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高一数学试卷
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题
卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {x | 2 < x < 4}, B ={x | 3x 7 < 8 2x}，则 A B = ( )
A.{x | 3< x < 4} B.{x x > 2} C.{x | 2 < x < 3} D.{x x > 3}
2.命题“ n∈Z ， n∈Q ”的否定是( )
A. n∈Z ， n Q B. n∈Z ， n Q
C. n Z ， n Q D. n Z ，n Q
3.函数 y = loga (x + 2) + 2（a > 0，且 a ≠1）的图象恒过定点A ，且点A 在角α 的终边上，则cosα
的值为( )
A. 2 B. 5 C. 5 D. 2 5
2 5 5 5
4.设扇形周长为20 ，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为( )
A.12 B.16 C.18 D. 24
一数学试卷（共 4 页）第 1 页】
5.已知a = log0.2 6,b = log0.3 6,c = log0.4 6，则( )
A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. c < b < a
6.下列函数中，最小正周期是 π且是奇函数的是( )
A. y =| sin x | B. y =1 cos 2x C. y = 3sin 2x D. y =1+ 2 tan x
x2 + 2x 3, x ≤ 0
7.已知函数 f (x) = ，若方程 f (x) = k 有 3 个实数解，则实数 k 的取值范围
2+ ln x, x > 0
为( )
A. ( 4, 3] B.[ 4, 3] C. ( 4,0) D.[ 3,0)
8.若正数a,b满足2a(b 1) = b + 3，则2a + b的最小值为( )
A.3 B.6 C.9 D.15
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.下列不等式中成立的是( )
A.若a > b > 0 ，则ac2 > bc2 B.若a > b > 0 ，则 a2 > b2
1 1
C.若a < b < 0，则a2 < ab D.若a < b < 0，则 >
a b
10.下列函数中，不能用二分法求其零点的是( )
A. f (x) = x2 + 2x 1 B. f (x) = 3x 2
C. f (x) =1+ cos x D. f (x) = ex 2
11.已知sinα cosα 1 = ，0 ≤α ≤ π ，则下列选项中正确的有( )
5
A. sinα = 4 4 B. tanα =
5 3
C. sinα cosα 7 12+ = D. sinα cosα =
5 25
ex e x ex + e x
12.已知函数 f (x) = ，函数 g(x) = ，则下列选项中正确的有( )
2 2
A.函数 y = f (x) 是奇函数 B.函数 y = g(x) 的最小值为 1
C.[g(x)]2 [ f (x)]2 =1 D.[g(x)]2 + [ f (x)]2 = f (2x)
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
2
13.已知幂函数 y = f (x) 的图象过点 (2, )，则 f (4) 的值为 .
2
一数学试卷（共 4 页）第 2 页】
14.函数 y = tan(x π+ ) 2的定义域为 .
6
π 1 π 2π
15.已知sin( x) = π，且 0 < x < ，则sin( + x) = ；cos( + x) = .
3 5 2 6 3
16.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中
酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员
喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中
酒精含量会以每小时 30%的速度减少，若他要驾车，必须要休息 n 小时后才能驾车，则正整
数 n 的最小值为 .
(参考数据: lg 2 ≈ 0.30， lg 7 ≈ 0.85 )
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
17.（本小题 10 分）已知集合 A = {x | (x m) <1} ,函数 f (x) lg x + 2= 定义域为 B.
1 x
（1）求集合 A，B；
（2）若“x∈ A” 是 “x∈B” 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
18.（本小题 12 分）求下列各式的值．
（1）sin 5π + sin
25π + cos 25π + tan( 25 π )；
6 3 4
（2） (log4 3+ log8 3)(log3 2+ log9 2) .
sin(2π α ) cos(π α ) cos(π+ +α ) cos(11π α )
19.（本小题 12 分)已知 f (α ) = 2 2 .
cos(π α )sin(3π α )sin( π α )sin(9π +α )
2
（1）化简 f (α ) ；
（2）已知 f (α ) = 2 sinα + cosα，求 的值.
sinα cosα
一数学试卷（共 4 页）第 3 页】
π
20.（本小题 12 分）已知函数 f (x) = 2 sin(2x + ) .
