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与隐零点有关的恒成立问题
一、隐零点问题概念
我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”(即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达)，
基本解决思路是:形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数(参数)，技巧上反客为主。
二、方法详解
一般是先用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在性定理说明有零点，但这个零点又解不出来，故称为隐藏的零点，把它设出来，再去解决问题。
类型一：隐零点与参变量分离相结合
【例】已知函数.
（1）设实数（为自然对数的底数），求函数在上的最小值；
（2）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】（1）求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况讨论的单调区间，由此求得在区间上的最小值.
（2）将不等式分离常数得到，构造函数，利用导数求得取得最小值时对应的的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）的定义域为，∵，令，得,
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
当时，在单调递增，
当时，得，.
（2） 对任意恒成立，即对任意恒成立，
即对任意恒成立. 令
令在上单调递增.
∵∴所以存在唯一零点，即.
当时，；当时，；
∴在时单调递减；在时，单调递增；
∴，
由题意，. 又因为，所以的最大值是3.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
【类题展示】已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
【分析】（1）略；（2）分离参数得，确定有唯一零点，由，确定满足条件的的最大正整数为3.
【解析】（1），由解得；
（2），，，
令，有，那么.
不妨设，由，，则可知，且.
因此，当时，，；当时，，；
即可知，所以，所以的最大正整数为3.
【评注】求解关键是通过赋值缩小的范围，然后把用表示。
类型二：隐零点与分类讨论相结合
【例】已知.
（1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数的值.
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）利用导数的几何意义得出切线方程，再由圆心到切线方程的距离为1，求出实数的值；
（2）构造函数，讨论参数的值，当时，利用导数证明函数在在上是增函数，从而得出时，，；当，利用导数得出函数在是减函数，从而得出，此时不满足题意，即可得出答案.
【详解】（1）由题知，，，在点的切线斜率为
在点的切线方程为，即
由题知，解得.
（2）设，
设，，当时，，，
即在上是增函数，
当时，，则当时，，在上是增函数。
当时，，满足题意，即成立
当时，，在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大。
存在上，使，当时，，
函数在是减函数当时，，不满足题意
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求参数，利用导数研究函数的恒成立问题，属于中档题.
类型三：隐零点与探索问题相结合
【例】设， .
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论在区间上的极值点个数；
（3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 （2）见解析（3）
【解析】（1）当时：，（）
故
当时：，当时：，当时：．
故的减区间为：，增区间为
（2）令，
故,,
显然，又当时：．当时：．
故，，．
故在区间上单调递增，注意到：当时，，
故在上的零点个数由的符号决定．
①当，即或时：在区间上无零点，即无极值点．
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．
综上：当或时：在上无极值点．
当时：在上有唯一极值点．
（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，
由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：
…（*）同时成立．
联立得：，即代入（*）可得．
令，．
则，，当 时 （2）．
故在上单调递减．又， ．
故在上存在唯一零点．
即当时，单调递增．当时，单调递减．
因为，．
故在上无零点，在上有唯一零点．
由观察易得，故，即：．
综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．
类型四：隐零点与恒成立、能成立相结合
【例】已知函数，其中
（1）求的单调区间
（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.
【分析】（1）对函数求导后，对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）将题目所给恒成立的不等式分离常数，构造函数后利用导数求得函数的最小值，由此求得的取值范围，再求得的最大值.
【解析】（1）
当时， 在单调递增
当时，在单调递增，单调递减
（2）恒成立的不等式为：， ，
，设，
即，由（1）可得：在单调递减
①若，则 即在上单调递增
②若即，则 ，
即在上单调递减，
，而
③当时，
在单调递减，在上单调递增
，单调递减
综上所述：的最大值为
【类题展示】已知函数
若是函数的极值点，1是函数的一个零点，求的值；
当时，讨论函数的单调性；
若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）， ∵是函数的极值点， ∴．
∵1是函数的零点，得， 由， 解得，，
∴；
（2）时，，， ，
时，，递增，时，令，解得：，
令，解得：， 故在递减，在递增；
（3）令，，则为关于的一次函数且为增函数，
根据题意，对任意，都存在（ 为自然对数的底数），使得成立，
则在上，有解，
令，只需存在使得即可， 由于，
令，，，
∴在上单调递增，，
①当，即时，，即，在上单调递增，∴，不符合题意．
②当，即时，，
若，则，所以在上恒成立，即恒成立，
∴在上单调递减， ∴存在使得，符合题意．
若，则，∴在上一定存在实数，使得，
∴在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，
∴存在使得，符合题意．
综上所述，当时，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立．
类型五、隐零点与不等式证明相结合
【例】已知函数.
（1）若是的导函数，讨论的单调性；
（2）若（是自然对数的底数），求证：.
