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2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《与圆有关的最值问题》
专题提升训练（附答案）
一．两点最值
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 　 　．
3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN，若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值为　 　．
5．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　 　．
6．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是　 　，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　 　，最大值是　 　．
二．点线最值
8．如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　 　．
9．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　 　．
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是　 　．
11．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　．
12．如图，直线y＝﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）
A．4.75 B．4.8 C．5 D．4
三．点圆最值
14．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 　 　．
15．如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（　　）
A．2+ B．1+ C．2+ D．2﹣2
16．如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（　　）
A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣
17．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．
18．已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（　　）
A．11 B．5+4 C．5+5 D．12
19．如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A上的一个动点，则m2+n2的最大值为 　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是 　 　．
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为　 　．
22．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
四．面积最值
23．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
24．如图，已知直线y＝，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　　）
A．6 B．5.5 C．5 D．4.5
25．已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝10，OA＝4，BC＝16，则△PCD的面积的最小值是（　　）
A．36 B．32 C．24 D．10.4
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，2为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，则△AOP面积的最大值为（　　）
A．16 B．17 C． D．
27．AB是⊙O直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P，如图所示，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD，交PB的延长线于D，已知AB＝5，BC：CA＝4：3．
（1）求证：AC CD＝PC BC；
（2）当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积．
五．其他最值问题
28．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
29．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　 　．
30．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，CE＝2，
①求的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．
31．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．
（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；
（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD∽△ACF；
（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+FA的最小值．
参考答案
一．两点最值
1．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
2．解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，
∴PC+PD的最小值为2．
故答案为：2．
3．解：作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，
则P′N＝P′N′，
∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，
∴此时P′M+P′N的值最小，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB＝20°，
∵N点关于AB的对称点N′，
∴∠N′OB＝20°，
∴∠MON′＝60°，
∴△OMN′为等边三角形，
∴MN′＝OM＝4，
∴P′M+P′N＝4，
即PM+PN的最小值为4．
故选：A．
4．解：延长BO交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，连接PB．
∵BB′⊥MN，OB＝OB′，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，此时PA+PB的值最小，
∵BB′是直径，
∴∠BAB′＝90°，
∵BB′＝10，AB＝4，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′＝＝＝2，
故答案为2
5．解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．
根据垂径定理，得到BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
6．解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵＝2，
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故选：A．
7．解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝，
由勾股定理得，OC＝＝，
由勾股定理得，OD＝＝，
当点D在直线OC上时，点D到AB的距离的最小或最大，
∴点D到AB的距离的最小值为﹣，点D到AB的距离的最大值为+，
故答案为：；﹣；+．
二．点线最值
8．解：如图，
在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝，
∴OB＝4，OA＝，
∴tan∠OBA＝＝，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ＝，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OP＝OB＝2，
此时PQ＝＝，
BP＝＝2，
∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴EP＝BP＝，
∴BE＝＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∵OE＝OP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝2．
故答案为：2．
9．解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故答案为：2．
10．解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．
11．解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
12．解：过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3）；
当y＝0时，x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinB＝＝．
∵C（0，﹣1），
∴BC＝3﹣（﹣1）＝4，
∴CP＝BC sinB＝．
∵PQ为⊙C的切线，
∴在Rt△CQP中，CQ＝1，∠CQP＝90°，
∴PQ＝＝．
故答案为：．
13．解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴∠ACB＝90°，FC+FD＝PQ，
∴FC+FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，
∴CD＝BC AC÷AB＝4.8．
故选：B．
三．点圆最值
14．解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝＝＝5，
∴MN最大＝．
故答案为：．
15．解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．
∵BA＝AH，BC＝CP，
∴AC＝PH，
∴当PH的值最大时，AC的值最大，
∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AH＝AB，
∴∠HOB＝90°，
∴OH＝OB＝2，
∵PH≤OH+OP，
∴PH≤2+2，
∴PH的最大值为2+2，
