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5.2.1三角函数的概念与定义
【知识梳理】
一、任意角的三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
(1)叫做的正弦，记做，即；
(2)叫做的余弦，记做，即；
(3)叫做的正切，记做，即.
注意：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.
我们只需计算点到原点的距离，
那么，，。
二、三角函数值的符号
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
注意：
（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
正弦 0 1 0 -1 0
余弦 1 0 -1 0 1
正切 0 1 -1 0 0
【题型1 三角函数的定义】
【解题方法】
（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
【例1】在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，＝( )
A．－ B．－ C. D.
【变式1-1】已知角的终边经过点，且，，则
A． B． C． D．
【变式1-2】设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
【变式1-3】角的终边上一点，，则
A． B． C．或 D．或
【变式1-4】角α的终边落在直线上，则sinα的值为(　　)
A．－ B． C． D．±
【题型2 利用象限角判断三角函数的符号】
【例2】若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-1】若，则在
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
【变式2-2】已知点在第三象限，则角在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-3】式子的符号为
A．正 B．负 C．零 D．不能确定
【变式2-4】已知tanα>0，且sinα＋cosα>0，则α属于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-5】若角的终边过点，试判断的符号。
【变式2-6】求函数的值域。
【题型3 诱导公式一的应用】
【例3】求下列各式的值．
(1)cos＋tan； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)．
【变式3-1】下列值①；②；③；④是负值的为
A．① B．② C．③ D．④
【变式3-2】求下列各式的值：
（1） （2）
【变式3-3】求下列各式的值
（1） （2）．
【变式3-4】求下列各式的值
（1） （2）．
【变式3-5】计算下列各式的值：
（1）； （2）；15.2.1三角函数的概念与定义
【知识梳理】
一、任意角的三角函数定义
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
(1)叫做的正弦，记做，即；
(2)叫做的余弦，记做，即；
(3)叫做的正切，记做，即.
注意：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.
我们只需计算点到原点的距离，
那么，，。
二、三角函数值的符号
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
注意：
（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
正弦 0 1 0 -1 0
余弦 1 0 -1 0 1
正切 0 1 -1 0 0
【题型1 三角函数的定义】
【解题方法】
（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
【例1】在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】B
【解析】∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和，
故由定义知sin α＝，cos β＝－，
∴sin αcos β＝×＝－.
【变式1-1】已知角的终边经过点，且，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】角的终边经过点，且，，，则，
【变式1-2】设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
【答案】A
【解析】∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.即，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
【变式1-3】角的终边上一点，，则
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】的终边上一点，，
当时，，，；
当时，，，，
【变式1-4】角α的终边落在直线上，则sinα的值为(　　)
A．－ B． C． D．±
【答案】D
【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点，
由，得.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点，
∴，
∴
【题型2 利用象限角判断三角函数的符号】
【例2】若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
【变式2-1】若，则在
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】D
【解析】，可知与异号，说明在第或第四象限．
【变式2-2】已知点在第三象限，则角在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意，，
由①知，为第三、第四或轴负半轴上的角；
由②知，为第二或第四象限角．则角在第四象限．
【变式2-3】式子的符号为
A．正 B．负 C．零 D．不能确定
【答案】B
【解析】，2，4分别表示第一、二、三象限的角，，，．
【变式2-4】已知tanα>0，且sinα＋cosα>0，则α属于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可得：
，∴，∴.
∴α为第一象限的角，故选A．
【变式2-5】若角的终边过点，试判断的符号。
【解析】当时，，.
则；
当时，，，
则.
综上，当时，的符号为负；
当时，的符号为正.
【变式2-6】求函数的值域。
【答案】{－1，3}
【解析】由题意知，角x的终边不在坐标轴上。
当x是第一象限角时，；
当x是第二象限角时，；
当x是第三象限角时，；
当x是第四象限角时，，
故函数的值域为{－1，3}。
【题型3 诱导公式一的应用】
【例3】求下列各式的值．
(1)cos＋tan； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)．
【解析】 (1)因为cos＝cos＝cos＝，
tan＝tan＝tan＝1，
所以cos＋tan＝＋1＝.
(2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝，
cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝，
sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝，
cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝，
所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝×＋×＝1.
【变式3-1】下列值①；②；③；④是负值的为
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】①；
②；
③；
④为第二象限角，；
综上，是负值的序号为③．
【变式3-2】求下列各式的值：
（1） （2）
【答案】（1） （2）1
【解析 】（1）．
（2）
．
【变式3-3】求下列各式的值
（1） （2）．
【答案】（1）; （2）0
【解析】（1）
（2）．
【变式3-4】求下列各式的值
（1） （2）．
【答案】（1） （2）8
【解析】（1）．
（2）．
【变式3-5】计算下列各式的值：
（1）； （2）；
【答案】（1）; （2）
【解析】（1）原式
．
（2）．
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