资源简介 第一章 有理数 3 22例 1.把下面的有理数填在相应的大括号里:15,- ,0,-30,0.15,-128, ,⒈正数和负数的概念 8 5正数:比 0大的数. 负数:比 0 小的数. 0 既不是正数,也不是负数 +20,-2.6.(1)非负数:{ ,…};2.具有相反意义的量 (2)负数:{ ,…};若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。 (3)正整数:{ ,…};比如:如果零上 8℃表示为+8℃,那么零下 8℃就表示为-8℃ (4)负分数:{ ,…}.22 3解:(1)15,0,0.15, ,+20 (2)- ,-30,-128,-2.6 (3)15,+20 (4)2.有理数的概念 5 8⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) 3- ,-2.6⑵正分数和负分数统称为分数 8⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 3.数轴的概念注意:(1)引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数, 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。-1,-3,-5…也是奇数。(2)π不是有理数 比如:在数轴上与表示 2的点距离 3个单位长度的点表示的数是________.1.有理数的分类 解:-1或者 5。 如图所示正整数 -1 0 2 0 2 5正整数正有理数 整数 0正分数 在 2 的左边 3 个单位长度 在 2 的右边 3 个单位长度负整有理数 0 有理数正分数 4.利用数轴表示两数大小负整数 分数负有理数 负分数 ⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;负分数⑵正数大于 0,负数都小于 0,正数大于负数;总结:①正数、0统称为非负数⑶两个负数绝对值大的反而小②负数、0统称为非正数比如: 在-1,-2, 1,2这四个数中,最小的是_____.解:-2<-1 <1<2 a (a 0) a (a 0)即: a 0 (a 0) 或 a a (a 0) ﹣a (a 0)3.绝对值的性质:若|x|=a(a>0),则 x=±a;相反数1.——只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0 的相 例 3 绝对值小于 4的所有整整数有________________________反数是 0。 解:0、±1、±2、±3注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负; 例 4 若|x|=3,|y|=5,则 x+y=________⑶0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是 0。 解:|x|=3, |y|=52.相反数的性质与判定 x=3 或者 x=﹣3 y=5 或者 y=﹣5⑴互为相反数的两数和为 0,和为 0的两数互为相反数,即 a,b 互为相反数,则 a+b=0 当 x=3,y=5 时 x+y=3+5=83.双重符号的化简:同号得正,异号得负 当 x=3,y=-5 时 x+y=3+(-5)=-2当 x=-3,y=5 时 x+y=-3+5=2例 2 ﹣2 的相反数是________,倒数是________,绝对值是________。 当 x=-3,y=-5 时 x+y=-3+(-5)=-8解析:①只有符号不同的两个数叫做互为相反数。∴-2 的相反数是 2; ∴若|x|=3,|y|=5,则 x+y=±2 或者±81 1②数 a与 互为倒数.∴-2 的倒数是﹣ ;a 2 例 5 解下列方程(1)|x|=3 (2)|x-1|=5 (3)|x+2|=8③一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值 分析:第(2)题要把 x-1 看作一个整体;第(3)题要把 x+2 看作一个整体是 0。∴-2 的绝对值是它的相反数 2; 解:(1)|x|=3 (2)|x-1|=5 (3)|x+2|=8x=3 或者 x=﹣3 x-1=5 或者 x-1=﹣5 x+2=8 或者 x+2=﹣8∴x=6 或者 x=﹣4 ∴x=6 或者 x=﹣10绝对值⒈绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作|a|。 例 6(1)若|a-3|=a-3,则 a的取值范围是________。2.绝对值的代数定义 解:由于褪绝对值符号褪得它本身⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0 的绝对值 a (a 0)根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-3 是一个非正数是 0. ﹣a (a 0)即 a-3≥0,∴a≥3(2)若|a-3|=3-a,则 a的取值范围是________。解:由于褪绝对值符号褪得它的相反数 a (a 0)根据公式 a 得绝对值符号里面的部分 a-3 是一个非负数 ﹣a (a 0)即 a-3≤0,∴a≤32 2非负数(两种非负数 a、|b|,即 a≥0;|b|≥0)非负数的性质:若两个非负数的和为 0,必须每个非负数都为 0。即 若|a|+|b|=0,则 a=0 且 b=0。 例 8 已知 a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是 22 2 2若 a +b =0 ,则 a=0 且 b=0。 求 a+b+cd+m 的值2若 a +|b|=0 ,则 a=0 且 b=0。 分析:a,b互为相反数,即 a+b=0;c,d 互为倒数,即 cd=1; m 的绝对值是 2,即2 2 2 2m=﹢2 或者 m=-2,∴m =(﹢2) =4 或者 m =(-2) =4例 7 若(1)│x+2│+│y-3│=0,则 xy=________. 解:根据题意得,2 2(2)若(x+2) +( y-3) =0,则 x y 2- =_____。 a+b+cd+m2 x =0 +1 +4(3)若│x+2│+( y-3) =0,则 ________.y =52 x(4)若│x+2│与( y-3) 互为相反数,则 _____。