地砖的 4倍，如图所示 （2）单项式-xy z 的系数是-1，3a b 的系数是3
∴第四个图形共有白色地砖 4×4+2=18 块；第 n个图形共有白色地砖 4n+2 块；
知识点二
观察途径四： 1.几个单项式的和是多项式，每个单项式是多项式的项，次数最高项的次数是多项
式的次数，不含字母的项是多项式的.
2.单项式和多项式统称为整式. 2

2 2 2 2 2 2
=3x y-7yx -xy z +y xz -4xy 3yx -5xy +4y x
2 2 2 2
例 2多项式 5a -2a b+ab -4b -6 的项分别是______________________ 2

2 2 2 2 2 2
常数项是_______，它是___次___项式 =3x y-7x y-xy z +xy z -4xy 3xy -5xy +4xy
2 2 2 2
解：它的项分别是 5a ，-2a b，+ab ，-4b ，-6，常数项是-6
14

2 2 2 2
它是三次五项式（次数以-2a b 的或者+ab 的为准） =-4x y 3 xy -xy
合并同类项法则：把同类项的系数相加减；字母部分保持不变.
1.同类项：(1)所含字母相同；
2 4 2 12 2 14
(2)相同字母的指数也相同. 3-7=-4 -1+1=-0 4 = -5+4=-13 1 3 3 3 3
3 a b
例 3 若-2x y 与 5x y 是同类项， 则 a+b=_______．
3 a b
解析：∵-2x y 与 5x y 是同类项，
∴x的指数与 x的指数相同，y的指数与 y的指数相同
即 3=b，a=1，
∴a+b=1+3=4．
（2）合并同类项——把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 2 2例 5 若将 x－y看成一个整体，则化简(x－y) －3(x－y)－4(x－y) ＋5(x－y)的结果是( )
合并同类项法则：就是根据分配律把同类项的系数相加减；字母部分保持不变. 2 2解：(x－y) －3(x－y)－4(x－y) ＋5(x－y)
归纳步骤： 2 2=(x－y) －4(x－y) －3(x－y)＋5(x－y)
（1）找出同类项并做标记； 2=－3(x－y) ＋2(x－y)
（2）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；
（3）合并同类项；
（4）按同一个字母的降幂（或升幂排列）． 去括号法则：利用乘法分配律把括号前的运算符号连同倍数分给括号里的每一项，
分配符号时打打箭头，同号得正，异号得负。
2 2 2 2 2 2 2
例 4 计算 3x y-xy z-4xy-5xy 3 yx +4y x -7yx +y xz
2 例 6 计算

2 2 2 2 2 2
解：3x y-xy z-4xy-5xy 3yx +4y x -7yx +y xz (1) 4a－b－3(a＋2b－1)
利用这些关键字列出式子。
=4a－b－3a－6b＋3 相减的关系。例如：“小，少，减少，减少，降低，提前，差，……”，利用这
=4a－3a－b－6b＋3 些关键字列出式子。
= a－7b＋3 相乘的关系。例如：“几倍，几分之几，……”，利用这些关键字列出式子。
2.相关公式
行程问题：路程 = 时间×速度
总价=单价×数量 总量=单量×件数
(2) (2x－3y)＋4(x＋2y－6) 总产量=亩产量×亩数 总产量=公顷产量×公顷数
商品销售问题：利润=售价-成本，
=2x－3y＋4x＋8y－24 总利润=单件利润×件数，或总利润=总售价-总成本
=2x＋4x－3y＋8y－24 1
商品售价=商品标价×折扣率（即售价=定价·折· ）
=6x＋5y－24 10
A 的具体数量=总数量×A 所占总数的百分率
化简求值时，幂运算中当底数是负数或者是分数时，要把底数用括号括起来。比如：
当 a=－4，b= 2时，a2+b2= 42 22 顺逆流问题： v 顺水= v 静＋v－ ＋ （错误） 水， v 逆水= v 静-v 水；
3 3
a 2 2当 =－4，b= 时，a2+b2=(－4)2＋( )2 （正确）
3 3 v 顺风= v 静＋v 风， v 逆风= v 静-v 风
当两个符号连在一起时，要把后一个符号连同数字用括号括起来 1 2周长、面积、体积问题：S△= 底×高，C 圆=2πR，S 圆=πR ，C 长方形=2(长＋宽)，
比如：10＋－2 10－－2 10×－2 10÷－2 2（错误）
10＋(－2) 10－(－2) 10 2×(－2) 10÷(－2) （正确） S 长方形=长×宽，S 平行四边形=底×高， C 正方形=4×边长，S 正方形=边长 ，S 环形=
2 2 3
π(R -r ),V 长方体=长×宽×高，V 正方体=边长 ，V 圆柱=S 底×高，
解应用题的基本步骤：审清题意（分析题中各数量之间的关系），关键在于抓住
问题中的有关数量关系，仔细读题，找出题目里的关键字。 有关常见应用题类型及 3.数字问题
各量之间的关系 （1）要搞清楚数的表示方法：一个两位数，若 a 是十位上的数，b 是个位上的数
1. 和、差、倍、分问题： 数，则该两位数表示为： 10a＋b ； 比如：58=5×10+8
相加的关系。例如：“大，多，增加，提高，上升，推迟，和，合，共，……”，
一个三位数，若 a 是百位上的数，b是十位上的数，c 是个位上的数，则该三
位数是：100a＋10b＋c； 比如：358=3×100+5×10+8 (1)整数：{ …}；
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶 (2)正分数：{ …}；
数用 2n 表示，连续的偶数用 2n＋2 或 2n—2 表示；奇数用 2n＋1 或 2n﹣1 (3)负分数：{ …}；
表示. (4)正数：{ …}；
(5)负数：{ …}；
例 1 买一个篮球需要 x 元，买一个排球需要 y 元，买一个足球需要 z 元，买 3 个篮 （6）非负数：{ …}
球、5 个排球、2 个足球一共需要多少钱？
