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专题3.2 立方根（专项练习）
一、选择题
1. 下列说法正确的是( )
A.是的立方根 B.的平方根是 C.的平方根是 D.的平方根是
2. 下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
3. 的立方根与的平方根之和是( )
A. B. C. D.或
4. 若，则的立方根是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则 ，，的大小关系是
A. B. C. D.
二、填空题
6. 的平方根是________；________.
7. 已知某正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根为________.
8. 若，则的立方根是________.
9. 若实数，满足，则的立方根是________．
10. 的平方根是，的立方根是，求的平方根．
三、解答题
11. 计算 ； .

12. 求下列各式中的．
； ．

13. 已知的算术平方根是， 的立方根是.
求，的值； 求的平方根.

14. 已知的立方根是， 的算术平方根是，是的整数部分．
求，，的值； 求的平方根．

15. 若是的算术平方根， 是的立方根，求的平方根．
参考答案
一、选择题
1.A 2.D 3.D 4.B 5.C
二、填空题
6., 7. 8. 9. 10.
三、解答题
11.解：原式 .
原式 .
12.解：∵ ，
∴ ，
∴ ，或，
解得：或．
∵ ，
∴ ，
解得：．
13.解：∵ 的算术平方根是，的立方根是，
∴ ，，
∴ ，.
当，时，，
∴ 的平方根是 .
14.解：∵ 的立方根是，
的算术平方根是，
∴ ，，
解得，，
∵ 是的整数部分，且，
∴ .
由得，，，，
∴ ，
∴ 的平方根即.
15.解：由题意，得 解得
，，
，
即的平方根为．专题3.2 立方根（知识讲解）
【学习目标】
⒈了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
⒉了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.
⒊体会一个数的立方根的惟一性.
【知识梳理】
(1)正方体的体积等于棱长的立方；
(2)一个正数的立方是正数，一个负数的立方是负数．
注意：(1)能准确找到等于给定数的立方的一个数；
(2)一个正数的立方根是正数；0的立方根是0；一个负数的立方根是负数，注意不能丢掉负号．
【典型例题】
【类型一】求一个数的立方根
【例1】求下列各数的立方根．
（1）； （2）； （3）．
【解析】根据立方根的计算方法可以解答本题．
解：（1）； （2）；
（3）．
【变式训练1】的立方根是（ ）
A.士 B. C. D.
【答案】C
【变式训练2】的立方根是________； 的平方根是________.
【答案】,
【变式训练3】已知正数的两个平方根是和，则正数的立方根是________.
【答案】
【类型二】立方根与平方根的综合问题
【例2】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
【解析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8.
∵x2＋y2＝68＋82＝100，∴x2＋y2的算术平方根为10.
【变式训练1】已知正数工的两个平方根分别是和，则的立方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【变式训练2】已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，则的值为________．
【答案】
【解析】∵ 正数的两个平方根分别是和，
∴ ，解得：，
∵ 的立方根是，∴ ，
∴ ．
【变式训练3】已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根．
解：∵ 的立方根是，
∴ ，解得.
∵ 的算术平方根是，
∴ ，解得，
∴ .
∵ 的平方根是，
∴ 的平方根是.
【类型三】计算
【例3】计算：； .
解：原式 .
原式 .
【变式训练】计算：； .
解：原式.
原式.
【类型四】求的值
【例4】求下列各式中的值：
； .
【解析】由题意得到，开平方即可； 由题意得到，开立方即可；
解： , 则，
∴ .
，
∴ ， ，
∴ ， 解得.
【变式训练】求下列各式中的：
； .
解：， ， .
， ，
， .
【类型五】立方根的实际应用
【例5】一个正方体的体积是，现将它锯成块同样大小的正方体小木块．
（1）求每个小正方体的棱长．
（2）现有一张面积为长方形木板，已知长方形的长是宽的倍，若把以上小正方体排放在这张长方形木板上，且只排放一层，最多可以放几个小正方体？请说明理由．
【解析】（1）要先根据正方体的体积即可求出每个小正方体的棱长；
（2）设长方形宽为，可得＝，再根据算术平方根的定义解答即可．
解：（1）， 所以立方体棱长为； 最多可放个．
92设长方形宽为，可得：＝， ＝，
∵ ，∴ ＝， ，
横排可放个，竖排只能放个，＝个． 所以最多可放个．
【变式训练】如图，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，体积为．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
【解析】（1）立方体的体积等于棱长的次方，开立方即可得出棱长；
（2）根据魔方的棱长为，所以小立方体的棱长为，阴影部分由个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．
解:（1）．
（2）∵ 魔方的棱长为， ∴ 小立方体的棱长为，
∴ 阴影部分面积为：＝，
边长为：．

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