y 例 9 计算:分析:若两个非负数的和为 0,必须每个非负数都为 0。 +(+3.7)=_____,-(-3.7)=_____,+(-3.7)=_____,-(+3.7)=_____.解:(1)∵│x+2│≥0,│y-3│≥0 2 2 +|+3.7|=_____,-|-3.7|=_____,+|-3.7|=_____,-|+3.7|=_____.(2)∵(x+2) ≥0, ( y-3) ≥0∴│x+2│=0,│y-3│=02 2∴(x+2) =0,( y-3) =0x+2=0,y-3=0x+2=0,y-3=0 注意区别:绝对值符号与括号不一样x=-2,y=3x=-2,y=3 去括号时根据法则:同号得正,异号得负xy=-2×3=-6x-y=-2-3=-5 去绝对值符号时要先算绝对值部分解:22(3)∵│x+2│≥0, ( y-3) ≥0 (4)∵│x+2│与( y-3) 互为相反数2即│x+2│+( y-3) =0 +(+3.7)=3.7,-(-3.7)=3.7,+(-3.7)=-3.7,-(+3.7)=-3.7.2∴│x+2│=0,( y-3) =02x+2=0,y-3=0 ∵│x+2│≥0, ( y-3) ≥02x=-2,y=3 ∴│x+2│=0,( y-3) =0x+2=0,y-3=0+|+3.7|=3.7,-|-3.7|=-3.7,+|-3.7|=3.7,-|+3.7|=-3.7. Ⅱ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)3 1 3 2 1 7- - + - + -5 2 4 5 2 8特殊的数 3 2 1 1 3 7原式=- - - + + -最小的正整数 最大的负整数 相反数等于 绝对值等于 倒数等于 5 5 2 2 4 81本身的数 本身的数 本身的数 =-1+0- 8-1 √ √ 1=-180 √ √1 √ √ √ √ Ⅲ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)3 1 2(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)有理数的加减法 4 8 31 3 1 2 1原式= +3 -3 +10 -11.有理数加法的运算律 8 4 8 3 43 1 1 1 2⑴加法交换律:a+b=b+a =3 -1 + -3 +104 4 8 8 3⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 1 2=2 -3+10在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: 2 31=-3+13①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; 61②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”; =106③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”; Ⅳ. 先拆项后结合⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 (1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100)5.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: =1+3+5+7…+99-2-4-6-8…-100Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) =1-2+3-4+5-6+7-8…+97-98+99-100 (100 个数字 2个一对共有 50 对)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) =-1-1-1-1…-1-1原式=-33+18-15-1+23 (去括号) =-1×50=-33-15-1+18+23 (归归类把符号相同的数结合在一起) =-50=-49+41 (各算各的,加与加算,减与减算)=-8 (最后再合并) 有理数的乘除法1.有理数的乘法法则 后加减’的顺序进行。①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; 有理数的乘方②任何数同 0 相乘,都得 0; 1.乘方的概念③几个不是 0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数 求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 a n 中,a 叫做底时,积是负数;数,n 叫做指数。④几个数相乘,如果其中有因数为 0,则积等于 0.2.乘方的性质2.倒数(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。1乘积是 1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为 a· =1a (2)正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是 0。1 1 1 2 2(a≠0),就是说 a 和 互为倒数,即 a 是 的倒数, 是 a的倒数。 2 2a a a 注意区分: 42 ( 4)2 和 3 和 3 注意:①0没有倒数;-42=-4×4=-162②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带 2 2 2 4( 4)2=(-4)×(-4)=16 分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置; 3 3 32③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); 2 2 2 4 ④倒数等于它本身的数是 1或-1,不包括 0。 3 3 3 9有理数混合运算的顺序:3.有理数的乘法运算律先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号⑴乘法交换律: ab=ba内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。