分析：买篮球的钱= 1篮球的单价×篮球数量 1．在下表适当的空格里打上“√”号．
买排球的钱=排球的单价×排球数量 整数 分数 正数 负数 自然数 有理数
买足球的钱=足球的单价×足球数量 1
总共买球的钱=买篮球的钱+买排球的钱+买足球的钱 5
即：总共买球的钱= 3x + 5y + 2z 7
0
－3.14
－12
1.填空：
（1）如果 5元表示收入 5元，那么－3元表示＿＿＿＿＿＿＿＿； 11 . 在数轴上与表示 2的点距离 5个单位长度的点表示的数是________．
（2）如果 7千克表示增加 7千克，那么－8千克表示＿＿＿＿＿＿＿＿； 11 .数轴上与原点距离为 4个单位长度的点表示的数是________．
（3）如果－9 米表示向左运动 9米，那么 9米表示＿＿＿＿＿＿＿；
（4）如果 5米表示向东运动 5米，那么－5米表示＿＿＿＿＿＿＿， 2.填空
那么 0米表示＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 5 -3 1 2
-
（5）如果 0.2 米表示水位高于正常水位 0.2 米，－0.2 米表示＿＿＿＿＿＿＿，那 2 5
么 0 米表示＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 相反数
倒数
1 1
1．把下列各数填在相应的大括号里：2 016，1，－1，－2 015，0.5， ，－ ，－0.75， 绝对值
10 3
0，20%.
3 2 2
3. 绝对值小于 5的所有整整数有________________________ （6）(-10) +[(-4) －(1-3 )×2]
1
3 .绝对值不大于 5的所有整整数有________________________ 1 7 1 1 3 3（7） 10÷(-3)×(- )+ ×( - )× ÷
3 6 6 3 14 5
4．若|a|=2，|b|=3，则 a+b=________
1 1 1 1
5 解下列方程（1）|x|=2 （2）|x-1|=10 （3）|x+2|=6 （8）计算：( －1)×( －1)×( －1)×…×( －1)．2 016 2 015 2 014 1 000
6.（1）若|a-2|=a-2，则 a的取值范围是________。
11．规定一种新运算“※”，两数 a、b 通过“※”运算得(a＋2)×2－b，即 a※b
7.（1）若│a+2│+│b-3│=0，则 ab=________．
＝(a＋2)×2－b，例如：3※5＝(3＋2)×2－5＝10－5＝5.根据上面规定解答下题：
2 2
（2）若(a+3) +( b-5) =0，则 a-b=_____。
(1)求 7※(－3)的值；
2 a
（3）若│a+3│+( b-5) =0，则 ________． (2)7※(－3)与(－3)※7 的值相等吗？
b
1
11 ．“！”是一种运算符号，并且 1！＝1，2！＝1×2，3！＝1×2×3，4！＝1×2×3×4，…，
2 a
（4）若│a+3│与( b-5) 互为相反数，则 _____。 2 016！
b 则 的值为 ( )
2 015！
（5）若 a－2 与－7互为相反数，求 a的值．
A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016
8. 已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是 2 1
11 ．(铜仁中考)照下图所示的操作步骤，若输入 x的值为 5，则输出的值为________．
2
求 2(a+b) -3(cd) +4m 的值
输入 x ―→ 加上 5 ―→ 平方 ―→ 减去 3 ―→ 输出
9． 计算：
2 2
6.36 6 2 500 50
＋(＋5)＝_____，－(－5)＝_____，＋(－5)＝_____，－(＋5)＝_____.
12.用科学记数法表示下列各数
＋|＋5|＝_____，－|－5|＝_____，＋|－5|＝_____，－|＋5|＝_____.
1 ①3010000000 ②15800000 ③3 618 ④216 000 ⑤－80 000 ⑥－712.3
9 ．下列各对数：－1与＋(－1)，＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，－(－12)与＋
13．下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？
(＋12)，－(＋5)与－(－5)，其中互为相反数的有( )
6 5 4 8
3．5×10 ，1.20×10 ，－9.3×10 ，－2.34×10 .
A．0 对 B．1 对
C．2 对 D．5 对
2 2 14．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
10． 计算（1） (-3) －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2)
2 2 (1)2.715(精确到百分位)；
（2） -3 －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2)
(2)0.139 5(精确到 0.001)；
（3）(-1)4 5 2 1 5 2 3 2× －( － － )×(-24)－(-4) ÷(-2) -2
3 8 6 (3)561.53(精确到个位)；
（4） -14 5 2 1 5 2 3 2× －( － － )×(-24)－(-4) ÷(-2) -2
3 8 6 (4)21.345(精确到 0.1)．
6 1
（5）-1 -（1-0.5）× ×[2 2－(-3) ]
3
15．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了 4个单位长度到达点 A，再向右 200、195、197、199、202、196.
