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等差数列与等比数列的判定与证明专题训练
题型一 等差数列的判定与证明方法与技巧
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题
前n项和法 Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
1、已知数列有，是它的前项和，且．
（1）求证：数列为等差数列. （2）求的前项和.
【解析】（1）当时，
所以，，
两式对应相减得，
所以
又n=2时，
所以，所以，
所以数列为等差数列.
（2）当为偶数时，
当为奇数时，
综上：
2、已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
【解析】(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.设f(x)＝1＋，
则f(x)在区间和上为减函数．
所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.
3、在正项数列中，已知且.
（1）证明：数列是等差数列； （2）设的前项和为，证明：.
【解析】（1）∵∴，
∴数列是公差为2的等差数列.
∵∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴数列是等差数列.
（2）由（1）可得∴，
∴，
∴
.
4、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【解析】(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
5、设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为
【答案】-66
【解析】∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，
∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，
∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66.
6、已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.
【解析】(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，
∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，
∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，∴＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，
则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n.
令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7.
∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.
n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn
＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.
∴Tn＝
7、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，则∴
∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，
若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．
8、已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3； (2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【解析】(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
9、已知数列满足，且.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，
两边都加上1，得，
所以，即，
所以数列是以为公差的等差数列，且首项是，
所以，即.
（2）因为，所以数列的前项和，①
则，②
由①－②，得，
所以.
10、已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值； (2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【解析】(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.
11、已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列．
【解析】(1)∵a1，a2(a1∴a1＝1，a2＝5，∴等差数列{an}的公差为4，
∴Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.
(2)证明：当c＝－时，bn＝＝＝2n，
∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.
∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.
题型二 等比数列判定与证明方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
1、已知数列满足，，设．
【解析】（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
由（2）可得，所以．
2、已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)证明：∵an＋Sn＝n，①；
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，
∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.
由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，从而cn≠0，∴＝.
∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n，又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n，
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n.
又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝n.
3、数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于
【解析】由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.
由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.
4、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－4an.
(1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：由an＋2＝4an＋1－4an
得an＋2－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)＝22(an－2an－1)＝…＝2n(a2－2a1)≠0，
∴＝2，∴{an＋1－2an}是等比数列．
(2)由(1)可得an＋1－2an＝2n－1(a2－2a1)＝2n，∴－＝，
∴是首项为，公差为的等差数列，∴＝，an＝n·2n－1.
5、在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.
【解析】(1)由题设得＝·，又＝2，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝.
(2)bn＝＝＝，
因为对任意n∈N＋，2n－1≥2n－1，所以bn≤.
所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.
6、在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)证明：∵a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即＝.
∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴＝2，
∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝－n＝3·2n－n－3.
7、设为数列的前项和，已知，.
（1）证明为等比数列； （2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.
【解析】（1）证明：∵，，∴，
由题意得，，∴是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1），∴.∴，
∴，
∴，即，，成等差数列.
8、设数列{an}的各项均为正数，且a2＝4a1，an＋1＝a＋2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；
(2)设数列{log3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值．
【解析】(1)证明：由已知，得a2＝a＋2a1＝4a1，则a1(a1－2)＝0，
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＝2.
因为an＋1＋1＝(an＋1)2>0，所以log3(an＋1＋1)＝2log3(an＋1)．
又log3(a1＋1)＝log33＝1，所以数列{log3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可知，log3(1＋an)＝2n－1，所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.则使Tn>520成立时n的最小值为10.
9、已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．
【解析】(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
理由如下：由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

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