⑵乘法结合律: (ab)c=a(bc).比如以下基础题⑶乘法分配律: a(b+c)=ab+ac2 2(1) 10-(-4) (2) 10-|-4| (3) 10-(-4) (4)10-(-4) ÷(-2)=10+4 =10-4 =10-16 =10-16÷(-2)=-64.有理数的除法法则 =14 =6 =10-(-8)=10+8(1)除以一个数,等于乘以这个数的倒数。 1 1(5) 10÷(-3)×(- ) (5) 10÷(-3)×(- ) =183 3(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0=10÷1 1 1=10×(- )×(- )的数,都得 0 3 3=10 (错误)1 105.有理数的乘除混合运算 =10× = (正确)9 9(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。2 2例 10 计算(1) (-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,2 2 n(2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) 科学记数法:把一个很长很长的数表示成 a×10 的形式(其中 1≤|a|<10,n 是正(3)(-1)4 5 2 1 5 2 3 2× -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2 整数),这种方法叫做科学记数法。原数中小数点向左移动几位 n就是几。3 8 67 72 1 5 比如:52000000=52000000.=5.2×10 ;-52000000=-52000000.=-5.2×102 3 2(4) -14×5-( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -23 8 6解:(1) (2) 近似数2 2 2 2(-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2) 1. 只有近似数有精确度的问题,准确数不存在精确度问题。=9-8×2+4-16÷(-2) =-9-8×2+4-16÷(-2)2. 一个近似数,四舍五入到哪一位,就近似到哪一位。=9-16+4-(-16÷2) =-9-16+4-(-16÷2)=9-16+4-(-8) =-9-16+4-(-8) (近似到哪一位,看最后一个数字在哪个位数上,如:3.58 104 ,是一个万位数,=9-16+4+8 =-9-16+4+8 最后一个数字 8在百位上,所以精确到百位。)=9+4+8-16 =-25+12例 11. 按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:=21-16 =-13(1)2.715(精确到百分位);=5(2)0.139 5(精确到 0.001);(3)561.53(精确到个位);(3) (3) (4)21.345(精确到 0.1).4 5 2 1 5 2 3 2 4 5 2 1 5 2 3 2(-1) × -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -2 (-1) × -( - - )×(-24)-(-4)3 8 6 3 8 6 解:÷(1()-22.)7-22.(2)0.140.(3)562.(4)21.3.2 1 5 2 1 5=1×5-[ ×(-24)- ×(-24)- ×(-24)]-16÷(-8)-4 =-1×5-[ ×(-24)- ×(-24)- ×(-24)]-16÷(-8)-43 8 6 3 8 6程序化=5-[-16-(-3)-(-20)]-(-2)-4 =-5-[-16-(-3)-(-20)]-(-2)-4=5-(-16+3+20)+2-4 =-5-(-16+3+20)+2-4 有理数的混合运算先定运算顺序、再定每步运算的符号、只需要处理好符号,然后=5-(-16+23)+2-4 =-5-(-16+23)+2-4 用绝对值进行计算,转化为小学的计算。=5-7+2-4 =-5-7+2-4 特别注意=5+2-7-4 =-5-7-4+21.概念题不要忽略“0”,注意“0”是有理数按符号分类中的一类,要把所有情况都=7-11 =-16+2考虑到;=-4 =-142.计算题不要丢符号,注意“一步定号”,再算绝对值;3.遇到拿不准的问题,回到定义、法则去考虑;4.遇到读不懂题的时候,把中文叙述和数学符号语言相互转化试一试;规律寻找题 (3)根据上面的归纳,你可以猜想出第 n个单项式是什么?结果与该数字(图形)所处位置 n之间的关系(1)偶数倍(2n) (4)请你根据猜想,写出第 2 015,2 016 个单项式.(2)奇数倍(2n+1 或者 2n-1)2 2 2 n(3)平方(n)、平方多 1(n +1)、平方少 1(n -1) 解:(1)这组单项式的系数的符号规律是(-1) ,系数绝对值的规律是 2n-1.n(4)2 的乘方(2 ) (2)次数的规律是从 1开始的连续自然数.n n(5)几倍(几 n)、几倍多几(几 n+几)、几倍少几(几 n-几) (3)第 n 个单项式是(-1) (2n-1)x .2 015 2 016(6)以上的综合 (4)第 2 015 个单项式是-4 029x ,第 2 016 个单项式是 4 031x .流程为:观察→猜想→验证例 2.用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案:(1)第 4个图案中有白色地面砖 块;例 1 观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。试按此规律写出的第 100个数(2)第 n个图案中有白色地面砖 块。是 。解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第 100个数。我们 ……把有关的量放在一起加以比较:第一个 第二个 第三个给出的数: 0,3,8,15,24,……。观察途径一:所处位置: 1,2,3, 4, 5,……。容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减 1。因此,第 n项是n2-1,第 100项是 1002-1。 ……第一个 第二个 第三个2 3 4 19 202.