爬了 2个单位长度到达点 B，然后又向左爬了 10 个单位长度到达点 C. (1)如果每袋余粮以 200 千克为标准，求这 10 袋余粮总计超过多少千克或者不足多
(1)画出数轴并标出 A、B、C三点在数轴上的位置； 少千克？
如图： (2)这 10 袋余粮一共多少千克？
(2)写出 A、B、C三点表示的数； 18．北京航天研究院所属工厂，制造“神舟”10 号飞船上的一种螺母，要求螺母内
(3)根据点 C 在数轴上的位置，C 点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几 径可以有±0.02 mm 的误差，抽查 5个螺母，超过规定内径的毫米数记作正数，没有
个单位长度得到的？ 超过规定内径的毫米数记作负数，检查结果如下：
＋0.01 －0.018 ＋0.026 －0.025 ＋0.015
16．检修小组从 A地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶 (1)指出哪些产品是合乎要求的？(即在误差范围内的)
为负，一天中行驶记录如下(单位：千米)：－4，＋7，－9，＋8，＋6，－4，－3. (2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？(即最接近规定尺寸)
（1）则收工时距 A地多少千米？(说明方向和距离)
（2）检修小组这天总共行驶了多少千米？ 19．某只股票上周末的收盘价格是 10.00 元，本周一到周五的收盘情况如下表：
（3）若汽车每千米耗油 0.2 升，问从 A地出发到收工时共耗油多少升？ (“＋”表示股票比前一天上涨，“－”表示股票比前一天下跌)
1
16 ．一只小虫从某点 O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数， 上周末
周一 周二 周三 周四 周五
向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为(单位：厘米)：＋5，－3，＋10， 收盘价
－8，－6，＋12，－10.问： 10.00 ＋0.28 －2.36 ＋1.80 －0.35 ＋0.08
(1)小虫最后是否回到出发点 O (1)周一至周五这只股票每天的收盘价各是多少元？
(2)小虫离开出发点 O最远是多少厘米？ (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了，上涨(下跌)多少？
(3)在爬行过程中，如果每爬行 1厘米奖励 2粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ (3)这五天的收盘价中哪天的最高？哪天的最低？相差多少？
17．某公司 2013 年前四个月盈亏的情况如下(盈余为正)：－160.5 万元，－120 万元， 119 ．上周五某股民小王买进某公司股票 1 000 股，每股 35 元，下表为本周内每日股
＋65.5 万元，280 万元． 票的涨跌情况(单位：元)：
试问 2013 年前四个月该公司总的盈亏情况． 星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 ＋4 ＋4.5 －1 －2.5 －6
1
17 ．用简便方法计算： 则在星期五收盘时，每股的价格是________．
某产粮专业户出售余粮 10 袋，每袋重量如下(单位：千克)：199、201、197、203、
3.(1)当 k=__ __ 2k 2时，3x y 与-x y 是同类项.
2m 8 6 2n
第二章 整式的加减 (2)当 m=__ __，n=__ __时，3x y 与-x y 是同类项.
n-1 4 2 m+1
1.填表： （3）已知-2a b 与 a b 是同类项，则 2n-m=__ __.
2 n m 4
3vt （4）若 2x y 与-3x y 是同类项，则 m=__ __,n=__ __.5 2 2
－2a 1.3h －xy -t －
2 m 2 4 n单项式 2 x y 2πab （5）若－2x y 与 3x y 能合并同类项，则 m－3n 的值是__ __．
2 2
系数 4．已知一个多项式与 3x ＋9x 的和等于 3x ＋4x－1，则这个多项式是( )
次数 A．－5x－1 B．5x＋1
C．－13x－1 D．13x＋1
1 2 2
2.填表： 4．若 A＝x－xy，B＝xy＋y ，则 A＋B为( )
2 2
2 2 3 2 2 2 2 2
多项式 m n +m -2n-3 a +2a b+ab -b +1 3x y-4xy-1 A．x ＋y B．2xy
2 2
项 C．－2xy D．x －y
1 2 2
4 次项 4．计算 3a ＋2a－1 与 a －5a＋1 的差，结果正确的是( )
2 2
A．4a －3a－2 B．2a －3a－2
3 次项
2 2
C．2a ＋7a D．2a ＋7a－2
2 次项
1 2
4 ．若 m－(－3x)＝2x －3x－3，则 m应该是( )
1 次项
2 2
A．2x －3 B．2x －3x－3
常数项
2 2
C．2x －6x－3 D．2x －9x－3
几次几项式
1 2 2
4 ．x －x＋5 减去 3x －4 的结果是________．
1 2 2
3 b 4 ．多项式________与 m ＋m－2 的和是 m－2m.
2．关于 x的多项式(a－4)x －x ＋x－b 是二次三项式，则 a＝________，b＝________.
