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厦门市 2021-2022学年度第一学期高一年级质量检测
数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D
题源：1．教材 P4； 2．教材 P31 习题 1.5-3；
3．教材 P117 例 3； 4．教材 P180 练习-4；
5．教材 P87 习题 3.2-12； 6．教材 P148 例 3；
7．教材 P46 例 3； 8．教材 P160 复习参考题 4-4．
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．AD 10．BCD 11．CD 12．ACD
1 2x
第 12 题提示：对于选项 A，记h (x) = g (x) 1= ．
1+ 2x
1 2 x 2x 1
因为h ( x) = = = h (x)，所以 h x 为奇函数，故选项 A正确；
1+ 2 x 2x +1
对于选项 B，由选项 A可知h ( x)+ h (x) = 0，从而 g ( x)+ g (x) = 2，所以
g 10 g 9 g 9 g 10 2 10 g 0 21，
故选项 B错误；
对于选项C ，记 p x g(x a) b．
若 p x 为奇函数，则 x R ， p x p x 0，即 g ( x + a)+ g (x + a) = 2b，
2 2 x+a x+a x+a x+a
所以 + = 2b ，即2 + 2 + 2m = b (2 +m x+a x+a )(2 +m)． 2 +m 2 +m
a
上式化简得 x R ，2 (1 bm)(2x + 2 x )+ 2m bm2 b 4a = 0．
a a = log2 m, 2 (1 bm) = 0,
则必有 ，解得 1 ，因此当m 0时， g ( x)的图象必
2m bm
2 b 4a = 0 b =
m
1
关于点 log2 m, 对称，故选项C 正确；
m
2
对于选项D，由选项C 可知， g (log2 m+ x)+ g (log2 m x) = ．
m
当m 0时， g ( x)是减函数， log2 (2m) =1+ log2 m log2 m，所以
2
g log2 (2m)+ x + g log2 (2m) x g (log2 m + x)+ g (log2 m x) = ， m
故选项D正确．
综上，应选 ACD ．
题源：9．教材 P255 复习参考题 5-18； 12．教材 P87 习题 3.2-13．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
2 3 9
13． x（答案不唯一） 14． ,1 15．365.25 ，四 16． ,
3 2 4
题源：13．教材 P91 习题 3.3-1； 14．教材 P131 练习-1；
15．教材 P256 复习参考题 5-27； 16．教材 P13 练习-3
高一数学试题答案 第1页（共 5 页）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本题考查指数函数、幂函数和对数函数的单调性及不等式的性质等数学知识；考查运算
求解，推理论证等数学能力；考查转化与化归等数学思想；考查数学运算，逻辑推理等
数学核心素养．（题源：教材 P141 习题 4.4-12（原题））
a a 0
1 1 1
解：因为 1，所以 ，所以a 0． --------------------------- 3分
2 2 2
2
11
因为 ，所以 a 2 12a 2 1 ，所以0 a 1．

又因为a 0，所以0 a 1． ------------------------------------------- 6分
1 1
因为 loga 1，所以 loga loga a ．
2 2
1
又因为0 a 1，所以0 a ． --------------------------------------- 9分
2
1
综上，实数 a 的取值范围是 0, ． -------------------------------------- 10分
2
18．本题考查初等函数的函数值、奇偶性、单调性、零点等数学知识；考查推理论证、运算
求解等数学能力；考查函数与方程等数学思想；考查逻辑推理、数学运算等数学核心素
养．（题源：教材 P161 复习参考题 4-12）
解：（1）方案一：选条件①．
10 a 10
因为 f log 32 ，所以 2
log2 3 ， ------------------------------ 1分
3 2log2 3 3
a 10
即3 ． --------------------------------------------------------- 3分
3 3
解得 a 1． ------------------------------------------------------------ 4分
1
所以 f x 2x ． --------------------------------------------------- 5分
2x
方案二：选条件②．
函数 f x 的定义域为R ． ----------------------------------------------- 1分
因为 f x 为偶函数，所以 x R ， f x f x ， ----------------------- 2分
x x
即 x R ， 2x a 2 x 2 x a 2x ，化简得 x R ， a 1 2 2 0 ．
所以 a 1 0 ，即 a 1． ------------------------------------------------- 4分
1
所以 f x 2x ． --------------------------------------------------- 5分
2x
方案三：选条件③．
由题意知， f 0 2 0， ------------------------------------------------ 1分
0 a
即 2 2 0，解得 a 1． ------------------------------------------- 4分