观察下列单项式:-x,3x ,-5x ,7x ,…,-37x ,39x ,…,回答下列问题:(1)每个黑色地砖周围都有 6块白色地砖,理论来说第 4个图案中有白色地砖 6(1)这组单项式的系数的规律是什么?×4=24 块,但是每两个相邻黑色地砖之间都有 2块白色地砖重叠,第二个图形重叠2×(二-1)=2 块,第三个图形重叠 2×(三-1)=4 块,第四个图形重叠 2×(四-1)(2)这组单项式的次数的规律是什么?=6 块,∴第 4个图案中的实际白色地砖=理论数-重叠数,即 6×4-2×(四-1)=18 块;(2)每个黑色地砖周围都有 6块白色地砖,理论来说第 n个图案中有白色地砖 6n块,但是每两个相邻黑色地砖之间都有 2块白色地砖重叠,第二个图形重叠 2×(二-1)=2 块,第三个图形重叠 2×(三-1)=4 块,第四个图形重叠 2×(四-1)=6 块, …………第 n个图形重叠 2×(n-1)=2(n-1)块,第一个 第二个 第三个∴第 n个图案中的实际白色地砖=理论数-重叠数,即 6n-2(n-1)=4n+2 块,观察途径二: 每个图形左上角和右下角的 2块白色地砖除外,都是由 这种个体构成,…… ∴第四个图形共有白色地砖 4×4+2=18 块;第 n个图形共有白色地砖 4n+2 块;第一个 第二个 第三个(1)第一个图形有 6块白色地砖,后面每个图形都比前一个图形多 4 块白色地砖,如图所示第四个图形比第一个图形多 4×(四-1)=12 块,∴第四个图形共有白色地 第二章 整式的加减砖 6+4×(四-1)=18 块; 知识点一(2)第一个图形有 6块白色地砖,后面每个图形都比前一个图形多 4 块白色地砖, 1. 单项式——由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫单项式.如图所示第 n 个图形比第一个图形多 4×(n-1)=12 块,∴第 n个图形共有白色地砖 2. 单项式的系数——单项式中的数字因数叫单项式的系数.6+4×(n-1)=4n+2 块; 3. 单项式的次数——单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数.m n 4 n观察途径三: 例 1 如果单项式-xy z 和 5a b 都是五次单项式,那么 m=_____,n=_____; 单项式m n 4 n-xy z 的系数是_____,3a b 的系数是_____。m n 4 n…… 解:(1)∵单项式-xy z 和 5a b 都是五次单项式4 n m n∴单项式 3a b 的指数和 4+n=5 ;单项式-xy z 的指数和 m+n=5第一个 第二个 第三个由 4+n=5 得 n=1 ,把 n=1 代入上面 m+n=5 中得 m+1=5 解之得 m=4m n 4 n每个图形最左边的 2块白色地砖除外,剩余白色地砖都是黑色地砖的 4倍,如图所示 (2)单项式-xy z 的系数是-1,3a b 的系数是3∴第四个图形共有白色地砖 4×4+2=18 块;第 n个图形共有白色地砖 4n+2 块;知识点二观察途径四: 1.几个单项式的和是多项式,每个单项式是多项式的项,次数最高项的次数是多项式的次数,不含字母的项是多项式的.2.单项式和多项式统称为整式. 2 2 2 2 2 2 2=3x y-7yx -xy z +y xz -4xy 3yx -5xy +4y x2 2 2 2例 2多项式 5a -2a b+ab -4b -6 的项分别是______________________ 2 2 2 2 2 2 2常数项是_______,它是___次___项式 =3x y-7x y-xy z +xy z -4xy 3xy -5xy +4xy2 2 2 2解:它的项分别是 5a ,-2a b,+ab ,-4b ,-6,常数项是-614 2 2 2 2它是三次五项式(次数以-2a b 的或者+ab 的为准) =-4x y 3 xy -xy合并同类项法则:把同类项的系数相加减;字母部分保持不变.1.同类项:(1)所含字母相同;2 4 2 12 2 14(2)相同字母的指数也相同. 3-7=-4 -1+1=-0 4 = -5+4=-13 1 3 3 3 33 a b例 3 若-2x y 与 5x y 是同类项, 则 a+b=_______.3 a b解析:∵-2x y 与 5x y 是同类项,∴x的指数与 x的指数相同,y的指数与 y的指数相同即 3=b,a=1,∴a+b=1+3=4.(2)合并同类项——把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项 2 2例 5 若将 x-y看成一个整体,则化简(x-y) -3(x-y)-4(x-y) +5(x-y)的结果是( )合并同类项法则:就是根据分配律把同类项的系数相加减;字母部分保持不变. 2 2解:(x-y) -3(x-y)-4(x-y) +5(x-y)归纳步骤: 2 2=(x-y) -4(x-y) -3(x-y)+5(x-y)(1)找出同类项并做标记; 2=-3(x-y) +2(x-y)(2)运用交换律、结合律将多项式的同类项结合;(3)合并同类项;(4)按同一个字母的降幂(或升幂排列). 去括号法则:利用乘法分配律把括号前的运算符号连同倍数分给括号里的每一项,分配符号时打打箭头,同号得正,异号得负。2 2 2 2 2 2 2例 4 计算 3x y-xy z-4xy-5xy 3 yx +4y x -7yx +y xz2 例 6 计算 2 2 2 2 2 2解:3x y-xy z-4xy-5xy 3yx +4y x -7yx +y xz (1) 4a-b-3(a+2b-1)利用这些关键字列出式子。=4a-b-3a-6b+3 相减的关系。例如:“小,少,减少,减少,降低,提前,差,……”,利用这=4a-3a-b-6b+3 些关键字列出式子。= a-7b+3 相乘的关系。例如:“几倍,几分之几,……”,利用这些关键字列出式子。2.相关公式行程问题:路程 = 时间×速度总价=单价×数量 总量=单量×件数(2) (2x-3y)+4(x+2y-6) 总产量=亩产量×亩数 总产量=公顷产量×公顷数商品销售问题:利润=售价-成本,=2x-3y+4x+8y-24 总利润=单件利润×件数,或总利润=总售价-总成本=2x+4x-3y+8y-24 1商品售价=商品标价×折扣率(即售价=定价·折· )=6x+5y-24 10A 的具体数量=总数量×A 所占总数的百分率化简求值时,幂运算中当底数是负数或者是分数时,要把底数用括号括起来。