5.计算：
2
1 2 2 m n 2 2 3 3 m－n x－1 3
2 .下列式子：4xy，x ＋x－ ， ，y＋y＋ ，2x －3，0，－ ＋a，m， ， ， .
3 2 y ab m＋n 2 x (1)a＋2b＋3a－2b； (2)2(a－1)－(2a－3)＋3；
2 2 3 2 3 2
(3)2(2a ＋9b)＋3(－5a －4b)； (4)3(x ＋2x －1)－(3x ＋4x －2)；
其中单项式有________________________________；
2 2 2 2 2 2
(5)3(x －x y－2x y )－2(－x ＋2x y－3)；
其中多项式有________________________________；
2 2
(6)－(2x ＋3xy－1)＋(3x －3xy＋x－3)；
整式有______________________________________．
3 3 3
(7)a b＋(a b－2c)－2(a b－c)；
2 2 2
(8)(4ab－b )－2(a ＋2ab－b )；
（5）5 箱苹果重 m kg，每箱重 kg ；
6．先化简，再求值： （6）一个数比 a 的 2倍小 5，则这个数为 ；
2 3 3
(1)(4a＋3a －3－3a )－(－a＋4a )．其中 a＝－2； （7）全校学生总数是 x，其中女生占总数 52%，则女生人数是 ，
2 2 2
(2)2(x y＋xy)－3(x y－xy)－4x y，其中 x＝1，y＝－1. 男生人数是 ；
1 （8）某校前年购买计算机 x 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买数量又是2 2 2 2
（3）已知 A＝4ab－2b －a ，B＝3b －2a ＋5ab，当 a＝1.5，b＝－ 时，求 3B－4A
2 去年的 2倍，则学校三年共购买计算机 台；
的值． （9）某班有 a 名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分 4 本，还缺
25本，则这批图书共 本；
1 2 2 2 2 2 2
6 ．若 a＋b＝5，则式子(3a －2ab－b )－(a －2ab－3b )的值是________． （10）一个两位数，十位上的数字为 a，个位上的数字为 b，则这个两位数
2 2
7．已知 x－x＋1的 2倍减去一个多项式得到 3x ＋4x－1，求这个多项式． 为 .
（11）笔记本的单价是 x元，圆珠笔的单价是 y 元，小红买 3本笔记本，2 支圆珠笔，
3 2 2 3
8．已知 x、y互为相反数，且|y－3|＝0，求 2(x －2y )－(x－3y)－(x－3y ＋2x )的 小明买 4本笔记本，3 支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少
值． 钱？
4
9．某工厂第一车间有 x人，第二车间比第一车间人数的 少 30 人，如果从第二车间 （12）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的
5
速度都是 50 km/h，水流速度是 a km/h.
调出 10 人到第一车间，那么：
①2h后两船相距多远？
(1)两个车间共有多少人？
② 2h后甲船比乙船多航行多少千米？
(2)调动后，第一车间的人数比第二车间多多少人？
10.
一、数字规律类：
（1）某种商品每袋 4.8 元，在一个月内的销售量是 m 袋，用式子表示在这个月内销
1 3 7 13 21
售这种商品的收入. 1．一组按规律排列的数： ， ， ， ， ，…… 请你推断第 9 个数4 9 16 25 36
（2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体的体积. 是 ．
（3）有两片棉田，一片有 m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )，平均每公顷产棉花 a kg； 2．已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；
另一片有 n hm2 ，平均每公顷产棉花 b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量. ④ 13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ 43 ＝ 102 ； … … … … 由 此 规 律 知 ， 第 ⑤ 个 等 式
（4）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是 a mm，小 是 ．第 n 个等式是 ．
正方形的边长是 bmm，用式子表示剩余部分的面积. 3．观察下列各式；①、1 2 +1=1×2 ；②、2 2 +2=2 2×3；③、3 2 +3=3×4 ；4 +4=4×
5……请把你猜想到的规律用自然数 n表示出来 。 ……
4 ． 观 察 下 面 的 几 个 算 式 ： ① 、 1+2+1=4 ； ② 、 1+2+3+2+1=9 ； ③ 、 利用上面规律，请你迅速算出：
1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第 n 个式子 ①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=
5．已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式： ②据①你会算出 1＋2＋3＋…＋100 是多少吗？
按照上述规律排下去，那么第 10行从左边数第 5个数等于 ． ③据上你能推导出 1＋2＋3＋…＋ n的计算公式吗？
1, 1 , 26． 有一列数： , 1 , 2 , 3 , 1 ……，第 9个数是 . 11．给出下列算式： 32 12 8 8 1， 52 32 16 8 2， 7 2 52 24 8 3 ，
2 2 3 3 3 4
92 7 27．观察下列各式： …，用 n（自然数）把这个规 32 8 4，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表
律表示出来． 示这个规律是 。
8．观察下列等式 9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……
12．研究下列算式，你会发现有什么规律？
这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设 n 表示自然数，请用含有 n 的等式 1 3 1 4 22 ； 2 4 1 9 32 ；3 5 1 16 42； 4 6 1 25 52 ……
表示出来。 请将你找出的规律用公式表示出来： 。
9.研究下列等式，你会发现什么规律？
13．观察下列等式：9 1 8 ; 16 4 12 ; 25 9 16 ; ……………
1×3+1=4=22
这些等式反映出自然数间的某种规律，设 n表示自然数，用关于 n的等式表示出来：
2×4+1=9=32
14.观察下列等式：12 1 1 2; 22 2 2 3;32 3 3 3;…………………
3×5+1=16=42
4 6+1=25=52 请你将猜想到的规律用自然数 n(n 1)表示出来 ；×
… 2 215．已知： 22 2 ，3 3 32 3 4 4 ， 42 4 a a ，…若10 102 （a、
3 3 8 8 15 15 b b
设 n为正整数，请用 n表示出规律性的公式来. b为正整数），则 a＋b＝ 。
16．观察下面的一列单项式： x， 2x2 ， 4x3 ， 8x4，…根据你发现的规律，第 7
10．观察下列几个算式，找出规律：
个单项式为 ；第n个单项式为
1＋2＋1=4
17 1 3 5 7．观察下列一组数： ， ， ， ，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这
1＋2＋3＋2＋1=9 2 4 6 8