20
x 1
所以 f x 2 ． --------------------------------------------------- 5分
2x
（2）函数 f x 在区间 0, 上单调递增． ------------------------------- 6分
证明如下： x , x 0,1 2 ，且 x x1 2 ，
x x 2x11 1 2 2 2 1 2
x2 2x1 x2 1
则 f x f x 2x1 2x2 2x1 2x2 ．
1 2
2x1 2x2 2x1 2x2 2x1 x2
---------------------------------------------------------------------- 9分
高一数学试题答案 第2页（共 5 页）
因为 x , x 0, x x x1 x2 x1 x21 2 ， 1 2 ，所以 2 2 ，即 2 2 0．
又因为 x x 0 ，所以 2x1 x2 1，即 2x1 x21 2 1 0．
所以 f x f x 01 2 ，即 f x f x1 2 ． ------------------------------- 11分
所以 f x 在区间 0, 上单调递增． ----------------------------------- 12分
19．本题考查三角函数图象与性质、三角恒等变换、函数图象的变换等数学知识；考查运算
求解、推理论证等数学能力；考查转化与化归，数形结合等数学思想；考查数学运算、
直观想象等数学核心素养．（题源：教材 P228 习题 5.5-3，教材 P241 习题 5.5-5，教
材 P206 例 5）
π 3
解：（1）法一：依题意， sin ．
6 5
π π 2π 7π π 4
因为 ,π ，所以 ， ，所以 cos ． ------------- 3分
2 6 3 6 6 5
π π 3 π 1 π 3 3 4
从而 sin sin sin cos ． -------- 6分
6 6 2 6 2 6 10
π 3 3 1 3
法二：依题意， sin ，所以 sin cos ①． ------------- 1分
6 5 2 2 5
又因为 sin2 cos2 1 ②．
2 3 3 4由①②可得，100sin 60 3 sin +11= 0，解得sin = ． ------- 4分
10
π π 2π 7π
因为 ,π ，所以 ， ．
2 6 3 6
π 3 π 2π π 5π
又因为 sin 0 ，所以 ,π ，所以 , ．
6 5 6 3 2 6
1 3 3 + 4
所以sin ，所以sin = ． ----------------------------------- 6分
2 10
π π
（2）将函数 f x 的图象先向左平移 个单位长度，得到函数 y 2sin x 的图象．
12 4
---------------------------------------------------------------------- 7分
1 π
再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到函数 g x 2sin 2x 的图象．
2 4
---------------------------------------------------------------------- 8分
π π π
令 z 2x ， y = 2sin z 的单调递增区间是 2kπ, 2kπ k Z ．
4 2 2
π π π 3π π
所以 2kπ 2x 2kπ， k Z，解得 kπ x kπ， k Z． 11分
2 4 2 8 8
3π π
所以函数 g x 的单调递增区间为 kπ, kπ k Z . ----------------- 12分
8 8
20．本题考查初等函数的图象与性质等数学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考
查函数与方程、数形结合等数学思想；考查直观想象、数据分析、数学建模等数学核心
素养．（题源：教材 P156 习题 4.5-14）
解：（1）依题意，所选函数必须满足三个条件：
（ⅰ）定义域包含 2,+ )；
（ⅱ）增函数；
（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
高一数学试题答案 第3页（共 5 页）
因为函数 y = a x 3 +b的定义域为 3,+ )， x 2时无意义； -------------- 2分
函数 y = 2x a +b随着自变量的增加，函数值的增长速度变大． ---------------- 4分
函数 y a log x b2 可以同时符合上述条件，所以应该选择函数 y = a log2 x +b．
---------------------------------------------------------------------- 6分
1
a log 4 b 4
2 a ,
（2）依题意知 ，解得 2 ． ------------------------- 9分
a log 8 b 4.5
2 b 3
1
所以 y = log2 x + 3．
2
1
令 y = log2 x + 3 5，解得 x 16． ------------------------------------ 11分
2
所以，至少再经过14 小时，细菌数量达到5 百万个． ----------------------- 12分
21．本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等数学知识；考查推理论证、运算求解
等数学能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想；考查逻辑推理、数学运算、直观
想象等数学核心素养．（题源：教材 P241 习题 5.6-4，教材 P238 例 2）
T 5π π π
解：（1）由图可知 f x 的周期T 满足 ，得T π． ---------------- 1分
2 6 3 2
π
又因为 0，所以 π，解得 2 ．----------------------------------- 2分