比如:当 a=-4,b= 2时,a2+b2= 42 22 顺逆流问题: v 顺水= v 静+v- + (错误) 水, v 逆水= v 静-v 水;3 3a 2 2当 =-4,b= 时,a2+b2=(-4)2+( )2 (正确)3 3 v 顺风= v 静+v 风, v 逆风= v 静-v 风当两个符号连在一起时,要把后一个符号连同数字用括号括起来 1 2周长、面积、体积问题:S△= 底×高,C 圆=2πR,S 圆=πR ,C 长方形=2(长+宽),比如:10+-2 10--2 10×-2 10÷-2 2(错误)10+(-2) 10-(-2) 10 2×(-2) 10÷(-2) (正确) S 长方形=长×宽,S 平行四边形=底×高, C 正方形=4×边长,S 正方形=边长 ,S 环形=2 2 3π(R -r ),V 长方体=长×宽×高,V 正方体=边长 ,V 圆柱=S 底×高,解应用题的基本步骤:审清题意(分析题中各数量之间的关系),关键在于抓住问题中的有关数量关系,仔细读题,找出题目里的关键字。 有关常见应用题类型及 3.数字问题各量之间的关系 (1)要搞清楚数的表示方法:一个两位数,若 a 是十位上的数,b 是个位上的数1. 和、差、倍、分问题: 数,则该两位数表示为: 10a+b ; 比如:58=5×10+8相加的关系。例如:“大,多,增加,提高,上升,推迟,和,合,共,……”,一个三位数,若 a 是百位上的数,b是十位上的数,c 是个位上的数,则该三位数是:100a+10b+c; 比如:358=3×100+5×10+8 (1)整数:{ …};(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1;偶 (2)正分数:{ …};数用 2n 表示,连续的偶数用 2n+2 或 2n—2 表示;奇数用 2n+1 或 2n﹣1 (3)负分数:{ …};表示. (4)正数:{ …};(5)负数:{ …};例 1 买一个篮球需要 x 元,买一个排球需要 y 元,买一个足球需要 z 元,买 3 个篮 (6)非负数:{ …}球、5 个排球、2 个足球一共需要多少钱?分析:买篮球的钱= 1篮球的单价×篮球数量 1.在下表适当的空格里打上“√”号.买排球的钱=排球的单价×排球数量 整数 分数 正数 负数 自然数 有理数买足球的钱=足球的单价×足球数量 1总共买球的钱=买篮球的钱+买排球的钱+买足球的钱 5即:总共买球的钱= 3x + 5y + 2z 70-3.14-121.填空:(1)如果 5元表示收入 5元,那么-3元表示________; 11 . 在数轴上与表示 2的点距离 5个单位长度的点表示的数是________.(2)如果 7千克表示增加 7千克,那么-8千克表示________; 11 .数轴上与原点距离为 4个单位长度的点表示的数是________.(3)如果-9 米表示向左运动 9米,那么 9米表示_______;(4)如果 5米表示向东运动 5米,那么-5米表示_______, 2.填空那么 0米表示__________; 5 -3 1 2-(5)如果 0.2 米表示水位高于正常水位 0.2 米,-0.2 米表示_______,那 2 5么 0 米表示__________. 相反数倒数1 11.把下列各数填在相应的大括号里:2 016,1,-1,-2 015,0.5, ,- ,-0.75, 绝对值10 30,20%.3 2 23. 绝对值小于 5的所有整整数有________________________ (6)(-10) +[(-4) -(1-3 )×2]13 .绝对值不大于 5的所有整整数有________________________ 1 7 1 1 3 3(7) 10÷(-3)×(- )+ ×( - )× ÷3 6 6 3 14 54.若|a|=2,|b|=3,则 a+b=________1 1 1 15 解下列方程(1)|x|=2 (2)|x-1|=10 (3)|x+2|=6 (8)计算:( -1)×( -1)×( -1)×…×( -1).2 016 2 015 2 014 1 0006.(1)若|a-2|=a-2,则 a的取值范围是________。11.规定一种新运算“※”,两数 a、b 通过“※”运算得(a+2)×2-b,即 a※b7.(1)若│a+2│+│b-3│=0,则 ab=________.=(a+2)×2-b,例如:3※5=(3+2)×2-5=10-5=5.根据上面规定解答下题:2 2(2)若(a+3) +( b-5) =0,则 a-b=_____。(1)求 7※(-3)的值;2 a(3)若│a+3│+( b-5) =0,则 ________. (2)7※(-3)与(-3)※7 的值相等吗?b111 .“!”是一种运算符号,并且 1!=1,2!=1×2,3!=1×2×3,4!=1×2×3×4,…,2 a(4)若│a+3│与( b-5) 互为相反数,则 _____。 2 016!b 则 的值为 ( )2 015!(5)若 a-2 与-7互为相反数,求 a的值.A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 0168. 已知 a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是 2 111 .(铜仁中考)照下图所示的操作步骤,若输入 x的值为 5,则输出的值为________.2求 2(a+b) -3(cd) +4m 的值输入 x ―→ 加上 5 ―→ 平方 ―→ 减去 3 ―→ 输出9. 计算:2 26.36 6 2 500 50+(+5)=_____,-(-5)=_____,+(-5)=_____,-(+5)=_____.12.用科学记数法表示下列各数+|+5|=_____,-|-5|=_____,+|-5|=_____,-|+5|=_____.1 ①3010000000 ②15800000 ③3 618 ④216 000 ⑤-80 000 ⑥-712.39 .下列各对数:-1与+(-1),+(+1)与-1,-(-2)与+(-2),-(-12)与+13.下列用科学记数法表示的数,原来分别是什么数?(+12),-(+5)与-(-5),其中互为相反数的有( )6 5 4 83.5×10 ,1.20×10 ,-9.3×10 ,-2.34×10 .A.0 对 B.1 对C.2 对 D.5 对2 2 14.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:10. 