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 一组数的第 k个数是 ．
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25
a518 2 a
8 a11 … a≠0 n 10 b b．一组按一定规律排列的式子：－ a ， ，－ ， ， ，（ ）则第 个式 …，若 102 符合前面式子的规律，则a b 。
2 3 4 a a
子是__（n 为正整数）． 1 1 124．观察： (1 1 ) ，
3 5 2 3 5
19．观察下列等式： 1 1 1 (1 1 )
1.42 12 3 5 5 7 2 5 7 ； 1 1 1
(1 1 )
2.52 7 9 2 7 9 22 3 7 ；
…………
3.62 32 3 9 1 1 1 1 1 1 1 1
计算： L ＝ 。
2 4 4 6 6 8 18 20
4.72 42 3 11；
…………
则第n（n是正整数）个等式为________.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 120 1 1
二、图形规律类：
．观察下列各式： ， ， ，…，根据
1 3 2 3 3 5 2 3 5 5 7 2 5 7 1.
1 1 1 1
观察计算： ＝ ．（n为正整数）
1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)
21. 1 2 3 4有一列数 ，， ， ，…，那么第 7 个数是 ．
2 5 10 17
22．因为13 1 1 1 1，12 1 1 ⑴填写下表： 1，
13 23 1 8 9 (1 2)2 32 9
13 23 33 1 8 27 36 (1 2 3)2 62 36
13 23 33 43 1 8 27 64 100 (1 2 3 4)2 102 100
⑵照这样的规律搭建下去，搭 n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
那么13 23 33 43 993 1003
2.若按图 2方式摆放桌子和椅子
23.
（1）第 4个图案中有白色地面砖 块；
（2）第 n个图案中有白色地面砖 块。
……
⑴一张桌子可坐 6人，2张桌子可坐 人。
第一个 第二个 第三个
⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：
5．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）
上都有 n(n 2)个棋子，每个图案棋子总数为 S，按下图的排列规律推断，S 与 n 之
间的关系可以用式子 来表示。
3. 图 3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图 3—4②；再
分别连结图 3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图 3—4③，按此方法继续下去，
请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 ……
n 2 n 3 n 4 n 5
s 4 s 8 s 12 s 16
① ② ③
。
……
(1)将下表填写完整
6．如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1个图案需要 7枚棋子，摆第 2个图案需要 19
图形编号 1 2 3 4 5 … 枚棋子，摆第 3个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6个图案需
三角形个 要 枚棋子，摆第 n个图案需要 枚棋子．
1 5 9 …
数
（2）在第 n 个图形中有____________________个三角形（用含 n的式子表示）。
4．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： …
（１） （２） （３）
7.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是 1 请观察上图并填写下表
0 4 2 6 4 8 6 图形编号 （１） （２） （３） （４） （５） （６）
2 8 4 2 6 44 m 圆的个数
2 你能试着表示出第 n 个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第 2008
A．38 B．52 C．66 D．74 个图形中有多少个圆.
n(n 为正整数 )个黑色梯形的面积 Sn ．
8. 11.如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第 n个图案所需花盆的如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图
总数是___________________．
（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第
*
三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分
* * *
割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
* * * * *
*
* * * * * * * *
……
*
12.观察正方形图案，每条边上有 n(n 2)个圆点，每个图案中圆点总数式 S ，按此
9.观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： 推断 S 与 n的关系式为
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○
● ………… ………………
从第 1个球起到第 2005 个球止，共有实心球 个．
n=2,S=4 n=3,s=8
10.探索题： 如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆． n=4,s=12
13．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第 n个图形由 n个正方形组成，通过观察可以
˙˙˙ 发现：
则 第 (4) 堆 三 角 形 的 个 数 为 _____________ ； 第 (n) 堆 三 角 形 的 个 数 为
n=1 ________________.n=2 n=3 n=4
17．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第 5
（1）第 4 个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第 n个图形中火柴棒的根 个图案中白色正方形的个数为 ；第 n 个图案中白色正方
数是 ； 形的个数为____________________。
14． ① ② ③
…
●●● ●●●●● ●●●●●●●
● ● ●
第 1个 第 2个 第 3个
● ● ●
● ● 18.用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第 n个图案中正方形
● 的个数是
上面是用棋子摆成的“T”字，按这样的规律摆下去，摆成第 10个“T”字需要多少
……
个棋子？第 n 个呢？
n=1 n=2 n=3
15．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
19．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案：
第1个 第2个 第3个
观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了 块石子． （1）第 4 个图案中有白色纸片 张；（2）第 n 个图案中有白色纸片
张.