∴AC的最大值为+1．
故选：B．
16．解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．
∵A（6，0），B（0，2），
∴OA＝6，OB＝2，
∴AB＝＝2，
∴TB＝AT＝PT＝，
∴T（3，1），
∵C（0，﹣3），
∴CT＝＝5，
∴PC≥CT﹣PT＝5﹣，
∴PC的最小值为5﹣．
故选：D．
17．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
18．解：∵△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，连接AO，延长AO与BC相交于点F，过F作FG⊥AB于点G，如图1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，
则四边形ODCQ2为矩形，AO平分∠BAC，
∴CF＝FG，
设CF＝FG＝x，则BF＝6﹣x，AC＝AG＝8，BG＝AB﹣AG＝10﹣8＝2，
由勾股定理得，（6﹣x）2﹣x2＝22，
解得，x＝，
∴GF＝，
∵OE∥GF，
∴△AOE∽△AFG，
∴，即，
∴AE＝3，
∴AF＝AE＝3，
∴OQ1＝CD＝8﹣3＝5，
∴P1Q1＝OQ1﹣OP1＝5﹣1＝4，
如图2，当Q2与B重合时，连接BO延长BO与⊙O交于点P2，
此时P2Q2为最大值P2Q2＝OQ2+OP2，
∴PQ的最大值与最小值的和为：P1Q1+P2Q2＝4+5+1＝5+5．
故选：C．
19．解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，
∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），
∴OA＝＝5，OP＝，
∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，
∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，
此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．
故答案为：36．
20．解：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．
∵AC＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，
∴∠BAT＝60°，AC＝BC tan30°＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT＝AB＝6，
∵AD＝BD＝BE，
∴BE＝3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC＝CT，AF＝FE，
∴CF＝ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
21．解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
22．解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．
四．面积最值
23．解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∵CF＝1，
∴DE＝＝，
∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°，
∴△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故选：B．
24．解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，
则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，
∴5×CM＝16，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是 ﹣1＝，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×＝，
故选：B．
25．解：如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵AD＝10，OA＝4，BC＝16，
∴CE＝6，
又DE＝AB＝8，
∴CD＝10，
当点P到CD的距离最小时，△PCD面积有最小值，过P作⊙O的切线，交AD、BC于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，
可知此时P到CD的距离最小，
∵AD、BC为⊙O的切线，
∴AD∥BC，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN＝MD，MN＝CD＝10，
设DM＝CN＝x，则AM＝10﹣x，
∵MN为⊙O的切线，
∴MP＝AM＝10﹣x，
∴PN＝BN＝x，
∴BC＝2x，
∴x＝8，
即CN＝8，
在△DEC和△NFC中
∵∠DEC＝∠NFC，∠C＝∠C，
∴△DEC∽△NFC，
∴＝，即＝，解得NF＝，
此时S△PCD的面积最小，
∴S△PCD＝PQ CD＝××10＝32．
故选：B．
26．解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵过P的直线是⊙D的切线，
∴DP垂直于切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴OA＝5，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴＝，
∵AD＝8，CD＝6，AC＝10，
∴DM＝，
∴PM＝PD+DM＝2+＝，
∴△AOP的最大面积＝OA PM＝×5×＝17，
故选：B．
27．证明：（1）
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
∵PC⊥CD，
∴∠PCD＝90°
∴∠PCD＝∠ACB，且∠CAB＝∠CPB
∴△ABC∽△PDC，
∴
∴AC CD＝PC BC
（2）∵AB＝5，BC：CA＝4：3，∠ACB＝90°
∴BC＝4，AC＝3，
当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于点E
∵点P是的中点，
∴∠PCB＝45°，且BC＝4
∴CE＝BE＝BC＝2
∵∠CAB＝∠CPB
∴tan∠CAB＝＝tan∠CPB＝
∴PE＝
∴PC＝PE+CE＝+2＝
∵AC CD＝PC BC
∴3×CD＝×4
∴CD＝
方法二、设AB与CP交于点M，
∵点P是的中点，
∴，
∴AP＝BP＝，∠PAM＝∠ACP，
∴△AMP∽△CAP，
同理可证：△BMP∽△CBP，
设AM＝x，则BM＝5﹣x，
∴＝，
∴x＝，
∴
∴CP＝，
∴CD＝；
（3）当点P在上运动时，S△PCD＝×PC×CD，
由（1）可得：CD＝PC
∴S△PCD＝＝PC2，
∴当PC最大时，△PCD的面积最大，
∴当PC为⊙O直径时，△PCD的最大面积＝×52＝
五．其他最值问题
28．解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4
∴AD＝BD＝4，即此时圆的直径为4，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE sin∠EOH＝2×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝2，故答案为：2．
29．解：连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，
∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
而OE＝OF，OM⊥EF，
∴∠OEM＝30°，EM＝FM，
在Rt△OEM中，OM＝OE，
EM＝OE，
∴EF＝2EM＝OE，
当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，
即AD的长最小，
∵AD的长度最小值为AN的长，
而AN＝AB＝，
∴OE的最小值为，
∴EF长度的最小值为×＝．
故答案为．
30．（1）证明：连接OE
∵OA＝OE
∴∠OAE＝∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE＝∠EAF
∴∠OEA＝∠EAF
∴OE∥AD
∵ED⊥AF
∴∠D＝90°
∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：①连接BE
∵AB是⊙O直径
∴∠AEB＝90°
∴∠BEA＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°
∴∠BAE＝∠CBE
∵∠DAE＝∠BAE
∴∠DAE＝∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴
∵DE＝3，CE＝2
∴
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG＝90°，PQ＝OG
∵
∴设BC＝2x，AE＝3x
∴AC＝AE+CE＝3x+2
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C
∴△BEC∽△ABC
∴
∴BC2＝AC CE 即（2x）2＝2（3x+2）
解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）
∴BC＝4，AE＝6，AC＝8
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°
∴∠EGP＝∠BAC＝30°
∴PE＝EG
∴OG+EG＝PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短
∵EH＝AE＝3
∴OG+EG的最小值为3
31．（1）解：结论：相切．
理由：作CM⊥AB于M．
在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，
∴CM＝AC＝4，
∵⊙O的半径为4，
∴CM＝r，
∴AB是⊙C的切线．
（2）证明：
∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，
∴CF2＝CD CA，
∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，
∴△FCD∽△ACF．
（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．
∵△FCD∽△ACF，
∴＝＝，
∴DF＝AC，
∴EF+AF＝EF+DF，
∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，
当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．

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