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专题21—复数
考试说明：1、理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
了解复数的代数表示法及其几何意义；
会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；
会在复数范围内解实系数一元一次方程。
高频考点：1、复数的概念以及四则运算；
复数代数形式的加、减运算的几何意义；
复数的模及其几何意义；
高考中，复数一般出现在选择题的前3题中，比较简单，属于送分题，分值为5分，提醒同学们要准确记忆一些概念。
典例分析
1．（2021 新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021 乙卷）设，则　　
A． B． C． D．
3．（2020 北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则　　
A． B． C． D．
4．（2020 新课标Ⅰ）若，则　　
A．0 B．1 C． D．2
5．（2020 新课标Ⅲ）复数的虚部是　　
A． B． C． D．
6．（2017 山东）已知，是虚数单位，若，，则　　
A．1或 B．或 C． D．
7．（2017 新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是　　
A． B． C． D．
8．（2016 上海）在复平面上，满足的复数的所对应的轨迹是　　
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
9．（2015 湖北）为虚数单位，的共轭复数为　　
A． B． C．1 D．
10．（2021 上海）已知，则　　．
11．（2016 天津）已知，，是虚数单位，若，则的值为　　．
12．（2020 新课标Ⅱ）设复数，满足，，则　　．
真题集训
1．（2021 甲卷）已知，则　　
A． B． C． D．
2．（2020 新课标Ⅰ）若，则　　
A．0 B．1 C． D．2
3．（2019 全国）复数在复平面内对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2019 新课标Ⅰ）设，则　　
A．2 B． C． D．1
5．（2018 全国）设，则　　
A． B．0 C．1 D．2
6．（2018 北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2016 全国）复数的模为　　
A．1 B．2 C． D．5
8．（2016 新课标Ⅲ）若，则　　
A．1 B． C． D．
9．（2016 新课标Ⅲ）若，则　　
A．1 B． C． D．
10．（2015 福建）若集合，，，是虚数单位），，，则等于　　
A． B． C．， D．
11．（2016 上海）设，其中为虚数单位，则的虚部等于　　．
12．（2020 上海）已知复数满足，则的实部为　　．
13．（2019 天津）是虚数单位，则的值为　　．
14．（2018 上海）已知复数满足是虚数单位），则　　．
典例分析答案
1．（2021 新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
解答：解：，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，，位于第一象限．
故选：．
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（2021 乙卷）设，则　　
A． B． C． D．
分析：利用待定系数法设出，，是实数，根据条件建立方程进行求解即可．
解答：解：设，，是实数，
则，
则由，
得，
得，
得，得，，
即，
故选：．
点评：本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．
3．（2020 北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则　　
A． B． C． D．
分析：根据复数的几何意义先求出的表达式，结合复数的运算法则进行计算即可．
解答：解：复数对应的点的坐标是，
，
则，
故选：．
点评：本题主要考查复数的运算，结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关键．比较基础．
4．（2020 新课标Ⅰ）若，则　　
A．0 B．1 C． D．2
分析：根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．
解答：解：，
．
故选：．
点评：本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．
5．（2020 新课标Ⅲ）复数的虚部是　　
A． B． C． D．
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：，
复数的虚部是．
故选：．
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
6．（2017 山东）已知，是虚数单位，若，，则　　
A．1或 B．或 C． D．
分析：求得的共轭复数，根据复数的运算，即可求得的值．
解答：解：由，则的共轭复数，
由，则，解得：，
的值为1或，
故选：．
点评：本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．
7．（2017 新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是　　
A． B． C． D．
分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
解答：解：．，是实数．
．，不是纯虚数．
．为纯虚数．
．不是纯虚数．
故选：．
点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2016 上海）在复平面上，满足的复数的所对应的轨迹是　　
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
分析：设，得到，从而求出其运动轨迹．
解答：解：设，
则，
，
运动轨迹是圆，
故选：．
点评：本题考查了复数的几何意义，考查圆的标准方程，是一道基础题．
9．（2015 湖北）为虚数单位，的共轭复数为　　
A． B． C．1 D．
分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可．
解答：解：，
它的共轭复数为：．
故选：．
点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．
10．（2021 上海）已知，则　　．
分析：由已知求得，再由复数模的计算公式求解．
解答：解：，
，
则．
故答案为：．
点评：本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
11．（2016 天津）已知，，是虚数单位，若，则的值为　　．
分析：根据复数相等的充要条件，构造关于，的方程，解得，的值，进而可得答案．
解答：解：，，，
，
解得：，
，
故答案为：2
点评：本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
12．（2020 新课标Ⅱ）设复数，满足，，则　　．
分析：利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．
解答：解：复数，满足，，所以，
，
．得．
．
又，故．
故答案为：．
点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键．
真题集训答案
1．（2021 甲卷）已知，则　　
A． B． C． D．
解答：解：因为，
所以．
故选：．
2．（2020 新课标Ⅰ）若，则　　
A．0 B．1 C． D．2
解答：解：若，则，
则，
故选：．
3．（2019 全国）复数在复平面内对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解答：解：，
在复平面内对应的点的坐标为，，在第三象限．
故选：．
4．（2019 新课标Ⅰ）设，则　　
A．2 B． C． D．1
解答：解：由，得．
故选：．
5．（2018 全国）设，则　　
A． B．0 C．1 D．2
解答：解：由，
得．
故选：．
6．（2018 北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解答：解：复数，
共轭复数对应点的坐标，在第四象限．
故选：．
7．（2016 全国）复数的模为　　
A．1 B．2 C． D．5
解答：解：，
．
故选：．
8．（2016 新课标Ⅲ）若，则　　
A．1 B． C． D．
解答：解：，则．
故选：．
9．（2016 新课标Ⅲ）若，则　　
A．1 B． C． D．
解答：解：，则．
故选：．
10．（2015 福建）若集合，，，是虚数单位），，，则等于　　
A． B． C．， D．
解答：解：，，，，，，，，，
，，，，，．
故选：．
11．（2016 上海）设，其中为虚数单位，则的虚部等于　　．
解答：解：，则的虚部为．
故答案为：．
12．（2020 上海）已知复数满足，则的实部为　　．
解答：解：设，．
复数满足，
，
可得：，，解得，．
则的实部为2．
故答案为：2．
13．（2019 天津）是虚数单位，则的值为　　．
解答：解：由题意，可知：
，
．
故答案为：．
14．（2018 上海）已知复数满足是虚数单位），则　　．
解答：解：由，
得，
则．
故答案为：5．

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