16．按如下规律摆放三角形： 20．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成
四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，
如此继续下去，……，根据以上操作方法，请你填写下表：
(1) (2) (3)
操作次数 N 1 2 3 4 5 … N …
…
正方形的个
4 7 10 … … 4=1+3 9=3+6 16=6+10
数 21．观察如下图的点阵图 图 7
和相应的等式，探究其中
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
的规律：
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
23．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1 个图形有 6 个小圆，第 2
…… 个图形有 10 个小圆，第 3个图形有 16 个小圆，第 4个图形有 24 个小圆，……，
依次规律，第 6个图形有 个小圆．
①1=12； ②1+3=22； ③1+3+5=32； ④ ； ⑤ ； ……
…
第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形
（2）通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
24．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个
图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用
含n的代数式表示）．
22．观察下列图形，则第 n个图形中三角形的个数是（ ）
……
第 1 个 第 2 个 第 3 个 （1） （2） （3）
A． 2n 2 B． 4n 4 C． 4n 4 D． 4n 25.图 8 是一组有规律的图案，第 1 个 图案由 4个基础图形组成，第 2 个图案由 7
4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把 1、 个基础图形组成，……，第 n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．
4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图 7中可以发现，任何一个大于 1 -
……
的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一
(2) (3)
规律的是（ ） (1)
图 8
26．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下 29.下图是用火柴棍摆成的边长分别是 1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为 n 根
去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ． 火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s，则 s＝ ． （用 n
的代数式表示 s）
……
n=1 n=2 n=3
27．观察下列图形（每幅图中最．小．的三角形都是全等的），请写出第n个图中最．小．的
三角形的个数有 个．
第一章 有理数
1 1
1.(1)2 016，1， 0，－1，－2 015， (2)0.5， ，20%， (3)－ ，－0.75，
10 3
第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 第 4 个图
1 1
(4)2 016，1，0.5， ，20%， (5)－1，－2 015，－ ，－0.75，（6）2 016，1，
10 3
28.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5个大三角形中白色三 10.5， ，0，20%，
10
角形有 个 ．
1
1 .
整数 分数 正数 负数 自然数 有理数
1 √ √ √ √
5
√ √ √
7
第1个 第2个 第3个 0 √ √ √
－3.14 √ √ √
－12 √ √ √
1 1
1 . -3 或者 7 1 .-4 或者 4
6.解：由于褪绝对值符号褪得它本身
2.填空 a (a 0)
根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-2 是一个非正数
5 -3 ﹣a (a 0)1 2
-
2 5 即 a-2≥0，∴a≥2
相反数 -5 3 1 2 （2）若|a-2|=2-a，则 a的取值范围是________。
-
2 5 解：由于褪绝对值符号褪得它的相反数
倒数 1 1 2 5 a (a 0)
- 根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-2 是一个非负数
5 3 2 ﹣a (a 0)
绝对值 5 3 1 2 即 a-2≤0，∴a≤2
2 5
7.分析：若两个非负数的和为 0，必须每个非负数都为 0。
3.解：0、±1、±2、±3、±4 解：（1）∵│a+2│≥0，│b-3│≥0 （ 2 22）∵(a+3) ≥0， (b-5) ≥0
1
3 .解：0、±1、±2、±3、±4、±5 ∴│a+2│=0，│b-3│=0 2 2
∴(a+3) =0，( b-5) =0
a+2=0，b-3=0
4.解：|a|=2， |b|=3 a+3=0，b-5=0
a=-2，b=3
a=2 或者 a=﹣2 b=3 或者 b=﹣3 a=-3，b=5
ab=-2×3=-6
当 a=2，b=3 时 a+b=2+3=5 a-b=-3-5=-8
当 a=2，b=-3 时 a+b=2+（-3）=-1 2
（3）∵│a+3│≥0， (b-5) ≥0
当 a=-2，b=3 时 a+b=-2+3=1 2∴│a+3│=0，(b-5) =0 2（4）∵│a+3│与(b-5) 互为相反数
当 a=-2，b=-3 时 a+b=-2+（-3）=-5 a+3=0，b-5=0 2即│a+3│+(b-5) =0
∴若|a|=2，|b|=3，则 a+b=±1 或者±5 （a=5-）3，由b题=5意得 a－2＝7，所以 a＝9.
2
∵│a+3│≥0， (b-5) ≥0
2
a 3 3 ∴│x+3│=0，(b-5) =0

b a+3=0，b-5=08.解：5根据题5意得，
分析：第（2）题要把 x-1 看作一个整体；第（3）题要把 x+2 看作一个整体 a=-3，b=5
解：（1）|x|=2 （2）|x-1|=10 （3）|x+2|=6 2 a 3 3
2(a+b) -3(cd) +4m
x=2 或者 x=﹣2 x-1=10 或者 x-1=﹣10 x+2=6 或者 x+2=﹣6 b 5 5
∴x=11 或者 x=﹣9 ∴x=4 或者 x=﹣8 =2×0-3×1+4×4
=-3+16
=13
9.解：
＋(＋5)＝5，－(－5)＝5，＋(－5)＝-5，－(＋5)＝-5.