计算(1) (-3) -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)2 2 (1)2.715(精确到百分位);(2) -3 -(-8)×(-2)+|-4|-(-4) ÷(-2)(2)0.139 5(精确到 0.001);(3)(-1)4 5 2 1 5 2 3 2× -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -23 8 6 (3)561.53(精确到个位);(4) -14 5 2 1 5 2 3 2× -( - - )×(-24)-(-4) ÷(-2) -23 8 6 (4)21.345(精确到 0.1).6 1(5)-1 -(1-0.5)× ×[2 2-(-3) ]315.在数轴上,一只蚂蚁从原点出发,它先向右爬了 4个单位长度到达点 A,再向右 200、195、197、199、202、196.爬了 2个单位长度到达点 B,然后又向左爬了 10 个单位长度到达点 C. (1)如果每袋余粮以 200 千克为标准,求这 10 袋余粮总计超过多少千克或者不足多(1)画出数轴并标出 A、B、C三点在数轴上的位置; 少千克?如图: (2)这 10 袋余粮一共多少千克?(2)写出 A、B、C三点表示的数; 18.北京航天研究院所属工厂,制造“神舟”10 号飞船上的一种螺母,要求螺母内(3)根据点 C 在数轴上的位置,C 点可以看作是蚂蚁从原点出发,向哪个方向爬了几 径可以有±0.02 mm 的误差,抽查 5个螺母,超过规定内径的毫米数记作正数,没有个单位长度得到的? 超过规定内径的毫米数记作负数,检查结果如下:+0.01 -0.018 +0.026 -0.025 +0.01516.检修小组从 A地出发,在东西路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶 (1)指出哪些产品是合乎要求的?(即在误差范围内的)为负,一天中行驶记录如下(单位:千米):-4,+7,-9,+8,+6,-4,-3. (2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些?(即最接近规定尺寸)(1)则收工时距 A地多少千米?(说明方向和距离)(2)检修小组这天总共行驶了多少千米? 19.某只股票上周末的收盘价格是 10.00 元,本周一到周五的收盘情况如下表:(3)若汽车每千米耗油 0.2 升,问从 A地出发到收工时共耗油多少升? (“+”表示股票比前一天上涨,“-”表示股票比前一天下跌)116 .一只小虫从某点 O 出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数, 上周末周一 周二 周三 周四 周五向左爬行的路程记为负数,爬行的各段路程依次为(单位:厘米):+5,-3,+10, 收盘价-8,-6,+12,-10.问: 10.00 +0.28 -2.36 +1.80 -0.35 +0.08(1)小虫最后是否回到出发点 O (1)周一至周五这只股票每天的收盘价各是多少元?(2)小虫离开出发点 O最远是多少厘米? (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了,还是下跌了,上涨(下跌)多少?(3)在爬行过程中,如果每爬行 1厘米奖励 2粒芝麻,则小虫一共得到多少粒芝麻? (3)这五天的收盘价中哪天的最高?哪天的最低?相差多少?17.某公司 2013 年前四个月盈亏的情况如下(盈余为正):-160.5 万元,-120 万元, 119 .上周五某股民小王买进某公司股票 1 000 股,每股 35 元,下表为本周内每日股+65.5 万元,280 万元. 票的涨跌情况(单位:元):试问 2013 年前四个月该公司总的盈亏情况. 星期 一 二 三 四 五每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6117 .用简便方法计算: 则在星期五收盘时,每股的价格是________.某产粮专业户出售余粮 10 袋,每袋重量如下(单位:千克):199、201、197、203、3.(1)当 k=__ __ 2k 2时,3x y 与-x y 是同类项.2m 8 6 2n第二章 整式的加减 (2)当 m=__ __,n=__ __时,3x y 与-x y 是同类项.n-1 4 2 m+11.填表: (3)已知-2a b 与 a b 是同类项,则 2n-m=__ __.2 n m 43vt (4)若 2x y 与-3x y 是同类项,则 m=__ __,n=__ __.5 2 2-2a 1.3h -xy -t -2 m 2 4 n单项式 2 x y 2πab (5)若-2x y 与 3x y 能合并同类项,则 m-3n 的值是__ __.2 2系数 4.已知一个多项式与 3x +9x 的和等于 3x +4x-1,则这个多项式是( )次数 A.-5x-1 B.5x+1C.-13x-1 D.13x+11 2 22.填表: 4.若 A=x-xy,B=xy+y ,则 A+B为( )2 22 2 3 2 2 2 2 2多项式 m n +m -2n-3 a +2a b+ab -b +1 3x y-4xy-1 A.x +y B.2xy2 2项 C.-2xy D.x -y1 2 24 次项 4.计算 3a +2a-1 与 a -5a+1 的差,结果正确的是( )2 2A.4a -3a-2 B.2a -3a-23 次项2 2C.2a +7a D.2a +7a-22 次项1 24 .若 m-(-3x)=2x -3x-3,则 m应该是( )1 次项2 2A.2x -3 B.2x -3x-3常数项2 2C.2x -6x-3 D.2x -9x-3几次几项式1 2 24 .x -x+5 减去 3x -4 的结果是________.1 2 23 b 4 .多项式________与 m +m-2 的和是 m-2m.2.关于 x的多项式(a-4)x -x +x-b 是二次三项式,则 a=________,b=________.5.计算:21 2 2 m n 2 2 3 3 m-n x-1 32 .