【解析】（1）因为，所以，
，
①当时，，在上是增函数；
②当时，由得，
所以在上是增函数；在上是减函数；
（2）因为，令，则，
因为，所以，即在是增函数，
下面证明在区间上有唯一零点，因为，，
又因为，所以，，
由零点存在定理可知，在区间上有唯一零点，
在上，，是减函数，在上，，是增函数，
故当时，取得最小值，
因为，所以，
所以 ，
因为，所以，所以，.
【类题展示】已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：.
【分析】（1）求得，令，利用导数研究函数的单调性，求得的最小值为,可得，即,函数的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）由，等价于，即，设，只须证成立，利用导数研究函数的单调性，可证明的最小值大于零，从而可得结果.
【解析】（1）由题意，，，，
令，则，由，得
由，得；由，得
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增
所以，的最小值为
∵，∴，，∴，即
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由，等价于，即
设，只须证成立，∵，
由得由异号两根，令其正跟为，则
在上，在上，
则的最小值为
又，，∴，，
∴，即，所以，∴时，。
三、跟踪训练
1．设函数有两个极值点.
求实数的取值范围；
【答案】；
【解析】（1）对函数求导，设，令，得，可得（1），分类讨论，①当，无极值，不合题意，舍去；②当，，为的两个极值点，符合题意．可得的范围。
【详解】，设，则，令，得：，可得，，递增；，，递减．（1），
①当，即时，，即，所以，递减，无极值，不合题意，舍去；
②当，即时，则（1），
，，（1），
在有唯一零点，又，且
设（a），（a），（a）在上递增，
（a）．（1），在有唯一零点，
从而，，，递减；，，，递增；，，，递减；所以，，为的两个极值点，符合题意．
综上，，
2．设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值.
【答案】(1) 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)3.
【解析】
【分析】
（1）先求导，再对进行分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出；
（2）由（1）可知，若函数有两个零点，则，且.转化为求满足的最小正整数的值，利用单调性判断其零点所在的最小区间即可求得.
【详解】（1）函数的定义域为.
.
,当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）可知，若函数有两个零点，则，且.
即，即，.
令，易知在上是增函数，且，
又，即.
所以存在，使，当时，；当时，.
所以满足的最小正整数的值为3.又时，，
且函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数有两个零点.
综上，满足条件的最小正整数的值为3.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查分类讨论的思想方法和等价转化方法，考查学生的逻辑思维能力,属于较难的题目.
3．已知函数，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】（1）
令，则
当时，令，解得，
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得，在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减，，可知不恒成立，
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
4．设函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，且函数在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的，.
【答案】（1）递减区间为，递增区间为；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）求解，利用，，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；
（2），其中，再次构造函数令，分析的零点情况，，令，，列表分析得出单调性，判断，分类讨论求解①若，②若，③若，的单调性，最大值，最小值，确定有无零点转化为极值即可；
（3）存在：，恒成立，再运用导数判断证明，令，，，求解最大值，得出即可.
【详解】（1）当时，，，令，，列表分析
x 1
0
单调递减 极小值 单调递增
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），，其中，
令，分析的零点情况.，令，，列表分析
x
0
单调递减 极小值 单调递增
，而，，，
①若，则，故在内没有极值点，舍；
②若，则，，
，因此在有两个零点，设为，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，此时在内有两个极值点；
③若，则，，
，因此在有一个零点，在内有一个极值点；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）存在：，恒成立.
证明如下：由（2）得在上单调递增，且，.
因为当时，（*），所以.
故在上存在唯一的零点，设为.
由
x
0
单调递减 极小值 单调递增
知，.又，而时，（**），
所以.即，.
所以对任意的正数a，都存在实数，使对任意的，使.
补充证明（*）：令，.，所以在上单调递增.所以时，，即.
补充证明（**）令，，，所以在上单调递减.
所以时，，即.
【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大.
5．已知.
（1）若函数在点的切线与圆相切，求实数的值.
（2）已知，当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）2（2）
【解析】
【分析】
（1）求导求出，求出切线方程，利用与单位圆相切，即可求出；
（2）构造函数，求恒成立时的范围，注意，所以递增满足题意，若单调递减，不满足题意，转化为求函数单调性，即可求出结论.
【详解】
（1）由题知，，，在点的切线斜率为，
在点的切线方程为，即，
由题知，解得.
（2）设，，
设，，
当时，，，，，
即在上是增函数，，
当时，，则当时，，
函数在上是增函数，当时，，满足题意，
当时，，
在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，
存在上，使，
当时，，函数在是减函数，
当时，，不满足题意，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点、不等式问题，考查推理和计算能力，属于较难题.
6、设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有零点，证明：.