＋|＋5|＝5，－|－5|＝-5，＋|－5|＝5，－|＋5|＝-5.
1
9 .D
10.
解：（1） （2）
2 2 2 2
(-3) －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2) -3 －(－8)×(－2)＋|－4|-(-4) ÷(-2)
=9-8×2+4-16÷(-2) =-9-8×2+4-16÷(-2) 1 7 1 1 3 3
（7） 10÷(-3)×(- )+ ×( - )× ÷
=9-16+4-(-16÷2) =-9-16+4-(-16÷2) 3 6 6 3 14 5
1 1 7 1 2 3 5
=9-16+4-(－8) =-9-16+4-(－8) =10×(- )×(- )+ ×( - )× ×
3 3 6 6 6 14 3
=9-16+4+8 =-9-16+4+8 1 7 1 3 5
=10× + ×(- )× ×
=9+4+8-16 =-25+12 9 6 6 14 3
=21-16 =-13 10 7 210153 5 2 014 2 013 1 000 999
（8）=原 +(-9式＝(－
× ×
6 6 1)4×
×(3－
) )×(－ )×…×(－ )×(－ )＝－
=5 2 016 2 015 2 014 1 001 1 000
10 5
= +(- )
2 015 92 014 722 013 1 000 999 999 111
×10 5× ×…× × ＝－ ＝－ .2 01=6 2 -015 2 014 1 001 1 000 2 016 224
（3） （3） 9 72
2 1 5 11．(18)07※(－5 3)＝(7＋2)×2－(－3)＝21.4 5 2 3 2 2 1 5 2 3 2(-1) × －( － － )×(-24)－(-4) ÷(-2) -2 -14×5－( － － )×(-24)－(-4) ÷(=-2 -
3 8 6 3 8 6 7
)2-2 72
(2)因为75(－3)※7＝[(－3)＋2]×2－7＝－9，所以7※(－3)与(－3)※7的值不相等．2 1 5 2 1 5
=1×5－[ ×(-24)－ ×(-24)－ ×(-24)]－16÷(-8)-4 =-1×5－[ ×(-24)－ ×(-24)－ ×1 (=-24)]－116÷(-8)-4
3 8 6 3 8 161 ．D72 11 .97
25
=5-[-16－(-3)－(-20)]-(-2)-4 =-5-[-16－(-3)－(-20)]-(-2)-4 =
24
=5-(-16+3+20)+2-4 =-5-(-16+3+20)+2-4 9 7 3 5 412.①3.01×10 ；②1.58×10 ；③3.618×10 ；④2.16×10 ；⑤－8×10 ；
=5-(-16+23)+2-4 =-5-(-16+23)+2-4 2
⑥－7.123×10 .
=5-7+2-4 =-5-7+2-4
13.原数分别为 3 500 000，120 000，－93 000，－234 000 000.
=5+2-7-4 =-5-7-4+2
=7-11 =-16+2 14.(1)2.72.(2)0.140.(3)562.(4)21.3.
=-4 =-14
15．(1)
6 1 2
（5）-1 -（1-0.5）× ×[2－(-3) ] 3
3 （6）(-10) +[
2 2
(-4) －(1-3 )×2]
1 1 =-1000+[16－(1-9)×2]
=-1- × ×(2-9)
2 3 =-1000+[16－(-8)×2]
=-1000+[16－(-16)]
(2)A、B、C 三点表示的数分别为 4、6、－4. 19．(1)10＋0.28＝10.28；10.28－2.36＝7.92；7.92＋1.80＝9.72；9.72－0.35＝
(5)C 点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了 4个单位长度得到的． 9.37；9.37＋0.08＝9.45.所以，周一至周五这只股票每天的收盘价分别为 10.28 元、
16.（1）－4＋7－9＋8＋6－4－3=1 7.92 元、9.72 元、9.37 元、9.45 元．
答：收工时在 A地东边 1千米。 (2)10.00－9.45＝0.55(元)，本周末收盘价比上周末的收盘价下跌了 0.55 元．
（2）|－4|+|+7|+|－9|+|+8|+|+6|+|－4|+|－3|=4＋7+9＋8＋6+4+3=41 (3)周一最高，周二最低，10.28－7.92＝2.36(元)，所以相差 2.36 元．
答：检修小组这天总共行驶了 41 千米。 191.34元
（3）0.2×41=8.2
答：检修行驶过程中一共耗油 8.2 升。 第二章 整式的加减
1
16 ．(1)＋5－3＋10－8－6＋12－10＝0(厘米)．即小虫最后回到出发点 O. 1.填表：
(2)小虫每次爬行后分别到达位置为：＋5，＋2，＋12，＋4，－2，＋10，0.即小虫 系数 -2 1.3 -1 -1 3－ 2 2π
2
离开出发点 O 最远是 12 厘米． (3)2×(|＋5|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|－6|＋|
次数 5 1 3 2 2 3 3
＋12|＋|－10|)＝108(粒)．
答：小虫一共得到 108 粒芝麻．
2.填表：
17.－160.5－120＋65.5＋280＝65(万元)．
2 2 3 2 2 2 2 2
多项式 m n +m -2n-3 a +2a b+ab -b +1 3x y-4xy-1
答：盈余 65 万元．
2 2 3 2 2 2 2 2
项 m n ，+m ，-2n，-3 a ，+2a b，+ab ，-b ， 3x y，-4xy，-1
1
17 .(1)以 200 千克为基准，超过 200 千克的数记作正数，不足 200 千克的数记作负
+1
数，则这 20 袋余粮对应的数分别为：－1、＋1、－3、＋3、0、－5、－3、－1、＋2、
2 2
4 次项 m n 没有 没有
－4.