下列式子:4xy,x +x- , ,y+y+ ,2x -3,0,- +a,m, , , .3 2 y ab m+n 2 x (1)a+2b+3a-2b; (2)2(a-1)-(2a-3)+3;2 2 3 2 3 2(3)2(2a +9b)+3(-5a -4b); (4)3(x +2x -1)-(3x +4x -2);其中单项式有________________________________;2 2 2 2 2 2(5)3(x -x y-2x y )-2(-x +2x y-3);其中多项式有________________________________;2 2(6)-(2x +3xy-1)+(3x -3xy+x-3);整式有______________________________________.3 3 3(7)a b+(a b-2c)-2(a b-c);2 2 2(8)(4ab-b )-2(a +2ab-b );(5)5 箱苹果重 m kg,每箱重 kg ;6.先化简,再求值: (6)一个数比 a 的 2倍小 5,则这个数为 ;2 3 3(1)(4a+3a -3-3a )-(-a+4a ).其中 a=-2; (7)全校学生总数是 x,其中女生占总数 52%,则女生人数是 ,2 2 2(2)2(x y+xy)-3(x y-xy)-4x y,其中 x=1,y=-1. 男生人数是 ;1 (8)某校前年购买计算机 x 台,去年购买数量是前年的 2 倍,今年购买数量又是2 2 2 2(3)已知 A=4ab-2b -a ,B=3b -2a +5ab,当 a=1.5,b=- 时,求 3B-4A2 去年的 2倍,则学校三年共购买计算机 台;的值. (9)某班有 a 名学生,现把一批图书分给全班学生阅读,如果每人分 4 本,还缺25本,则这批图书共 本;1 2 2 2 2 2 26 .若 a+b=5,则式子(3a -2ab-b )-(a -2ab-3b )的值是________. (10)一个两位数,十位上的数字为 a,个位上的数字为 b,则这个两位数2 27.已知 x-x+1的 2倍减去一个多项式得到 3x +4x-1,求这个多项式. 为 .(11)笔记本的单价是 x元,圆珠笔的单价是 y 元,小红买 3本笔记本,2 支圆珠笔,3 2 2 38.已知 x、y互为相反数,且|y-3|=0,求 2(x -2y )-(x-3y)-(x-3y +2x )的 小明买 4本笔记本,3 支圆珠笔,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明一共花了多少值. 钱?49.某工厂第一车间有 x人,第二车间比第一车间人数的 少 30 人,如果从第二车间 (12)两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的5速度都是 50 km/h,水流速度是 a km/h.调出 10 人到第一车间,那么:①2h后两船相距多远?(1)两个车间共有多少人?② 2h后甲船比乙船多航行多少千米?(2)调动后,第一车间的人数比第二车间多多少人?10.一、数字规律类:(1)某种商品每袋 4.8 元,在一个月内的销售量是 m 袋,用式子表示在这个月内销1 3 7 13 21售这种商品的收入. 1.一组按规律排列的数: , , , , ,…… 请你推断第 9 个数4 9 16 25 36(2)圆柱体的底面半径、高分别是 r,h,用式子表示圆柱体的体积. 是 .(3)有两片棉田,一片有 m hm2 (公顷,1 hm2 =104 m2 ),平均每公顷产棉花 a kg; 2.已知下列等式: ① 13=12; ② 13+23=32; ③ 13+23+33=62;另一片有 n hm2 ,平均每公顷产棉花 b kg,用式子表示两片棉田上棉花的总产量. ④ 13 + 23 + 33 + 43 = 102 ; … … … … 由 此 规 律 知 , 第 ⑤ 个 等 式(4)在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片,大正方形的边长是 a mm,小 是 .第 n 个等式是 .正方形的边长是 bmm,用式子表示剩余部分的面积. 3.观察下列各式;①、1 2 +1=1×2 ;②、2 2 +2=2 2×3;③、3 2 +3=3×4 ;4 +4=4×5……请把你猜想到的规律用自然数 n表示出来 。 ……4 . 观 察 下 面 的 几 个 算 式 : ① 、 1+2+1=4 ; ② 、 1+2+3+2+1=9 ; ③ 、 利用上面规律,请你迅速算出:1+2+3+4+3+2+1=16;……根据你所发现的规律,请你直接写出第 n 个式子 ①1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=5.已知一列数:1,―2,3,―4,5,―6,7,… 将这列数排成如上所示的形式: ②据①你会算出 1+2+3+…+100 是多少吗?按照上述规律排下去,那么第 10行从左边数第 5个数等于 . ③据上你能推导出 1+2+3+…+ n的计算公式吗?1, 1 , 26. 有一列数: , 1 , 2 , 3 , 1 ……,第 9个数是 . 11.给出下列算式: 32 12 8 8 1, 52 32 16 8 2, 7 2 52 24 8 3 ,2 2 3 3 3 492 7 27.观察下列各式: …,用 n(自然数)把这个规 32 8 4,…,观察上面的一系列等式,你能发现什么规律?用代数式表律表示出来. 示这个规律是 。8.观察下列等式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……12.研究下列算式,你会发现有什么规律?这些等式反映出自然数间的什么规律呢?设 n 表示自然数,请用含有 n 的等式 1 3 1 4 22 ; 2 4 1 9 32 ;3 5 1 16 42; 4 6 1 25 52 ……表示出来。 请将你找出的规律用公式表示出来: 。9.研究下列等式,你会发现什么规律?13.观察下列等式:9 1 8 ; 16 4 12 ; 25 9 16 ; ……………1×3+1=4=22这些等式反映出自然数间的某种规律,设 n表示自然数,用关于 n的等式表示出来:2×4+1=9=3214.观察下列等式:12 1 1 2; 22 2 2 3;32 3 3 3;…………………3×5+1=16=424 6+1=25=52 请你将猜想到的规律用自然数 n(n 1)表示出来 ;×… 2 215.已知: 22 2 ,3 3 32 3 4 4 , 42 4 a a ,…若10 102 (a、3 3 8 8 15 15 b b设 n为正整数,请用 n表示出规律性的公式来. b为正整数),则 a+b= 。16.观察下面的一列单项式: x, 2x2 , 4x3 , 8x4,…根据你发现的规律,第 710.