1 π 5π 7π 7π 7π
又 f x 在 x 处取得最小值，即 f Asin 2 A，
2 3 6 12 12 12
7π 7π 3π π
得 sin 1，所以 2kπ， k Z，解得 2kπ， k Z．
6 6 2 3
π π
因为 ，所以 ． ---------------------------------------------- 4分
2 3
π 3
由 f 0 Asin 2 0 3 ，得 A 3 ，所以 A 2． ---------------- 5分
3 2
π
综上， f x 2sin 2x ． -------------------------------------------- 6分
3
π π π π
（2）当 x 0, 2x ,π y 2sin 2x 01 时， 1 ，所以 1 1 ．
3 3 3 3
π π
由 x x2 1 知 x x2 1 ．
3 3
π π π
此时 y 2sin 2x 2sin 2 x 2sin 2x π 2sin 2x 02 2 1 1 1 ．
3 3 3
1 5π
记四边形OMQN 的面积为 S ，则 S OQ y y y y1 2 1 2 ． ----------- 8分
2 12
π 1 3
又 y y 2 sin 2x sin 2x 2 sin 2x cos2x sin 2x1 2 1 1 1 1 1
3 2 2
3 1 π
2 3 sin 2x cos2x 2 3sin 2x1 1 1 ． ----------------- 10分
2 2 6
π π π 5π π π π
因为 x 0, ，所以 2x ,1 1 ，所以当 2x ，即 x 时， y y1 1 1 2 取
3 6 6 6 6 2 6
得最大值 2 3 ． ----------------------------------------------------------- 11分
高一数学试题答案 第4页（共 5 页）
OMQN 5π 5 3π所以四边形 面积的最大值是 2 3 ． --------------------- 12分
12 6
22．本题考查二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，函数的单调性、零点等数学知识；
考查推理论证、运算求解等数学能力；考查转化与化归、函数与方程、分类讨论等数学
思想；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养．
解：（1）当a = 0时，原不等式可化为 x 1 x 2 0 ①．
（ⅰ）当 x 0 时，①式化为 x2 x 2 0，解得 1 x 2，所以0 x 2；
---------------------------------------------------------------------- 2分
（ⅱ）当 x 0 时，①式化为 x2 x 2 0，解得 x R ，所以 x 0 ． --------- 4分
综上，原不等式的解集为 ( , 2)． --------------------------------------- 5分
x2 a 1 x a 1, x a
（2）依题意， f x ． ----------------------- 6分
x2 a 1 x a 1, x a
2
因为 f (a) = 1 0，且二次函数 y x a 1 x a 1开口向上，所以当 x a 时，
函数 f ( x)有且仅有一个零点．
所以 x a时，函数 f ( x)恰有两个零点． ---------------------------------- 7分
a 1
a,
2
2
所以 a 1 4 a 1 0,
f a 1 0.
解得a 3． ----------------------------------------------------------- 8分
2
不妨设 x x x ，所以 x ， x 是方程 x a 1 x a 1 01 2 3 1 2 的两相异实根，
x1 x2 a 1, 1 1 x1 + x
则 ，所以 + =
2 =1． ---------------------------- 9分
x x a 1 x1 x x x1 2 2 1 2
x x2
a 1
因为 是方程 a 1 x a 1 03 的根，且 x3 ，
2
2
a +1+ a 1 + 4
由求根公式得 ( )x = ． --------------------------------- 10分 3
2
2
a +1+ (a 1) + 4因为函数 g (a) = 在 (3,+ )上单调递增，
2
1 2
所以 x3 g (3) = 2+ 2 ，所以0 1 ． -------------------------- 11分
x3 2
1 1 1 2
所以1 + + 2 ．
x1 x2 x3 2
1 1 1 2
所以 的取值范围是 1,2 ． ------------------------------- 12分
x x x
1 2 3 2
高一数学试题答案 第5页（共 5 页）度门市
2022学年度第
年级质
数学试题
无试啊间:120分御
选中,有多个选项
注
近对但不全的得
前,考生多必将
勾小题答案
然目的答标号涂具,训
用像皮接1后.可进涂
每小题给出的四个艺
持合题目类求
王
已知命题
是
对:图形的充件
如图,一质点在半径为1的
气,按计方可
旦词返增的幂
的定义境
遮国周运动,角速垃
已某个的春分日是毕期六
定在压回(单:mn;住够记忆另
E年后的
表示缩要记忆的量,表元记忆率.设一个学生来记忆的是为2个年词.上时
一3分
示在时闻r内
长,用来
扇形的周长和面积
取值的是
Ⅱ表示白集合均空隽,则实数2的
取围是▲
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四、解答题:本题共G小题,共70分。解爸应写出文字说用证明过程成滨算步
在函数
选一个条汁补在下而问题中,并斜答下面问
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上单问性,并用究义F
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