3 2 2 2
3 次项 +m +2a b，+ab 3x y
则－1＋1－3＋3+0－5－3－1＋2－4＝－11.
2 2
2 次项 没有 a，-b 没有
答：这 10 袋余粮总计不足 11 千克．
1次项 -2n 没有 -4xy
(2)200×10＋(－11)＝2 000－11＝1 989.
常数项 -3 +1 -1
答：这 10 袋余粮一共 1 989 千克．
几次几项式 四次四项式 三次五项式 三次三项式
18.(1)＋0.026>0.02，－0.025<－0.02，不在要求范围内，故不合乎要求，其他均合
2. 4 2
乎要求，故答案为＋0.01，－0.018，＋0.015.
2
m n 2 x－1
(2)越接近 0 质量越好，＋0.01 到 0 的距离小于－0.018 和＋0.015 到 0 的距离，最 21. 2 3 2单项式有 4xy， ，0，m 多项式有 x＋x－ ，2x －3， 整式有 4xy，x ＋x
2 3 2
接近 0，所以质量更好，故答案为＋0.01.
2
2 m n 3 x－1 4 9
－ ， ，2x －3，0，m， 9.(1)依题意两个车间共有 x＋ x－30＝( x－30)人．
3 2 2 5 5
3.（1）1（2）3,4（3）3（4）2,4（5）-2 4 4
(2)原来第二车间人数为 x－30，调动后，第一车间有(x＋10)人，第二车间有( x
1 1 1 1 2 1
4．A 4 .A 4 .D 4 .C 4 .－2x －x＋9 4 .－3m＋2 5 5
5.(1)原式＝4a. 4 1
－40)人，调动后第一车间比第二车间多的人数为：(x＋10)－( x－40)＝ x＋50.
(2)原式＝4. 5 5
2
(3)原式＝－11a ＋6b. 1
答：调动后，第一车间的人数比第二车间多( x＋50)人．
2
(4)原式＝2x －1. 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(5)原式＝3x －3x y－6x y ＋2x －4x y＋6＝5x －7x y－6x y ＋6. （11）解法 1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆柱笔
2 2 2
(6)原式＝－2x －3xy＋1＋3x －3xy＋x－3＝x －6xy＋x－2. 共花费（4x+3y）元
3 3 3
(7)原式＝a b＋a b－2c－2a b＋2c＝0. 小红和小明一共花费（单位：元）
2 2 2 2 2
(8)原式＝4ab－b －2a －4ab＋2b ＝－2a ＋b . （3x+2y）+（4x+3y）=3x+2y+4x+3y=7x+5y
解法 2：小红和小明买笔记本共花费（3x+4x）元，买圆珠笔共花费（2y+3y）元
3 2
6．(1)原式＝－7a ＋3a ＋5a－3. 小红和小明一共花费（单位：元）
当 a＝－2时，原式＝55. （3x+4x）+（2y+3y）=7x+5y
2 2 2 2
(2)原式＝2x y＋2xy－3x y＋3xy－4x y＝－5x y＋5xy. （12）解①由题意得：甲船 2h 行驶了 2(50+a) km，乙船 2h行驶了 2(50-a) km，
2
当 x＝1，y＝－1时，原式＝－5×1×(－1)＋5×1×(－1)＝0. 所以两船相距 ： 2(50+a)+2(50-a)=200 km
2 2 2 2 2 2 2 2
（3）3B－4A＝3(3b －2a ＋5ab)－4(4ab－2b －a )＝9b －6a ＋15ab－16ab＋8b ＋4a ②由①可知，2h后甲船比乙船多航行了 2(50+a)-2(50-a)=4a km
2 2
＝17b －2a －ab.
1 1 2 2 1 1 9 3 1
当 a＝1.5，b＝－ 时，原式＝17×(－ ) －2×1.5 －1.5×(－ )＝17× － ＋ ＝ .
2 2 2 4 2 4 2
1
6 ．10
2 2 2 2 2
7.2(x －x＋1)－(3x ＋4x－1)＝2x －2x＋2－3x －4x＋1＝－x－6x＋3.
2
故这个多项式为－x－6x＋3.
8.由|y－3|＝0，得 y＝3.又 x、y 互为相反数，所以 x＝－3.
3 2 2 3 2
原式＝2x －4y －x＋3y－x＋3y －2x ＝－y－2x＋3y.
2
当 x＝－3，y＝3时，原式＝－3－2×(－3)＋3×3＝6.

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