观察下列几个算式,找出规律:个单项式为 ;第n个单项式为1+2+1=417 1 3 5 7.观察下列一组数: , , , ,…… ,它们是按一定规律排列的. 那么这1+2+3+2+1=9 2 4 6 81+2+3+4+3+2+1=16 一组数的第 k个数是 .1+2+3+4+5+4+3+2+1=25a518 2 a8 a11 … a≠0 n 10 b b.一组按一定规律排列的式子:- a , ,- , , ,( )则第 个式 …,若 102 符合前面式子的规律,则a b 。2 3 4 a a子是__(n 为正整数). 1 1 124.观察: (1 1 ) ,3 5 2 3 519.观察下列等式: 1 1 1 (1 1 )1.42 12 3 5 5 7 2 5 7 ; 1 1 1 (1 1 )2.52 7 9 2 7 9 22 3 7 ;…………3.62 32 3 9 1 1 1 1 1 1 1 1计算: L = 。2 4 4 6 6 8 18 204.72 42 3 11;…………则第n(n是正整数)个等式为________.1 1 1 1 1 1 1 1 1 120 1 1 二、图形规律类:.观察下列各式: , , ,…,根据1 3 2 3 3 5 2 3 5 5 7 2 5 7 1.1 1 1 1观察计算: = .(n为正整数)1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)21. 1 2 3 4有一列数 ,, , ,…,那么第 7 个数是 .2 5 10 1722.因为13 1 1 1 1,12 1 1 ⑴填写下表: 1,13 23 1 8 9 (1 2)2 32 913 23 33 1 8 27 36 (1 2 3)2 62 3613 23 33 43 1 8 27 64 100 (1 2 3 4)2 102 100⑵照这样的规律搭建下去,搭 n个这样的三角形需要多少根火柴棒?那么13 23 33 43 993 1003 2.若按图 2方式摆放桌子和椅子23.(1)第 4个图案中有白色地面砖 块;(2)第 n个图案中有白色地面砖 块。……⑴一张桌子可坐 6人,2张桌子可坐 人。第一个 第二个 第三个⑵按照上图方式继续排列桌子,完成下表:5.下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案,图案的每条边(包括两个顶点)上都有 n(n 2)个棋子,每个图案棋子总数为 S,按下图的排列规律推断,S 与 n 之间的关系可以用式子 来表示。3. 图 3—4①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点,得到图 3—4②;再分别连结图 3—4②中间的小三角形三边的中点,得到图 3—4③,按此方法继续下去,请你根据每个图中三角形个数的规律,完成下列问题。 ……n 2 n 3 n 4 n 5s 4 s 8 s 12 s 16① ② ③。……(1)将下表填写完整6.如图,是用棋子摆成的图案,摆第 1个图案需要 7枚棋子,摆第 2个图案需要 19图形编号 1 2 3 4 5 … 枚棋子,摆第 3个图案需要 37 枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第 6个图案需三角形个 要 枚棋子,摆第 n个图案需要 枚棋子.1 5 9 …数(2)在第 n 个图形中有____________________个三角形(用含 n的式子表示)。4.用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案: …(1) (2) (3)7.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m 的值是 1 请观察上图并填写下表0 4 2 6 4 8 6 图形编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)2 8 4 2 6 44 m 圆的个数2 你能试着表示出第 n 个正方形中圆的个数吗?用你发现的规律计算出第 2008A.38 B.52 C.66 D.74 个图形中有多少个圆.n(n 为正整数 )个黑色梯形的面积 Sn .8. 11.如图,都是由若干盆花组成的形如三角形的图案,则组成第 n个图案所需花盆的如图,将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图总数是___________________.(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,得到第*三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分* * *割,……,则得到的第五个图中,共有________个正三角形.* * * * *** * * * * * * *……*12.观察正方形图案,每条边上有 n(n 2)个圆点,每个图案中圆点总数式 S ,按此9.观察下列球的排列规律(其中●是实心球,○是空心球): 推断 S 与 n的关系式为●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ………… ………………从第 1个球起到第 2005 个球止,共有实心球 个.n=2,S=4 n=3,s=810.探索题: 如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆. n=4,s=1213.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第 n个图形由 n个正方形组成,通过观察可以˙˙˙ 发现:则 第 (4) 堆 三 角 形 的 个 数 为 _____________ ; 第 (n) 堆 三 角 形 的 个 数 为n=1 ________________.n=2 n=3 n=417.下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律,第 5(1)第 4 个图形中火柴棒的根数是 ;(2)第 n个图形中火柴棒的根 个图案中白色正方形的个数为 ;第 n 个图案中白色正方数是 ; 形的个数为____________________。14. ① ② ③…●●● ●●●●● ●●●●●●●● ● ●第 1个 第 2个 第 3个● ● ●