4
（1）求 f (x) 在区间[0,π ]上的最大值和最小值；
2
（2）求 f (x) 在区间[0,2π ]上的单调递减区间.
2
21.（本小题 12 分）已知函数 f (x) = a x (a∈R) . 1+ 2
（1）判断并用定义法证明函数 f (x) 的单调性；
（2）是否存在实数a使函数 f (x) 为奇函数？
22.（本小题 12 分）随着网络技术的不断发展，“直播”已经成为商贸流通企业的标配，特别是受
新冠肺炎疫情影响，传统线下销售模式受到冲击，线下店铺经营受阻，企业纷纷试水“网络直
播”.某店铺为了了解某商品直播销售情况，通过调查发现：该商品在过去的一个月内（以 30
k
天计）的日销售价格 P (x)（元）与时间 x（天）的函数关系近似满足P(x) = 1+ （为正常
x
数）．该商品的日销售量Q (x)（个）与时间 x（天）部分数据如下表所示：
x （天） 10 20 25 30
Q(x) （个） 110 120 125 120
已知第 10 天该商品的日销售收入为 121 元．
（1）求 k 的值；
（2）给出以下二种函数模型：①Q (x) = ax + b ， ②Q (x) = a x 25 + b，请你根据上表
中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q (x)与时间 x 的关
系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入 f (x) (1≤ x ≤ 30, x∈N + ) （元）的最小值．
（函数 f (x) k= x + (x > 0,k > 0)，在区间 (0, k )上单调递减，在区间 ( k ,+∞)上单调递
x
增．性质直接应用．）
一数学试卷（共 4 页）第 4 页】数学答案
说明：
一、如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D D C A B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
BD AC ABD ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14.
15.；（第一空2分，第二空3分） 16. 5
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：对于集合A满足：即，………………………
所以集合…………………………………………………… (2分)
由题意知：，……………………………………… (3分)
解得
所以………………………………………………………… (5分)
由是的充分不必要条件，
可知集合是集合的真子集. …………………………………………… (7分)
又因为，，，
所以，
解得，检验m=0或m=-1符合……………………………………… (9分)
所以实数的取值范围是. ……………………………… (10分)
18.解:（1）原式
…………………… (6分)
（2）根据对数的运算性质,化简可得
……………………………………………………… (12分)
19.解：
.………………………………………………………… (6分)
（2）因为，所以………………………………… (7分)
∴
………………………………………… (12分)
20.解：由可得，， …………………………………… (2分)
当得即时，函数取得最大值．…………………………(3分)
当得即时，函数取得最小值．…………………………(4分)
即在区间上的最大值为，最小值为.…………………………… (5分)
（2）∵上单调递减，
∴上单调递减， ………………………………………… (7分)
当：；……………………………………………………… (9分)
当：；…………………………………………………… (11分)
∴的单调递减区间是、.……………………………………… (12分)
21.解：（1）函数的定义域为，而为增函数，
为减函数，故是增函数.…………………………………… (2分)
证明如下：任取，且，.
则
……………………………………………………………………… (4分)
∵ ∴ ∴,
∴ 即
故在上为增函数.……………………………………………………………… (6分)
(2)假设存在实数a，使为奇函数，则，……………………… (7分)
， …………………………………………………… (9分)
即，
，……………………………………………………………………………… (11分)
故存在实数，使函数为奇函数.…………………………………………… (12分)
22.解：（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解．…………………………………… (2分)
(2)由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，
故只能选②．………………………………………………… (4分)
从表中任意取两组值代入可求得…… (6分)
（3）由（2）知………… (7分)
∴ ……………………… (8分)
当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，
所以当时，取得最小值，且； ……………………… (9分)
当时，是单调递减的，
所以当时，取得最小值，且． ……………………… (10分)
综上所述，当时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为121元．…………………………………… (12分)

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