【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数 的单调区间；
（2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证
【解析】（1）解：函数的定义域为， 因为，
所以． 所以当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
所以在上是增函数，在上是减函数．
（2）证明：由题意可得，当时，有解，即有解．
令，则．
设函数，所以在上单调递增．
又，所以在上存在唯一的零点．
故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．
当时，；当时，．
所以在上的最小值为．
又由，可得，所以，
因为在上有解，所以，即．
7 . 已知函数.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若对任意，，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）， 令，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以.，故。
（Ⅱ）对任意，故，
设，
由（Ⅰ）知单调递增，.
①当时，，，所以单调递增，
则，即.
②当时，，可知存在
当时， ，故当时，单调递减，
，所以，
所以存在，使得，故不满足题意.
综上所述，.
8．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是.
（I）求函数的单调区间；
（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（I）由条件可知，对函数求导得，
于是，解得.
所以，，令得，
于是当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（II）由（I）知，
解法1：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.
令，则只需即可.
.令，
则，所以在上单调递增，
又，，所以有唯一的零点，且，
在上单调递减，在上单调递增，
因，两边同时取自然对数，则有，
即，
构造函数，则，所以函数在上单调递增，
因，所以，即，
所以 ，即，
于是实数的取值范围是.
解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.
先证明，令，则.
于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.
所以当时，有，
所以，即，当且仅当时取等号，
于是实数的取值范围是.
9.已知
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，使得关于的不等式成立，求的最小值.
【解析】（1）由题意得，函数的定义域为，
，
若，恒成立，则函数在上单调递增；
若，设，令，，
则，，故，
∴当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意得：，即.
令，则，函数在上单调递增，
，，
则存在唯一，使得，即.
当时，，当时，，
∴
∵，∴，
由题意得，，且，故的最小值为0.
10.已知.
（Ⅰ）若曲线与轴有唯一公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）解：函数的定义域为..
由题意，函数有唯一零点..
（1）若，则.
显然恒成立，所以在上是增函数.
又，所以符合题意.
（2）若，.
；.
所以在上是减函数，在上是增函数.
所以 .
由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）.
①若，则.
令，则 .
；.
所以函数在上是增函数，在上是减函数.
所以.所以，当且仅当时取等号.
所以，，且.
取正数，则 ；
取正数，显然.而，
令，则.当时，显然.
所以在上是减函数.
所以，当时，，所以.
因为，所以 .
又在上是减函数，在上是增函数.
则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.
可见，，或不符合题意.
注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.
②若，显然，即.符合题意.
综上，实数的取值范围为.
（Ⅱ） .
令，则对任意的恒成立.
（1）当时，.
当时，，所以在上是减函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
（2）若，显然在上是减函数.
取实数，显然.
则 （利用）
.
又，在上是减函数，
由零点存在定点，存在唯一的使得.
于是，当时，，函数在上是增函数.
所以，当时，.可见，不符合题意.
当时，分如下三种解法：
解法一：（3）若，，.
令，显然在上是减函数，
所以，当时，，当且仅当时取等号.
所以，当时，，在上是减函数.
所以，当时，.
所以，在上是减函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
（4）若，，.
令，显然在上是减函数，且，
，
所以，存在唯一的，使得，即.
于是，当时，；当时，.
所以，当时，；当时，.
所以，在上是增函数，在上是减函数.
所以，在上的最大值 .
将式代入上式，得 .
所以，当时，，所以在上是减函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
综上，所求的取值范围是.
解法二：（3）若，对任意的恒成立对任意的恒成立.
令，.
，当时， ，
所以在上是增函数.所以.
显然在上是减函数，.
所以，当时，，即对任意的恒成立.
所以符合题意.
综上，所求的取值范围是.
解法三：（3）若，对任意的恒成立.
令，.
，当时， ，
所以在上是减函数.所以.
所以，当时，.
当，时，.
所以，当，时，恒成立.
所以符合题意.
综上，所求的取值范围是.
解法四： .
令，则对任意的恒成立.
.
令，当时， ，
所以在上是增函数.
（1）若，则时，，，
所以在上是增函数.
所以，当时，.可见，符合题意.
（2）若，，
.
（这里利用了时，）
又在上是增函数，由零点存在性定理，
知存在唯一的，使得.
于是，当时，，，
所以，在上是减函数.
所以，当时，.可见，不符合题意.
综上，所求的取值范围是.
注：利用，，说明在上有零点.
解法五： .
令，则对任意的恒成立.
（1）先寻求使结论成立的充分条件.
由，要使对任意的恒成立.
只需要在上是减函数，即对任意的恒成立.
而 ，
所以，只需要对任意的恒成立.
令， .显然在上是减函数，
所以，当时，.所以在上是减函数.
所以在上的最大值.则只需要.
可见，当时，对任意的恒成立.
（2）当时，，
（时，） .
又时，在上是减函数，
由零点存在定理，存在唯一的，使得.于是，当时，，
所以在上是增函数.所以，当时，.可见，不符合题意.
综上，所求的取值范围是.
注：时，用，，说明在上有零点.
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